KATEDRA KYBERNETIKY, Fakulta aplikovaných věd, ZČU Plzeň ___________________________________________________________________________
Doc. Ing. Jiří Melichar, CSc.:
LINEÁRNÍ SYSTÉMY 2 (Učební text)
KKY 2007
Obsah LS1: ÚVOD 1. STAVOVÁ REPREZENTACE DYNAMICKÝCH SYSTÉMŮ 1.1. Příklady stavového popisu reálných systémů ............ .................................................................................. 6 1.2. Rovnovážné a ustálené stavy dynamických systémů................................................................................... 12 1.3. Linearizace nelineárních dynamických systémů ………………………..................................................... 13 1.4. Typy rovnovážných stavů LDS a průběh trajektorií systému .................................................................... 15 1.5. Stavový model LDS, řešení stavové rovnice ...............................................................................................18 1.6. Vlastnosti spojitých lineárních dynamických systémů ....................................... ....................................... 20 1.7 Vstupně-výstupní ekvivalence lineárních dynamických systémů….…………………………………….. 25 1.8 Normální formy stavové reprezentace LDS ………………………………………………………………28 2. PŘENOSOVÁ FUNKCE SPOJITÝCH LDS 2.1. Laplaceova transformace …………………. ............................................................................................. 32 2.2. Přenosová funkce, základní pojmy, rozklad na parciální zlomky ..............................................................33 2.3. Algebra blokových schémat .......................................................................................................................37 2.4. Přenosové funkce elementárních členů ......................................................................................................41 2.5. Souvislosti mezi modely vnitřního a vnějšího popisu LDS........................................................................42 3. DYNAMICKÉ ODEZVY LDS 3.1. Časové odezvy LDS při vnitřním a vnějším popisu…….......................................................................... 3.2. Impulsní a přechodová funkce. Odezva na obecný vstupní signál ....................... ................................... 3.3. Frekvenční odezva LDS ………………………………………………………………………………… 3.4. Fourrierova transformace. Frekvenční přenos. ………………………… ................................................ 3.5. Nyquistovy a Bodeho frekvenční charakteristiky .................................................................................... 3.6. Frekvenční charakteristiky pro obecný tvar přenosu ............................................................................... 3.7. Minimálně-fázové a neminimálně-fázové systémy ……………………………………………………..
47 49 56 60 61 68 73
4. REGULAČNÍ OBVOD A STABILITA REGULAČNÍHO OBVODU 4.1. Struktura regulačního obvodu, přímovazební a zpětnovazební řízení....................................................... 4.2. Přenosy v regulačním obvodu. Regulátory s jedním a dvěma stupni volnosti........................................ 4.3. Stabilita a kriteria stability regulačních obvodů....................................................................................... 4.4. Robustnost ve stabilitě. Kritické zesílení, bezpečnost v zesílení a bezpečnost ve fázi…………............ 4.5. Metoda geometrického místa kořenů ........................................................................................................
77 79 82 91 94
5. DISKRÉTNÍ LINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY 5.1. Regulační obvod při diskrétním řízení spojitých LDS .............................................................................. 99 5.2. Funkce diskrétní v čase ............................................................................................................................. 103 5.3. Laplaceova transformace funkcí diskrétních v čase. Z-transformace....................................................... 104 5.4. Matematické modely pro vnější popis diskrétních LDS ........................................................................... 107 5.5. Diskrétní stavový model spojitého LDS s tvarovačem 0.-řádu ................................................................ 110 5.6. Diskretizace spojitých přenosů na základě aproximace integrálu nebo derivace ..................................... 112 5.7. Transformační vztah z = e a převedení pólů spojitého LDS na póly diskrétního LDS ....................... 114 5.8. Stavový model diskrétních LDS, explicitní řešení stavové rovnice, základní odezvy .............................. 115 5.9. Vlastnosti diskrétních LDS ........................................................................................................................ 117 5.10. Vzorkování spojitého signálu a Shannonova věta o rekonstrukci signálu ................................................ 120 pT
Doporučená a použitá literatura: Štecha J., Havlena V.: Teorie dynamických systémů, skr. ČVUT Praha, 1996 Havlena V., Štecha J.: Moderní teorie řízení, , skr. ČVUT Praha, 1999 Goodwin G.C., Graebe S., Salgado M.: Control System Design, Prentice-Hall 2000 Aström K.J., Wittenmark B.: Computer Controlled System: Theory and Design, Prentice-Hall 1997 Wolovich W.A.: Automatic Control Systems: Basic Analysis and Design, Saunders College Publishing 1994 Leigh J.R.: Applied Digital Control, Prentice Hall 1992
2
Obsah LS 2: 6. DETERMINISTICKÁ IDENTIFIKACE LDS 6.1. Lineární regrese a metoda nejmenších čtverců ........................................................................................... 5 7. POŽADAVKY NA REGULAČNÍ OBVOD A NÁVRHOVÁ OMEZENÍ 7.1. Stabilita a robustnost ve stabilitě, korekční články .....................................................................……....... 8 7.2. Návrh diskrétních korekčních článků ....................................................................................................… 15 7.3. Přesnost regulace ....................................................................................................................................... 19 7.4. Dynamický činitel regulace ......................................................................................................... ………. 20 7.5. Kmitavost uzavřené regulační smyčky ...................................................................................................... 23 7.6. Citlivost uzavřené regulační smyčky na změnu parametrů řízeného systému ........................................... 25 .7. Tvarování frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky .............................................................. 25 7.8. Požadavky na kvalitu regulace v časové oblasti ........................................................................................ 28 7.9. Požadavky na kvalitu regulace v algebraické oblasti ................................................................................ 29 7.10 Integrální omezení a dosažitelná kvalita regulace …………………………………………………….… 30 8. ZÁKLADNÍ TYPY REGULÁTORŮ 8.1. Spojité PID (PI, PD) regulátory ................................................................................................... ………. 35 8.2. Diskrétní PID (PI, PD) regulátory ............................................................................................................. 38 8.3. Obecný dynamický regulátor ..................................................................................................... ………... 39 8.4. Lineární stavový regulátor ........................................................................................................... ………. 39 9. KLASICKÉ METODY NÁVRHU REGULÁTORŮ 9.1. Empirické postupy při návrhu regulátorů ................................................................................................. 41 9.2. Návrh regulátorů dle požadavku na minimum integrálních kriterií kvality ............................................. 43 9.3. Návrh regulátorů s využitím GMK ………………….............................................................................. 47 9.4. Návrh regulátorů dle požadovaného umístění pólů (nul) uzavřené regulační smyčky ............. ……….. 53 9.5. Množina stabilizujících regulátorů, afinní parametrizace ……………………………………………… 58 9.6. Návrh regulátoru dle zadaného přenosu uzavřené regulační smyčky …………………………………. 70 9.7. Sledování obecného referenčního signálu a kompenzace poruch v ustáleném stavu („princip vnitřního modelu“) .................................................................................................... ……….. 73 9.8. Umístitelnost pólů lineárním stavovým regulátorem ............................................................................... 75 9.9. Lineární stavový regulátor s integrací ...................................................................................................... 78 9.10. Lineární stavový regulátor pro sledování obecného referenčního signálu a kompenzaci poruch v ustáleném stavu .................................................................................................. 79 9.11. Lineární stavový regulátor pro konečný počet kroků regulace ................................................................ 81 9.12. Dynamický regulátor pro řízení skokové odezvy polohového servosystému s konečným počtem kroků regulace ......................................................................................................... 83 9.13. Návrh regulátorů pro LDS s dopravním zpožděním – Smithův prediktor ............................................... 88 10. DETERMINISTICKÁ REKONSTRUKCE STAVU 10.1. Lineární asymptotický rekonstruktor stavu ............................................................................................ 91 10.2. Redukovaný rekonstruktor stavu (Luenbergerův, minimální) ……………………………………….... 94 10.3. Lineární stavový regulátor s rekonstruktorem stavu (dynamický kompenzátor) .................................... 97 10.4. Dynamický kompenzátor v regulačních úlohách .................................................................................... 98 11. NELINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY 11.1 . Matematické modely nelineárních dynamických systémů ....................................................................102 11.2. Metoda harmonické linearizace .............................................................................................................103 11.3. Reléové regulační obvody …………………………………………………………………………… 106 11.4. Ljapunovova teorie stability ................................................................................................................ 109 11.5. Analýza stability LDS – Ljapunovovy rovnice .................................................................................... 112 Doporučená a použitá literatura: Štecha J., Havlena V.: Teorie dynamických systémů, skr. ČVUT Praha, 1996 Havlena V., Štecha J.: Moderní teorie řízení, , skr. ČVUT Praha, 1999 Goodwin G.C., Graebe S., Salgado M.: Control System Design, Prentice-Hall 2000 Aström K.J., Wittenmark B.: Computer Controlled System: Theory and Design, Prentice-Hall 1997 Wolovich W.A.: Automatic Control Systems: Basic Analysis and Design, Saunders College Publishing 1994 Leigh J.R.: Applied Digital Control, Prentice Hall 1992
3
6.
DETERMINISTICKÁ IDENTIFIKACE LDS
V 1. kapitole (LS1) jsme uvedli, že pro získání matematického modelu reálného dynamického systému existují dva přístupy: 1/ Určení matematického modelu na základě matematicko-fyzikálního modelování, bez nutnosti využití měřitelných veličin na reálném systému. Jedná se tedy o analytický přístup. Struktura modelu je odvozena z fyzikálních zákonů a parametry mají obvykle jednoznačně interpretovatelný fyzikální význam. 2/ Určení matematického modelu na základě experimentů prováděných na reálném systému. Snahou je získat takový model, který v nějakém definovaném smyslu co nejlépe odpovídá naměřeným reálným veličinám. V tomto přístupu je obtížný výběr vhodné struktury modelu (využívá se i poznatků z matematicko-fyzikálního modelování, struktura může být upřesňována), jakmile je však fixována, jedná se vlastně o odhad neznámých parametrů nějakou identifikační metodou. Protože matematickému modelování jsme se věnovali v 1. kapitole LS1 a máme již dostatek poznatků z diskrétních LDS, uvedeme jako příklad deterministické parametrické identifikace určení matematického modelu spojitého řízeného reálného systému s použitím číslicového počítače. Předpokládejme, že model chceme určit na základě jednorázového zpracování naměřených dat ( identifikace off-line, nerekurzivní). Při experimentálním přístupu k identifikaci systému je nutné věnovat pozornost formulované úloze a podmínkám, za kterých experiment bude probíhat. Jedná se zejména o výběr: a/ vhodného, dostatečně „bohatého“ a jednoduše realizovatelného vstupního signálu, který vybudí všechny módy reálného systému. Za vhodný signál může být považován např jednotkový skok či po částech konstantní funkce, ale nikoliv např. sinusový signál, který by všechny módy systému nevybudil. b/ vhodného modelu – v daném případě např. diskrétní přenos či diferenční rovnice zvoleného řádu s neznámými koeficienty - parametry. c/ identifikační metody Blokové schema experimentu : Generátor vstupního signálu (čísl. počítač)
D/A převodník (tvarovač 0. řádu)
Spojitý reálný LDS
y(t)
u(kT)
y(kT)
K dispozici tedy máme známou posloupnost diskrétních hodnot {u (kT )} generovaného vstupního signálu a posloupnost diskrétních hodnot {y (kT )} , získanou měřením výstupní veličiny spojitého reálného LDS pro k = 0,1, .... Je zřejmé, že matematický model spojitého reálného LDS nelze získat přímo, neboť ze souborů diskrétních dat lze určit pouze matematický model spojitého systému včetně tvarovače 0.-tého řádu. Model spojitého LDS určíme až následně s využitím převodních vztahů uvedených v odstavci 5.5.
6.1. Lineární regrese a metoda nejmenších čtverců Mezi vstupní a výstupní posloupností diskrétních hodnot musí existovat nějaký kauzální vztah, který budeme respektovat výběrem nějakého matematického modelu zvolené struktury s neznámými parametry. Jako vhodný model můžeme vybrat např. diskrétní přenos se zvoleným stupněm n polynomu ve jmenovateli a s relativním řádem 1 (výstup diskrétního systému reaguje na vstup se zpožděním jedné periody vzorkování) 4
b1 z −1 + b2 z −2 + .... + bn z − n Y ( z −1 ) = , (6.1) U ( z −1 ) 1 + a1 z −1 + a 2 z − 2 + .... + a n z −n kterému odpovídá diferenční rovnice n-tého řádu s neznámými koeficienty ai , bi , i = 1,....n y (k ) + a1 y (k − 1) + a2 y (k − 2) + ... + an y (k − n) = b1u (k − 1) + ... + bnu (k − n) (6.2) Diferenční rovnici je vhodné přepsat do regresního tvaru (regresního modelu) FS ( z ) =
n
n
i =1
i =1
y (k ) = −∑ ai y (k − i ) + ∑ bi u (k − i )
(6.3)
který vyjadřuje předpokládanou kauzální závislost naměřených dat. Pokud by zvolený model svou strukturou přesně odpovídal reálnému systému a měřená data by byla získávána přesně, pro určení 2n neznámých parametrů by bylo nutné provést 2n měření. Budeme-li realisty, musíme připustit, že model nemusel být zvolen adekvátně a že měření jsou získávána s nějakou chybou. Tyto skutečnosti budeme respektovat v každém měření zavedením chyby ε (k ) do regresního modelu n
n
i =1
i =1
y (k ) = −∑ ai y (k − i ) + ∑ bi u (k − i ) + ε (k )
(6.4)
Provedeme-li postupně l měření od nějakého okamžiku k , můžeme regresní model (6.4) zapsat v maticovém tvaru − y (k − n); u (k − 1)... u (k − n) a1 ε (k ) y (k ) − y (k − 1)... y (k + 1) − y (k )... − y (k − n + 1); u (k )... u (k − n + 1) an M = . + M b1 M M M M M u (k − n + l ) bn ε (k + l ) ... ... y (k + l ) − y (k + l − 1)... respektive y = Φθ + ε , kde y … vektor měření, Φ … matice regresorů, θ … vektor neznámých parametrů a ε ... vektor chyb.
(6.5)
Zvolíme-li počet měření l > 2n, můžeme problém identifikace neznámých parametrů θ převést na optimalizační úlohu určení optimálního vektoru θ ∗ tak, aby byl např. minimalizován součet čtverců chyb z každého měření, což vektorově zapíšeme jako θ ∗ = arg min{ε T (θ )ε (θ )} , kde ε = y − Φθ (6.6)
θ
Rozepsáním dostaneme θ ∗ = arg min ( y − Φθ ) T ( y − Φθ ) = arg min y T y + θ T Φ T Φθ − y T Φθ − θ T Φ T y
θ
{
}
θ
a z nutné podmínky minima
{
}
∂ {L}
∗ = 0 ∂θ T θ =θ vyplývá, že optimální hodnotu parametrů určíme ze vztahu
θ ∗ = (Φ T Φ ) Φ T y −1
(
Poznamenejme, že výraz Φ T Φ obdélníkové matice Φ .
)
−1
(6.7)
Φ T je zobecněnou inverzí (Penroseova inverze–Matlab: pinv)
-----------------------------------Příklad 6.1: Ilustrace použití metody nejmenších čtverců pro identifikaci parametrů přenosu spojitého systému ze simulovaných dat Předpokládejme, že známe přenos spojitého LDS:
FS ( p ) =
5
1 p + p +1 2
Zvolíme-li periodu vzorkování T = 0.2 sec. , potom diskrétní přenos spojitého systému s tvarovačem nultého řádu na vstupu bude:
FS ( z ) =
0.01867 z + 0.01746 b z + b2 = 2 1 2 z − 1.783 z + 0.8187 z + a1 z + a2
Simulace vstupních a výstupních dat pro identifikaci parametrů: Použijme tento diskrétní model pro získání vstupních a výstupních dat pro ilustraci identifikační metody. Model vybudíme např. vstupním signálem
u ( kT ) ve tvaru jednotkového skoku, zpožděného o 1sec.
K výstupu systému můžeme přičíst náhodný signal simulující nepřesnost modelu či měření. Uložme si 30 vstupních a výstupních hodnot do pracovní oblasti - viz schéma v Simulinku: .01867z-1+0.01746z-2 1-1.783z-1+0.8187z-2 Step
Scope1
Discrete Filter2
Signal Generator
y T o Workspace
Clock
u T o Workspace1
Clock1
Získaná data použijeme v metodě nejmenších čtverců pro zpětné určení („známých“) parametrů diskrétního přenosu
FS ( z ) . Podle (6.5.) vytvoříme obdélníkovou matici regresorů Φ (FI), hledaný vektor neznámých parametrů θ
(THETA) určíme dle (6.7): for i = 1:1:30 for j = 1:1:2 FI(i,j) = -y(5+i-j) FI(i,j+2) = u(5+i-j) end; end; INVFI = pinv(FI); for i = 1:1:30 ym(i) = y(5+i) end; T
THETA = INVFI*ym Nepůsobí-li náhodný signál na měřený výstup, určené parametry θ odpovídají parametrům diskrétního přenosu
FS ( z ) a použitím Matlab d2c určíme zpětně přenos daného spojitého systému:
a1 −1.7830 a 0.8187 , FS ( z ) = 0.0187 z + 0.0175 THETA = 2 = b1 0.0187 z 2 − 1.7830 z + 0.8187 b2 0.0175
→ FS ( p ) =
1.0018 p + p + 0.9815 2
Působí-li na měřený výstup např. náhodný signál s amplitudou 0.01 a frekvencí 0.01rad/sec., určené parametry diskrétního i spojitého přenosu systému se již liší od parametrů v zadaných přenosech:
a1 −1.74 a 0.78 , FS ( z ) = 0.0299 z + 0.0097 → FS ( z ) = 0.0528 p + 1.1224 THETA = 2 = b1 0.0299 p 2 + 1.242 p + 1.1354 z 2 − 1.74 z + 0.78 b2 0.0097
6
7. POŽADAVKY NA REGULAČNÍ OBVOD A NÁVRHOVÁ OMEZENÍ Obvykle kladené požadavky na funkci a vlastnosti regulačního obvodu vysvětlíme na základním tvaru regulačního obvodu s dynamickým regulátorem s jedním stupněm volnosti (1DoF regulátor). Uvažovaná struktura regulačního obvodu je na následujícím schéma, Gv w
Gw
e
u
FR ( p)
FS ( p, α )
y
v
z
Gz
kde w,e,u označují po řadě referenční signál, regulační odchylku a řízení. Měřený a současně regulovaný výstup je označen y. Výskyt deterministické poruchy v řízeném systému (má obvykle charakter „nízkofrekvenční“ poruchy a může být měřitelná či neměřitelná) respektujeme poruchou v, která je přepočtena na výstup řízeného systému. Porucha z zastupuje poruchy vzniklé měřením regulované veličiny y , považujeme ji za „vysokofrekvenční“ poruchu a snažíme se ji odfiltrovat. V přenosové funkci FS ( p, α ) označuje α parametry řízeného systému. Obvykle formulované regulační úlohy předpokládají návrh zpětnovazebního, realizovatelného regulátoru FR ( p ) , který zaručí, aby změny požadované hodnoty regulované veličiny y(t), zadávané referenčním signálem w(t), byly realizovány přesně, co nejrychleji a s požadovanou kvalitou přechodového děje a to i při působících poruchách a možných změnách parametrů řízeného systému či regulátoru. Označíme-li Fo ( p ) = FS ( p, α ) FR ( p ) , potom v dané struktuře regulačního obvodu je obraz regulované veličiny dán vztahem Fo ( p) Fo ( p) 1 Y ( p) = W ( p) + V ( p) − Z ( p) (7.1) 1 + Fo ( p) 1 + Fo ( p) 1 + Fo ( p) Je zřejmé, že požadavky kladené na průběh regulované veličiny budou současně omezovány požadavky kladenými na potlačení či kompenzaci poruch a že návrh regulátoru bude obvykle vycházet z kompromisních požadavků a podléhat nějakým návrhovým omezením. Mezi základní požadavky na vlastnosti regulačního obvodu patří zejména: Stabilita a robustnost ve stabilitě, přesnost regulace, kmitavost uzavřené regulační smyčky, potlačení harmonických poruch, kvalita regulace a citlivost na změnu parametrů. Požadavky je možné formulovat a interpretovat v časové oblasti, ve frekvenční oblasti či algebraicky. Pro návrh regulátorů je nutná jejich kvantifikace.
7.1. Stabilita a robustnost ve stabilitě, korekční články Uzavřený regulační obvod by měl být stabilní a měl by vykazovat i určitou robustnost ve stabilitě (viz Kap. 4.), charakterizovanou požadovanou bezpečností v zesílení 1/K0 (obvykle 1/K0 > 2) a bezpečností ve fázi γ (obvykle γ > 400). Robustnost ve stabilitě lze ovlivnit návrhem jednoduchých ( případně i násobných) korekčních článků s derivačním resp. integračním charakterem, které podle zadaných požadavků tvarují průběh frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky a zavádějí do Fo ( jω ) žádoucí fázový předstih resp. fázové zpoždění ( v anglosaské literatuře je tato korekce Fo ( jω ) nazývána „lead-lag control“). Tyto korekční články zastupují v regulačním obvodu funkci regulátoru a jsou tedy zařazeny před řízený systém. 7
Korekcí se ovlivní prakticky všechny další vlastnosti regulačního obvodu a je tedy také zřejmé, že jednoduché korekční články nemohou splnit přísnější požadavky na vlastnosti uzavřeného regulačního obvodu.
Derivační korekční článek. Zavádí do frekvenčního přenosu otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) = FS ( jω ) FD ( jω ) fázový předstih, zvětšuje šířku pásma regulace a zvyšuje tedy rychlost odezvy. Přenos derivačního článku s omezeným zesílením na vysokých frekvencích budeme uvažovat ve tvaru FD ( jω ) = K
jωTD + 1 ; TD jω +1
α>1
(7.2)
α
Nyquistova frekvenční charakteristika v komplexní rovině, přímková aproximace Bodeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky a logaritmická fázová frekvenční charakteristika korekčního článku jsou znázorněny pro K = 1 na následujících grafech: Im FD ( jω )
FD ( jω )
ωϕ
max
ω =0
ϕ max
dB
ω→∞
α / TD
1/TD
S
α
log ω
ϕ
Re FD
1
ϕ max ωϕ
max
log ω
Pro ω ∈ (−∞, ∞) má Nyquistova charakteristika tvar kružnice, kterou získáme vyloučením ω z rovnic pro reálnou a imaginární část α −1 T2 ωTD ω 2 D +1 jω T D + 1 α α FD ( jω ) = = 2 + j = Re FD ( jω ) + j Im FD ( jω ) = u + jv (7.3) TD TD 2 TD2 2 jω +1 ω +1 ω +1 2 2
α
α
α
1+α α −1 2 ⇒ ……… (7.4) u − +v = 2 2 Pro frekvence ω ∈ [0, ∞) uvažujeme pouze horní půlkružnici s vyznačenou orientací rostoucí ω . Pro fázový předstih ϕ (ω ) při dané frekvenci ω platí α −1 ωTD Im FD ( jω ) α tg ϕ (ω ) = = (7.5) 2 Re FD ( jω ) 2 TD ω +1 2
2
α
a maximální fázový předstih ϕ max je dán tečnou ke kružnici vedenou z počátku komplexní roviny.
8
Z nutné podmínky extrému určíme nejprve frekvenci ωϕmax při které nastane maximální fázový předstih ϕ max . Ten určíme dosazením za ωϕmax do vztahu pro výpočet fázového posunu (7.2). Pro ω = ωϕmax platí
ωϕ
max
=
α TD
a
d [tgϕ (ω )] = 0 ⇒ dω
ϕ max = arctgωϕ TD − arctgωϕ max
TD max
α
= arctg α − arctg
1
α
(7.6)
Derivační korekční článek zvyšuje robustnost ve stabilitě uzavřené regulační smyčky zavedením potřebného fázového předstihu ϕ (ω 0 ) do frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky, přičemž frekvence ω 0 odpovídá frekvenci při které Fo ( jω 0 ) = 1 , resp. Fo ( jω 0 ) dB = 0dB (viz Kap.4). V daném případě platí ω 0 < ω krit , ω krit je určeno podmínkou arg Fo ( jω krit ) = −180 0 . Poznámka 7.1. Korekci bezpečnosti ve fázi či zesílení bychom mohli provést i pouhou změnou zesílení otevřené regulační smyčky resp. korekčního článku, které by však bylo frekvenčně nezávislé a nedovolilo by žádoucí „frekvenční tvarování zisku" otevřené regulační smyčky. V dalším předpokládáme, že zesílení otevřené regulační smyčky bylo fixováno a zesílení korekčního článku uvažujeme K = 1.
Postup při návrhu korekčního článku. Dobrou orientaci při návrhu poskytují zejména Bodeho frekvenční charakteristiky, a to i jejich přímková aproximace. Z charakteristik lze usoudit na reálnost kladených požadavků resp. na možnost docílení požadovaného průběhu F0 ( jω 0 ). Protože při ω = ω 0 je definována bezpečnost ve fázi γ , γ = 1800 + arg F0 ( jω 0 ), můžeme např. požadovat, aby při zvoleném ω 0
bylo návrhem korekčního článku dosaženo požadované
bezpečnosti ve fázi γ ž . Parametry TD , α derivačního článku by potom mohly být určeny řešením rovnic
Fo ( jω 0 ) = FS ( jω 0 ) FD ( jω 0 ) = 1
a arg [FS ( jω 0 ) FD ( jω 0 )] = −180 0 + γ ž .
(7.7)
Korekce ovšem změní i další vlastnosti systému, a proto se v praxi se korekční článek obvykle navrhuje iterativně, přičemž se doporučuje volba TD v okolí Tmax (největší časová konstanta systému) a α ∈ [5, 50]. Pro korigovaný přenos otevřeného regulačního obvodu se určí přenos uzavřeného regulačního obvodu Fz ( jω ) a analyzují se jeho vlastnosti (bezpečnost v zesílení, šířka pásma regulace ω š , doba regulace Treg, přeregulování σ % a j.) pro následnou iteraci návrhu při změněných TD , α . Poznámka 7.2. Volba ω 0 ovlivňuje šířku pásma regulace, která je vymezena frekvencí ω s , při které je zisk uzavřené regulační smyčky roven – 3dB. Nás však zajímá, jak „predikovat“ chování uzavřené regulační smyčky z frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky. V literatuře lze nalézt orientační stanovení ω s , které je vymezeno pásmem frekvencí, kde Fo ( jω ) dB ∈ [-6dB , -7.5dB] za podmínky, že arg Fo ( jω ) ∈ [-1350 , -2250].
Pokud by přenos uzavřené regulační smyčky Fz ( jω ) byl kmitavým systémem 2. řádu , lze určit jeho relativní tlumení ξ a netlumenou frekvenci ω n a odvodit následující vztahy: 4 4 ω s = ω n (1 − ξ 2 ) + ξ 4 − 4ξ 2 + 2 a resp. Treg = (7.8) ωn = Treg ξ ω nξ 9
Uvedené vztahy lze přiměřeně použít i pro přenos uzavřené regulační smyčky vyššího řádu, pokud je redukovatelný na dominantní kmitavý systém 2. řádu. Příklad 7.1: Návrh derivačního korekčního článku dle požadované bezpečnosti ve fázi. K systému
aby při
Fs ( p ) =
1 T p +1 navrhněte derivační korekční článek FD ( p ) = D , α > 1 tak, 2 TD p p +1
ω0 = 2rad / sec.
γ = 45
byla dosažena bezpečnost ve fázi
α
0
!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------Přenos otevřené regulační smyčky :
Fo ( jω ) = FS ( jω ) FD ( jω ) =
Pro požadovanou velikost bezpečnosti ve fázi
γ
Fo ( jω0 ) = FS ( jω0 ) FD ( jω0 ) = 1
1/
2/
Po rozepsání dostaneme dvě rovnice pro dvě neznámé
1 + ω02TD2
1/
ω04 + ω06 2/
arg
2 D 2
=1
Použitím
T
Fo ( jω0 ) = arctg (ω0TD ) − 1800 − arctg (
Po dosazení za
α2
ω0
a
γ
do první rovnice dostaneme:
Z druhé rovnice dostaneme
α = 7.3234
arctg (2TD ) − arctg (
1+
2TD
α
) = 450
2TD
2TD −
2T (1 + 2TD ) α= D 2TD − 1
Rovnice má jediné reálné kladné řešení :
Fo ( jω0 ) = −1800 + γ
ω0TD ) = −1800 + γ α
dostáváme
tgα − tg β dostáváme 1 + tgα .tg β
a po úpravě
arg
TD , α :
α
tg (α − β ) =
musí platit:
64TD2 − 4α 2TD2 + 15α 2 = 0
⇒
Druhou rovnici upravíme. Po dosazení za
α
ω0
při frekvenci
jωTD + 1 T ( jω ) 2 ( jω D + 1)
α = tg 450 = 1 2
4TD
α
4TD2 (1 + 2TD ) 2 resp. α = (2TD − 1) 2 2
−64TD4 − 32TD3 + 480TD2 − 136TD + 124 = 0
TD = 2.3983 sec.
Hledaný derivační korekční článek má přenos:
FD ( p ) =
TD p + 1 2.3983 p + 1 = TD p + 1 0.3275 p + 1
α
Přenos otevřené regulační smyčky :
Fo ( p ) = FS ( p ) FD ( p ) =
TD p + 1 2.3983 p + 1 = 3 2 T p 2 ( D p + 1) 0.3275 p + p
α
Kontrola návrhu: MATLAB (margin, feedback, step) :
γ = 44.70
při
ω0 = 2.04
Přechodová charakteristika uzavřené regulační smyčky má 30% přeregulování,
10
rad/sec.
Treg ≅ 5sec.
P h a se(d e g )
M a g n itu d e(d B )
Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 44.7 deg (at 2.04 rad/sec) 100
0
-100 -120
-150 -180 -2 10
-1
0
10
1
10 Frequency
2
10
10
(rad/sec)
Step Response
Amplitude
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time (sec)
Z příkladu je vidět, že exaktní návrh korekčního článku ve složitějším případě může být obtížný, a proto v praxi často používáme iterativní postup, vycházející z přímé volby TD a α .
TD = 3 sec. a α = 10 . T p +1 3 p +1 Pro tuto volbu je přenos derivačního korekčního článku FD ( p ) = D = TD p + 1 0.3 p + 1 Z analýzy aproximovaného tvaru LAFCH se nabízí např. volba:
α
a přenos otevřené regulační smyčky
Fo ( p ) = FS ( p ) FD ( p ) =
Kontrola návrhu: MATLAB (margin, feedback, step) :
γ = 46
0
TD p + 1 3 p +1 = 3 2 T p 2 ( D p + 1) 0.3 p + p při
α ω0 = 2.44
rad/sec.
Treg ≅ 5sec.
Přechodová charakteristika uzavřené reg. smyčky má 25% přeregulování,
Magnitude(dB)
Bode Diagram Gm = Inf dB (at Inf rad/sec) , Pm = 46 deg (at 2.44 rad/sec) 100
0
-135 -180 -2 10
-1
0
10
10
10
1
2
10
Frequency (rad/sec)
Step Response 1.5
Amplitude
Phase(deg)
-100 -90
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
Time (sec)
11
6
7
8
Integrační korekční článek. Zavádí do frekvenčního přenosu otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) = FS ( jω ) FD ( jω ) fázové zpoždění, zmenšuje šířku pásma regulace a snižuje tedy rychlost odezvy. Přenos integračního článku budeme uvažovat ve tvaru
FI ( jω ) = K
jω T I + 1 ; jωα TI + 1
α>1
(7.9)
Nyquistova frekvenční charakteristika v komplexní rovině a přímková aproximace Bodeho logaritmické frekvenční charakteristiky korekčního článku jsou znázorněny pro K = 1 na následujících grafech: Im FI ( jω )
FI ( jω )
dB
1/ αTI
1/ TI log ω
1/ α
ω =0
S
ϕ log ω
1
− ϕ max
− ϕ max
ω −ϕ max
Analogicky k derivačnímu článku bychom odvodili, že pro ω ∈ (−∞, ∞) má Nyquistova charakteristika opět tvar kružnice, přičemž pro frekvence ω ∈ [0, ∞) uvažujeme pouze dolní půlkružnici s vyznačenou orientací pro rostoucí ω . Dále lze analogicky určit frekvenci ω −ϕmax a maximální fázové zpoždění - ϕ max .
ω −ϕ
max
=
1 TI α
a
− ϕ max = − arctg α + arctg
1
α
(7.10)
Integrační korekční článek použijeme pro snížení bezpečnosti ve fázi zavedením potřebného fázového zpoždění - ϕ (ω 0 ) do frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky, přičemž frekvence ω 0 odpovídá frekvenci při které Fo ( jω 0 ) = 1 , resp. Fo ( jω 0 ) dB = 0dB . Obvykle se však sníží i bezpečnost v zesílení. Snižuje se tedy robustnost ve stabilitě, přechodový děj se zpomalí a může mít tendenci ke kmitání. Postup při návrhu integračního korekčního článku je analogický jako při návrhu derivačního článku a opět můžeme např. požadovat, aby při zvoleném ω 0 bylo návrhem korekčního článku dosaženo požadované bezpečnosti ve fázi γ ž . Parametry TI , α integračního článku by potom mohly být určeny opět řešením rovnic
Fo ( jω 0 ) = FS ( jω 0 ) FI ( jω 0 ) = 1
a arg [FS ( jω 0 ) FI ( jω 0 )] = −180 0 + γ ž .
12
(7.11)
Korekce změní i další vlastnosti systému, a proto se v praxi korekční článek navrhuje iterativně, 1 přičemž se doporučuje volba TI tak, aby < ω 0 a α ∈[5, 50]. TI Pro korigovaný přenos otevřeného regulačního obvodu se určí přenos uzavřeného regulačního obvodu Fz ( jω ) a analyzují se jeho vlastnosti (bezpečnost v zesílení, šířka pásma regulace ω š , doba regulace Treg, přeregulování σ % a j.) pro následnou iteraci návrhu při změněných TI , α . Návrh derivačních či integračních korekčních článků ( v anglo-saské literatuře “lead-lag control”) lze považovat za jednoduchou a v podstatě heuristickou frekvenční metodu syntézy, která vychází ze specifikace jednoho bodu frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky Fo ( jω 0 ) a nemůže tedy garantovat požadované chování pro obecnou třídu spojitých LDS. Lze však navrhnout i složitější korekční články.
Frekvenční omezení při návrhu korekčních článků pro neminimálně-fázové systémy V odstavci 3.7. (LS1) jsme ukázali, že přenosová funkce systému s nestabilními nulami a/nebo póly může být zapsána ve faktorizovaném tvaru sestávajícím z neminimálně-fázové a minimálněfázové části FS ( p ) = Fnmf ( p ) Fmf ( p ) , přičemž faktorizace je provedena tak, aby neminimálně-fázová část měla tvar “all-pass” filtru Fnmf ( p ) =
− p + zk ( pro nestabilní nulu) a p + zk
Fnmf ( p ) =
p + pk p − pk
( pro nestabilní pól)
Z frekvenčního pohledu má all–pass filtr Fnmf ( jω ) jednotkové zesílení ∀ω , neovlivní tedy průběh LAFCH otevřené regulační smyčky, ale zavede dodatečné, frekvenčně závislé fázové zpoždění ϕ nmf (ω ) k fázovému zpoždění ϕ mf (ω ) přenosové funkce Fmf ( jω ) , a tedy i do průběhu LFFCH! V případě nestabilní nuly je pro ω ∈ [ 0, ∞ ) fázové zpoždění z intervalu ϕ nmf (ω ) ∈ 00 , −1800 ) ,
v případě nestabilního pólu je pro ω ∈ [ 0, ∞ ) fázové zpoždění z intervalu ϕ nmf (ω ) ∈ ( −1800 , 00 .
Poznámka: Použijeme-li Matlab pro výpočet Bodeho frekvenčních charakteristik neminimálně-fázových systémů, zjistíme, že výpočet nepodporuje žádoucí ilustraci dodatečného fázového zpoždění způsobeného all-pass filtrem a nezískáme výše uvedené intervaly fázového zpoždění. Je to způsobeno jiným označením kvadrantů komplexní roviny, a tedy i výpočtem fáze frekvenční charakteristiky all-pass filtru. Výpočet průběhu fáze all-pass filtru s nestabilní nulou resp. pólem ( zk = +1 , pk = +1). Nestabilní nula: Im Fnmf ( jω ) − jω + 1 1 − ω 2 2ω Fnmf ( jω ) = = 2 −j 2 = Re Fnmf ( jω ) + j Im Fnmf ( jω ) , ϕ ( ω ) = arctg Re Fnmf ( jω ) jω + 1 ω + 1 ω +1 Pro 0 ≤ ω ≤ 1 : Re Fnmf ( jω ) ≥ 0 , Im Fnmf ( jω ) ≤ 0
→
Pro 1< ω < ∞ : Re Fnmf ( jω ) ≤ 0 , Im Fnmf ( jω ) ≤ 0
→
ϕ ( ω ) ∈ 00 , −900
ϕ ( ω ) ∈ ( −900 , −1800 )
Pro ω ∈ [ 0, ∞ ) je fázové zpoždění all-pass filtru z intervalu ϕ ( ω ) ∈ 00 , −1800 ) .
13
Nestabilní pól: Im Fnmf ( jω ) jω + 1 ω 2 − 1 2ω Fnmf ( jω ) = = 2 −j 2 = Re Fnmf ( jω ) + j Im Fnmf ( jω ) , ϕ ( ω ) = arctg jω − 1 ω + 1 ω +1 Re Fnmf ( jω ) Pro 0 ≤ ω ≤ 1 : Re Fnmf ( jω ) ≤ 0 , Im Fnmf ( jω ) ≤ 0
→
Pro 1< ω < ∞ : Re Fnmf ( jω ) ≥ 0 , Im Fnmf ( jω ) ≤ 0
→
ϕ ( ω ) ∈ −1800 , −900
ϕ ( ω ) ∈ ( −900 , 00 )
Pro ω ∈ [ 0, ∞ ) je fázové zpoždění all-pass filtru z intervalu ϕ ( ω ) ∈ ( −1800 , 00 . ----------------------------------------------Předpokládejme, že chceme navrhnout korekční článek FK ( p ) k neminimálně-fázovému systému
s přenosem FS ( p ) , který má nestabilní nulu a/nebo pól. Protože nestabilní faktory nelze krátit, bude mít nestabilní nulu a/nebo pól i přenos otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) = FS ( jω ) FK ( jω ) = Fnmf ( jω ) Fmf ( jω ) FK ( jω ) Při návrhu korekčního článku dle požadované bezpečnosti ve fázi γ ž při frekvenci ω0 určíme parametry korekčního článku z rovnic pro amplitudu a fázi otevřené regulační smyčky Fo ( jω0 ) = FS ( jω0 ) FK ( jω0 ) = Fnmf ( jω0 ) Fmf ( jω0 ) FK ( jω0 ) = 1 arg Fo ( jω0 ) = arg Fnmf
( jω0 ) + arg Fmf ( jω0 ) + arg FK ( jω0 ) = −1800 + γ ž
Oproti minimálně fázovému systému dochází u neminimálně-fázových systémů ve fázové rovnici otevřené regulační smyčky k rychlejšímu poklesu fáze a pro dosažení požadované bezpečnosti ve fázi γ ž bude nutné volit nižší hodnotu ω0 . To ovšem způsobí snížení šířky pásma regulace! Z průběhu fázového zpoždění u “all-pass” filtrů s nestabilním pólem a nulou vidíme, že nestabilní pól určuje omezení zdola pro dosažitelnou šířku pásma regulace a nestabilní nula omezení shora.
7.2. Návrh diskrétních korekčních článků. Chceme-li navrhnout ke spojitému systému s přenosem FS ( p ) nějaký diskrétní korekční článek s přenosem FK (z ) , můžeme použít opět dva principiálně odlišné přístupy, podobně jako při návrhu diskrétních regulátorů (viz odst. 5.1.). Přístupy se liší podle toho, zda výchozím modelem je spojitý přenos řízeného systému nebo diskrétní přenos zahrnující tvarovač 0.-tého řádu. Protože návrh korekčních článků se provádí ve frekvenční oblasti, ukážeme, že první přístup využívá frekvenční charakteristiku spojitého systému a druhý přístup tzv. pseudofrekvenční charakteristiku, jako aproximaci diskrétní frekvenční charakteristiky.
Postup při návrhu korekčního článku s využitím frekvenční charakteristiky spojitého systému 1/ Východiskem návrhu je spojitý přenos systému FS ( p ) , resp. frekvenční přenos FS ( jω ) , přičemž p = jω , a tudíž frekvence ω je definována vztahem ω = Im p . 2/ Ve frekvenčních charakteristikách spojitého systému provedeme návrh spojitého korekčního článku podle odst. 7.1. a získáme FK ( jω ) resp. FK ( p) , při p = jω . 3/ Diskrétní přenos korekčního článku získáme diskretizací s použitím lichoběžníkové 2 z −1 aproximace FK ( z ) = FK ( p) při dosazení za p = - viz Matlab: c2d(s,T,’tustin’). T z +1 Problémem je volba perioda vzorkování T, není respektována funkce tvarovače a výsledný návrh nemusí být uspokojivý.
14
Postup při návrhu korekčního článku s využitím pseudofrekvenční charakteristiky 1/ Východiskem návrhu je diskrétní přenos spojitého systému s tvarovačem 0.-tého řádu 1 − e − pT FS ( z ) = Z FS ( p) s odpovídajícím diskrétním frekvenčním přenosem FS (e jωT ) , p který získáme dosazením za z = e pT , resp. z = e jωT = cos ωT + j sin ωT . Nabízí se možnost provést návrh korekčního článku v diskrétní frekvenční charakteristice přenosu FS (e jωT ) , návrh však bude z důvodu matematických potíží prakticky nemožný. Z tohoto důvodu je nutné provést návrh korekčního článku v aproximované diskrétní frekvenční charakteristice - pseudofrekvenční charakteristice. 2/ K přenosu FS (z ) určíme „ pseudofrekvenční přenos“ FS ( jωˆ ) s použitím lichoběžníkové 2 + pˆ T aproximace FS ( pˆ ) = FS ( z ) , při z = , přičemž pˆ = jωˆ . Pseudofrekvence ωˆ tedy je 2 − pˆ T 2 z − 1 (7.12) ωˆ = Im pˆ = Im . T z + 1 Úpravou tohoto vztahu dostaneme požadavek na volbu periody vzorkování T, při které bude pseudofrekvence ωˆ dostatečně přesnou aproximací skutečné frekvence ω v uvažovaném pásmu frekvencí, kde je navrhován korekční článek (obvykle v okolí frekvence ω0 , kde LAFCH prochází osou 0dB a určujeme bezpečnost ve fázi): [ (cos ωT − 1) + j sin ωT ] .[ (cos ωT + 1) − j sin ωT ] 2 z − 1 2 ωˆ = Im pˆ = Im = = Im (cos ωT + 1) 2 + sin 2 ωT T z + 1 T ωT ωT 2 sin cos 2 sin ωT 2 2 ωT 2 2 = = = tg (7.13) 2 T 1 + cos ωT T T 2 ωT 2 ωT 2 ωT 2 ωT sin + cos + cos − sin 2 2 2 2 ωT ωT ωT Protože pro malé úhly platí tg ≅ , pro dobrou frekvenční aproximaci můžeme zvolit 2 2 2 ωT periodu vzorkování T např. tak, aby 0 ≤ 10 . 2 3/ V pseudofrekvenční charakteristice navrhneme k určenému FS ( jωˆ ) korekční článek FK ( jωˆ ) , resp. FK ( pˆ ) a jeho diskrétní tvar určíme opět použitím lichoběžníkové aproximace 2 z −1 FK ( z ) = FK ( pˆ ) při pˆ = (7.14) T z +1 ------------------------------------------------------------------------------Příklad 7.2: Návrh diskrétního derivačního korekčního článku dle požadované bezpečnosti ve fázi (viz příklad 7.1) Upravme formulaci zadání:
1 navrhněte diskrétní derivační korekční článek FD ( z ) tak, aby při ω0 = 2rad / sec. byla p2 0 dosažena bezpečnost ve fázi γ = 45 ! K systému
Fs ( p ) =
------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
Návrh diskrétního korekčního článku ve frekvenční charakteristice spojitého systému 1/ V předchozím příkladu jsme navrhli spojitý derivační korekční článek s přenosem:
TD p + 1 2.3983 p + 1 = TD p + 1 0.3275 p + 1
FD ( p ) =
α
FD ( z ) určíme použitím lichoběžníkové aproximace (Matlab: c2d(s,T,’tustin’)). 2π Podle doporučené volby periody vzorkování ωvz = = (10 ÷ 20 ) ω0 zvolíme T = 0. 5sec. T
2/ Diskrétní přenos
Přenos diskrétního derivačního korekčního článku (c2d(s,T,'tustin')):
FD ( z ) =
Pro účely simulace diskretizujme i daný systém s tvarovačem (c2d(s,T,'zoh')):
4.586 z − 3.72 z − 0.1342
FS ( z ) =
0.125 z + 0.125 z2 − 2z +1
0.5733 z 2 + 0.1083 z − 0.465 Pro přenos otevřené regulační smyčky dostaneme : F0 ( z ) = 3 z − 2.134 z 2 + 1.268 z − 0.1342 a pro přenos uzavřené regulační smyčky:
Fz ( z ) =
0.5733 z 2 + 0.1083 z − 0.465 z 3 − 1.561z 2 + 1.377 z − 0.5992
Zjišťujeme ale, že skoková odezva se podstatně liší od odezvy spojitého regulačního obvodu: Step Response 2
Amplitude
1.5
1
0.5
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Time (sec)
Návrh diskrétního korekčního článku s využitím pseudofrekvenční charakteristiky Zvolíme nyní periodu vzorkování T tak, aby
ω0T 2
≤ 10 , přičemž ω0 = 2rad / sec . Zvolme T = 0.01sec.
1/ Diskretizujme daný systém s tvarovačem 0.-tého řádu při T = 0.01:
FS ( z ) =
5e − 005 z + 5e − 005 z2 − 2z +1
FS ( jωˆ ) s použitím lichoběžníkové aproximace −0.005 pˆ + 1 FS ( pˆ ) = FS ( z ) (Matlab: d2c(sd,T,’tustin’): FS ( pˆ ) = pˆ 2 3/ Z Bodeho charakteristiky vidíme, že v okolí ω0 = 1rad / sec je aproximace frekvenční charakteristiky daného 2/ K přenosu FS (z ) určíme „ pseudofrekvenční přenos“
systému (viz následující graf) pseudofrekvenční charakteristikou zcela vyhovující, a návrh derivačního článku by probíhal shodně jako ve skutečných frekvenčních charakteristikách.
16
Bode Diagram Magnitude (dB)
50 0 -50
Phas e (deg)
-100 180 170 160 150 -1 10
0
1
10
2
10
10
Frequency (rad/sec) Můžeme tedy použít přenos již navrženého spojitého derivačního článku
FD ( pˆ ) = FD ( p ) =
TD p + 1 2.3983 p + 1 = TD p + 1 0.3275 p + 1
α
FD ( z ) určíme opět použitím lichoběžníkové aproximace 7.228 z − 7.198 (Matlab: c2d(s,T,’tustin’): FD ( z ) = z − 0.9699
4/ Diskrétní tvar derivačního článku
Kontrola:
Diskrétní přenos otevřené smyčky: Fo ( z ) =
0.0003614 z 2 + 1.5e − 006 z − 0.0003599 z 3 − 2.97 z 2 + 2.94 z − 0.9699
Spojitý přenos po Tustinově transformaci: F0 ( pˆ ) =
−0.03662 pˆ 2 + 7.308 pˆ + 3.046 pˆ 3 + 3.056 pˆ 2 − 1.01e − 011 pˆ − 1.603e − 010
Bodeho charakteristiky (Matlab:margin) pro odpovídající pseudofrekvenční přenos Fo ( jωˆ ) : Bode Diagram Gm = 37.2 dB (at 22.9 rad/sec) , Pm = 44.2 deg (at 2.04 rad/sec) Magnitude (dB)
100 0 -100 -200 -300
Phase (deg)
-400 -90 -135 -180 -225 -270 -2 10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Diskrétní přenos uzavřené regulační smyčky: Fz ( z ) =
17
0.0003614 z 2 + 1.5e − 006 z − 0.0003599 z 3 − 2.97 z 2 + 2.94 z − 0.9703
Skoková odezva uzavřené smyčky se již shoduje se skokovou odezvou spojitého systému: Step Response 1.4 1.2
Amplitude
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Time (sec)
Z příkladu vyplývá, že návrh diskrétního korekčního článku lze provést ve frekvenčních charakteristikách spojitého systému, ale volba periody vzorkování by měla respektovat podmínku
ω0T 2
≤ 10 .
-----------------------------------------------------
7.3. Přesnost regulace Přesností regulace rozumíme chování regulační odchylky e(t) v ustáleném stavu . Budeme uvažovat regulační obvod s regulátorem 1DoF dle schéma uvedeného na začátku této kapitoly a rozlišíme dva případy: a/ přenos otevřené regulační smyčky Fo ( p ) resp. Fo ( z ) nemá astatismus b ( p) b ( z) Fo ( p ) = FS ( p ) FR ( p ) = o , ao (0) ≠ 0 resp. Fo ( z ) = FS ( z ) FR ( z ) = o , ao (1) ≠ 0 (7.15) ao ( p ) ao ( z ) b/ přenos otevřené regulační smyčky Fo ( p ) resp. Fo ( z ) má astatismus k-tého stupně
bo ( p) bo ( z ) , ao (0) ≠ 0 resp. Fo ( z ) = , ao (1) ≠ 0 (7.16) k p ao ( p) ( z − 1)k ao ( z ) V uzavřené regulační smyčce potom pro regulační odchylku e(t) v ustáleném stavu platí 1 lim e(t ) = lim pE ( p ) = lim p W ( p) (7.17) t →∞ p →0 p →0 1 + Fo ( p ) 1 a pro diskrétní verzi lim e(k ) = lim( z − 1) E ( z ) = lim( z − 1) W ( z) (7.18) k →∞ z →1 z →1 1 + Fo ( z ) Z uvedených výrazů usuzujeme, že přesnost regulace bude záviset na typu referenčního signálu w(t) a na stupni astatismu přenosu otevřené regulační smyčky Fo ( p ) . Nechť spojitý referenční signál w(t) je reprezentován polynomem l − tého stupně 0!c0 1!c1 2!c2 l !c c( p ) w(t) = c0 + c1t + c2t 2 + ...... + cl t l ⇒ W(p) = + 2 + 3 + ... + l +l1 = l +1 (7.19) p p p p p kde ci jsou známé konstanty a c(p) je známý polynom stupně l . Fo ( p ) =
Limitní chování regulační odchylky určíme pro oba případy dosazením za W(p) do (7.17): a/ Fo ( p ) bez astatismu a0 ( p ) 1 c( p ) c( p) = lim ≠0 l + 1 t →∞ p →0 p →0 p →0 a ( p ) + b ( p ) p l bo ( p ) p 0 0 1+ ao ( p ) a nelze tedy docílit v ustáleném stavu nulovou regulační odchylku. lim e(t ) = lim pE ( p ) = lim p
18
(7.20)
b/ Fo ( p ) s astatismem k-tého stupně p k a0 ( p ) 1 c( p ) c( p) lim e(t ) = lim pE ( p ) = lim p = lim k = … (7.21) l +1 t →∞ p →0 p →0 p → 0 bo ( p ) p p a0 ( p ) + b0 ( p ) p l 1+ k p ao ( p ) Pro k > l je lim e(t) = 0 a v ustáleném stavu je regulační odchylka nulová a regulace je přesná. t →∞
Pro k ≤ l je lim e(t) ≠ 0 a v ustáleném stavu vzniká trvalá regulační odchylka. t →∞
Poznámka 7.3. c0 . Z uvedeného vyplývá, že p nulovou regulační odchylku v ustáleném stavu již docílíme pro Fo ( p ) s astatismem prvního řádu (pokud nemá astatismus řízený systém, musí jej mít regulátor). Pokud při regulaci na konstantní hodnotu bude mít Fo ( p ) astatismus druhého řádu, bude samozřejmě platit V případě regulace na konstantní hodnotu je w(t) = c0 a W(p) =
∞
lim e(t) = 0 a navíc také t →∞
∫ e(t )dt = 0
( stupeň astatismu je dán počtem integrátorů v Fo ( p ) ).
0
Toto integrální omezení na regulační odchylku říká, že celková plocha vymezená průběhem odchylky musí být nulová, a to znamená, že regulační průběh musí být kmitavý a regulovaný výstup bude nutně vykazovat přeregulování, bez ohledu na to jaký 1DoF regulátor bude použit!! 1 Není tedy možné např. pro systém s přenosem FS ( p ) = 2 navrhnout 1DoF regulátor takový, že p uzavřená regulační smyčka bude mít nekmitavou odezvu. Podobně bychom mohli odvodit návrhová omezení pro referenční signál typu rampová funkce a pod. V praxi se však obvykle nesetkáme se stupněm astatismu k > 2 (bezpečnost ve fázi!). Poznámka 7.4. Jiná interpretace: při regulaci na konstantní hodnotu jsme nulovou regulační odchylku v ustáleném stavu docílili tím, že do přenosu otevřené regulační smyčky byl zahrnut i model generátoru referenčního signálu (1/p). Jedná se o elementární příklad „principu vnitřního modelu“, který bude analyzován v 9. kapitole při návrhu regulátorů a kompenzaci poruch.
7.4. Dynamický činitel regulace Zavádíme jej pro vyjádření míry potlačení harmonické poruchy působící na regulovaný výstup systému v uzavřené regulační smyčce. Gv w=0
Gw
u
FR ( p)
v(t)=Avsin ω.t
FS ( p ) y
Předpokládejme, že v uzavřené regulační smyčce působí na regulovaný výstup pouze harmonická porucha v(t ) = Av sin ωt , která na výstupu způsobí odezvu y (t ) = Ay sin(ωt + ϕ ). Pro Fourrierův obraz odezvy platí Y ( jω ) =
1 V ( jω ) 1 + Fo ( jω ) 19
Za dynamický činitel regulace považujeme poměr amplitud regulované veličiny a harmonické poruchy: Ay Y ( jω ) 1 1 je „citlivostní funkce“ (7.22) = = = S ( jω ) , kde S ( jω ) = 1 + Fo ( jω ) Av V ( jω ) 1 + Fo ( jω ) Platí tedy Ay = S ( jω ) Av a ideálním požadavkem by bylo S ( jω ) = 0 , ∀ω . To splnit nelze, ale je možné klást požadavky na průběh amplitudového zesílení citlivostní funkce S ( jω ) . Omezíme-li se na striktně ryzí přenos Fo ( jω ) , tj. st bo ( jω ) < st a o ( jω ) , průběh S ( jω ) závisí na tom, má-li přenos otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) astatismus nebo ne.
Pro Fo ( jω ) bez astatismu platí 1 1 = S ( jω ) = 1 + Fo ( jω ) b ( jω ) 1+ o a o ( jω )
⇒
a pro Fo ( jω ) s astatismem k-tého stupně 1 1 S ( jω ) = = 1 + Fo ( jω ) bo ( jω ) 1+ ( jω ) k a o ( jω )
0 < S ( j 0) < 1
⇒ S ( j 0) = 0
a
a
S ( j∞ ) = 1
S ( j∞ ) = 1
(7.23)
(7.24)
Typický průběh S ( jω ) dB = 20 log S ( jω ) ukážeme na jednoduchém příkladu: Systém s přenosem FS ( p ) =
1 p + 0 .5 je řízen PI regulátorem s přenosem FR ( p ) = 10 . 2 p ( p + 1)
Přenos otevřené regulační smyčky je tedy Fo ( jω ) =
10 p + 5 p3 + 2 p2 + p a S ( j ω ) = . p ( p + 1) 2 p 3 + 2 p 2 + 11 p + 5
Z Bodeho charakteristiky S ( jω ) dB vyplývá, že amplitudy harmonických poruch s frekvencí do
ω ≅ 2 rad/sec. budou zeslabovány a amplitudy poruch s vyšší frekvencí zesilovány.
Bude-li na výstup regulovaného systému působit například porucha s frekvencí ω = 3rad / sec , zjistíme, že S ( jω ) dB = 6.4 dB, což odpovídá více než dvojnásobnému zesílení její amplitudy. Změnou parametrů regulátoru by muselo dojít jednak ke změně přenosu uzavřené regulační smyčky, a tedy i ke změně kvality regulace a jednak k posunu frekvenčních pásem pro zeslabení a zesílení poruch buď do oblasti vyšších či nižších frekvencí. Zjistili bychom však, že zeslabení poruchy na nízkých frekvencích bude mít vždy za následek její zesílení na vysokých frekvencích a naopak (t. zv. „efekt vodní postele“). Jedná se tedy o velmi důležité omezení, které je nutno respektovat při návrhu regulátorů. 20
Matematicky byla tato omezení formulována a dokázána v podobě několika integrálních formulí (Bode, Horowitz, Freudenberg, Goodwin aj.), které se liší předpoklady o stabilitě či o minimální fázovosti systému, ale všechny vedou v podstatě ke stejnému závěru: Součet ploch vymezených křivkou ln S ( jω ) nad a pod osou 0dB při ω ∈ [0, ∞) je konstantní. Uvedeme pouze nejjednodušší variantu Bodeho integrální formule: Jestliže platí pro Spojité systémy Diskrétní systémy 1/ FS ( p ), FR ( p ) jsou stabilní 1/ FS ( z ), FR ( z ) jsou stabilní 2/ relativní řád Fo ( p ) ≥ 2 3/ uzavřený systém je stabilní
2/ relativní řád Fo ( z ) ≥ 1 3/ uzavřený systém je stabilní
potom ∞
π /T
0
0
∫ ln S ( jω ) dω = 0
∫ ln S (e
jωT
) dω = 0
(7.25)
Při návrhu regulátorů může být požadavek na potlačení nf. poruch vyjádřen např. požadavkem na procentuální potlačení amplitudy poruchy o známé frekvenci nebo obecným požadavkem: „maximálně potlačit poruchy na nízkých frekvencích a na žádné jiné frekvenci je příliš nezvětšit“. Klademe tak určité požadavky na průběh S ( jω ) . Za rozumné požadavky na průběh S ( jω ) považujeme: 1/ S ( j 0) = 0… pro stejnosměrný signál nulový přenos na výstup (zaručí astatismus Fo ( jω ) ). dk S ( jω ) ω =0 = konst. ≠ 0 → min ; k = 1,2…. dω k Určujeme tak první nenulovou derivaci S ( jω ) v počátečním bodě ω = 0 , tj. směrnici tečny 2/
udávající sklon náběhu S ( jω ) . Sklon lze minimalizovat parametry regulátoru a frekvenční pásmo, kde jsou poruchy zesilovány se snažíme přesunout do pásma, kde již budou potlačeny. Možnost ovlivnění sklonu náběhu ukážeme na příkladu přenosu otevřené regulační smyčky 1 s astatismem 1. řádu, Fo ( jω ) = Fo ( jω ) . ( Fo ( jω ) již astatimus nemá!) jω Označíme Fo ( jω ) = Re Fo ( jω ) + j Im Fo ( jω ) = u ( jω ) + jv( jω )
Fo ( jω ) =
⇒
(u
2
)
+ v2 .
Pro citlivostní funkci dostáváme 1 jω ω S ( jω ) = = ⇒ S ( jω ) = 1 u + j (ω + v) u 2 + (ω + v) 2 1+ Fo ( jω ) jω a pro sklon náběhu d u 2 + (ω + v) 2 − ω u 2 + (ω + v)2 u 2 (0) + v 2 (0) d 1 ω d S ( jω ) ω = 0 = = ω =0 = 2 2 2 2 dω u + (ω + v) u (0) + v (0) Fo (0)
[
]
(7.26) Obecně nemusí být první derivace nenulová a je nutné provést další derivaci. Obecný vztah je k! dk S ( jω ) ω =0 = → min (7.27) k dω Fo (0) Protože Fo (0) závisí na parametrech regulátoru, lze sklon náběhu S ( jω ) změnou parametrů žádoucím způsobem měnit.
21
7.5.
Kmitavost uzavřené regulační smyčky
Uzavřená regulační smyčka s přenosem Fy , w ( jω ) má náchylnost ke kmitání na rezonanční frekvenci ω r a nastává t.zv. rezonanční převýšení, které charakterizujeme číslem kmitavosti M. Pro návrh regulátorů jsou tedy ω r a číslo kmitavosti M důležité návrhové parametry. Definice čísla kmitavosti M pro spojité a diskrétní systémy: Fy , w (e jωT ) F y , w ( jω ) Fo ( jω ) M = max , M = max , kde F ( j ) = ω y , w jωT ω∈(0,∞ ) F ω ∈(0,π / T ) F 1 + Fo ( jω ) ) y , w ( j 0) y , w (e
(7.28)
ω =0
V případě, že spojitý Fo ( jω ) má astatismus (viz označení v (7.16)), má Fy , w ( jω ) tvar
F y , w ( jω ) =
Fo ( jω ) 1 + Fo ( jω )
=
bo ( jω ) ( jω ) k a o ( jω ) bo ( jω ) 1+ ( jω ) k a o ( jω )
=
bo ( jω ) . ( jω ) a o ( jω ) + bo ( jω )
(7.29)
k
Pro ω = 0 dostaneme Fy , w ( j 0) = 1 a totéž platí i pro diskrétní systémy. Definice čísla kmitavosti M pro systémy s astatismem v Fo ( jω ) : M = max Fy , w ( jω ) , ω∈(0,∞ )
M = max
ω ∈(0,π / T )
F y , w ( e j ωT )
(7.30)
Pro přenosovou funkci uzavřeného regulačního obvodu Fy , w ( jω ) se rovněž používá název
komplementární citlivostní funkce Q( jω ) , Q( jω ) ≡ Fy , w ( jω ) =
Fo ( jω ) . 1 + Fo ( jω )
Její název je vztažen k již definované citlivostní funkci S ( jω ) ≡ Fy ,v ( jω ) =
1 , neboť 1 + Fo ( jω )
pro dosažitelnou kvalitu regulace a potlačení poruch platí omezující vztah: Fo ( jω ) 1 S ( jω ) + Q ( jω ) = + =1 ∀ω 1 + Fo ( jω ) 1 + Fo ( jω )
(7.31)
Typický průběh Q( jω ) dB je ukázán na stejném příkladu jako pro S ( jω ) dB , kde bylo dáno Fo ( jω ) =
10 p + 5 10 p + 5 . Určíme Q( jω ) ≡ Fy , w ( jω ) = 3 a znázorníme Q( jω ) dB : 2 p ( p + 1) p + 2 p 2 + 11 p + 5
22
Rezonanční frekvenci ω r a rezonanční převýšení M lze sice zjistit z průběhu funkce Fy , w ( jω ) nebo Fy , w ( jω )
dB
, ale pro návrh regulátorů je důležité, aby návrhové parametry ω r , M byly
uvedeny do souvislosti s průběhem frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky Fo ( jω ). Určeme tedy v komplexní rovině otevřené regulační smyčky ( Re Fo ( jω ), j Im Fo ( jω ) ) geometrické místo bodů s konstantní amplitudou frekvenční charakteristiky uzavřené regulační smyčky Fy , w ( jω ) = M. Označíme-li body frekvenční charakteristiky otevřené smyčky Fo ( jω ) = u + jv , potom F y , w ( jω ) =
Fo ( jω )
(u
+ v2
)
= M = konst. (7.32) + v2 Po úpravě zjistíme, že hledané křivky tvoří soustavu tzv. M-kružnic, , jejichž střed a poloměr je parametrizován číslem kmitavosti M 1 + Fo ( jω )
=
2
M2 u − 1− M 2
[(1 + u )
2
]
2
M + v 2 = 2 1− M
2
(7.33)
Im Fo ( jω )
M = 1.2 M=1
M = 1.6
Re Fo ( jω )
ωr , M
(-1,j0)
Fo ( jω )
Na obrázku je naznačena soustava M-kružnic pro M > 1 spolu s průběhem dané frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky Fo ( jω ). Pro M = 1 kružnice degeneruje v přímku, protínající zápornou reálnou poloosu v bodě (-1/2, j0). První bod dotyku Fo ( jω ) s kružnicí M = konst. určuje rezonanční frekvenci ω r a rezonanční převýšení M. Protože změnou parametrů regulátoru lze ovlivnit průběh Fo ( jω ) , je principiálně možné určit parametry regulátoru tak, aby bylo dosaženo akceptovatelného rezonančního převýšení (obvykle M = 1.2 ÷ 1.5) při požadovaném „umístění“ rezonanční frekvence ω r .
Poznámka 7.5. Soustavu M-kružnic, která je soustavou křivek konstantní amplitudy Fy , w ( jω ) , je možné doplnit soustavou křivek konstantní fáze ϕ , ϕ = arg Fy , w ( jω ) = konst. Tyto křivky jsou rovněž soustavou kružnic, které prochází body (0, j0) a (-1, j0) a mají střed na přímce paralelní s imaginární osou a procházející bodem (-1/2, j0).
23
V logaritmických souřadnicích se křivky konstantní amplitudy a fáze nazývají Nicholsovy diagramy a lze z nich určit průběh frekvenčních charakteristik uzavřené regulační smyčky ze znalosti průběhu frekvenčních charakteristik otevřené regulační smyčky. (viz Matlab: Nichols)
7.6.
Citlivost uzavřené regulační smyčky na změnu parametrů řízeného systému
Uvažujme regulační obvod dle schéma uvedeného na začátku této kapitoly, kde v přenosu řízeného systému FS ( jω , α ) označuje α nominální hodnotu nějakého parametru. FS ( jω , α ) FR ( jω ) Přenos uzavřené regulační smyčky je Fy , w ( jω ) = . 1 + FS ( jω , α ) FR ( jω ) Označme ∆α odchylku parametru od nominální hodnoty α a analyzujme její vliv na změnu přenosové funkce uzavřené regulační smyčky ∆Fy , w ( jω ) .
Pro tento účel zavedeme parametrickou citlivostní funkci Sα : ∆Fy , w ( jω ) / Fy , w ( jω ) ∂Fy , w ( jω ) d d α α Sα ( jω ) = lim Fy , w ( jω ) = FS ( jω , α ) = = ∆α → 0 ∆α / α Fy , w ( jω ) dα Fy , w ( jω ) ∂FS ( jω , α ) dα 1 α d α d FS ( jω , α ) = S ( jω ) FS ( jω , α ) (7.34) 1 + Fo ( jω ) FS ( jω , α ) dα FS ( jω , α ) dα Z uvedeného vztahu je zřejmé, že nemůžeme ovlivnit přenos řízeného systému ani jeho derivaci vzhledem ke změnám parametru α , a tak průběh funkce parametrické citlivosti S α ( jω ) je ovlivnitelný regulátorem prostřednictvím průběhu citlivostní funkce S ( jω ) (viz 7.22.) a pro potlačení vlivu změn parametrů bude platit totéž, co pro potlačení nízkofrekvenčních poruch. =
7.7. Tvarování frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky Dosud analyzované požadavky na chování uzavřeného regulačního obvodu byly formulované ve frekvenční oblasti a všechny v podstatě kladou nějaké požadavky na průběh frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) , ať již v komplexní rovině (Nyquist) či v logaritmických souřadnicích (Bode). Shrneme-li tyto požadavky, dostaneme alespoň kvalitativní pohled na vhodné tvarování jejího průběhu pro dosažení požadovaného chování uzavřené regulační smyčky.
Požadavek na stabilitu a robustnost ve stabilitě Souvisí s průběhem Fo ( jω ) v pásmu „středních“ frekvencí (okolí frekvencí ω 0 a ω krit ), který je specifikován požadavky na bezpečnost ve fázi γ a bezpečnost v zesílení 1/K0. Pro jejich splnění je obvykle postačující, aby logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) dB přecházela osu 0dB se sklonem -20dB/dek. (viz návrh korekčních článků). Požadavek na kmitavost uzavřené regulační smyčky První bod dotyku Fo ( jω ) s kružnicí M = konst. určuje rezonanční frekvenci ω r a rezonanční převýšení M. Změnou parametrů regulátoru lze ovlivnit průběh Fo ( jω ) a docílit akceptovatelného rezonančního převýšení (obvykle M = 1.2 ÷ 1.5) při požadovaném „umístění“ rezonanční frekvence ω r . Zde je třeba brát v úvahu frekvenční pásmo působících poruch, aby nebyly v regulačním obvodu zesíleny. 24
Požadavek na přesnost regulace Týká se průběhu Fo ( jω ) v oblasti nízkých frekvencí. V případě regulace na konstantní hodnotu je požadavek přesnosti regulace splněn zavedením astatismu 1. stupně, kterému odpovídá počáteční sklon -20dB/dek. u průběhu Fo ( jω ) dB . Počáteční sklon větší než -40dB/dek. je však z hlediska návrhu regulačního obvodu problematický. Přechod mezi nízkofrekvenčním a středofrekvenčním pásmem se volí krátký, se sklonem -40dB/dek. (kvůli bezpečnost ve fázi). Požadavek na šířku pásma regulace Obecně se snažíme docílit co největší šířku pásma (viz Poznámka 7.2.), z důvodů možnosti sledování rychlých změn referenčního signálu w(t) regulovaným výstupem y(t) a docílení krátké doby regulace Treg. Je však nutno brát ohled na možné poruchy, jejichž frekvence se nachází v okolí rezonanční frekvence ω r . Zvětšení šířky pásma lze dosáhnout posunem frekvence ω 0 do oblasti vyšších frekvencí (viz návrh korekčních článků) a pokud není ohrožena bezpečnost ve fázi a zesílení, je tento posun možno realizovat i zvětšením zesílení v otevřené regulační smyčce. Požadavek na potlačení amplitudy“ nízkofrekvenčních“ poruch Předpokládáme, že pro Fourrierův obraz nízkofrekvenční poruchy V ( jω ) platí:
V ( jω ) >> 1 v oblasti nízkých frekvencí a V ( jω ) ≅ 0 v oblasti vysokých frekvencí. Požadujeme-li potlačení amplitudy nf. poruch na regulovaném výstupu, musí platit: 1 Y ( jω ) = .V ( jω ) < 1 ⇒ V ( jω ) < 1 + Fo ( jω ) 1 + Fo ( jω ) Protože v oblasti nízkých frekvencí přibližně platí 1 + Fo ( jω ) ≅ Fo ( jω ) , dostáváme podmínku pro průběh Fo ( jω ) v oblasti nf.:
Fo ( jω ) > V ( jω ) >>1
(7.35)
Zesílení Fo ( jω ) musí být velké na těch frekvencích, kde V ( jω ) >> 1. Jinak řečeno, pro tyto frekvence musí být amplituda citlivostní funkce S ( jω ) malá: S ( jω ) << 1
Požadavek na potlačení amplitudy “vysokofrekvenčních“ poruch Předpokládáme, že pro Fourrierův obraz vysokofrekvenční poruchy Z ( jω ) platí: Z ( jω ) >> 1 v oblasti vysokých frekvencí a Z ( jω ) ≅ 0 v oblasti nízkých frekvencí. Požadujeme-li potlačení amplitudy vf. poruch na regulovaném výstupu, musí platit: Fo ( jω ) Y ( jω ) = . Z ( jω ) < 1 ⇒ Fo ( jω ) Z ( jω ) < 1 + Fo ( jω ) 1 + Fo ( jω ) Protože v oblasti vysokých frekvencí přibližně platí 1 + Fo ( jω ) ≅ 1 , dostáváme podmínku pro průběh Fo ( jω ) v oblasti vf.: Fo ( jω ) < Z ( jω )
−1
<< 1
(7.36)
Zesílení Fo ( jω ) musí být malé na těch frekvencích, kde Z ( jω ) >> 1. Jinak řečeno, pro tyto frekvence musí být amplituda komplementární citlivostní funkce Q( jω ) malá: Q( jω ) <<1 Typický průběh přímkové aproximace Fo ( jω ) dB vzhledem k formulovaným požadavkům:
25
Fo ( jω ) dB -20db/dek
-40db/dek -20dB/dek
log
ω0 nf. pásmo
středofrekvenční pásmo
ω
vf. pásmo
Tvarování Bodeho či Nyquistovy frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky Fo ( jω ) lze provést návrhem regulátorů (kompenzátorů, korekčních článků) a s ohledem na jejich realizaci se naskýtá otázka, zda lze ve frekvenční oblasti nalézt nějaký vztah mezi „vynaloženou energií“ na řízení systému v uzavřené regulační smyčce a průběhem frekvenční charakteristiky uzavřené regulační smyčky Fy , w ( jω ) resp. komplementární citlivostní funkce Q( jω ). Vyjdeme-li z akceptovatelného předpokladu, že u fyzikálních soustav je vynaložená energie úměrná kvadrátu vstupní veličiny, můžeme využít Parcevalova vztahu, který uvádí do souvislosti časovou a frekvenční oblast: ∞
E ≈ ∫ u 2 (t )dt = 0
∞
∞
1 1 2 U ( jω )U (− jω )d ω = U ( jω ) d ω ∫ ∫ 2π −∞ 2π −∞
(7.37)
Má-li být vynaložená energie malá, musí být malá i amplituda U ( jω ) . V uzavřené regulační smyčce je U ( jω ) =
U ( jω ) =
FR ( jω ) [W ( jω ) − Z ( jω ) − V ( jω )] a pro amplitudu U ( jω ) lze odvodit 1 + Fo ( jω ) Q( jω ) FS ( jω )
[W ( jω ) − Z ( jω ) − V ( jω )] ,
kde Q( jω ) ≡ Fy , w ( jω )
(7.38)
Z tohoto vztahu a z typického průběhu Q( jω ) (viz obr. za (7.31)) vyplývá, že vynaložená energie může být snížena, pokud Q( jω ) bude malé na těch frekvencích, kde FS ( jω ) je malé.
7.8. Požadavky na kvalitu regulace v časové oblasti Ve třetí kapitole jsme ukázali na přechodové charakteristice kmitavého systému 2. řádu možnost výběru určitých parametrů pro kvalitativní hodnocení jeho dynamických vlastností (maximální přeregulování σ max , doba regulace Treg , čas maximálního přeregulování t max , doba zdvihu a doba odezvy). Pro kmitavý systém 2. řádu je také poměrně snadné nalézt přibližné vztahy mezi těmito parametry a parametry systému ξ , ω n , které současně určují i umístění jeho pólů:
ξ≅
(ln σ max ) / π 1 + ( ln σ max ) / π 2
2
; ωn ≅
(3), (4),(4.6) (pro toleranční pásmo 5%, 2%,1%) ξ Treg
26
(7.39)
Protože přechodové jevy v uzavřené regulační smyčce často připomínají odezvu kmitavého členu 2. řádu, lze za určitých podmínek (dominantní komplexně sdružené póly v přenosu uzavřené smyčky) provést návrh regulátoru tak, aby umístění dominantních pólů odpovídalo požadovaným hodnotám parametrů hodnotících kvalitu regulace (obvykle Treg a σ max ).
Obvykle však hodnotíme průběh regulace integrálními (v diskrétním případě sumačními) kriterii kvality, která hodnotí časový průběh regulační odchylky e(t ) = w(t ) − y (t ). Používá se zejména ∞
J (u ) = ∫ e 2 (t )dt
Kriterium ISE (Integral square error):
0 ∞
Kriterium ITAE (Integral time absolute error):
J (u ) = ∫ t e(t ) dt
(7.40)
0
∞
[
]
2
∞
αt
2
∞
a některé modifikace: J (u ) = ∫ t e(t ) dt , J (u ) = ∫ e e(t ) dt , J (u ) = ∫ e2 (t ) + ku 2 (t ) dt . 0
n
0
0
V integrálních kriteriích kvality J (u ) označujeme, že hodnota kriteria závisí na řízení u, ovšem v klasické regulaci se předpokládá, že struktura regulátoru je volena předem (např. P, PI, PD, PID regulátor) a je tedy nutné určit pouze parametry zvolené struktury regulátoru tak, aby bylo minimalizováno kriterium kvality při stabilní uzavřené regulační smyčce. Kriteria je tedy nutné vyjádřit jako funkce parametrů regulátoru a problém návrhu regulátoru je řešen jako problém parametrické optimalizace za podmínky stability uzavřené regulační smyčky. Poznámka 7.6.: Na rozdíl od klasické regulace, t.zv. moderní teorie řízení řeší úlohy optimálního řízení bez nutnosti volby struktury regulátoru předem, úlohy optimálního řízení jsou z matematického hlediska formulovány a řešeny jako úlohy nalezení extrému nějakého funkcionálu za vedlejších podmínek daných rovnicemi systému. Výsledné řešení poskytne jak strukturu, tak i parametry regulátoru.
7.9. Požadavky na kvalitu regulace v algebraické oblasti Požadavky na kvalitu regulace v algebraické oblasti by měly vyústit v požadované umístění pólů (nul) uzavřené regulační smyčky. Je-li specifikováno jejich požadované umístění, je návrh regulátorů v podstatě jednoduchou záležitostí. Problém je, že souvislost mezi požadavky a odpovídajícím umístěním pólů a nul je obecně obtížně zjistitelná.
Pro specifikaci požadovaného umístění nul a pólů lze využít následujících možností: 1/ Požadavky na umístění pólů uzavřené regulační smyčky lze odvodit z chování kmitavého systému 2.řádu (dominantní komplexně sdružené póly v přenosu uzavřené regulační smyčky). Specifikujeme-li požadavky na kvalitu regulace např. dobou regulace Treg a maximálním přeregulováním σ max , lze použitím (7.39) určit činitel relativního tlumení ξ a netlumenou 27
frekvenci ω n , které určují požadované umístění pólů p1, 2 = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 a odpovídající spojitý přenos s jednotkovým zesílením F ( p ) =
ω n2 . p 2 + 2ξω n p + ω n2
Uvažujme např., že z požadavků na dobu regulace a maximální přeregulování bylo určeno ξ = 0.7 a ω n = 2rad / sec . Odpovídající požadované rozložení pólů p1, 2 = −1.4 ± j1.428 v komplexní rovině p je zakresleno v levém grafu (jsou znázorněny i křivky ξ , ω n = konst.) . V pravém grafu je znázorněno odpovídající rozložení pólů z1, 2 = e
p1, 2T
= 0.725 ± j 0.2129
v komplexní rovině z pro diskrétní verzi, při zvolené periodě vzorkování T = 0.2 sec .
2/ Požadavky na umístění pólů uzavřené regulační smyčky mohou být dány přímo požadovaným tvarem přenosu uzavřené regulační smyčky (viz návrh 2DoF regulátorů v 9. kapitole) . 3/ Požadavky na umístění pólů uzavřené regulační smyčky jsou dány tzv. standardními tvary, které jsou tabelovány a specifikovány pro určitý typ přenosu a požadavků (Whiteley, Naslin). Patří sem i tabelované tvary charakteristických polynomů uzavřené regulační smyčky, získané z minimalizace kriteria ITAE (viz ( 7.40) a 9. kapitola). 4/ Požadované umístění pólů a nul uzavřené regulační smyčky může být odvozeno z návrhu frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky (zlomové frekvence). 5/ Požadované umístění pólů a nul uzavřené regulační smyčky může být určeno s použitím metod moderní teorie řízení. Navržený optimální regulátor implikuje optimální tvar uzavřeného regulačního obvodu s optimálním rozložením pólů a nul. Tohoto rozložení se můžeme pokusit dosáhnout regulátorem s předem danou strukturou. 6/ Požadované umístění pólů je jednoznačně dáno typem úlohy (viz řízení s konečným počtem kroků regulace (dead-beat control), kdy všechny póly diskrétního přenosu uzavřené regulační smyčky musí mít nulovou hodnotu). Je-li specifikováno rozložení nul a pólů otevřené smyčky, umístění pólů uzavřené smyčky zjistíme použitím metody geometrického místa kořenů – viz LS1. Při návrhu regulátorů dle požadovaného umístění pólů existuje řada integrálních omezení na dosažitelnou kvalitu regulace. Dosažitelnou kvalitu (přeregulování, podregulování, doba regulace) obecně zhoršují nestabilní póly a/nebo nestabilní nuly řízeného systému - a to nehledě na typ použitého regulátoru. Kvalita však také záleží na poloze pólů a nul řízeného systému vzhledem k požadovanému umístění pólů uzavřené regulační smyčky. 28
7.10. Itegrální omezení a dosažitelná kvalita regulace Připomeňme si definici Laplaceovy transformace: Jestliže funkce f (t ) je jednoznačná a po úsecích hladká, f (t ) = 0 pro t < 0 ∞
a
f (t ) .e −σ 0t dt < ∞ pro nějaké σ 0 > 0 , potom Laplaceova transformace f (t ) , formálně
∫ 0
∞
značená F ( p) = L{ f (t )} je definována vztahem F ( p ) = ∫ f (t ).e− pt dt , p = σ + jω . 0
a F ( p ) existuje ∀p taková, že Re p > σ 0 (oblast konvergence).
Důsledek: Pro libovolné p = po (pól) resp. p = zo (nula) z oblasti konvergence platí ∞
∫
∞
f (t )e− pot dt = lim F ( p ) = F ( po ) p → po
0
∫ f (t )e
resp.
− zo t
0
dt = lim F ( p ) = F ( zo ) p → zo
Existence nestabilního pólu či nuly v přenosu řízeného systému FS ( p) : Uvažujme zpětnovazební regulační obvod s regulátorem 1DoF: w
u
e
FR ( p)
Gw
v
FS ( p ) y
Označení a předpoklady: • • •
Referenčním signálem je jednotkový skok: w(t)=1[t] b ( p) Přenos otevřené smyčky Fo ( p ) = FS ( p ) FR ( p ) = o má astatismus 1. stupně ao ( p ) Uzavřený regulační obvod je stabilní, ale přenos řízeného systému FS ( p ) obsahuje nějaký
reálný nestabilní pól p0 a/nebo reálnou nestabilní nulu zo (jsou v oblasti konvergence!) ao ( p ) 1 • Citlivostní funkce: S ( p ) = = 1 + Fo ( p ) ao ( p ) + bo ( p ) F ( p) bo ( p ) • Komplementární citlivostní funkce: Q( p ) = o = 1 + Fo ( p ) ao ( p ) + bo ( p ) Protože nestabilní póly a nuly systému nemůžeme krátit, přecházejí do Fo ( p ) . Z definice citlivostní a komplementární citlivostní funkce a vzhledem k tomu, že nula zo anuluje polynom bo ( p ) a pól po anuluje polynom ao ( p ) dostáváme důležité vztahy:
Pro nestabilní nulu:
S ( zo ) =
ao ( zo ) =1 ao ( zo ) + bo ( zo )
Q ( zo ) =
bo ( zo ) =0 ao ( zo ) + bo ( zo )
(7.41)
Pro nestabilní pól:
S ( po ) =
ao ( po ) =0 ao ( po ) + bo ( po )
Q( po ) =
bo ( po ) =1 ao ( po ) + bo ( po )
(7.42)
Pomocí těchto vztahů dokážeme platnost následujících integrálních omezení, která omezují průběh regulované veličiny y(t) a regulační odchylky e(t) ve stabilním uzavřeném regulačním obvodu: 29
Věta 7-1: (nestabilní pól po v Fo ( p ) ) Nechť e(t) resp. y(t) jsou odezvy regulační odchylky resp. regulovaného výstupu ve stabilním uzavřeném regulačním obvodu na jednotkový skok referenčního signálu w(t). ∞ ∞ 1 Potom platí: E ( po ) = ∫ e(t )e − pot dt = 0 a Y ( po ) = ∫ y (t )e− pot dt = (7.43) po 0 0 Důkaz:
•
S ( p) Q( p) a Y ( p ) = Q( p )W ( p ) = p p Uzavřená regulační smyčka je stabilní, a tedy po je v oblasti konvergence
•
Platí S ( po ) = 0 a Q( po ) = 1
•
E ( p ) = S ( p )W ( p ) =
Důsledek: Z prvního vztahu v (7.43) vyplývá, že regulační odchylka e(t) = w(t) - y(t) musí změnit znaménko (počáteční hodnota e(t) je kladná, e− pot znaménko nemění a integrál musí být nula!). Musí tedy dojít k přeregulování y(t)! Druhý výraz říká, že y(t) nemusí změnit znaménko ( e− pot znaménko nemění, integrál je kladný), míra přeregulování však bude záležet na poměru „dynamiky“ regulované veličiny y(t) v uzavřené regulační smyčce a exponenciály e− pot , závisející na hodnotě pólu po . „Rychlé“ nestabilní póly zřejmě způsobí vyšší přeregulování a zvětší dobu regulace. Analogicky : Věta 7-2: (nestabilní nula zo v Fo ( p ) ) Nechť e(t) resp. y(t) jsou odezvy regulační odchylky resp. regulovaného výstupu ve stabilním uzavřeném regulačním obvodu na jednotkový skok referenčního signálu w(t). ∞ ∞ 1 Potom platí: E ( zo ) = ∫ e(t )e − zot dt = a Y ( zo ) = ∫ y (t )e − zo t dt = 0 (7.44) zo 0 0 Důkaz:
•
S ( p) Q( p) a Y ( p ) = Q( p )W ( p ) = p p Uzavřená regulační smyčka je stabilní, a tedy po je v oblasti konvergence
•
Podle předchozích vztahů S ( zo ) = 1 a Q( zo ) = 0
•
E ( p ) = S ( p )W ( p ) =
Důsledek: Z prvního vztahu v (7.44) vyplývá, že regulační odchylka e(t) = w(t) - y(t) nemusí změnit znaménko (počáteční hodnota e(t) je kladná, e− zo t znaménko nemění a integrál je kladný!). Druhý výraz říká, že y(t) musí změnit znaménko ( e− zo t znaménko nemění a integrál musí být roven nule). Musí tedy dojít k podregulování y(t)! Na míru podregulování lze usoudit z poměru „dynamiky“ regulační odchylky e(t) v uzavřené regulační smyčce a exponenciály e− zo t , závisející na hodnotě nuly zo . „Pomalé“ nestabilní nuly způsobí větší podregulování a zvětší dobu regulace. Přeregulování v důsledku nestabilního pólu a podregulování v důsledku nestabilní nuly v přenosu otevřené regulační smyčky ukážeme na dvou jednoduchých příkladech. 30
Příklad 7.3 (nestabilní pól): Předpoklady: • řízený systém je 2. řádu, má astatismus a jeden nestabilní pól či jednu nestabilní nulu • regulátor 1. řádu bude navržen tak, aby stabilní uzavřená regulační smyčka měla póly: -1, -1, -1. • na vstup uzavřené regulační smyčky bude přiveden referenční signál ve tvaru jednotkového skoku Přenos řízeného systému:
FS ( p) =
b ( p) Y ( p) p+2 = = U ( p ) p ( p − 1) a ( p )
Regulátor pro požadované umístění pólů:
FR ( p ) =
U ( p ) d1 p + d 0 2.166 p + 0.5 d ( p ) = = = E ( p) p + c0 p + 1.833 c ( p)
-------------------------------------------------------Příklad 7.4 (nestabilní nula): Přenos řízeného systému:
FS ( p) =
b ( p) Y ( p) p −1 = = U ( p) p ( p + 2) a ( p )
Regulátor pro požadované umístění pólů:
FR ( p ) =
U ( p ) d1 p + d 0 −0.666 p − 1 d ( p ) = = = E ( p) p + c0 p + 1.666 c ( p)
Polynomy regulátoru d(p) a c(p) byly určeny z polynomiální rovnice a(p)c(p) + b(p)d(p) = výrazů u stejných mocnin p.
( p + 1) 3 porovnáním
Skokové odezvy pro oba příklady:
Získané poznatky lze zobecnit: Protože reálné části všech pólů stabilní uzavřené regulační smyčky leží „vlevo“ od nějaké hodnoty - σ 0 , σ 0 > 0, potom nejen nestabilní nuly a póly, ale i stabilní nuly a póly, které leží v levé
komplexní polorovině „vpravo“ od - σ 0 , jsou v oblasti konvergence Re p > σ 0 . Důsledek pro stabilní nulu, ležící vpravo od - σ 0 : Respektujeme-li v integrálu pro odchylku v (7.44) záporné znaménko stabilní nuly zo , potom regulační odchylka e(t) = w(t) - y(t) musí změnit znaménko, protože na začátku je kladná, ale integrál je záporný. Přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu bude tudíž vykazovat přeregulování. Důsledek pro stabilní pól, ležící vpravo od - σ 0 : Nulová hodnota integrálu pro odchylku v (7.43) pro jakýkoliv pól p0 ležící vpravo od - σ 0 znamená, že regulační odchylka e(t) = w(t) - y(t) musí změnit znaménko, a tudíž přechodová charakteristika uzavřeného regulačního obvodu bude opět vykazovat přeregulování. 31
Při současném výskytu nul a pólů, splňujících podmínku konvergence, je však již obtížnější rozhodnout o charakteru odezvy, neboť hrají roli i velikosti stabilních či nestabilních nul a pólů.
Podrobnějším rozborem bychom zjistili, že velikost přeregulování vlivem nestabilního pólu je výraznější, je-li jeho hodnota větší oproti σ 0 . velikost přeregulování vlivem stabilního pólu je výraznější, je-li jeho hodnota menší oproti σ 0 . velikost podregulování vlivem nestabilní nuly je výraznější, je-li její hodnota menší oproti σ 0 . velikost přeregulování vlivem stabilní nuly je výraznější, je-li její hodnota menší oproti σ 0 . --------------------------------------------------------Příklad 7.5 :
p − z0 Y ( p) = a uvažujme tři výběry p 0 , z 0 : U ( p ) p ( p − p0 ) 1/ p 0 = −0.5 , z 0 = −0.1 2/ p 0 = −0.5 , z 0 = 0.5 3/ p 0 = 0.2 , z 0 = 0.5 . U ( p ) d1 p + d 0 Ke každému výběru navrhneme 1DoF dynamický regulátor: FR ( p ) = = E ( p) p + c0 Uvažujme řízený systém s přenosem
FS ( p ) =
tak, aby póly uzavřené regulační smyčky byly {-1,-1,-1}. Póly a nuly systému se opět budou nacházet vpravo od pólů uzavřené smyčky ve všech variantách. Řešení: Polynomy regulátoru d(p) a c(p) určíme z polynomiální rovnice a(p)c(p) +b(p)d(p) = výrazů u stejných mocnin p. Pro jednotlivé varianty dostaneme regulátory:
( p + 1) 3 porovnáním
p + 0 .1 20.63 p + 10 p − 0 .5 − 3.75 p − 1.98 , FR ( p ) = 2/ FS = , FR ( p ) = p ( p + 0.5) p − 18.13 p ( p + 0.5) p + 6.25 p − 0 .5 − 18.8 p − 2.06 3/ FS = , FR ( p ) = . p ( p − 0 .2 ) p + 22
1/
FS =
Přechodové charakteristiky uzavřené smyčky jsou ilustrovány v následujícím grafu:
Komentář : 1/ systém má především malou stabilní nulu – vzniká velké přeregulování 2/ systém má nestabilní nulu a stabilní pól –vlivem nestabilní nuly vzniká podregulování, vlivem stabilního pólu vzniká přeregulování (velikost závisí na hodnotě pólu). 3/ systém má nestabilní nulu a nestabilní pól –vzniká velké podregulování i přeregulování.
32
8.
ZÁKLADNÍ TYPY REGULÁTORŮ
V předchozím odstavci jsme se zabývali formulací a specifikací požadavků na vlastnosti uzavřené regulační smyčky. Jakmile jsou požadavky specifikovány, je přirozenou otázkou jaký regulátor může tyto požadavky splnit. Protože klasické metody návrhu regulátorů vychází z předem zvolené struktury regulátoru a metodami syntézy určujeme pouze jeho parametry, budeme nyní věnovat pozornost základním typům regulátorů, jejich popisu a vlastnostem.
A/ Dynamické regulátory Jsou popsány dynamickým modelem, lze jimi ovlivnit polohu pólů i nul v přenosu uzavřené regulační smyčky, zvyšují řád regulační smyčky. Mohou být realizovány jako spojité (analogové) či diskrétní, s jedním či dvěma stupni volnosti (1DoF, 2DoF). Vstupem 1DoF regulátoru je regulační odchylka e(t) = w(t)-y(t), výstupem je řízení u(t). Vstupem 2DoF regulátoru je referenční signál w(t) a regulovaný výstup y(t), výstupem je u(t). Příkladem jsou PI, PD, PID regulátory nebo obecný dynamický regulátor . B/ Nedynamické regulátory Jsou popsány nedynamickým modelem, ovlivňují pouze polohu pólů, nezvyšují řád regulační smyčky, vstupem může být regulační odchylka nebo stav (stavová odchylka). Příkladem je P regulátor, lineární stavový regulátor. C/ Kombinace dynamických a nedynamických regulátorů Příkladem je např. stavový regulátor s integračním charakterem nebo s vnitřním modelem externích signálů a také dynamický kompenzátor (stavový regulátor + rekonstruktor stavu).
8.1. Spojité PID (PI, PD) regulátory Název regulátoru je odvozen od generovaného řízení u(t), které je tvořeno třemi složkami: proporcionální (P), integrační (I) a derivační (D): t de(t ) 1 (8.1) u (t ) = K e(t ) + ∫ e(τ )dτ + TD TI 0 dt K je proporcionální zesílení, TI integrační časová konstanta a TD derivační časová konstanta.
Spojitý přenos PID regulátoru je možno upravit do následujících tvarů: K K p 2 + Kp + K I d ( p) U ( p) 1 FR ( p) = = K 1 + + TD p = K + I + K D p = D = E ( p) p p c( p) TI p
(8.2)
Parametry PID regulátoru: ( K , TI , TD ) nebo ( K , K I = K / TI , K D = KTD ) Vliv jednotlivých složek na kvalitu regulace: P-složka: zvyšováním K se zlepšuje přesnost regulace, rychlost odezvy se zvyšuje a nf. poruchy jsou více potlačeny. Snižuje se robustnost ve stabilitě (Kkrit !). Tato složka vlastně reprezentuje nedynamický P-regulátor. I-složka: zavádí se kvůli přesnosti regulace, zavádí do regulační smyčky fázové zpoždění, zpomaluje rychlost odezvy a snižuje robustnost ve stabilitě. D-složka: zavádí fázový předstih, zrychluje regulaci, zvyšuje robustnost ve stabilitě. Pro modelování PID regulátoru obvykle používáme paralelní strukturu, která umožňuje nezávislé (neinteraktivní) nastavování jednotlivých parametrů regulátoru.
33
Paralelní (neinteraktivní) realizace ideálního PID regulátoru je na následujícím schéma: w(t) K
1 TI p y(t)
u(t)
TD p
Praktická realizace PID regulátoru. „Čistá“ derivace v ideálním PID regulátoru činí potíže: 1/ s fyzikální realizací, s kmitáním řízení u(t) při zatížení y(t) vf. poruchou. 2/ při skokových změnách referenčního signálu w(t) a poruch na výstupu vznikají prudké změny v řízení u(t), které jsou nebezpečné pro funkci a životnost akčních členů. Tyto potíže lze odstranit použitím filtrované (aproximativní) derivace. Často se také derivační složka regulátoru odvozuje raději od regulovaného výstupu y(t), kde skokové změny referenčního signálu w(t) jsou již odfiltrovány řízeným systémem.
PID regulátor s filtrovanou (aproximativní) derivací: T p K K p ( K D + Kτ ) p 2 + ( K + K I τ ) p + K I U ( p) 1 FR ( p) = = K 1 + + D = K + I + D = = E ( p) p τ.p +1 p(τ . p + 1) TI p τ . p + 1 d 2 p 2 + d1 p + d 0 d ( p ) = = ; kde τ je malá volená časová konstanta τ ≅ TD /(3 ÷ 20) . (8.3) p( p + c0 ) c( p) b( p ) Použijeme-li PID regulátor pro řízení systému s přenosem FS ( p ) = , dostaneme přenos a( p) uzavřené regulační smyčky ve tvaru: K K p b( p ) K + I + D a( p) p τ .p + 1 Fo ( p ) b( p ) d ( p ) Fy , w ( p ) = = = …. = (8.4) 1 + Fo ( p ) a ( p ) c ( p ) + b( p ) d ( p ) KI KD p b( p ) K + 1+ + a ( p ) p τ . p + 1 Je zřejmé, že velikost parametru K D v derivační složce v čitateli přenosu ovlivní „divokost“ reakcí regulované veličiny y(t) na skokové změny w(t). PID regulátor s derivační složkou odvozenou od regulovaného výstupu
K
y
w
u
KI p
FS ( p ) =
b( p ) a( p)
KD p τ.p +1
Přenos uzavřené regulační smyčky v tomto případě již nemá derivační složku v čitateli 34
K b( p ) K + I a ( p) p
Fo ( p ) Fy , w ( p ) = = 1 + Fo ( p ) K K p b( p ) K + I + D 1+ a( p ) p τ.p +1 a na skokové změny referenčního signálu bude reagovat umírněněji.
(8.5)
PI a PD regulátor Tyto regulátory jsou pouze dvousložkové a jsou vlastně speciálním případem PID regulátoru. 1 p+ TI K U ( p) 1 = K Přenos PI regulátoru: FR ( p ) = = K 1 + =K+ I (8.6) p E ( p) p TI p Regulátor PI zavádí do regulační smyčky astatismus (pól v nule), hodnota nuly je nastavitelná parametrem TI (viz GMK, Bode). (T + τ ) p + 1 T p KD p Přenos PD regulátoru: FR ( p ) = K 1 + D = K D (8.7) =K+ τ.p +1 τ .p +1 τ.p +1 Regulátor PD zavádí do regulační smyčky nulu nastavitelnou parametrem TD , hodnota pólu bývá fixována (viz GMK, Bode). Poznámka 8.1.: V praxi se obvykle setkáváme s řízenými systémy, které mají na svém vstupu akční člen přecházející do saturace při určité hodnotě řízení. Je-li pro řízení použit regulátor s integrační složkou (PI, PID), může být regulační odchylka tak veliká, že integrační složka způsobí saturaci akčního členu (např. ventil přejede do krajní polohy) a zpětnovazební řízení bude nefunkční, i když se bude regulovaný výstup měnit. Dojde-li posléze k omezení velikosti regulační odchylky, může vlivem naintegrované hodnoty trvat značně dlouho, než integrál přejde do své normální hodnoty. Tento efekt se nazývá „unášení integrace“ (wind-up effect) a jedna z možností jak mu zabránit je uvedena na následujícím schéma s PI regulátorem. K
e(t)
K TI
u
uˆ
Akční člen se saturací
1 p 1 Tr
es
PI regulátor je vybaven zpětnovazební smyčkou odvozenou od odchylky es = u − uˆ , dané rozdílem měřeného výstupu regulátoru u a měřeného výstupu akčního členu uˆ . Odchylka je vedena zpět na integrátor přes zesílení 1/ Tr . Není-li akční člen saturován, je odchylka nulová a řízení probíhá v lineární oblasti. Jakmile je akční člen saturován, zpětná vazba působí tak, aby odchylka es byla opět nulová, jinak řečeno, integrace se přepočítává tak, aby se výstup regulátoru u dostal na mez saturace. Rychlost „resetování integrátoru“ lze ovlivnit volbou časové konstanty Tr .
35
8.2.
Diskrétní PID (PI,PD) regulátory
V 5. kapitole jsme uvedli, že pro návrh diskrétních regulátorů lze použít dva principiálně odlišné přístupy, které se liší výchozím tvarem modelu řízeného systému (spojitý nebo diskrétní s tvarovačem 0.-tého řádu). V prvém případě navrhujeme spojitý regulátor a následně provedeme jeho diskretizaci dle odstavce 5.6. Ve druhém případě vycházíme přímo z diskrétního tvaru regulátoru.
1/ Diskrétní PID (PI,PD) regulátory získané diskretizací spojitých PID (PI,PD) regulátorů Pro získání diskrétních verzí spojitých PID, PI, PD regulátorů je nejvhodnější použít lichoběžníkovou (Tustinovu) aproximaci, při které provádíme ve spojitém přenosu regulátoru FR ( p ) substituci: 2 z −1 p= pro diskrétní přenos FR ( z ) s operátory dopředného posunu z, resp. T z +1 2 1 − z −1 p= pro přenos FR ( z −1 ) s operátory zpětného posunu z-1 , T je perioda vzorkování. −1 T 1+ z Například pro spojitý PID regulátor s filtrovanou (aproximovanou) derivací (8.3) bychom dostali diskrétní přenos druhého řádu se stejným stupněm polynomů v čitateli i jmenovateli přenosu: U ( z −1 ) d 2 z −2 + d 1 z −1 + d 0 −1 FR ( z ) = = (8.8) E ( z −1 ) (1 − z −1 )(1 + cz −1 ) Parametry diskrétního regulátoru d 0 , d1 , d 2 , c budou funkcemi parametrů spojitého PID regulátoru ( K , TI , TD ) nebo ( K , K I , K D ) , pokud předpokládáme pevně zvolenou časovou konstantu τ pro filtrovanou derivaci (obvykle lze volit τ = TD /10) . Diskrétní přenos bude mít dvě nastavitelné nuly, jeden pól musí mít hodnotu z = 1, druhý pól vzniká v důsledku použití filtrované derivace a má obecnou hodnotu z = -c. Souvislost parametrů spojité a diskrétní verze ukážeme pro jednoduchost na diskretizaci spojitého ideálního PID regulátoru (8.2) s použitím obdélníkové (zpětné) aproximace, t.j. při substituci z −1 1 − z −1 p= resp. p = . Tz T K U ( p) FR ( p ) = = K + I + KD p → E ( p) p K D −2 2 K D K + K z −1 + K + K I T + D z − −1 −1 KT K (1 − z ) U (z ) T T T FR ( z −1 ) = = K + I −1 + D = = −1 −1 T E( z ) 1− z 1− z d 2 z −2 + d1 z −1 + d 0 d ( z −1 ) = 1 − z −1 c ( z −1 ) Nastavitelné parametry diskrétního regulátoru d 0 , d1 , d 2 jsou funkcemi parametrů spojitého regulátoru, pól má hodnotu z = 1 (odpovídá nulovému pólu ve spojité verzi). ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=
Algoritmus řízení (absolutní a přírůstkový) Jakmile je určen diskrétní přenos regulátoru FR ( z −1 ) , můžeme přejít do časové oblasti a zapsat příslušný algoritmus řízení. Uvažujme např. výše uvedený diskrétní přenos ideálního PID regulátoru vyjádřený ve zpětných operátorech posunu (vhodné pro vyjádření kauzality řízení u(k)): U ( z −1 ) d 2 z −2 + d 1 z −1 + d 0 FR ( z −1 ) = = E ( z −1 ) (1 − z −1 )
36
Po zpětné Z-transformaci dostaneme v časové oblasti algoritmus řízení u (k ) = u (k − 1) + d 0 e(k ) + d1e(k − 1) + d 2 e(k − 2) , k = 0,1,2,... , e(k ) = w(k ) − y (k ) Algoritmus řízení se nazývá absolutní (polohový), neboť akční člen řízeného systému je ovlivněn plnou hodnotou řízení u(k), postupně vypočítávanou ze změřených w(k) a y(k). Pokud má akční člen integrační charakter (např. při řízení servopohonů), používá se přírůstkový (rychlostní) algoritmus řízení, kdy akční člen (s integračním charakterem) je ovlivňován přírůstkovou hodnotou řízení ∆u (k ) = u (k ) − u (k − 1) .
2/ Tvary diskrétních přenosů PID , PI, PD regulátorů pro přímý návrh diskrétního řízení Z diskretizace spojitých PID, PI, PD regulátorů vyplývá, že způsobem diskretizace ovlivníme funkční závislost parametrů diskrétního regulátoru na parametrech spojitého regulátoru, ale formální tvar diskrétních přenosů regulátorů s nespecifikovanými parametry můžeme zachovat a použít pro přímý návrh diskrétního řízení. Hodnotu parametrů určí použitá metoda syntézy. Pro přímý návrh diskrétního řízení budeme tedy uvažovat diskrétní přenosy regulátorů ve tvaru: U ( z −1 ) d 2 z −2 + d1 z −1 + d 0 Diskrétní PID regulátor: FR ( z −1 ) = = E ( z −1 ) (1 − z −1 )(1 + cz −1 ) U ( z −1 ) d1 z −1 + d 0 Diskrétní PI regulátor: = FR ( z −1 ) = E ( z −1 ) (1 − z −1 ) U ( z −1 ) d1 z −1 + d 0 −1 Diskrétní PD regulátor: = (8.9) FR ( z ) = E ( z −1 ) (1 + cz −1 )
8.3. Obecný dynamický regulátor Obecný dynamický regulátor je zobecněním popsaných dynamických regulátorů PID, PI, PD. Popíšeme jej obecným tvarem přenosu m-tého řádu s 2m+1 nastavitelnými parametry: U ( p ) d m p m + d m −1 p m −1 + .... + d1 p + d 0 FR ( p ) = = pro spojitou verzi a E ( p) p m + cm −1 p m −1 + .... + c1 p + c0
U ( z −1 ) d m z − m + d m −1 z − m +1 + .... + d1 z −1 + d 0 = pro diskrétní verzi. (8.10) E ( z −1 ) z − m + cm −1 z − m +1 + .... + c1 z −1 + c0 Obecný dynamický regulátor je možné použít jako 1DoF i 2DoF regulátor, větší počet nastavitelných parametrů se využívá pro řešení složitějších úloh řízení vedoucích např. k nutnosti použití principu vnitřního modelu (viz 9. kapitola). FR ( z −1 ) =
8.4. Lineární stavový regulátor Patří mezi nedynamické regulátory, zpětnovazební řízení je generováno jako lineární kombinace měřitelných složek vektoru stavu. Předpokládáme tedy stavový popis řízeného spojitého (diskrétního) LDS. S: x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ) , x(t0 ) , x(t ) ∈ R n , u (t ) ∈ R r , y (t ) ∈ R p y (t ) = Cx(t ) Reg.: u (t ) = − Kx(t ) , K... rxn konstantní matice (8.11) Pro uzavřený systém dostáváme Sz: x& (t ) = ( A − BK ) x(t ) , x(t0 ) (8.12) y(t)=Cx(t) a je zřejmé, že pro asymptoticky stabilní uzavřený systém bude platit lim x(t ) = 0 a lim y (t ) = 0 . t →∞
Lineární stavový regulátor (8.11) tedy bude řídit počáteční stav x(t0 ) „do nuly“.
37
t →∞
Pokud chceme řešit úlohy regulace na konstantní hodnotu či obecné úlohy sledování, specifikované referenčním signálem w(t), je nutné doplnit stavové zpětnovazební řízení o kompenzační řízení ukomp (t ) .
Rovnice lineárního stavového regulátoru má potom tvar: u (t ) = − Kx(t ) + u komp (t ) . (8.13) Jako příklad použití tohoto regulátoru je na následujícím schéma znázorněna regulace skokové odezvy (s kompenzací statického zesílení pro dosažení požadované ustálené hodnoty výstupu): S: (A,B,C)
K komp
w
x1 .............x n
u komp
u
y
K
Stejný problém lze řešit elegantněji s použitím lineárního stavového regulátoru s integračním charakterem, kdy při regulaci na konstantní hodnotu není nutné zesílení kompenzovat (otevřená regulační smyčka má zavedený astatismus 1. řádu, tj. obsahuje model generátoru referenčního signálu w(t) – viz „princip vnitřního modelu“ v 9. kapitole). Regulátor sestává z nedynamické a dynamické části - je příkladem kombinace nedynamického a dynamického regulátoru.
w
e
S: (A,B,C)
KI p
x1 .............x n u
u komp
y
K stavový reg.
Tyto regulátory lze dále zobecnit v tom smyslu, že dynamická část může obsahovat model generátoru externího signálu. Na závěr přehledu základních typů regulátorů uvažujme ještě situaci, kdy chceme použít lineární stavový regulátor, ale nejsou měřitelné všechny složky vektoru stavu řízeného systému. V takovém případě je nutné navrhnout nějaký rekonstruktor stavu (tj. dynamický systém na jehož vstup je přiveden měřený vstup a výstup řízeného systému a generuje rekonstruovaný stav xˆ (t ) ). Rekonstruovaný stav za určených podmínek může zastoupit neměřitelný stav x(t) v navrženém stavovém regulátoru (viz 10. kapitola): S: (A,B,C)
u(t)
u komp
y(t)
Rekonstruktor
K „Dynamický kompenzátor“
stavový reg.
xˆ (t )
Stavový regulátor je popsán, analogicky k (8.13), rovnicí u (t ) = − Kxˆ (t ) + u komp (t), ovšem do regulátoru je nutné zahrnout i dynamický systém rekonstrukce stavu. Regulátor je tedy dynamický a bývá také označován jako „dynamický kompenzátor“. 38
9.
KLASICKÉ METODY NÁVRHU REGULÁTORŮ
Široké spektrum návrhových metod, se kterým se setkáváme v odborné literatuře, vyplývá jednak z variability řízených systémů, z variability formulovaných požadavků na kvalitu regulovaného procesu (často protichůdných nebo i nerealizovatelných), z možnosti použití různých typů regulátorů a také z rozsáhlosti matematického aparátu, který lze použít při řešení úloh formulovaných buď v časové, algebraické či frekvenční oblasti. Návrhové metody, které spoléhají na (hypotetickou) možnost získání přesného matematického modelu řízených systémů a formulují matematicky i požadavky na kvalitu regulace, určí při zvolené struktuře regulátoru v podstatě exaktním způsobem jeho parametry. Návrhové metody však mohou být výpočetně náročné, požadavky na kvalitu regulace mohou být formulovány spíše s ohledem na snazší matematické zpracování než na charakterizaci řízeného procesu a výsledný regulátor nemusí být dostatečně robustní pro použití v průmyslových aplikacích. Na druhé straně se používají v průmyslových aplikacích i empirické postupy seřizování regulátorů (obvykle pro PI, PID regulátory), které znalost exaktního matematického modelu řízeného systému nevyžadují (pouze některé jeho charakteristiky), požadavky na regulovaný proces jsou formulovány jen kvalitativně a jak říká název, empirický postup návrhu nebývá výrazněji podložen ani teorií. Takto navržené regulátory přirozeně nemohou splnit přísnější požadavky na kvalitu a jejich úkolem je v podstatě získání času pro návrh efektivnějšího regulátoru. Znovu připomeňme, že klasické metody návrhu regulátorů vycházejí ze znalosti adekvátního modelu řízeného systému, předpokládají předem zvolenou strukturu regulátoru a kvantitativní vyjádření pokud možno všech formulovaných požadavků. Výsledkem návrhu je stanovení takových hodnot parametrů v dané struktuře regulátoru, které v definovaném smyslu nejlépe splňují formulované a kvantifikované požadavky. V dalším uvedeme některé běžně používané návrhové metody v časové, algebraické a frekvenční oblasti.
9.1. Empirické postupy při návrhu regulátorů a/ Časová metoda Ziegler-Nichols Umožní přibližné nastavení parametrů P, PI a PID regulátorů na základě experimentálně zjištěné odezvy na skokovou změnu vstupu řízeného systému (viz obr.). Předpoklady: Monotónní odezva systému bez astatismu, ideální PID regulátor, Tn > 2.5 Tz ( Tn je „doba náběhu“, Tz je „doba průtahu“ resp. doba fiktivního dopravního zpoždění). Pro nastavení parametrů regulátoru stačí zjistit z naměřené odezvy dobu průtahu Tz a maximální strmost odezvy S (směrnice tečny v inflexním bodě, S = K S / Tn , K S je statické zesílení)
39
Parametry regulátorů P, PI a PID určíme z tabulky K TI P - regulátor 1 STz PI - regulátor 1 0.9 3.33Tz STz PID - regulátor 1 1.2 2Tz STz Je to nespolehlivá metoda a může vést i k nestabilitě uzavřené regulační smyčky.
TD
0.5Tz
b/ Frekvenční metoda Ziegler-Nichols Umožní přibližné nastavení parametrů P, PI a PID regulátorů na základě experimentu prováděného v uzavřené regulační smyčce: 1/ Regulátor v uzavřené regulační smyčce nastavíme jako P-regulátor ( TD = 0, TI → ∞ ) a zvětšujeme zesílení regulátoru K r až do vzniku netlumených kmitů tj. při K r = K krit . 2/ Na záznamu průběhu regulované veličiny odměříme periodu netlumených kmitů Tkrit .
Parametry regulátorů P, PI, PID určíme pomocí zjištěných K krit a Tkrit . z tabulky K TI TD P - regulátor 0.5 K krit PI - regulátor 0.45 K krit 0.83Tkrit PID - regulátor 0.6 K krit 0.5Tkrit 0.12Tkrit Metoda vychází ze znalosti jednoho bodu frekvenční charakteristiky, který je specifikován hodnotami K krit a ω krit = 2π / Tkrit . Podobně jako časová metoda Ziegler-Nichols, je i tato metoda nespolehlivá. Poznámka 9.1.: V praxi se ještě pro nastavení parametrů PID regulátoru využívají různé varianty metod pokus-omyl, z nichž nejznámější doporučuje následující postup: 1/ Regulátor v uzavřené regulační smyčce nastavíme jako P-regulátor ( TD = 0, TI → ∞ ), zvyšujeme zesílení regulátoru K r až do vzniku netlumených kmitů a zmenšíme ho na polovinu. 2/ Snižujeme hodnotu integrační časové konstanty TI až do vzniku netumených kmitů a potom ji 3x zvětšíme. 3/ Zvyšujeme hodnotu derivační časové konstanty TD až do vzniku netumených kmitů a potom ji 3x zmenšíme.
40
9.2. Návrh regulátorů dle požadavku na minimum integrálních kriterií kvality Jednou z možností jak vyjádřit požadavky na kvalitu regulace v časové oblasti je jejich vyjádření integrálními kriterii kvality (7.40).
Návrh regulátoru dle minima kriteria ISE – “minima kvadratické regulační plochy” Formulace úlohy: Pro řízený systém popsaný přenosovou funkcí FS ( p ) a pro daný referenční signál w(t) zvolte vhodný typ regulátoru FR ( p, θ ) a určete jeho parametry θ tak, aby bylo minimalizováno kriterium ∞
∞
ISE : J (θ ) = ∫ e (t ,θ )dt = ∫ [w(t ) − y (t , θ )] dt . 2
2
0
(9.1)
0
Úloha vede na parametrickou optimalizaci kriteria optimality, která ovšem předpokládá stabilní uzavřený regulační obvod a konečnou hodnotu kriteria. Musí být tudíž splněna podmínka lim e(t ) = 0 resp. lim pE ( p) = 0 , (9.2) t →∞
p →0
která je vodítkem pro výběr přípustného typu regulátoru. Například při regulaci na konstantní hodnotu w(t) = konst. je pro splnění podmínky nutné, aby otevřená regulační smyčka měla alespoň astatismus 1.řádu. Nemá-li astatismus řízený systém, musí jej dodat regulátor a přípustným typem regulátoru bude PI nebo PID regulátor (viz přesnost regulace odst. 7.3.). Postup řešení: 1/ Použijeme Parcevalův vztah (7.37) pro převedení kriteria z časové oblasti do frekvenční a dosadíme do kriteria určený obraz regulační odchylky E ( p ) 2/ Hodnotu kriteria, udávající velikost kvadratické regulační plochy, vyjádříme jako funkci parametrů zvoleného typu regulátoru - pro regulaci na konstantní hodnotu bývá tabelována. 3/ Optimální hodnoty parametrů regulátoru θ i∗ určíme z nutných podmínek minima kriteria kvality ∂J (θ i ) i =1,…. (9.3) ∗ = 0, ∂θ i θi =θ i a stability uzavřeného regulačního obvodu. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ad1/ Parcevalův vztah a obraz regulační odchylky j∞ ∞ +∞ 1 1 2 J (θ ) = ∫ e (t , θ )dt = E ( j ω , θ ) E ( − j ω , θ ) dω = E ( p, θ ) E (− p, θ )dp (9.4) 2π −∫∞ 2πj −∫j∞ 0 Stanovíme L-obraz regulační odchylky a o ( p, θ ) 1 1 l ( p, θ ) E ( p) = W ( p) = W ( p) = W ( p) = b ( p, θ ) 1 + Fo ( p, θ ) a o ( p, θ ) + bo ( p, θ ) r ( p, θ ) 1+ o a o ( p, θ )
(9.5)
kde koeficienty polynomů l ( p, θ ) = l m p m +... + l1 p + l 0 a r ( p, θ ) = rn p n +... + r1 p + r0 jsou funkcemi parametrů zvoleného typu regulátoru. Z (9.5) také vyplývá, že relativní řád polynomiálního zlomku E(p) je určen pouze relativním řádem obrazu referenčního signálu W(p), t. zn., že například při regulaci na konstantní hodnotu w(t) = konst. bude platit st l ( p ) = st r ( p ) − 1 , protože W(p) = 1/p.
Ad2/ Určení kvadratické regulační plochy jako funkce parametrů regulátoru + j∞ j∞ + j∞ q ( p , θ ) q ( − p, θ 1 1 l ( p , θ ) l ( − p, θ ) 1 J (θ ) = E ( p, θ ) E (− p, θ )dp = dp = + dp ∫ ∫ ∫ 2πj − j∞ 2πj − j∞ r ( p, θ ) r (− p, θ ) 2πj − j∞ r ( p, θ ) r (− p, θ ) (9.6)
41
Zavedením polynomu q( p, θ ) = qm (θ ) p m + ... + q1 (θ ) p + q0 (θ ) , st q ( p, θ ) = st l ( p, θ ) převedeme součinový tvar kriteria na součtový. Porovnáním podtržených výrazů dostaneme pro čitatele polynomiálního zlomku polynomiální rovnici l ( p, θ )l (− p, θ ) = q ( p, θ )r (− p, θ ) + q (− p, θ )r ( p, θ ) , (9.7) ze které určíme koeficienty polynomu q ( p, θ ) porovnáním výrazů u stejných (sudých!) mocnin proměnné p. Koeficienty qi (θ ) , i = 1,..m polynomu q ( p, θ ) jsou funkcemi parametrů regulátoru.
Určeme nyní velikost kvadratické regulační plochy (9.6), ale bez jejího „zrcadlového“ obrazu, který nalezení minima stejně neovlivní. Uvažujeme tedy kvadratickou regulační plochu danou + j∞ 1 q ( p, θ ) q ( p, θ ) dp . Označíme Z ( p ) = a velikost plochy určíme hodnotou kriteria J (θ ) = ∫ 2πj − j∞ r ( p, θ ) r ( p, θ ) s využitím zpětné Laplaceovy transformace: + j∞ j∞ 1 q ( p, θ ) 1 J (θ ) = dp = Z ( p )e pt dp = lim L−1 Z ( p )} = lim z (t ) = lim pZ ( p) ⇒ t = 0 t →0 { t →0 p →∞ 2πj −∫j∞ r ( p, θ ) 2π j −∫j∞
qm (θ ) p m + ... + q0 (θ ) q ( p, θ ) J (θ ) = lim p = lim p p →∞ r ( p,θ ) p →∞ rn (θ ) p n + ... + r0 (θ ) Polynom r ( p, θ ) určíme z (9.5) a q ( p, θ ) je dán řešením polynomiální rovnice (9.7).
(9.8)
Ad3/ Určení optimálních hodnot parametrů θ ∗ Optimální hodnoty parametrů θ ∗ musí minimalizovat uvažované kriterium kvality (9.8), ∂J (θ ) θ ∗ = arg min J (θ ) a určíme je z nutné podmínky minima = 0 , i = 1,…. θ ∂θ i V případě existence více řešení, vybereme ta, která neporuší stabilitu uzavřené regulační smyčky (testujeme např. Hurwitzovým kritériem charakteristický polynom uzavřené regulační smyčky). Poznámka 9.2.: V obvyklém případě regulace na konstantní hodnotu w(t) = konst. bude relativní řád polynomiálního zlomku E ( p ) roven jedné a tedy st l ( p ) = st q ( p ) = n − 1 . Potom podle (9.8) qm (θ ) p m + ... + q0 (θ ) qn −1 (θ ) p n −1 + ... + q0 (θ ) q n −1 (θ ) = lim p = p →∞ p →∞ rn (θ ) p n + ... + r0 (θ ) rn (θ ) p n + ... + r0 (θ ) rn (θ ) a optimální hodnoty parametrů určíme z nutné podmínky minima ∂J (θ ) ∂ q n −1 (θ ) = = 0 , i =1,….. ∂θ i ∂θ i rn (θ )
J (θ ) = lim p
(9.9)
(9.10)
Příklad 9.1: K řízenému systému s přenosem
FS ( p ) =
1 navrhněte P-regulátor s přenosem FR ( p ) = K p ( p + 1.5 p + 0.5) 2
tak, aby bylo minimalizováno kriterium ISE! Referenčním signálem bude w(t) = 1[t]. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Protože řízený systém má astatismus, je při regulaci na konstantní hodnotu P-regulátor přípustný a integrální kriterium ISE bude nabývat konečné hodnoty. Regulátor má jediný parametr θ = K . 1/ Vypočteme obraz regulační odchylky:
E ( p) =
1 W ( p) = 1 + Fo ( p )
1 1+
K p ( p + 1.5 p + 0.5) 2
42
1 p 2 + 1 .5 p + 0 .5 l ( p) = 3 = 2 p p + 1 .5 p + 0 .5 p + K r ( p , K )
(Všimněme si, že platí požadované
lim e(t ) = lim pE ( p ) = lim p t →∞
p →0
p →0
1 W ( p ) = 0) 1 + Fo ( p )
q ( p ) = q 2 p 2 + q1 p + q 0 , st q ( p ) = st l ( p ) a určíme jeho koeficienty z (9.7): l ( p )l (− p ) = q ( p )r (− p, K ) + q (− p )r ( p, K ) .
2/ Zavedeme polynom
Po dosazení a úpravě dostaneme
p 4 − 1.25 p 2 + 0.25 = (3q 2 − 2q1 ) p 4 + (2q 2 K − q1 + 3q 0 ) p 2 + 2q 0 K Z porovnání výrazů u stejných mocnin p dostaneme:
q0 ( K ) =
0.25 , 2K
q1 ( K ) = 2q 2 K + 1.25 +
0.375 , K
q2 (K ) =
3.5 K + 0.75 3K − 4 K 2
3/ Určíme hodnotu kriteria jako funkci parametru K
J (K ) =
q n −1 ( K ) q (K ) 3.5 K + 0.75 = 2 = rn ( K ) r3 (= 1) 3K − 4 K 2
K∗ ∂J ( K ) ∂ 3.5 K + 0.75 = = 0 ⇒ 14 K 2 + 6 K − 2.25 = 0 ⇒ K 1∗, 2 = {0.24,−0.67} ∂K ∂K 3K − 4 K 2
4/ Určíme optimální hodnotu
Z charakteristického polynomu uzavřené regulační smyčky uzavřenou regulační smyčku zaručí pouze P-regulátor s přenosem
p 3 + 1.5 p 2 + 0.5 p + K je zřejmé, že stabilní FR ( p ) = K ∗ = 0.24 .
Zjištěná odezva uzavřené regulační smyčky na jednotkový skok je na obrázku:
Návrh regulátorů dle minima “časově vážených” kriterií ISE Návrh regulátorů dle minima kriteria ISE sice zaručuje minimální plochu vymezenou průběhem e 2 (t ) , regulace však může být příliš kmitavá a doba regulace velká. Příčinou je, že regulační odchylka je stále stejně „vážená“ v čase. Namísto kriteria ISE lze však použít některé jeho modifikace, které zohledňují požadavek na rychlost regulace a v rámci prezentované metody návrhu regulátoru můžeme postupovat v podstatě shodným způsobem. ∞
Časově vážené kriterium ISE : J (.) = ∫ [t.e(t )] dt 2
(9.11)
0
Protože platí L{t.e(t )} = −
d E ( p ) = E1 ( p ) , můžeme při návrhu regulátoru postupovat stejným dp způsobem jako v předchozím případě, ale pro kriterium j∞ ∞ 1 d l ( p, θ ) d 2 J (.) = ∫ [t.e(t )] dt = E1 ( p ) E1 (− p )dp , kde E1 ( p ) = − E ( p ) = − (9.12) ∫ 2πj − j∞ dp dp r ( p, θ ) 0 ∞
[
]
Exponenciálně vážené kriterium ISE : J (.) = ∫ e −α .t e(t ) dt , α > 0 je volitelný parametr 2
0
43
(9.13)
{
}
Protože platí L e −α .t e(t ) = E ( p + α ) = E 2 ( p ) , postupujeme při návrhu regulátoru opět stejným způsobem, ale pro kriterium j∞ ∞ 2 1 l ( p + α ,θ ) J (.) = ∫ e −α .t e(t ) dt = E 2 ( p ) E 2 (− p )dp , kde E 2 ( p ) = E ( p + α ) = (9.14) ∫ 2 π j r ( p + α , θ ) 0 − j∞
[
]
Návrh regulátoru dle minima kriteria ITAE ∞
Metoda návrhu regulátoru dle minima kriteria ITAE: J (θ ) = ∫ t e(t ) (t )dt byla vypracována 0
Grahamem a Lathropem, kteří určili (v podstatě experimentálně) optimální hodnoty koeficientů v charakteristickém polynomu uzavřené regulační smyčky az ( p ) , a tedy „optimální“ tvar charakteristického polynomu az∗ ( p ) tak, aby
kriterium ITAE nabývalo minimální hodnoty.
Koeficienty polynomu a ( p ) byly navíc parametrizovány netlumenou frekvencí ω n pro možnost ∗ z
zadání přibližné doby regulace Treg . Pro stanovení ω n lze použít vztah
4.8 , ξ = 0.7 ÷ 0.8 (9.15) Treg ξ Metodu lze použít za následujících předpokladů: b0 b( p ) 1/ Přenos řízeného systému je typu FS ( p ) = n = , nemá tedy n −1 p + an −1 p + ... + a1 p + a0 a ( p ) astatismus a nemá žádnou nulu. 2/ Referenčním signálem w(t) je po částech konstantní funkce. 3/ Regulátorem je ideální PID regulátor s parametry θ = {K , K I , K D }.
ωn =
„Optimální“ tvary az∗ ( p ) pro příslušný stupeň charakteristického polynomu uzavřené regulační smyčky a z ( p, θ ) jsou uvedeny v tabulce: st a z ( p, θ ) „ optimální “ tvar charakteristického polynomu az∗ ( p ) 1 p + ωn 2
p 2 + 1.4ω n p + ω n2
3
p 3 + 1.75ω n p 2 + 2.15ω n2 p + ω n3
4
p 4 + 2.1ω n p 3 + 3.4ω n2 p 2 + 2.7ω n3 p + ω n4
Postup návrhu: 1/ Pro daný přenos řízeného systému FS ( p ) =
b0 b( p ) = , p + an −1 p + ... + a1 p + a0 a ( p ) n
n −1
K D p 2 + Kp + K I d ( p,θ ) = , θ = {K , K I , K D } p c( p) určíme přenos uzavřené regulační smyčky s charakteristickým polynomem a z ( p, θ ) : a z ( p , θ ) = a ( p )c ( p ) + b ( p ) d ( p , θ ) 2/ Z požadavku na Treg určíme ω n a podle dosaženého stupně polynomu a z ( p, θ ) určíme řízený ideálním PID regulátorem FR ( p) =
podle tabulky koeficienty příslušného polynomu az∗ ( p ) .
3/ Položíme a z ( p, θ ) = az∗ ( p ) a hledané parametry regulátoru θ = {K , K I , K D } určíme porovnáním výrazů u stejných mocnin proměnné p .
44
Poznámka 9.3.: Připomeňme, že v případě návrhu diskrétního PID regulátoru můžeme použít dva známé přístupy: Diskretizace navrženého spojitého ideálního PID regulátoru nebo přímý návrh diskrétního ideálního PID regulátoru (v tomto případě bychom museli určit „optimální“ polynom a ∗z ( z ) např. využitím exaktního vztahu mezi póly spojitého a diskrétního systému – viz odst. 5.7. Příklad 9.2:
1 navrhněte ideální PID regulátor tak, aby bylo ( p + 1.5 p + 0.5)
K řízenému systému s přenosem
FS ( p ) =
minimalizováno kriterium ITAE a
Treg ≅ 6 sec! Referenčním signálem bude w(t) = 1[t].
2
(Je to modifikace předchozího příkladu s kriteriem ISE. Systém uvažujeme bez astatismu, má ho ale regulátor PID) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Řešení dle uvedeného postupu:
a z ( p,θ ) = a ( p )c( p ) + b( p )d ( p, θ ) = p 3 + (1.5 + K D ) p 2 + (0.5 + K ) p + K I , st a z ( p,θ ) = 3 4.8 ∗ 3 2 2/ ω n = , volíme ξ = 0.8 ⇒ ω n = 1rad / sec . ⇒ az ( p ) = p + 1.75 p + 2.15 p + 1 Treg ξ 1/
3/ Z porovnání
a z ( p,θ ) = az∗ ( p ) dostáváme: K = 1.65 ,
K I = 1 , K D = 0.25
K D p 2 + Kp + K I 0.25 p 2 + 1.65 p + 1 = p p FS ( p ) FR ( p ) 0.25 p 2 + 1.65 p + 1 a přenos uzavřené regulační smyčky je Fy , w ( p ) = = 1 + FS ( p ) FR ( p ) p 3 + 1.75 p 2 + 2.15 p + 1 Navržený PID regulátor má přenos
FR ( p) =
Zjištěná odezva uzavřené regulační smyčky na jednotkový skok je na obrázku.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Poznámka 9.4.: Tabelované „ optimální “ tvary charakteristického polynomu az∗ ( p ) se mohou také použít při návrhu stavových regulátorů dle požadavku na umístitelnost pólů.
9.3. Návrh regulátorů s využitím GMK Metodou geometrického místa kořenů (GMK) jsme se podrobně zabývali v odst. 4.5. (LS1). Ukázali jsme, že vhodným umístěním nul a pólů regulátoru k daným nulám a pólům řízeného systému lze měnit tvar GMK tak, aby se póly uzavřené regulační smyčky při určitém zesílení K , K ∈ ( 0, ∞ ) otevřené regulační smyčky nacházely v takové oblasti komplexní roviny kořenů, která zaručí požadované vlastnosti dynamických odezev uzavřené regulační smyčky. Metodu GMK budeme ilustrovat na řešeném příkladu návrhu dynamického regulátoru ke slabě tlumenému kmitavému systému druhého řádu.
45
Příklad 9.3:
2 (póly p1,2 = − 0.2 ± j 0.98 ) (9.16) p + 0.4 p + 1 navrhněte PI nebo PID regulátor tak, aby pro přechodovou charakteristiku uzavřené regulační smyčky byly splněny požadavky: Maximální přeregulování ………….. σ max = 0.1 (10%)
K danému systému s přenosovou funkcí FS ( p ) =
2
Doba regulace (tolerance ±1 %)........ Treg ≤ 5sec. (9.17) Na přechodové charakteristice uzavřené regulační smyčky ilustrujte splnění zadaných požadavků, určete bezpečnost v zesílení a ve fázi. Podívejme se nejprve na přechodovou charakteristiku daného systému
Přechodová charakteristika vykazuje asi 50-ti procentní překmit ustálené hodnoty, přechodový proces se ustálí asi za 25 vteřin. Navrhovaný regulátor by měl obě tyto hodnoty výrazně zlepšit a výstup uzavřené regulační smyčky by se měl ustálit na hodnotě referenčního signálu w(t ) = 1[t ] . Použijeme-li známé vztahy pro souvislost maximálního přeregulování σ max a doby regulace Treg ,1% s činitelem relativního tlumení ξ a netlumenou frekvencí ωn u kmitavého systému druhého řádu, dostáváme pro splnění zadaných požadavků
ln σ max
ξ≥
ln 0.1
π
=
π
=
−0.7329 = 0.591 ⇒ ξ ≅ 0.6 1.2398
ln σ max ln 0.1 1+ 1+ π π 4.6 4.6 ωn ≅ = = 1.53rad / sec. (9.18) 3 ξ Treg ,1% Můžeme tedy zapsat „požadovaný tvar přenosové funkce kmitavého systému druhého řádu“ ωn2 2.3409 FS , žád ( p ) = 2 = 2 (9.19) 2 p + 2ξωn p + ωn p + 1.836 p + 2.3409 2
2
s póly p1,2∗ = −ξωn ± jωn 1 − ξ 2 = −0.918 ± j1.224
(9.20)
Kdyby uzavřená regulační smyčka byla kmitavým systémem s přenosem FS , žád ( p ) , toto rozmístění pólů uzavřeného systému by garantovalo splnění zadaných požadavků na přeregulování a dobu regulace. Přechodová charakteristika a umístění pólů FS , žád ( p ) spolu s křivkami konstantního tlumení a netlumené frekvence (Matlab: pzmap, sgrid) jsou na následujících obrázcích:
46
Vyjděme z jednoduché úvahy, že uzavřený systém vyššího řádu bude vykazovat podobný tvar přechodové charakteristiky, pokud jeho rozložení pólů bude obsahovat dva dominantní komplexně sdružené póly s podobným umístěním jako má „požadovaný tvar přenosové funkce kmitavého systému druhého řádu“. Vzhledem na požadovanou přesnost sledování konstantního (nebo po částech konstantního) referenčního signálu w(t ) je zřejmé, že otevřená regulační smyčka musí obsahovat astatismus. Protože řízený systém astatismus nemá, musí mít integrační složku regulátor a v úvahu připadá použití PI nebo PID regulátoru.
Analyzujme nejprve možnost použití PI regulátoru.
1 p+ TI Přenos PI regulátoru je FR ( p) = K a do přenosu otevřené regulační smyčky přispěje p jedním pólem v počátku a jednou, v podstatě libovolně umístitelnou nulou. Daný systém má komplexně sdružené póly p1,2 = −0.2 ± j 0.98 . Zvolíme-li např. stabilní nulu PI regulátoru s hodnotou -0.1, dostaneme přenos otevřené regulační 2 ( p + 0.1) smyčky Fo ( p) = FS ( p) FR ( p) = K . p( p 2 + 0.4 p + 1)
Z tvaru geometrického místa kořenů na následujícím obrázku vidíme, že není možné ani při jiném výběru nuly docílit umístění dominantní dvojice komplexně sdružených pólů do „okolí“ ξ ≅ 0.6 a a ωn ≅ 1.53rad / sec . Uzavřená smyčka bude vykazovat kmitavý a pomalý regulační proces, který nemůže zaručit splnění zadaných požadavků. Volba PI regulátoru tedy není vhodná. 47
2 ( p + 0.1) s vyznačenými křivkami konstantního p( p 2 + 0.4 p + 1) tlumení ξ a netlumené frekvence ωn u kmitavého členu II. řádu (Matlab: rlocus, sgrid):
Geometrické místo kořenů pro Fo ( p) = K
Návrh ideálního PID regulátoru: Uvažujme přenos ideálního PID regulátoru
p2 +
K K p+ I KD KD p 2 + d1 p + d 0 = KD p p
K p + Kp + K I 1 FR ( p) = K 1 + + TD p = D (9.21) = KD p TI p K s nastavitelnými parametry: K , K I = , K D = KTD . TI Je zřejmé, že potřebujeme umístit dvě nuly regulátoru a specifikovat tak koeficienty d1 , d 0 jeho nulového polynomu. Určíme-li posléze z GMK zesílení K D , zbývající parametry K , K I určíme K KI porovnáním polynomů v čitatelích: = d1 , = d0 . (9.22) KD KD Připomeňme si, že GMK vychází z pólů a končí v nulách otevřené regulační smyčky, a proto 2
zvolíme nuly
regulátoru z1,2 = −1 ± j1.2 ,
t.zn., že „zastupují“ požadované umístění pólů
∗
kmitavého systému II. řádu p1,2 = −0.918 ± j1.224 . Dostáváme nulový polynom regulátoru ve tvaru
p 2 + d1 p + d 0 = ∏ ( p − z j ) = ( p + 1 − j1.2 )( p + 1 + j1.2 ) = p 2 + 2 p + 2.44 ; d1 = 2 , d 0 = 2.44 (9.23) 2
j =1
Tento polynom přechází do přenosu otevřené regulační smyčky 2 p 2 + 2 p + 2.44 2 p 2 + 4 p + 4.88 Fo ( p ) = FS ( p ) FR ( p) = K D 2 = Kd 3 p + 0.4 p + 1 p p + 0.4 p 2 + p
48
(9.24)
Zakreslíme GMK spolu s křivkami konstantního ξ a ωn (Matlab: rlocus, sgrid)
a v místě označeném šipkou odečítáme z grafu přibližně zesílení K D = 5 . Při tomto zesílení jsou póly uzavřené regulační smyčky již v blízkém okolí požadovaných p1,2∗ = −0.918 ± j1.224 . Z tvaru GMK vidíme, že tuto dvojici komplexně sdružených pólů lze považovat za dominantní a lze tudíž očekávat že chování uzavřeného systému vyššího řádu se nebude příliš lišit od chování kmitavého členu druhého řádu. Zbylé dva parametry regulátoru K , K I určíme podle (9.23): K = 10 , K I = 12 . Dostáváme přenos ideálního PID regulátoru (paralelní realizace): K 12 FR ( p ) = K + I + K D p = 10 + + 5 p (9.25) p p Pro simulaci použijeme schéma, kdy proporcionální a derivační složka není řízena regulační odchylkou, ale regulovanou veličinou (výstupem systému). Ideální derivaci nahradíme aproximativní derivací s časovou konstantou τ , jejíž velikost se doporučuje volit v závislosti na derivační časové konstantě TD K p KD p → D , τ ≅ TD /(3 ÷ 20) (9.26) τ p +1 Protože K D = KTD , dostáváme TD = 0.5 sec. a můžeme zvolit např. τ = TD /10 = 0.05sec.
KI p Poznámka: Přenos uzavřené regulační smyčky je v této struktuře Fy , w ( p ) = !! 1 + FS ( p ) FR ( p ) FS ( p )
Přechodová charakteristika uzavřené regulační smyčky vyhovuje zadaným požadavkům:
49
Bezpečnost v zesílení a ve fázi:
-----------------------------------------------------------------------------Pro úplnost uvedeme ještě simulaci skokové odezvy s diskretizovaným spojitým PID regulátorem: Zvolme periodu vzorkování T = 0.1 sec. Pro účely simulace určíme diskrétní model spojitého systému FS ( p ) = s tvarovačem nultého řádu: FS ( z ) =
2 p + 0.4 p + 1 2
0.00986 z + 0.009729 z 2 − 1.951z + 0.9608
KI KD p 12 5p + = 10 + + p τ p +1 p 0.05 p + 1 0.6 z + 0.6 50 z − 50 diskretizujeme lichoběžníkovou aproximací (Tustin): FR ( z ) = 10 + + z −1 z Navržený spojitý PID regulátor s přenosem FR ( p ) = K +
Při simulaci skokové odezvy zjišťujeme výraznější odlišnosti od odezvy spojité verze. Pro volbu periody vzorkování T = 0.05 sec. již dostaneme akceptovatelnou odezvu.
50
--------------------------------------------------------------
9.4. Návrh dynamických regulátorů dle požadovaného umístění pólů (nul) uzavřené regulační smyčky Budeme analyzovat problém umístitelnosti nul a pólů dynamickými regulátory s ohledem na požadovaný tvar přenosu uzavřené regulační smyčky. Uvedeme pouze spojitou verzi, diskrétní verze je analogická. Umístitelnost pólů a nul obecným dynamickým regulátorem s jedním stupněm volnosti (1DoF) Uvažujme zadaný spojitý přenos řízeného systému n-tého řádu bn −1 p n −1 + ... + b1 p + b0 Y ( p) b( p ) Fs ( p ) = = n = , st a ( p ) = n , st b( p ) ≤ n − 1 (9.27) n −1 U ( p ) p + an −1 p + ... + a1 p + a0 a ( p ) a obecný dynamický regulátor m-tého řádu s přenosem d p m + ... + d1 p + d 0 U ( p) d ( p) FR ( p ) = (9.28) = m m = , st d ( p ) = st c( p ) = m m −1 E ( p ) p + cm −1 p + ... + c1 p + c0 c( p ) který obsahuje 2m + 1 nastavitelných parametrů θ = { d 0 , d1 ,...d m ; c0 , c1 ,...cm −1 }. Přenos uzavřené regulační smyčky s 1DoF regulátorem má tvar F ( p ) FR ( p ) Y ( p) b( p ) d ( p ) b ( p, θ ) Fy , w ( p ) = = S = = z , (9.29) W ( p ) 1 + FS ( p ) FR ( p ) a ( p )c( p ) + b( p )d ( p ) az ( p, θ ) a z ( p,θ ) je charakteristický polynom uzavřené smyčky, st a z ( p,θ ) = n + m , st bz ( p,θ ) ≤ n − 1 + m Navrhněme dynamický regulátor tak, aby uzavřená regulační smyčka měla požadované umístění pólů pi∗ , i = 1,…n + m, které vyjádříme požadovaným tvarem charakteristického polynomu
uzavřené regulační smyčky a ∗z ( p ) n+m
(
)
a ∗z ( p ) = ∏ p − p i∗ = p n + m + a n∗+ m −1 p n + m −1 + ... + a1∗ p + a 0∗ i =1
(9.30)
Hledejme odpověď na tři otázky: 1/ Jakého řádu m musí být regulátor pro požadované umístění pólů? 2/ Jaké jsou podmínky řešitelnosti a jak lze algoritmizovat návrh regulátoru? 3/ Jaká jsou omezení na volbu požadovaného tvaru přenosu uzavřené regulační smyčky, resp. na umístitelnost nul uzavřené regulační smyčky ? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ad 1/ Porovnáním a z ( p,θ ) = a ∗z ( p ) dostaneme n + m rovnic pro 2m +1 neznámých parametrů regulátoru. Parametry regulátoru lze jednoznačně určit při m = n -1 (minimální řád regulátoru). Pro libovolné umístění pólů systému n-tého řádu stačí dynamický regulátor řádu n - 1. Uzavřená regulační smyčka je popsána přenosem řádu n + m = 2n – 1 a je tedy nutné umístit 2n – 1 pólů.
51
ad 2/ Je-li specifikován charakteristický polynom uzavřené regulační smyčky a ∗z ( p ) , hledané polynomy regulátoru d ( p ), c( p ) určíme řešením polynomiální Diofantické rovnice : a ( p )c( p ) + b( p )d ( p ) = a z∗ ( p ) (9.31) ∗ st a ( p ) = n, st b( p ) ≤ n − 1 , st a z ( p ) = 2n – 1, st c( p ) = st d ( p ) = n − 1 Věta 9-1: (Diofantická rovnice) Diofantická rovnice má řešení tehdy a jen tehdy, když polynomy a ( p ), b( p ) jsou nesoudělné nebo jejich největší společný dělitel dělí a ∗z ( p ) . Obecně má Diofantická rovnice nekonečně mnoho řešení, jednoznačné řešení existuje, jestliže st c( p ) < st b( p ) nebo st d ( p ) < st a ( p ) …(splněno pro minimální řád regulátoru m = n -1). Poznámky k podmínkám řešitelnosti Diofantické rovnice. a ( p ), b( p ) jsou soudělné → existuje jejich největší společný dělitel g ( p ) = n.s.d. (a( p), b( p ) ) . Potom a ( p ) = a 0 ( p ) g ( p ), b( p ) = b0 ( p ) g ( p ) , přičemž polynomy a 0 ( p ), b0 ( p ) jsou již nesoudělné: n.s.d. (a 0 ( p ), b0 ( p ) ) = 1 . Dosazením do Diofantické rovnice vidíme, že největší společný dělitel musí dělit a ∗z ( p ) :
a z∗ ( p) = a ∗z 0 ( p ) g ( p) Protože g ( p ) = n.s.d. (a( p), b( p ) ) , musí také existovat polynomy r ( p ), s ( p ) takové, že a ( p )r ( p ) + b( p ) s ( p ) = g ( p ) …… (pravá strana Diofantické rovnice musí být dělitelná g(p)).
[a0 ( p)c( p) + b0 ( p)d ( p)]g ( p) = a ∗z ( p)
a 0 ( p )c( p) + b0 ( p)d ( p) =
resp.
a z∗ ( p) = a ∗z 0 ( p) dostaneme Diofantickou rovnici g ( p) a ( p )a ∗z 0 ( p )r ( p ) + b( p )a ∗z 0 ( p ) s ( p ) = a ∗z ( p ) s řešením c( p ) = a ∗z 0 ( p )r ( p ) , d ( p ) = a ∗z 0 ( p ) s ( p ) Po přenásobení této rovnice výrazem
a ( p ), b( p ) jsou nesoudělné → g ( p ) = n.s.d. (a( p), b( p ) ) = 1. Potom existují polynomy r ( p ), s ( p ) takové, že a ( p )r ( p ) + b( p ) s ( p ) = 1 a po přenásobení a ∗z ( p )
a ( p )a ∗z ( p )r ( p ) + b( p )a z∗ ( p ) s ( p ) = a ∗z ( p )
c( p ) = a z∗ ( p )r ( p ) , d ( p ) = a z∗ ( p ) s ( p )
⇒
Pokud má Diofantická rovnice řešení, má jich nekonečně mnoho – ovšem bez omezení na řád regulátoru, tj. pro libovolné stupně polynomů d(p),c(p)! ~ Nechť d ( p ), c( p ) označuje nějaké řešení Diofantické rovnice a d ( p ), c~ ( p ) její obecné řešení. ~ Platí tedy a ( p )c ( p ) + b ( p ) d ( p ) = a ∗ ( p ) a a ( p )c~ ( p ) + b( p )d ( p ) = a ∗ ( p ) z
z
Odečtením rovnic dostaneme (při vynechání označení proměnné p): ~ ~ ~ d −d c~ − c ~ ~ a (c − c) + b(d − d ) = 0 nebo g a0 (c − c) + b0 (d − d ) = 0 , g ≠ 0 → =− . a0 b0 Není-li omezen stupeň polynomů regulátoru, naznačená dělitelnost polynomy a0 , b0 implikuje existenci libovolného polynomu h(p) a obecné řešení Diofantické rovnice je dáno vztahy ~ c~ ( p ) = c( p ) − b0 ( p )h( p ) , d ( p) = d ( p) + a0 ( p)h( p) (9.32)
[
]
Algoritmizace řešení Diofantické rovnice Řešení d ( p ), c( p ) Diofantické rovnice a ( p )c( p ) + b( p )d ( p ) = a z∗ ( p ) pro daný systém Fs ( p ) =
bn −1 p n −1 + ... + b1 p + b0 d m p m + ... + d1 p + d 0 a regulátor F ( p ) = , m = n-1 R p n + an −1 p n −1 + ... + a1 p + a0 p m + cm −1 p m −1 + ... + c1 p + c0
při požadovaném umístění pólů uzavřené regulační smyčky pi∗ 52
n+m
(
)
a ∗z ( p ) = ∏ p − p i∗ = p n + m + a n∗+ m −1 p n + m −1 + ... + a1∗ p + a 0∗ , i =1
lze určit porovnáním výrazů u stejných mocnin proměnné p v této rovnici.
Řešení lze převést na řešení maticové algebraické rovnice: ∗ a0 , 0............0; b0 , 0............... c0 a0 M a1 , a0 , 0.......0; b1 , b0 , 0........... M M cm −1 am∗ −1 (9.33) .....................;...................... . ...... = ................... M d a∗ − a 0 m 0 a ..............; b ,............... M n −1, M n −1 d ∗ 1, an −1 ,....... m am + n −1 − an −1 Poznamenejme ještě, že matice (m+n) x (m+n), sestavená z parametrů systému, bude regulární při nesoudělnosti polynomů a ( p ), b( p ) . ad 3/ 1DoF regulátor, navržený dle požadavku na umístění pólů, neumožňuje nezávislé umístění nul uzavřené regulační smyčky. Ty jsou v polynomu bz ( p) fixovány jednak nulami řízeného systému a jednak nulami, které zavedl regulátor : FS ( p) FR ( p) b ( p) Y ( p) b( p ) d ( p ) Fy , w ( p ) = = = = z∗ (9.34) W ( p) 1 + FS ( p) FR ( p) a ( p)c( p) + b( p)d ( p) a z ( p ) Jedinou variantou, jak lze částečně ovlivnit umístění nul uzavřené regulační smyčky, je možnost navrhnout 1DoF regulátor tak, že způsobí vykrácení stabilních nul systému vůči stabilním pólům charakteristického polynomu uzavřené regulační smyčky a z ( p). Stabilní nuly se však musí stát součástí požadovaného umístění pólů a musí tedy být obsaženy v požadovaném tvaru charakteristického polynomu a ∗z ( p ) . Rozložíme „nulový“ polynom systému b(p) na součin polynomů se stabilními a nestabilními nulami b( p ) = b + ( p )b − ( p ) a upravíme požadovaný tvar charakteristického polynomu a ∗z ( p ) a ∗z ( p ) = a z∗ ( p )b + ( p ) , st a ∗z ( p ) = st a z∗ ( p ) + st b + ( p ) = 2n -1
(9.35)
Řešením Diofantické rovnice a ( p )c( p ) + b( p )d ( p ) = a z∗ ( p )b + ( p ) (9.36) určíme polynomy regulátoru d(p),c(p) takové, že charakteristický polynom uzavřené regulační smyčky a z ( p ) = a( p)c( p) + b( p)d ( p) obsahuje póly a z∗ ( p ) a póly b + ( p ) , které se vykrátí se stabilními nulami b + ( p ) . Výsledný přenos uzavřené regulační smyčky bude FS ( p ) FR ( p ) Y ( p) b + ( p )b − ( p )d ( p ) b − ( p)d ( p) Fy , w ( p ) = = = = W ( p ) 1 + FS ( p ) FR ( p ) a ( p )c( p ) + b( p )d ( p ) a z∗ ( p )
(9.37)
Volba požadovaného umístění pólů v přenosu uzavřené regulační smyčky Fy , w ( p ) je při použití 1DoF regulátoru minimálního řádu omezena požadavkem st a ∗z ( p ) = 2n – 1 a pokud nedopustíme krácení, je umístění nul v přenosu uzavřené regulační smyčky Fy , w ( p ) fixováno nulami systému a nulami regulátoru.
53
Připustíme-li krácení stabilních nul vůči pólům charakteristického polynomu uzavřené regulační smyčky a z ( p) , zachované póly v uzavřené regulační smyčce můžeme považovat za požadované póly reprezentované polynomem a z∗ ( p ) , který je nižšího stupně než a ∗z ( p ) , viz (9.35). Nuly jsou pouze redukovány a jejich umístění nelze ovlivnit nezávisle na umístění pólů. Poznámka: Pokud se neomezíme na minimální řád regulátoru, stejné umístění pólů v uzavřené regulační smyčce lze docílit nekonečně mnoha regulátory, které určíme z obecného řešení Diofantické rovnice (9.32).
Umístitelnost pólů a nul obecným dynamickým regulátorem s dvěma stupni volnosti (2DoF) Analyzujme nyní problém umístitelnosti pólů a nul s použitím obecného dynamického regulátoru se dvěma stupni volnosti (2DoF regulátor), který byl zmíněn ve 4. kapitole. w
Blokové schéma reg. obvodu s 2DoF regulátorem – ekvivalentní varianty
α .t ( p) c( p)
w
y
α .t ( p) d ( p)
d ( p) c( p)
b( p ) a( p)
y
d ( p) c( p)
b( p ) a( p) u
Předpokládáme: a ( p ), b( p ) jsou nesoudělné polynomy, st a ( p ) = n , st b( p ) ≤ n − 1 , regulátor bude minimálního řádu, st d ( p ) = st c( p ) = n − 1 , t ( p ) je libovolný stabilní monický polynom, st t ( p ) ≤ st d ( p ) a α je koeficient pro korekci zesílení. Ze schéma vidíme, že 2DoF regulátor generuje řízení, sestávající z přímovazební (kompenzační) a zpětnovazební složky. Jeho L-obraz U ( p ) je u obou variant realizace regulátoru dán výrazem α .t ( p) d ( p) U ( p) = W ( p) − Y ( p) (9.38) c( p) c( p) Přenos uzavřené regulační smyčky dostáváme u obou variant realizace regulátoru ve tvaru Y ( p) α t ( p)b( p) b ( p) Fy , w ( p ) = = = z (9.39) W ( p ) a ( p ) c ( p ) + b( p ) d ( p ) a z ( p ) Porovnáním s 1DoF regulátorem (9.29) vidíme, že charakteristické polynomy uzavřené regulační smyčky a z ( p) jsou shodné, nyní je však v čitateli přenosu nahrazen polynom regulátoru d ( p ) libovolným stabilním monickým polynomem t ( p ) , st t ( p ) ≤ st d ( p ) . ******************* Formulujeme-li úlohu umístitelnosti pólů, je nutné opět specifikovat požadovaný tvar charakteristického polynomu a ∗z ( p ) , st a ∗z ( p ) = 2n – 1. Polynomy regulátoru d ( p ), c( p ) určíme řešením Diofantické rovnice (9.31). Volbou polynomu t ( p ) lze zavést libovolné nuly do bz ( p ) , pokud však řízený systém má nuly, zůstávají zachovány. Požadované bz∗ ( p ) by tedy muselo tuto skutečnost respektovat. ******************* Připustíme-li krácení stabilních nul vůči pólům uzavřené smyčky, nabízí se dvě varianty návrhu 2DoF regulátoru s požadavkem na: 1/ krácení stabilního polynomu b + ( p ) vůči a z ( p) 2/ krácení libovolného stabilního polynomu t ( p ) vůči a z ( p) 54
V obou případech je nutné zahrnout stabilní nuly, které mají být vykráceny, do požadovaného tvaru charakteristického polynomu uzavřené smyčky a ∗z ( p )
a ∗z ( p ) = a z∗ ( p )b + ( p ) ∨ a ∗z ( p ) = a z∗ ( p )t ( p ) ; st a ∗z ( p ) = st a z∗ ( p ) + st( b + ( p ) ∨ t ( p ) ) = 2n -1 a vyřešit příslušnou Diofantickou rovnici. V prvním případě bude mít přenos uzavřené regulační smyčky tvar (po vykrácení): α .t ( p)b + ( p)b − ( p) α .t ( p)b − ( p) bz∗ ( p ) = ∗ Fy , w ( p ) = = a ( p )c ( p ) + b ( p ) d ( p ) a z∗ ( p ) a z ( p) a pokud má systém všechny nuly stabilní, lze docílit libovolné umístění pólů a z∗ ( p ) ,
(9.40)
st a z∗ ( p ) = 2n − 1 − st b( p ) a libovolné umístění nul bz∗ ( p ) = t ( p ) , st bz∗ ( p ) ≤ st d(p). Ve druhém případě bude mít přenos uzavřené regulační smyčky tvar (po vykrácení): α .t ( p)b( p) α .b( p) bz∗ ( p) = Fy , w ( p ) = = a ( p )c( p ) + b( p )d ( p ) a z∗ ( p ) a z∗ ( p) při libovolné volbě t ( p ) , st t ( p ) ≤ d ( p ) a dostáváme tak ∀t ( p ) stejné přenosy Fy , w ( p ) !!
(9.41)
Výběrem t ( p ) lze však nezávisle ovlivnit např. potlačení výstupní poruchy v(t), neboť ke každému t ( p ) určíme jinou dvojici polynomů d ( p ), c( p ) , která ovlivňuje průběh citlivostní funkce S ( jω ) resp. dynamický činitel regulace - viz (7.22) a následující příklad. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 9.4: K danému nestabilnímu systému s přenosem
3 b( p ) = navrhněte 2DoF regulátor pro tři výběry p ( p − 1) a ( p ) b/ t ( p ) = p + 2 c/ t ( p ) = p + 20 tak, aby přenos uzavřené
FS ( p ) =
t ( p ) = p + 0 .2 2.44 regulační smyčky byl Fy , w ( p ) = 2 . p + 2.4 p + 2.44
kompenzačního polynomu a/
Řešení: Protože daný systém je druhého řádu (n = 2) a požadujeme změnu pólů, bude zpětnovazební část dynamického
d1 p + d 0 d ( p) = p + c0 c( p) α .t ( p) a přímovazební (kompenzační) část přenosem FRk ( p ) = . Charakteristický polynom uzavřené smyčky d ( p) a z ( p) je třetího stupně a požadovaný tvar charakteristického polynomu druhého stupně získáme až po krácení (9.38). regulátoru popsána přenosem prvního řádu (m = n-1)
Položíme tedy rovnice :
FR ( p) =
a ∗z ( p ) = a z∗ ( p )t ( p ) = ( p 2 + 2.4 p + 2.44)t ( p ) a pro tři výběry t ( p ) určíme řešení diofantické
p ( p − 1)( p + c0 ) + 3(d 1 p + d 0 ) = ( p 2 + 2.4 p + 2.44)t ( p ) .
t ( p ) = p + 0.2 : d ( p ) = 2.17 p + 0.163 , c( p ) = p + 3.6 Pro t ( p ) = p + 2 : d ( p ) = 4.21 p + 1.63 , c( p ) = p + 5.4 Pro t ( p ) = p + 20 : d ( p ) = 24.61 p + 16.26 , c( p ) = p + 23.4
Pro
Korekci statického zesílení α určíme podle (9.38):
∀t ( p ) musí platit α .3 = 2.44 ⇒ α = 0.813
55
Průběhy logaritmických amplitudových frekvenčních charakteristik S ( jω ) dB =
a ( jω ) c ( jω ) a z∗ ( jω )
: dB
S ( jω ) dB je vidět, že větší potlačení nízkofrekvenčních poruch nastává při vyšší hodnotě stabilní nuly zavedené kompenzačním polynomem t ( p ).
Z průběhů
Přechodové charakteristiky jsou pro všechny tři případy shodné.
9.5. Množina stabilizujících regulátorů, afinní parametrizace V dalším se budeme zabývat návrhem stabilizujících regulátorů, které využívají inverzní model řízeného systému a ukážeme, že lze nalézt úplnou množinu takových regulátorů. Budeme předpokládat, že řízený systém je stabilní, minimálně-fázový a že nominální model řízeného systému je popsán striktně ryzí přenosovou funkcí FS ( p ) .
Pro další motivaci si nejprve všimneme regulačního obvodu s proporcionálním regulátorem s vysokým zesílením K: Regulační obvod s proporcionálním regulátorem a jednotkovou zpětnou vazbou (viz první schéma) odpovídá při K → ∞ přímovazebnímu regulačnímu obvodu, kde regulátor je inverzí přenosu řízeného systému: w
Gw
e
u
K
FS ( p )
56
y
Schéma lze překreslit do ekvivalentní struktury w
u
K
Gw
FS ( p )
y
FS ( p ) Pro obě schémata platí
Fy , w ( p ) =
KFS ( p ) 1 + KFS ( p )
(9.42)
Překreslíme druhé schéma w
u
Gw
R( p )
FS ( p ) y
Při K → ∞ je přenos regulátoru R( p ) roven “exaktní” inverzi přenosu řízeného systému −1 KFS ( p ) R( p ) = lim = FS ( p ) (9.43) K →∞ 1 + KF ( p ) S
Přímovazební regulační obvod se stabilním systémem: Přenos od referenčního signálu w(t) na regulovaný výstup je Fy , w ( p) = FS ( p ) R ( p )
(9.44)
•
Regulátor R( p ) je vzhledem k Fy , w ( p ) v lineárním vztahu!
•
Fy , w ( p ) bude stabilní pro libovolný stabilní regulátor R( p ) s ryzí přenosovou funkcí
•
Má-li být Fy , w ( jω ) =1 v požadovaném frekvenčním pásmu , musí být v tomto pásmu regulátor R ( jω ) „exaktní“ inverzí přenosu systému R ( jω ) = [ FS ( jω ) ] . −1
Protože „exaktní inverze“ přenosu systému nebude ryzím přenosem, bude nutná jeho modifikace tvarovacím filtrem R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )]
−1
→ Fy , w ( p ) = FS ( p ) R( p ) = FQ ( p ) .
Zpětnovazební regulační obvod s regulátorem 1DoF: Ve zpětnovazební struktuře s regulátorem 1DoF je přenos od referenčního signálu w(t) na regulovaný výstup F ( p ) FR ( p ) Fy , w ( p ) = S (9.45) 1 + FS ( p ) FR ( p ) u w
Gw
e
FR ( p )
FS ( p )
Regulátor je vzhledem k Fy , w ( jω ) v nelineárním vztahu! 57
y
Affinní parametrizace stabilizujících regulátorů (Youla-Kučera) - stabilní systémy Porovnáním (9.44) a (9.45) dostaneme FR ( p ) R ( p) = 1 + FS ( p ) FR ( p )
(9.46)
a zpětně lze určit zpětnovazební regulátor FR ( p ) , který je parametrizován přímovazebním
regulátorem R ( p ) :
FR ( p ) =
R ( p)
(9.47)
1 − FS ( p ) R ( p )
Vztah definuje parametrizovanou množinu všech stabilizujících regulátorů FR ( p ) pro stabilní systém FS ( p ) ve zpětnovazebním regulačním obvodu.
Navíc je zřejmé, že pro libovolnou stabilní ryzí přenosovou funkci R ( jω ) zaručí FR ( jω ) vnitřní stabilitu regulačního obvodu , tj. stabilitu 4 přenosů:
Q( p ) ≡ Fy , w ( p ) = S ( p ) ≡ Fy ,v ( p ) = Fu , w ( p ) = Fy ,u ( p ) =
FS ( p ) FR ( p )
1 + FS ( p ) FR ( p )
= FS ( p ) R ( p )
1 = 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 + FS ( p) FR ( p ) FR ( p )
1 + FS ( p ) FR ( p )
FS ( p )
1 + FS ( p ) FR ( p )
(komplementární citlivostní funkce) (citlivostní funkce)
= R ( p) = [1- FS ( p ) R ( p ) ] FS ( p )
(9.48)
Regulátor navrhujeme na základě znalosti jeho nominálního modelu FS ( p ) a vzhledem k parametrizaci zpětnovazebního regulátoru můžeme schéma zpětnovazebního regulačního obvodu překreslit do struktury (řízení s vnitřním modelem systému) w
e
Gw
u
v
y
Řízený systém
R( p)
z
FS ( p )
Podle (9.46) platí R ( p ) =
FR ( p )
a je zřejmé, že v přímé větvi dostáváme přenos 1 + FS ( p ) FR ( p ) uzavřené regulační smyčky. V případě nulových poruch a přesné znalosti modelu by zpětná vazba byla nulová.... 58
Vraťme se ještě ke vztahu (9.43), kde přímovazební regulátor je formálně definován jako exaktní
inverze přenosu řízeného systému R ( p ) = [ FS ( p )] . −1
Jak již bylo řečeno, R ( p ) musí být ryzí přenosová funkce a je nutné korigovat inverzi přenosu
[ FS ( p )]
−1
Potom
nějakým tvarovacím filtrem FQ ( p ) s volně nastavitelnými parametry.
R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )]
−1
Fy , w ( p ) = FS ( p ) R( p ) = FQ ( p )
a
(9.49)
Návrh parametrizovaného regulátoru pro stabilní aperiodický systém I. řádu K Navrhněme k řízenému systému FS ( p ) = zpětnovazební regulátor pT + 1 R ( p) −1 FR ( p ) = , parametrizovaný R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )] . 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 s volným parametrem α . α p +1 1 pT + 1 pT + 1 −1 = 2. R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )] = α p +1 K K (α p + 1) 1. Zvolme FQ ( p ) =
pT + 1 R ( p) K (α p + 1) pT + 1 T 1 3. FR ( p ) = = = = + K pT + 1 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 − K α p Kα K α p pT + 1 K (α p + 1) Jedná se o PI regulátor, parametrizovaný parametrem α . Nastavení parametru α je v přímém vztahu k požadované kvalitě regulačního procesu. Při označení přenosu referenčního signálu na výstup v uzavřené smyčce jako komplementární citlivostní funkce Q (p) dostaneme FS ( p ) FR ( p ) pT + 1 1 K Q( p ) ≡ Fy , w ( p ) = = FS ( p ) R ( p ) = FQ ( p ) = = 1 + FS ( p ) FR ( p ) pT + 1 K (α p + 1) α p + 1 a parametr α lze určit např. z požadované doby regulace. Parametr by také mohl být určen z požadavku na potlačení výstupní poruchy, tj. požadavkem na průběh na citlivostní funkce S(p) = 1- Q(p) apod. Tento přístup lze rozšířit na systémy vyššího řádu, systémy s dopravním zpožděním a také na nestabilní systémy.
Návrh parametrizovaného regulátoru pro stabilní kmitavý systém II. řádu : K Navrhněme k řízenému systému FS ( p ) = 2 zpětnovazební regulátor p + 2ξωn p + ωn2 R ( p) −1 FR ( p ) = , parametrizovaný R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )] . 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 1/ Zvolme FQ ( p ) = s volnými parametry α1 , α 2 . 2 α 2 p + α1 p + 1 2/ R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )] = −1
p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p + 1)
59
3/ FR ( p ) =
R ( p)
1 − FS ( p ) R ( p )
p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p + 1)
= 1−
p 2 + 2ξωn p + ωn2 p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p + 1) K
=
p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p )
Přenos FR ( p ) odpovídá PID regulátoru s přenosem
2 K I K D p ( K Pτ + K D ) p + ( K P + K Iτ ) p + K I + = p τ p +1 p (τ p + 1) a z porovnání obou přenosů určíme jeho parametry
FR ( p ) = K P +
KP =
2ξωnα1 − α 2ωn2 , Kα12
KI =
ωn2 , K α1
KD =
α12 − 2ξωnα1α 2 + α 22ωn2 , K α1
τ=
α α1 2
Množina všech stabilizujících PID regulátorů je parametrizována parametry α1 , α 2 a můžeme je určit např. z požadavku na tvar přenosu uzavřené regulační smyčky 1 FS ( p ) FR ( p ) 1 α2 Q( p ) ≡ Fy , w ( p ) = = FS ( p ) R ( p ) = FQ ( p ) = = 2 α 2 p + α1 p + 1 p 2 + α1 p + 1 1 + FS ( p ) FR ( p )
α2
α2
Přenos uzavřené regulační smyčky jako kmitavého systému druhého řádu zapíšeme v obvyklém tvaru pomocí relativního činitele tlumení ξ z a netlumené frekvence ωnz 1 ωnz2 α2 1 2ξ Fy , w ( p ) = = 2 α 2 = 2 , α1 = z 2 1 α p + 2ξ zωnz p + ωnz ωnz ωnz p2 + 1 p +
α2
α2
Nyní můžeme použít např. známé vztahy pro požadovanou dobu regulace Treg a maximální přeregulování σ max a určit příslušné ωnz , ξ z . Z těchto veličin určíme odpovídající hodnotu parametrů α1 , α 2 a po jejich dosazení do parametrů PID regulátoru získáme jeho přenos. Příklad 9.5 (stejné zadání jako v Příkladu 9.3): K systému s přenosovou funkcí
FS ( p ) =
K p + 2ξωn p + ω 2
2 n
=
2 p + 0.4 p + 1 2
navrhněte zpětnovazební regulátor
FR ( p ) =
R ( p)
1 − FS ( p ) R ( p )
, parametrizovaný
R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )]
−1
tak, aby přechodová charakteristika uzavřené regulační smyčky vykazovala: Maximální přeregulování ………….. Dobu regulace (tolerance
1/ Zvolme
FQ ( p ) =
σ max = 0.1
(10%)
±1 %)........ Treg ≤ 5sec.
1 s volnými parametry α1 , α 2 . α 2 p + α1 p + 1 2
2/ Regulátor s inverzním modelem:
R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )]
−1
60
p 2 + 2ξωn p + ωn2 = K (α 2 p 2 + α1 p + 1)
3/ Parametrizovaná množina stabilizujících regulátorů
FR ( p ) =
R ( p)
=
1 − FS ( p ) R ( p )
Parametrizované přenosy
p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p + 1)
1−
p 2 + 2ξωn p + ωn2 p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p + 1) K
=
p 2 + 2ξωn p + ωn2 K (α 2 p 2 + α1 p )
FR ( p ) odpovídají PID regulátorům
2 K I K D p ( K Pτ + K D ) p + ( K P + K Iτ ) p + K I + = FR ( p ) = K P + p τ p +1 p (τ p + 1)
Z porovnání obou přenosů dostáváme vztahy pro výpočet parametrů PID regulátoru
2ξωnα1 − α 2ωn2 KP = , Kα12 Parametry
α1 , α 2
Fy , w ( p ) =
ωn2 KI = K α1
α12 − 2ξωnα1α 2 + α 22ωn2 KD = K α1
,
τ=
,
α α1 2
a určíme je z požadavku na tvar přenosu uzavřené regulační smyčky
FS ( p ) FR ( p )
1 + FS ( p ) FR ( p )
1 = FS ( p ) R ( p ) = FQ ( p ) =
1 α2 = α 2 p + α1 p + 1 p 2 + α1 p + 1 2
α2
α2
Přenos uzavřené regulační smyčky – tvarovacího filtru můžeme zapsat v obvyklém tvaru pomocí relativního činitele tlumení ξ z a netlumené frekvence ωnz
1
α2 Fy , w ( p ) = 1 α p2 + 1 p + α2 α2
=
ωnz2 p 2 + 2ξ zωnz p + ωnz2
Nyní použijeme známé vztahy pro požadovanou dobu regulace příslušné
1
ω
2 nz
,
α1 =
2ξ z
ωnz
Treg a maximální přeregulování σ max a určíme
ωnz , ξ z : ln σ max
ln 0.1
π
ξz ≥
=
π
ln σ max ln 0.1 1+ 1+ π π Zvolme ξ z = 0.6 a ωnz = 1.6rad / sec. 2
Výpočtem:
KP =
α2 =
α1 =
2
=
−0.7329 4.6 4.6 = 0.591 ωnz ≥ = = 1.53rad / sec. 1.2398 3 ξ Treg ,1%
α 2ξ z 1.2 1 1 0.39 = = 0.75 , α 2 = 2 = = 0.39 , τ = 2 = = 0.52 ωnz 2.56 ωnz 1.6 α1 0.75
2ξωnα1 − α 2ωn2 ωn2 α12 − 2ξωnα1α 2 + α 22ωn2 = − 0.08 , K = = 0.666 , K = 0.708 = I D Kα12 K α1 K α1
Přenos PID regulátoru :
FR ( p ) = K P +
KI KD p 0.666 0.708 p + = −0.08 + + p τ p +1 p 0.52 p + 1
61
Přechodová charakteristika uzavřené regulační smyčky vyhovuje zadaným požadavkům:
Dále je žádoucí analyzovat: bezpečnost v zesílení a ve fázi, průběh citlivostní a komplementární citlivostní funkce, GMK (viz návrh PID regulátoru – cvičení LS2).
Poznámky k robustnosti návrhu regulátoru pro kmitavý systém II. řádu : Obecně lze říci, že návrh regulátoru pro slabě tlumené systémy je obtížný ve smyslu dosažení určité míry robustnosti vůči změnám parametrů systému. Víme, že čím méně je systém tlumený , tím větší je převýšení na rezonanční frekvenci a tato skutečnost působí obtíže při návrhu robustního regulátoru. Uvažujme reálnou situaci, kdy na základě určeného nominálního modelu systému FS ( p ) navrhujeme množinu stabilizujících regulátorů, které řídí reálný systém s „reálným přenosem“ F%S ( p ) , který ovšem neznáme (rozdílnost přenosů F%S ( p ) a FS ( p ) může být způsobena například malou změnou v hodnotách parametrů). Pro přenos uzavřené regulační smyčky s reálným přenosem F%S ( p ) platí
Fy , w ( p) =
F%S ( p) FR ( p ) = F%S ( p) R( p) 1 + F%S ( p) FR ( p )
(9.50)
ovšem s tím, že regulátor R ( p ) navrhujeme na základě znalosti nominálního přenosu FS ( p )
R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )]
−1
Respektujme tuto skutečnost zápisem upraveného vztahu (9.49)
62
(9.51)
F%S ( p) FR ( p ) F%S ( p) R( p) = 1 + F%S ( p ) FR ( p ) 1 + F%S ( p ) − FS ( p ) R( p) ze kterého plyne rovnost vztahů (9.50) a (9.52) při F%S ( p ) = FS ( p ) . Fy , w ( p) =
(9.52)
Po dosazení regulátoru (9.49) do (9.52) dostáváme pro přenos uzavřené regulační smyčky
F%S FQ FS −1 F%S FQ Fy , w ( p) = = = 1 + F%S ( p ) − FS ( p ) R( p) 1 + F%S − FS FQ FS −1 F%S FQ + (1 − FQ ) FS F%S ( p) R( p)
(9.53)
Z požadavku, aby Fy , w ( jω ) =1 v relevantním frekvenčním pásmu vyplývá z (9.52) a (9.53), že tvarovací filtr FQ ( p ) (a de facto i nominální model řízeného systému FS ( p ) ) by měly být určeny tak, aby ve frekvenčním pásmu, kde je odchylka [ F% ( jω ) - F ( jω ) ] malá, bylo dosaženo S
S
FQ ( jω ) =1 . Jinak řečeno, bude platit Fy , w ( jω ) ≅ 1 na těch frekvencích, kde 1 − FQ ( jω ) FS ( jω ) je malé.
Affinní parametrizace stabilizujících regulátorů (Youla-Kučera) - nestabilní systémy Nežádoucí (a nestabilní) póly Zatím jsme předpokládali,že póly otevřené smyčky byly stabilní a mohly být tudíž „tolerovány“ v přenosu mezi vstupem a výstupem systému v uzavřené regulační smyčce FS ( p ) Fy ,u ( p ) = = [1- FS ( p ) R ( p ) ] FS ( p ) (9.54) 1 + FS ( p ) FR ( p ) Z praktických důvodů je vhodné rozlišovat mezi stabilními póly a nežádoucími póly. Předpokládejme, že otevřená smyčka obsahuje nějaké nežádoucí póly (včetně nestabilních). Jedinou možností, jak odstranit tyto póly z přenosu uzavřené regulační smyčky (z komplementární citlivostní funkce Q(p)) F ( p ) FR ( p ) Q( p ) ≡ Fy , w ( p ) = S = FS ( p ) R ( p ) (9.55) 1 + FS ( p ) FR ( p )
je jejich zahrnutí v podobě nul do přenosu regulátoru R ( p ) .
Připomeňme, že zpětnovazební regulátor je parametrizován R ( p ) :
FR ( p ) =
R ( p)
1 − FS ( p ) R ( p )
(9.56)
Zahrnutím nežádoucích pólů do R ( p ) dojde k jejich vykrácení v součinu FS ( p ) R ( p ) , tedy v regulátoru FR ( p ) , v komplementární citlivostní funkci a také v citlivostní funkci 1 = 1 − FS ( p ) R ( p ) . S ( p ) ≡ Fy ,v ( p ) = (9.57) 1 + FS ( p) FR ( p ) Stále však mohou zůstat v přenosu (9.54) mezi vstupem a výstupem systému v uzavřené regulační smyčce, což závisí na nulách přenosu [1- FS ( p ) R ( p ) ], tj. na nulách citlivostní funkce S ( p ) .
Abychom tedy eliminovali nežádoucí póly i z přenosu (9.54), musí být tyto nežádoucí póly i nulami citlivostní funkce S ( p ) . 63
Věta 9-2: (Interpolační omezení pro vyloučení nežádoucích pólů) Uvažujme nominální zpětnovazební řízení s 1DoF regulátorem a předpokládejme, že systém obsahuje nežádoucí póly (včetně nestabilních pólů otevřené smyčky). Potom 1/ Všechny čtyři přenosy vnitřní stability (9.48) nebudou mít nežádoucí póly tehdy a jen tehdy, R ( p) když přenos R ( p ) v regulátoru FR ( p ) = bude vyhovovat omezením: 1 − FS ( p ) R ( p ) i/ R ( p ) je ryzí, stabilní a má pouze žádoucí póly
ii/ Jakýkoliv nežádoucí pól FS ( p ) je nulou R ( p ) , s přinejmenším stejnou násobností jako v FS ( p ) .
iii/ Jakýkoliv nežádoucí pól FS ( p ) je nulou citlivostní funkce S ( p ) = 1- FS ( p ) R ( p ) s přinejmenším stejnou násobností jako v FS ( p ) . 2/ Jestliže podmínky ii/ a iii/ jsou splněny, potom krácení nestabilních nul a pólů R ( p) v FR ( p ) = by mělo být provedeno před implementací regulátoru, 1 − FS ( p ) R ( p ) aby nevznikla vnitřní nestabilita.
Z tohoto důvodu tedy nemůžeme použít strukturu regulačního obvodu: w
Gw
e
u
v
y
Řízený systém
R( p)
z
FS ( p )
Ilustrativní příklad na odstranění nežádoucího (stabilního) pólu 6 . ( p + 1)( p + 6) Předpokládejme, že šum měření limituje šířku pásma regulace do ωš = 10rad / sec. Přenos regulátoru R ( p ) s inverzním modelem systému ( p + 1)( p + 6 ) R ( p ) = FQ ( p ) 6 závisí na volbě tvarovacího filtru FQ ( p ) ≡ Fy , w ( p ) . Relativní řád filtru vzhledem k požadavku na ryzí přenos R(p) musí být 2, zvolíme však filtr třetího řádu, aby pro ω ≥ ωš = ωn = 10rad / sec nastal dostatečný pokles zesílení (-60db/dek). Reálnou část komplexně sdružených pólů a reálný pól filtru volíme jako zlomové frekvence s hodnotou 10, činitel tlumení je volen ξ = 0.7 . Výběrem volného parametru β se budeme zabývat později. Uvažujme řízení skokové odezvy systému s přenosovou funkcí FS ( p ) =
64
Zvolme tedy přenos tvarovacího filtru FQ ( p ) = 1000
β p +1
. ( p + 14 p + 100)( p + 10) 1000 ( β p + 1)( p + 1)( p + 6 ) R ( p ) = FQ ( p) FS ( p) −1 = 6 ( p 2 + 14 p + 100 ) ( p + 10 )
Přenos regulátoru R ( p ) :
2
Volba FQ ( p ) s FQ (0) = 1 zaručuje exaktní inverzi při ω = 0 , R ( 0 ) = FQ ( 0 ) FS (0) −1 = FS (0) −1 a tudíž navrhovaný zpětnovazební regulátor FR ( p ) =
R ( 0)
R ( p)
1 − FS ( p ) R ( p )
musí mít astatismus:
FS (0) −1 FR ( 0 ) = = =∞ 1 − FS (0) R ( 0 ) 1 − FS (0) FS (0) −1 Po dosazení dostaneme parametrizovanou množinu regulátorů s astatismem FQ ( p ) FS ( p )−1 R ( p) ( β p + 1)( p + 1)( p + 6 ) FR ( p ) = = = 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 − FQ ( p ) 6 p ( p 2 + 24 p + 240 − 1000 β )
Vraťme se k výběru parametru β . Hypotetické vykrácení nežádoucího nejpomalejšího pólu systému p = -1 v citlivostní funkci 1 S ( p ) ≡ Fy ,v ( p ) = = 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 + FS ( p) FR ( p ) není akceptovatelné, protože pomalý pól by zůstal v přenosu vstupní poruchy systému FS ( p ) Fy ,u ( p ) = = [1- FS ( p ) R ( p ) ] FS ( p ) 1 + FS ( p ) FR ( p ) což by mělo za následek pomalé odregulování případných poruch na vstupu systému. Abychom se tomu vyhnuli, je žádoucí dále omezit R ( p ) tak, aby p = -1 bylo nulou v citlivostní funkci S ( p ) = 1 − FS ( p ) R ( p ) . Musíme tedy najít takové β , že S (−1) = 0 → Q(−1) ≡ Fy , w (−1) = FQ (−1) = 1 − S (−1) = 1 S použitím β p +1 dostáváme podmínku FQ ( p ) = Fy , w ( p ) = Q ( p ) = 1000 2 ( p + 14 p + 100)( p + 10) 1000 217 FQ (−1) = (1 − β ) = 1 → β = 783 1000 Pro tuto hodnotu β lze jmenovatel přenosu regulátoru FR ( p ) faktorizovat a vykrátit (p+1):
FR ( p ) =
R ( p)
=
( β p + 1)( p + 1)( p + 6 )
1 − FS ( p ) R ( p ) 6 p ( p + 24 p + 240 − 1000 β ) 2
=
(217 p + 1000)( p + 6) 6000 p ( p + 23)
Všimněme si, že pól p=-6 bude neřiditelný od referenčního signálu w (krácení), ale řiditelný od vstupní poruchy systému (zachovaný, nekrácený). -----------------------------------------------------------
Affinní parametrizace stabilizujících regulátorů (Youla-Kučera) - systémy s astatismem K Uvažujme řízení skokové odezvy systému s přenosovou funkcí FS ( p ) = p ( pT + 1) Nulový pól je nežádoucí v přenosu uzavřené smyčky, a proto použijeme “Interpolační omezení pro vyloučení nežádoucích pólů“, které vyžaduje, aby nežádoucí pól FS ( p ) byl nulou R ( p ) a nulou citlivostní funkce S ( p ) ≡ Fy ,v ( p ) = 1- FS ( p ) R ( p ) .
65
Protože FS ( p ) nemá žádnou nestabilní nulu, můžeme v regulátoru R( p) = FQ ( p) FS ( p)−1 použít
p (Tp + 1) . K Protože R ( p ) by měl být ryzí, měl by mít přenos tvarovacího členu FQ ( p ) relativní řád 2.
„exaktní“ inverzi FS ( p ) −1 =
1 s volnými parametry α1 , α 2 , FQ ( 0 ) ≡ Q(0) = 1 α 2 p + α1 p + 1 p ( pT + 1) −1 Regulátor s inverzním modelem: R ( p ) = FQ ( p ) [ FS ( p )] = K (α 2 p 2 + α1 p + 1) Zvolme FQ ( p ) = Fy , w ( p ) =
2
Parametrizovanou množinu regulátorů dostáváme po krácení (nestabilní) nuly a pólu: p ( pT + 1) K (α 2 p 2 + α1 p + 1) R ( p) p( pT + 1) FR ( p ) = = = K p ( pT + 1) Kp (α 2 p + α1 ) 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 − p ( pT + 1) K (α 2 p 2 + α1 p + 1) Tento regulátor však nebude v ustáleném stavu kompenzovat konstantní poruchu na vstupu systému (viz aplikace věty o konečné hodnotě), protože přenos vstupní poruchy systému na výstup K FS ( p ) K (α 2 p + α1 ) p( pT + 1) = Fy ,u ( p ) = = 2 1 1 + FS ( p ) FR ( p ) 1 + (α 2 p + α1 p + 1)(Tp + 1) p(α 2 p + α1 ) p (α 2 p + α1 ) nemá nulu v počátku, i když citlivostní funkce ji má S ( p ) = 1 − FQ ( p ) = = . α 2 p 2 + α1 p + 1 To zařídíme takovou volbou tvarovacího filtru FQ ( p ) , aby citlivostní funkce S ( p ) měla dvě nuly v počátku. Potom i přenos vstupní poruchy systému bude mít jednu nulu v počátku a konstantní porucha na vstupu systému v ustáleném stavu regulovaný výstup neovlivní. Nejjednodušší volba tvarovacího filtru, vedoucí k žádanému výsledku je α1 p + 1 FQ ( p ) = Fy , w ( p ) = 3 α 3 p + α 2 p 2 + α1 p + 1 Pro citlivostní funkci a pro přenos vstupní poruchy systému dostáváme p 2 (α 3 p + α 2 ) Kp (α 3 p + α 2 ) S ( p ) = 1 − FQ ( p ) = , Fy ,u ( p ) = 3 2 3 α 3 p + α 2 p + α1 p + 1 (α 3 p + α 2 p 2 + α1 p + 1)(Tp + 1) Zpětnovazební regulátor má nyní tvar
FR ( p ) =
R ( p)
1 − FS ( p ) R ( p )
p ( pT + 1) (α1 p + 1)
K (α 3 p 3 + α 2 p 2 + α1 p + 1)
= 1−
p ( pT + 1) (α1 p + 1) K p ( pT + 1) K (α 3 p 3 + α 2 p 2 + α1 p + 1)
66
=
T α1 p 2 + (T + α1 ) p + 1 Kp (α 3 p + α 2 )
a jeho struktura odpovídá PID regulátoru 2 K I K D p ( K Pτ + K D ) p + ( K P + K Iτ ) p + K I FR ( p ) = K P + + = p τ p +1 p (τ p + 1) Porovnáním lze určit parametry PID regulátoru K P , K I , K D , τ . Parametry budou funkcemi parametrů systému a parametrů tvarovacího filtru – přenosu uzavřené regulační smyčky: α1 p + 1 FQ ( p ) = Fy , w ( p ) = 3 α 3 p + α 2 p 2 + α1 p + 1 Charakteristický polynom III. stupně uzavřené regulační smyčky můžeme zvolit jako kombinaci charakteristického polynomu kmitavého systému druhého řádu ( ξ = 0.7, ωn volné) a polynomu I. stupně s reálným pólem, jehož hodnota odpovídá reálné části komplexně sdružených pólů. Určením parametrů charakteristického polynomu α1,2,3 je určena i nula.
Affinní parametrizace stabilizujících regulátorů pro systémy s nežádoucími póly - zobecnění V předchozím jsme viděli, že pro odstranění nežádoucích pólů systému (nestabilní, málo tlumené aj.) zejména z přenosu vstupní poruchy, jsou nutná další omezení na regulátor R ( p ) . Byl to poměrně pracný úkol, a proto se naskýtá otázka, není-li možné „re-parametrizovat“ návrh zpětnovazebního regulátoru FR ( p ) tak, aby byly automaticky splněny podmínky obsažené ve „Větě o interpolačních omezeních pro odstranění nežádoucích pólů“. Řešení je možné a uvádí jej následující věta: Věta 9-3: (Parametrizace regulátorů pro systémy s nežádoucími póly) Uvažujme 1DoF regulátor pro systém s nominálním přenosem FS ( p ) =
b( p ) s nesoudělnými a ( p)
polynomy, přičemž a ( p ) může obsahovat nežádoucí póly. Potom uzavřená smyčka bude vnitřně stabilní a všechny 4 přenosy F ( p ) FR ( p ) Q( p ) ≡ Fy , w ( p ) = S = FS ( p ) R ( p ) 1 + FS ( p ) FR ( p )
S ( p ) ≡ Fy ,v ( p ) = Fu , w ( p ) = Fy ,u ( p ) =
1 = 1 − FS ( p ) R ( p ) 1 + FS ( p) FR ( p ) FR ( p )
1 + FS ( p ) FR ( p )
FS ( p )
1 + FS ( p ) FR ( p )
= R ( p) = [1- FS ( p ) R ( p ) ] FS ( p )
budou obsahovat pouze žádoucí póly tehdy a jen tehdy, jestliže FR ( p ) bude parametrizováno s ( p) a( p) + Ru ( p ) e( p ) e( p ) FR ( p ) = , (9.58a) r ( p) b( p ) − Ru ( p ) e( p ) e( p ) přičemž 1/ Ru ( p ) je nějaká ryzí stabilní přenosová funkce, která má pouze žádoucí póly 2/ s ( p ) a r ( p ) jsou polynomy vyhovující Diofantické rovnici pro umístění pólů a ( p ) r ( p ) + b( p ) s ( p ) = e( p ) f ( p ) (9.58b) kde e( p ), f ( p ) jsou polynomy vhodných stupňů, jejichž kořeny leží v žádoucí oblasti, ale jinak jsou libovolné. 67
9.6.
Návrh regulátoru dle zadaného přenosu uzavřené regulační smyčky
Je-li specifikován požadavek na chování uzavřené regulační smyčky přímo zadaným modelem požadovaného přenosu FM ( p ) resp. FM (z ) a je-li znám přenos řízeného systému FS ( p ) resp. FS (z ) , potom regulátor FR ( p ) resp. FR ( z ) lze určit porovnáním FS ( z ) FR ( z ) FS ( p ) FR ( p ) Fy , w ( p ) = = FM ( z ) a dostaneme = FM ( p ) resp. Fy , w ( z ) = 1 + FS ( z ) FR ( z ) 1 + FS ( p ) FR ( p ) FM ( p) FM ( z ) 1 1 FR ( p) = resp. FR ( z ) = (9.59) FS ( p) 1 − FM ( p) FS ( z ) 1 − FM ( z ) Součástí zpětnovazebního regulátoru je opět inverzní model řízeného systém, podobně jako v předchozím odstavci 9.5. Nyní je však model požadovaného přenosu uzavřené regulační smyčky pevně zadán a není možná jeho volba jako parametrizovaného tvarovacího filtru. Spojitá verze regulátoru s inverzním modelem řízeného systému. Inverzní model systému obsažený v regulátoru zřejmě musí „zrušit“ danou dynamiku řízeného systému, aby bylo možné docílit požadovaný tvar přenosu uzavřené regulační smyčky FM ( p ) . Použití metody je tedy kriticky vázáno na znalost přesného modelu řízeného systému. Vyjdeme-li z obvyklých předpokladů b( p ) d ( p) FS ( p ) = , st b( p ) < st a ( p ) , FR ( p ) = , st d ( p ) = st c( p ) , je otázkou, a( p) c( p) b ( p) zda je možná libovolná volba požadovaného přenosu FM ( p ) = M , st bM ( p ) ≤ st aM ( p ) , aM ( p ) vzhledem k podmínce realizovatelnosti regulátoru st d ( p ) = st c( p ) . Vyjádříme-li (9.59) pomocí definovaných polynomů, přenos regulátoru má tvar bM ( p) d ( p) a( p ) FR ( p) = = , (9.60) c( p) b( p) aM ( p) − bM ( p ) a vidíme, že volba FM ( p ) je omezena podmínkou rovnosti relativních řádů FS ( p ) , FM ( p ) . Také je zřejmé, že neminimálně-fázový systém povede na nežádoucí nestabilní regulátor. U diskrétní verze regulátoru s inverzním modelem řízeného systému dojdeme ke stejným závěrům a navíc se může objevit další problém: Při diskretizaci spojitého FS ( p ) s tvarovačem 0.-tého řádu vznikají při krátké periodě vzorkování v diskrétním přenosu systému často stabilní nuly se zápornou reálnou částí. V diskrétním regulátoru s inverzním modelem systému se nuly nuly systému stanou póly regulátoru a důsledkem je, že regulátor generuje sice tlumené, ale oscilující řízení a regulační proces má kmitavý charakter. Návrh diskrétního regulátoru dle zadaného přenosu s minimálním počtem kroků regulace Uvažujme problém diskrétního řízení skokové odezvy spojitého systému s přenosem FS ( p ) diskrétním regulátorem FR ( z ) . Požadujme, aby regulovaný výstup systému y(t), t = kT, dosáhl požadované hodnoty w(t) = 1[t] za nějaký konečný počet kroků regulace k = N a setrval na této hodnotě ∀k , k > N. To znamená, že regulační odchylka e(k) = w(k) – y(k) musí přejít za konečný počet kroků regulace do nuly, musí to tedy být nějaká konečná sekvence popsaná polynomem konečného stupně. Položíme-li si otázku jaký je minimální počet kroků regulace pro splnění tohoto požadavku, musíme respektovat zpoždění mezi vstupem a výstupem diskrétního modelu řízeného systému FS ( z ) . Protože diskrétní model řízeného systému zahrnuje tvarovač 0.-tého řádu, který vždy zavádí zpoždění o velikosti periody vzorkování T, je minimálně dosažitelný počet kroků regulace Nmin =1 (předpokládáme, že regulátor zpoždění nezavede). Bude-li mít daný systém navíc i 68
dopravní zpoždění τ d , které lze vyjádřit celistvým násobkem periody vzorkování τ d = d .T , musíme respektovat celkové zpoždění q = Nmin + d. Z uvedeného vyplývá, že pro návrh diskrétního regulátoru pro minimální počet kroků regulace s inverzním modelem systému můžeme specifikovat požadavek na přenos uzavřené regulační smyčky ve tvaru Y ( z) 1 FM ( z ) = Fy , w ( z ) = = z − q = q (přenos má všech q pólů v nule) (9.61) W ( z) z Hledaný regulátor určíme podle vztahu (9.59) U ( z) 1 z −q FR ( z ) = = (9.62) E ( z ) FS ( z ) 1 − z − q a vyjádříme přenos otevřené regulační smyčky z −q Fo ( z ) = FS ( z ) FR ( z ) = 1 − z −q Pro obraz regulační odchylky dostaneme vztah 1 1 1 1 − z −q 1 1. z − q (9.63) E( z) = W ( z) = = = − 1 + Fo ( z ) z − q 1 − z −1 1 − z −1 1 − z −1 1 − z −1 1+ 1 − z −q ze kterého vyplývá, že regulační odchylka e(k) = w(k) – y(k) přejde po q krocích z hodnoty 1 do nuly, a tedy regulovaný výstup y(k) dosáhne požadované hodnoty w(t) = 1[t] za q kroků regulace. Pro obraz řízení dostaneme vztah FR ( z ) z −q 1 U ( z) = W ( z) = , (9.64) 1 + Fo ( z ) FS ( z ) 1 − z −1 ze kterého vyplývá, že řízení u(k) není po q krocích nulové a že je nekonečnou sekvencí, trvale působící na řízený systém. Tato „slabá verze konečného počtu kroků regulace“ zaručuje, že regulovaná veličina y(t) má požadovanou hodnotu w(t) jen v okamžicích vzorkování y(k), ale na spojitém časovém intervalu mezi okamžiky vzorkování může nabývat jiných hodnot v důsledku nenulového řízení. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 9.6: Navrhněte diskrétní regulátor dle zadaného přenosu s minimální počtem kroků regulace při řízení skokové odezvy spojitého systému popsaného přenosem zpoždění
τ d = 4 sec .
FS ( p ) =
2e − pτ d . Referenčním signálem je w(t) = 1[t] a dopravní 20 p + 1
Periodu vzorkování volte T = 2sec.
Řešení: Určíme diskretizovaný model spojitého systému s tvarovačem 0.-tého řádu: −0.1 2e −2 pT z (1 − e −0.1 ) ) z −1 0.19 z −3 −2 −1 − 2 (1 − e FS ( z ) = (1 − z −1 ) Z = 2 z ( 1 − z ) = 2 z = ( z − 1)( z − e −0.1 ) (1 − e −0.1 z −1 ) 1 − 0.905 z −1 p(20 p + 1)
Mezi vstupem a výstupem je zpoždění tři periody vzorkování, tj. 6 sec., tudíž požadovaný tvar přenosu uzavřené regulační smyčky je
FM ( z ) =
Y ( z) = z − q = z −3 . Regulovaný výstup y(t) bude sledovat referenční signál w (t) po W ( z)
třech krocích. Regulátor určíme podle (9.59):
U ( z) 1 z −3 1 − 0.905 z −1 z −3 1 − 0.905 z −1 FR ( z ) = = = = 5.263 E ( z ) FS ( z ) 1 − z −3 0.19 z −3 1 − z −3 1 − z −3 Simulační schéma diskrétního regulačního obvodu je na obrázku. Diskrétní řízení je použito pro řízení spojitého systému přes tvarovač 0.-tého řádu. Regulovaný výstup y(t), y(kT) a řízení u(t) z výstupu tvarovače jsou na dalším obrázku.
69
Průběh regulační odchylky e(k) není znázorněn, neboť je zřejmý ze vztahu (9.63). Hodnotu řízení u(0) = 5.263 lze určit z věty o počáteční hodnotě, hodnoty řízení u(k) = 0.5 pro k = 1,2,… určíme z (9.64) přímým dělením polynomu čitatele polynomem ve jmenovateli.
Návrh regulátoru se zdá být jednoduchý a efektní, z praktického hlediska je však většinou nepoužitelný. Simulací si snadno ověříme, že navržený regulátor není robustní vzhledem ke změnám parametrů systému. Navíc, zkracováním periody vzorkování T se zvyšuje hodnota řízení a obvykle se dostaneme mimo realizovatelné akční zásahy.
Dahlinův regulátor Je modifikací předchozího návrhu diskrétního regulátoru dle zadaného přenosu s minimálnmí počtem kroků regulace. Modifikace spočívá v tom, že od pevně zadaného modelu požadovaného přenosu uzavřené smyčky FM ( p ) resp. FM (z ) přecházíme na parametrizovaný model v podobě aperiodického členu 1. řádu s jednotkovým zesílením a nastavitelnou časovou konstantou τ , kterou ovlivňujeme požadovanou rychlost odezvy. Upouští se tedy od co nejrychlejšího sledování skokových změn referenčního signálu w(t). Modifikovaný tvar požadovaného přenosu uzavřené regulační smyčky získáme diskretizací aperiodického členu 1.řádu s tvarovačem 0.-tého řádu a respektováním zpoždění o d kroků: 1 − e − pT 1 / τ − d 1 1 −d 1 − e −T / τ z −1 −1 −1 FM ( z ) = Z z = ( 1 − z ) Z − z = ( 1 − z ) z −d −1 −T / τ −1 p p + 1 / τ p p + 1 / τ (1 − z )(1 − e z )
(
Y ( z) 1 − e −T / τ = z −q , q = d + 1 −T / τ −1 W ( z) 1 − e z Dahlinův regulátor obdržíme po dosazení za FM ( z ) do (9.16): FM (z) =
)
(9.65)
(1 − κ ) z − q 1 FM ( z ) 1 (1 − κ ) z − q 1 − κ z −1 = 1 FR ( z ) = = , κ = e −T / τ (9.66) −q −1 −q (1 − κ ) z FS ( z ) 1 − FM ( z ) FS ( z ) FS ( z ) 1 − κ z − (1 − κ ) z 1− 1 − κ z −1 Rychlost odezvy a tedy i velikost akčních zásahů lze ovlivnit volbou časové konstanty τ , regulátor je robustnější vzhledem ke změnám parametrů. Příklad 9.7: Navrhněme pro systém z předchozího příkladu Dahlinův regulátor při modifikaci požadovaného přenosu uzavřené regulační smyčky aperiodickým členem 1. řádu s časovou konstantou τ = 2 sec.
70
κ = e −T /τ = e−1 = 0.3679 a přenos Dahlinova regulátoru bude 1 (1 − κ ) z − q 1 − 0.905 z −1 FR ( z ) = = .... = 3.3268 FS ( z ) 1 − κ z −1 − (1 − κ ) z − q 1 − 0.3679 z −1 − 0.6321z −3
V daném případě je
Náhradou původního regulátoru v simulačním schéma Dahlinovým regulátorem zjistíme, že řízení skokové odezvy odpovídá požadovanému průběhu odezvy aperiodického členu a že hodnota řízení u(0) = 5.263 se snížila na u(0) = 3.3.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9.7.
Sledování obecného referenčního signálu a kompenzace poruch v ustáleném stavu („princip vnitřního modelu“)
Při návrhu regulátorů bývá často požadováno, aby regulovaná veličina y(t) sledovala v ustáleném stavu obecný průběh referenčního signálu w(t) a aby byl vykompenzován účinek výstupní poruchy v(t) na regulovanou veličinu. Uvažujme regulační obvod s 1DoF regulátorem dle uvedeného schéma: Generátor výstupní poruchy
Generátor referenčního signálu
Gw ( p) =
bw ( p ) a w ( p)
w
Gv ( p ) =
bv ( p ) av ( p) v
e FR ( p ) =
d ( p) c( p)
u
FS ( p ) =
b( p ) a( p) y
Generátory „vnějších signálů“ w(t) a v(t) jsou popsány polynomiálními zlomky G w ( p ), Gv ( p ) a předpokládáme nesoudělnost jejich polynomů: n.s.d. (a w ( p ), bw ( p )) = 1 , n.s.d. (a v ( p ), bv ( p )) = 1 . Požadavek na sledování obecného referenčního signálu w(t) regulovanou veličinou y(t) v ustáleném stavu vyjádříme podmínkou : lim e(t ) = 0 při v(t ) = 0 . t →∞
Pro L-obraz regulační odchylky E ( p ) platí ~ ~ bw ( p ) b z ( p ) b w ( p ) b z ( p ) bw ( p ) 1 a ( p )c ( p ) E ( p) = W ( p) = = = + 1 + Fo ( p ) a ( p )c ( p ) + b ( p ) d ( p ) a w ( p ) a z ( p ) a w ( p ) a z ( p ) a w ( p ) a je tedy dán součtem obrazů přirozené a vynucené složky E ( p ) = E n ( p ) + E f ( p ) . ~ ~ Polynomy bz ( p), bw ( p) bychom určili porovnáním čitatelů v (9.39) ~ ~ a( p)c( p )bw ( p) = bz ( p)a w ( p) + bw ( p)a z ( p)
(9.67)
(9.68)
Po zpětné transformaci (9.67) dostaneme e(t ) = en (t ) + e f (t ) a podmínku pro sledování w(t) v ustáleném stavu rozepíšeme do tvaru lim e(t ) = lim en (t ) + lim e f (t ) = 0 . Protože ve stabilní t→∞ t →∞ t →∞ ~ uzavřené regulační smyčce platí lim en (t ) = 0 , stačí položit bw ( p) = 0 a zaručit tak lim e f (t ) = 0 . t →∞
t →∞
Podmínka pro sledování má tedy tvar ~ a( p)c( p)bw ( p) = bz ( p )a w ( p) , ze kterého lze vyvodit, že polynom a w ( p ) musí dělit součin polynomů a ( p )c( p ) , protože s polynomem bw ( p ) je dle předpokladu nesoudělný. 71
(9.69)
Požadavek na kompenzaci výstupní poruchy v(t) v ustáleném stavu vyjádříme podmínkou: lim y (t ) = 0 při w (t ) = 0 . t →∞
Pro L-obraz výstupní veličiny Y ( p ) při působení poruchy V(p) platí analogické vztahy jako pro regulační odchylku: ~ ~ bv ( p ) b z ( p ) bv ( p ) bz ( p ) bv ( p ) 1 a ( p )c( p ) = = + (9.70) Y ( p) = V ( p) = 1 + Fo ( p ) a ( p ) c ( p ) + b( p ) d ( p ) a v ( p ) a z ( p ) a v ( p ) a z ( p ) a v ( p ) a lze tedy odvodit shodné závěry jako v předešlém případě.
Princip vnitřního modelu: Pro sledování obecného referenčního signálu w(t) v ustáleném stavu regulovanou veličinou y(t) resp. pro kompenzaci výstupní poruchy v(t) je postačující, aby póly systému generujícího referenční signál resp. výstupní poruchu byly obsaženy v pólech otevřené regulační smyčky (buď jsou obsaženy v pólech systému nebo se musí stát součástí pólů regulátoru). Příklad 9.8: Princip vnitřního modelu budeme demonstrovat na diskrétním řízení spojitého systému dle blokového schéma:
Gv : v(t) = 1[t] Gw: w(t)=sint
T
FR =
w(t)
e(kT) y(kT)
T d ( z) c( z ) u(kT)
T
1 − e − pT p
u
FS =
0.326 p2 + p
y(t)
Tvarovač 0.- řádu ∗
= 0, ∀i ) tak, aby po konečném počtu kroků regulace (v ustáleném stavu) sledovala regulovaná veličina referenční signál w(t ) = sin t K danému spojitému systému navrhněte diskrétní regulátor s konečným počtem kroků regulace ( z i
a byla kompenzována skoková porucha v(t) = 1[t], která působí na vstupu řízeného systému. Periodu vzorkování volte T = 1sec. Řešení: 1/ Určíme diskretizovaný model spojitého systému s tvarovačem 0.-tého řádu
FS ( z ) =
z − 1 −1 Fs ( p) 0.12( z + 0.718) b( z ) Z L = ; st a ( z ) = 2 = z p ( z 1 )( z 0 . 368 ) a ( z ) − −
2/ Určíme Z-obraz poruchy přepočtené na výstup(!!)
0.326 0.12 z ( z + 0.718) V ( z ) = Z L−1 2 = ..... = ( z − 1) 2 ( z − 0.368) p ( p + 1)
(bez tvarovače!)
3/ Určíme Z-obraz referenčního signálu
W ( z ) = Z {sin t}
t = kT
=
0.84 z (bez tvarovače !) z − 1.083 z + 1 2
4/ Podle principu vnitřního modelu musí být póly systémů generující referenční signál a poruchu obsaženy v pólech otevřené regulační smyčky
b( z ) d ( z ) 0.12( z + 0.718) d ( z ) = … v otevřené smyčce chybí polynom a ( z ) c( z ) ( z − 1)( z − 0.368) c( z ) ( z − 1)( z 2 − 1.083 z + 1) a musí se tedy stát součástí polynomu regulátoru c(z )!
Fo ( z ) = FS ( z ) FR ( z ) =
5/ Určíme řád obecného dynamického regulátoru. Ponecháme-li stranou požadavek na sledování referenčního signálu a kompenzaci výstupní poruchy v ustáleném ∗
stavu, jedná se o úlohu s požadovaným umístěním pólů uzavřené regulační smyčky ( z i
= 0, ∀i ) pro řízený
systém druhého řádu. Pro požadované umístění pólů by tedy stačil dynamický regulátor prvního řádu. Z principu vnitřního modelu však vyplývá, že regulátor musí mít část svého polynomu c (z ) zafixovánu
72
polynomem třetího stupně ( z − 1)( z
2
− 1.083 z + 1) a bude tudíž 4. řádu s přenosem ve tvaru
U ( z ) d 4 z + d 3 z + d 2 z 2 + d1 z + d 0 d ( z ) FR ( z ) = = = a s šesti neurčenými parametry. E ( z ) ( z − 1)( z 2 − 1.083 z + 1)( z − c0 ) c( z ) 4
3
6/ Uzavřená regulační smyčka je popsána přenosem 6. řádu
Fy , w ( z ) =
FS ( z ) FR ( z ) b ( z) Y ( z) b( z ) d ( z ) = = = z ; st a z ( z ) = 6 W ( z ) 1 + FS ( z ) FR ( z ) a( z )c( z ) + b( z )d ( z ) a z ( z ) 6
a pro požadované umístění pólů položíme
a z (z ) = a z∗ ( z ) = ∏ ( z − z i∗ ) = z 6 . i =1
Parametry regulátoru
c0 , d 0 ...d 4 určíme řešením Diofantické rovnice a ( z )c( z ) + b( z )d ( z ) = z 6 .
Dosažené výsledky ověříme simulací:
9.8. Umístitelnost pólů lineárním stavovým regulátorem Uvažujme spojitý jednorozměrový t-invariantní LDS n-tého řádu se stavovým popisem S: x& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) ; x(t0 ) , x(t ) ∈ R n - měřitelný stav, u (t ), y (t ) ∈ R 1
(9.71)
y (t ) = c x(t ) a lineární stavový regulátor viz (8.13), popsaný rovnicí Reg.: u (t ) = −k T x(t ) + u k (t ) ,
(9.72)
T
kde k T = [k1 ,.....k n ] je matice konstantních parametrů regulátoru a u k (t ) je kompenzační řízení.
Po dosazení rovnice regulátoru (9.72) do (9.71) dostáváme stavový popis uzavřeného systému Sz: x& (t ) = ( A − bk T ) x(t ) + bu k (t ) ; x(t0 ) (9.73) y (t ) = c T x(t ) , který je rovněž n-tého řádu. Stavový regulátor nezvyšuje řád uzavřeného systému, dochází však ke změně matice dynamiky systému A → A − bk T , mění se její vlastní čísla, a tudíž i póly odpovídajícího charakteristického polynomu uzavřeného systému a z ( p, k T ) = det( pI − A + bk T ) . Přenos uzavřeného systému lze vyjádřit ve tvaru: Y ( p) c T ( pI − A + bk T ) Adj b bz ( p, k T ) F y ,u k ( p ) = = c T ( pI − A + bk T ) −1 b = = , (9.74) U k ( p) det( pI − A + bk T ) a z ( p, k T ) který navozuje představu, že lineární stavový regulátor mění i nuly systému. Skutečnost, že stavový regulátor může ovlivnit pouze umístění pólů dokážeme pomocí ekvivalentního zápisu přenosu Fy ,uk ( p ) , který vyplývá z blokového schéma systému se stavovým regulátorem
73
( pI − A) −1 b
cT y
uk
F y ,u k ( p ) =
u
x kT
bz ( p ) c T ( pI − A) −1 b c T ( pI − A) Adj b = = T −1 T Adj 1 + k ( pI − A) b det( pI − A) + k ( pI − A) b a z ( p, k T )
(9.75)
Stavová zpětná vazba mění v závislosti na parametrech regulátoru k T = [k1 ,...k n ] pouze póly uzavřeného systému, kdežto nuly daného systému se nemění (pokud se nevykrátí s póly).
Přirozenou otázkou je, za jakých podmínek je možné docílit lineárním stavovým regulátorem libovolné umístitelnosti pólů pi∗ , i = 1,….n , uzavřeného systému? Jinak řečeno, kdy existuje k T (resp. K u vícerozměrových systémů) takové, že bude platit n
a z ( p, k T ) = det( pI − A + bk T ) ≡ a z∗ ( p ) = ∏ ( p − p i∗ ) = p n + a n∗−1 p n −1 + ...a1∗ p + a 0∗ ?
(9.76)
i =1
Věta 9-4: (Umístitelnost pólů lineárním stavovým regulátorem) Nutnou a postačující podmínkou libovolné umístitelnosti pólů lineárním stavovým regulátorem je řiditelnost LDS. Nástin důkazu: T Předpokládejme, že daný systém S ( A, b, c ) je neřiditelný. Potom musí být ekvivalentní s neřiditelnou stavovou reprezentací systému (viz Kalmanova dekompozice)
1 x& (t ) A11 S :2 = x& (t ) 0
[
A12 1 x (t ) 1b 1 T + u (t ) řízeného stavovým regulátorem u (t ) = − k A22 2 x (t ) 0
]
1 x (t ) k . 2 x (t ) T Po dosazení regulátoru do rovnice systému dostaneme uzavřený systém s maticí dynamiky ( A − b k ) a 2
T
odpovídajícím charakteristickým polynomem
a z ( p, k T ) = det( pI − A11 + 1b 1k T ) det( pI − A22 ) , ze kterého je zřejmé, že póly odpovídající vlastním číslům matice
A22 jsou regulátorem neovlivnitelná. Naopak, bude-li systém řiditelný, lze tyto póly regulátorem ovlivnit.
Návrh stavového regulátoru při specifikaci požadovaného umístění pólů Je-li požadované umístění pólů uzavřeného systému specifikováno polynomem a ∗z ( p ) , určíme parametry stavového regulátoru položením a z ( p, k T ) = a ∗z ( p ) a porovnáním výrazů u stejných mocnin proměnné p. a z ( p, k T ) = det( pI − A + bk T ) = a ∗z ( p ) = p n + a n∗−1 p n −1 + ...a1∗ p + a 0∗ (9.77) Algoritmicky nejjednodušší výpočet parametrů regulátoru je pro systém ve Frobeniově stavové reprezentaci, protože v matici dynamiky uzavřeného systému ( AF − bF k T ) se parametry regulátoru objeví pouze v poslední řádce, kde se odečítají od parametrů systému. Ve Frobeniově stavové reprezentaci jsou koeficienty v poslední řádce matice dynamiky koeficienty charakteristického polynomu uzavřeného systému a z ( p, k T ) a není tedy nutný jeho výpočet:
0 1 ....... 0 0 0 1 T ; ( A , b …matice Frobeniovy reprezentace) AF − bF k = F F ... .. .. .. − a n−1 − k n − a 0 − k1 , − a1 − k 2 , .. ⇒ det( pI − AF + bF k T ) = a z ( p, k T ) = p n + (a n−1 + k n ) p n −1 + ... + (a1 + k 2 ) p + (a 0 + k1 ) (9.78) 74
Porovnáním a z ( p, k T ) = a ∗z ( p ) dostáváme pro výpočet parametrů regulátoru jednoduchý vztah k i +1 = a i∗ − ai ; i = 0,1, ........ n-1 (9.79) T Je-li systém v obecné stavové reprezentaci (A,b,c ), lze pro návrh stavového regulátoru také použít tak zvanou Ackermannovu formuli pro libovolné umístění pólů u (t ) = − [0,.......0, 1] QD−1 a ∗z (A) x(t ) = − k T x(t ) (9.80)
[
]
kde QD je matice dosažitelnosti daného systému QD = b, Ab,........ A n −1b a a ∗z (A) je maticový polynom pro požadované umístění pólů, získaný aplikací Cayley-Hamiltonovy věty na a ∗z ( p ) a ∗z ( p ) = p n + a n∗−1 p n −1 + ...a1∗ p + a 0∗
→
a ∗z ( A) = A n + a n∗−1 A n −1 + ...a1∗ A + a 0∗ I
(9.81)
Kompenzace statického zesílení při návrhu stavového regulátoru Protože stavovou zpětnou vazbou ovlivníme pouze rozložení pólů uzavřeného systému a nuly zůstávají nezměněny, změní se statické zesílení uzavřeného systému a při regulaci na konstantní hodnotu je nutná jeho kompenzace. Kompenzaci provedeme kompenzačním řízením u k (t ) = k komp w(t ) tak, aby přenos uzavřeného systému měl jednotkové zesílení. Uvažujme řízení výstupní odezvy LDS stavovým regulátorem při w(t) = 1[t]. L-obraz výstupu uzavřeného systému je podle (9.74) Y ( p) = cT ( pI − A + bk T ) −1 bkkompW ( p) a protože v ustáleném stavu požadujeme 1 lim y (t ) = lim pY ( p ) = lim pcT ( pI − A + bk T ) −1 bkkomp = w(t ) = 1[t ] (9.82) t →∞ p →0 p →0 p určíme hledané kkomp jako převrácenou hodnotu přenosu uzavřeného systému v ustáleném stavu 1 1 = (9.83) T −1 c (− A + bk ) b Fz (0) Nevýhodou této kompenzace je její nerobustnost, protože při změně parametrů systému je nutno kompenzační koeficient vždy přepočítat. V dalším odstavci ukážeme, že tuto nevýhodu odstraní použití stavového regulátoru s integrací. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------kkomp =
T
Příklad 9.9: Návrh stavového regulátoru s požadovanou změnou umístění pólů
1 , ( p1 = 4.7913 , p2 = 0.2087 ), navrhněte stavový p − 5 p +1 ∗ ∗ regulátor s požadovaným umístěním pólů uzavřeného systému p1 = p2 = −2 . FS ( p ) =
K nestabilnímu systému s přenosem
2
V ustáleném stavu požadujeme, aby výstup sledoval referenční signál w(t) = 1[t]. Řešení: Určíme Frobeniovu stavovou reprezentaci daného přenosu a matici dynamiky uzavřeného systému
1 0 0 1 0 T T T AF = ; bF = ; cF = [1 0] ; k = [ k1 k2 ] ; AF − bF k = −1 5 1 −1 − k1 5 − k2 T T 2 Charakteristický polynom uzavřeného systému: det( pI − AF + bF k ) = az ( p, k ) = p + (−5 + k2 ) p + 1 + k1 Jeho porovnáním s požadovaným
Kompenzační koeficient
2
a ( p ) = ∏ ( p − pi∗ ) = p 2 + 4 p + 4 dostáváme k1 = 3, k 2 = 9 . ∗ z
i =1
k komp = 4 je v daném případě zřejmý z tvaru přenosů , lze jej spočítat dle (9.83).
Navržený regulátor je popsán rovnicí
u (t ) = −3x1 (t ) − 9 x 2 (t ) + 4w(t ) .
75
Simulační schéma je na obrázku spolu s požadovaným přenosem uzavřeného systému:
9.9. Lineární stavový regulátor s integrací Tento regulátor je kombinací nedynamického stavového regulátoru a integrační složky odvozené od regulační odchylky, zavedené vnější zpětnou vazbou od regulovaného výstupu. Do otevřené regulační smyčky je tak zaveden astatismus zaručující přesnost regulace při regulaci na konstantní hodnotu. V tomto smyslu lze integrační složku regulátoru považovat za vnitřní model generátoru referenčního signálu (viz princip vnitřního modelu). Blokové schéma regulačního obvodu a jeho popis: d
Řízený systém
x& I
∫
Gw w
S : x& = Ax + bu
kI xI
e
y
x
c
T
u
uk
kT
Řízený systém: S : x& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) ; x(t0 ) , x(t ) ∈ R n - měřitelný stav, u (t ), y (t ) ∈ R 1
(9.84)
y (t ) = c x(t ) T
Regulátor: Reg: x& I (t ) = w(t ) − c T x(t ) ; x I (t ) ∈ R1 u (t ) = −k T x(t ) + k I x I (t ) + (d .w(t ))
(9.85)
T
k I je integrační konstanta a k je řádková matice parametrů stavového regulátoru Uzavřený systém s rozšířeným vektorem stavu dostaneme po dosazení za řízení u(t) do (9.84):
x& (t ) A − bk T bk I x(t ) (d ) x& (t ) = + w(t ) ; T 0 x I (t ) 1 I −c x(t ) y (t ) = c T 0 . x I (t )
[
]
76
A − bk T Az = T −c
bk I 0
(9.86)
Lze snadno odvodit, že přímovazební složka řízení d.w(t) (uvedená čárkovaně v blokovém schéma) zavádí do čitatele přenosu uzavřeného systému polynom ( pd + k I ) , tedy nulu s hodnotou k I / d . Pokud zavedení nuly nevyžadujeme, je d =0. Návrh stavového regulátoru s integrací a určení jeho (n + 1) parametrů k T , k I lze opět provést dle požadavku na umístění pólů , specifikované příslušným polynomem a ∗z ( p ) , st a ∗z ( p ) = n + 1 . Hledané parametry regulátoru určíme opět porovnáním charakteristického polynomu uzavřeného systému s polynomem určeným z požadovaného umístění pólů det( pI − Az ) = a z ( p, k T , k I ) = a ∗z ( p )
(9.87)
9.10. Lineární stavový regulátor pro sledování obecného referenčního signálu a kompenzaci poruch v ustáleném stavu. V předchozím odstavci jsme zavedení integrační složky do vnější otevřené regulační smyčky interpretovali jako použití principu vnitřního modelu při regulaci na konstantní hodnotu. Nabízí se zobecnění: Nahradit integrační složku stavovým modelem generátorů externích signálů (referenční signál w(t), výstupní poruchu v(t)) a docílit v ustáleném stavu sledování obecného referenčního signálu a/nebo kompenzaci výstupní poruchy. Zjednodušené blokové schema pro sledování obecného referenčního signálu w(t) a jeho popis: Vnitřní model Gw řízený odchylkou e
x& w = Aw x w + bw e
Gw
k
Řízený systém
S : x& = Ax + bu
T w
w e
xw
uk
y
x
c
T
u kT
Řízený systém: S : x& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) ; x(t0 ) , x(t ) ∈ R n - měřitelný stav, u (t ), y (t ) ∈ R 1
(9.88)
y (t ) = c x(t ) Generátor referenčního signálu w(t): G w : x& w (t ) = Aw x w (t ); x w (t 0 ) …daná počáteční podmínka,
(9.89)
T
w(t ) = c x w (t )
x w (t ) ∈ R … stav vnitřního modelu (měřitelný)
T w
l
Vnitřní model generátoru referenčního signálu w(t) musí být řiditelný odchylkou e(t): G w : x& w (t ) = Aw x w (t ) + bw w(t ) − c T x(t ) ,
[
]
(9.90)
kde bw je libovolná matice (lx1) zaručující řiditelnost G w ! Stavová reprezentace systému S s vnitřním modelem G w :
x& (t ) A x& (t ) = − b c T w w
0 x(t ) b 0 + u (t ) + w(t ) ; Aw x w (t ) 0 bw
77
y (t ) c T w(t ) = 0
0 x(t ) c wT x´w (t )
(9.91)
Protože požadujeme, aby v ustáleném stavu sledoval regulovaný výstup referenční signál, musí být uzavřený systém stabilní. (Připomeňme: po odeznění stabilní přirozené složky odezvy bude odezva dána vynucenou složkou odezvy). Pro zajištění stability uzavřeného systému použijeme stavový regulátor od měřitelných x(t ), x w (t ) : Reg: u (t ) = − k T x(t ) + k wT x w (t ) ,
(9.92)
kde řádkové matice k ... (1xn) a k ... (1xl ) obsahují (n + l ) neznámých parametrů regulátoru. T
T w
Uzavřený systém s vnitřním modelem dostaneme po dosazení za řízení u (t ) do (9.91): x& (t ) A − bk T bk wT x(t ) 0 y (t ) c T 0 x(t ) = + w ( t ) ; x& (t ) w(t ) = T T Aw x w (t ) bw 0 c w x´w (t ) w − bw c
(9.93)
A − bk T bk wT Označíme matici dynamiky uzavřeného systému Az , Az = , určíme její T Aw − bw c charakteristický polynom det( pI − Az ) = a z ( p, k T , k wT ) a specifikujeme požadované umístění pólů polynomem a ∗z ( p ) , st a ∗z ( p ) = n + l . Hledané parametry regulátoru určíme porovnáním a z ( p, k T , k wT ) = a ∗z ( p ) (9.94) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 9.10: Použijte princip vnitřního modelu a navrhněte stavový regulátor k řízenému systému s přenosem
Y ( p) 1 = tak, aby výstup sledoval v ustáleném stavu “rampovou” funkci w(t ) = t . U ( p) p + 2 ∗ Všechny póly pi uzavřeného systému zvolte s hodnotou -1. FS ( p ) =
Řešení: Určíme stavový model řízeného systému:
S:
x& (t ) = −2 x(t ) + u (t ) ; y (t ) = x(t )
Určíme stavový model
→
A = −2 , b = 1 , c T = 1
G w , řízený regulační odchylkou e(t):
Pro zadané w(t) = t, resp.W(p) = 1/p2 dostáváme Frobeniovu stavovou reprezentaci
x&1w (t ) 0 1 x1w (t ) 0 Gw : = + .e(t ) ; x& 2 w (t ) 0 0 x 2 w (t ) 1 Aw bw Řízený systém s vnitřním modelem
x (t ) w(t ) = [1 0]. 1w x 2 w (t ) c wT
G w je popsán stavovým modelem třetího řádu.
Rovnice stavového regulátoru :
[
u (t ) = − k
]
x(t ) k wT . = − kx(t ) + k1w x1w (t ) + k 2 w x 2 w (t ) x w (t )
Dosadíme do (9.93), určíme
Az a charakteristický polynom det( pI − Az ) = a z ( p, k T , k wT ) .
Parametry regulátoru určíme porovnáním Vypočtené hodnoty parametrů:
a z ( p, k T , k wT ) = a ∗z ( p ) = ( p + 1) 3 .
k = 1, k1w = 1 , k 2 w = 3 . 78
Funkci regulátoru lze ověřit simulací: Řízený systém
Vnitřní model
9.11. Lineární stavový regulátor pro konečný počet kroků regulace Při přímém návrhu diskrétních regulátorů lze požadovat, aby regulovaný výstup či stav spojitého řízeného systému dosáhl požadovaných hodnot v konečném čase, daném konečným počtem kroků regulace N násobených periodou vzorkování T. V odstavci 9.6. jsme se zabývali návrhem diskrétního dynamického regulátoru dle zadaného přenosu s minimálním počtem kroků regulace, daným celkovým zpožděním výstupu diskrétního modelu řízeného systému oproti vstupu (q = Nmin + d). V interpretaci požadovaného tvaru přenosové funkce uzavřené smyčky jsme zjistili, že q pólů uzavřeného systému musí být umístěno v nule. Dynamický regulátor s inverzním modelem systému byl však nerobustní a z praktického hlediska nepoužitelný. Zabývejme se nyní problémem konečného počtu kroků regulace při použití diskrétního lineárního stavového regulátoru. Uvažujme diskrétní stavový model spojitého jednorozměrového (SISO) systému s tvarovačem 0.-tého řádu s měřitelným stavem, formálně popsaný rovnicemi S : x(k + 1) = Ax(k ) + bu (k ) ; x(0) , x(k ) ∈ R n , k = 0, 1, ..... (9.95) y (k ) = c T x(k ) Z věty o řiditelnosti SISO systému vyplývá, že minimální počet kroků N pro převedení libovolné počáteční podmínky x(0) ≠ 0 do počátku stavového prostoru x( N ) = 0 je roven dimenzi vektoru stavu N = dim x(k ) = n. Důkaz tohoto tvrzení bezprostředně vyplývá z explicitního řešení stavové rovnice u ( N − 1) N −1 , N N − j −1 N N −1 x( N ) = A x(0) + ∑ A bu ( j ) = A x(0) + b, Ab,.... A b . M (9.96) j =0 u (0)
[
]
neboť libovolný nenulový n-dimenzionální vektor x(0) ≠ 0 může být převeden do x( N ) = 0 sekvencí N kroků řízení u (0),....u ( N − 1) tehdy a jen tehdy, když matice řiditelnosti
[
]
(resp. dosažitelnosti) QD = b, Ab,...... A N −1b bude invertovatelná, t. zn., že pro její hodnost musí
[
N −1
]
platit h b, Ab,...... A b = n , a tedy N = n . Předpokládejme, že sekvence řízení bude generována lineárním stavovým regulátorem: Reg.: u (k ) = − k T x(k ) + u k (k ) , k = 0, 1,.....n-1.
(9.97)
Protože řídíme stav (i výstup) systému “do nuly”, položíme u k (k ) = 0 , ∀k . Rovnice uzavřeného systému: S z : x(k + 1) = ( A − bk T ) x(k ) = Az x(k ) ; x(0) ≠ 0 , k = 0, 1, ..... n-1 ,
(9.98)
y (k ) = c x(k ) Explicitní řešení stavové a výstupní rovnice pro N = n : x(n) = Azn x(0) a y (n) = c T Azn x(0) ;
(9.99)
T
79
x ( 0) ≠ 0
Protože požadujeme x(n) = 0 resp. y (n) = 0 , musí platit Azn = 0 (matice Az je nilpotentní maticí stupně n). Použitím Cayley-Hamiltonovy věty („každá čtvercová matice vyhovuje své charakteristické rovnici“) a podmínky Azn = 0 určíme požadovaný tvar charakteristického polynomu uzavřeného systému a ∗z (z ) pro minimální počet kroků regulace n: n
(
)
a z∗ ( z ) = ∏ z − z i∗ = z n + a n∗−1 z n −1 + ...... + a1∗ z + a 0∗ = z n i =1
(9.100)
resp. z i∗ = 0 , ∀i , i = 1, 2, … n Důkaz : Aplikací C.-H. věty dostaneme a ∗z ( Az ) = Azn + a n∗−1 Azn −1 + ...... + a1∗ Az + a 0∗ I = 0 . Dosazením Azn = 0 vidíme, že rovnice je splněna, jestliže a n∗−1 = a n∗−2 = ...... = a1∗ = a 0∗ = 0 . Odtud plyne (9.100). Parametry stavového regulátoru pro minimální počet kroků regulace opět určíme porovnáním charakteristického polynomu uzavřeného systému a z ( z , k T ) = det( zI − A + bk T ) s požadovaným tvarem polynomu a ∗z (z ) : a z ( z , k T ) = det( zI − A + bk T ) = a ∗z ( z ) = z n Pokud bude diskrétní systém ve Frobeniově stavové reprezentaci, potom podle (9.79) x1 (k ) u (k ) = −[k1 ,.......k n ]. M , kde k i +1 = − a i ; i = 0,1,........ n-1 x n (k )
(9.101)
(9.102)
Je-li systém v obecné stavové reprezentaci, lze použít Ackermanovu formuli u (k ) = − [0,.......0, 1] QD−1 A n x(k ) = − k T x(k ) (9.103) Takto navržený stavový regulátor lze použít i pro minimálně krokové řízení skokové odezvy systému v nulových počátečních podmínkách, avšak s nenulovým kompenzačním řízením u k (k ) = k komp w(k ) . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 9.11: Pro řízení skokové odezvy spojitého systému s přenosem
FS ( p ) =
1 navrhněte minimálně krokový p + p +1 2
stavový regulátor. Periodu vzorkování zvolte T = 0.1 sec., w(t) = 1[t]. Řešení: Určíme diskrétní přenos systému s tvarovačem 0.-tého řádu
FS ( z ) =
Y ( z ) 0.004833z + 0.004675 0.004833z −1 + 0.004675 z −2 = 2 = , U ( z) z − 1.895 z + 0.9048 1 − 1.895 z −1 + 0.9048 z −2
kterému odpovídá stavová reprezentace ve Frobeniově tvaru
0 1 x1 (k ) 0 x1 (k + 1) x (k + 1) = − 0.9048 1.895 x (k ) + 1u (k ) ; x1 (0) = x 2 (0) = 0 , k = 0, 1, 2,.... 2 2 x (k ) y (k ) = [0.004675 0.004833]. 1 . x 2 (k ) Řízený systém je druhého řádu (n = 2), a tudíž požadované hodnoty w( k ) = 1 musí regulovaný výstup nabýt po dvou krocích regulace. Rovnice stavového regulátoru s kompenzačním řízením pro korekci statického zesílení je u (k ) = 0.9048 x1 (k ) − 1.895 x 2 (k ) + u k (k ) , u k (k ) = k komp w(k ) Po dosazení za řízení dostáváme stavový popis uzavřeného systému
80
x1 (k + 1) 0 1 x1 (k ) 0 x (k + 1) = 0 0 x (k ) + 1.u k (k ) ; 2 2 x (k ) y (k ) = [0.004675 0.004833]. 1 , x 2 (k )
k = 0, 1, 2,....
Odpovídající diskrétní přenos uzavřeného systému má tvar
Y ( z) 0.004833 z + 0.004675 = c T ( zI − A + bk T ) −1 b = , U k ( z) z2 nemá však jednotkové statické zesílení. Pro určení k komp využijeme větu o konečné hodnotě Fz ( z ) =
lim y (kT ) = lim ( z − 1)Y ( z ) = lim ( z − 1) Fz ( z )U k ( z ) = lim ( z − 1) Fz ( z ) k komp k →∞
z→1
=
lim ( z − 1) z→1
z→1
z→1
z = z −1
0.004833 z + 0.004675 z k komp = 1 → k komp = 105.1746 2 z −1 z
Simulaci diskrétního řízení a diskrétní odezvy spolu s průběhem odezvy spojitého systému znázorňuje blokové schéma. Simulací lze ověřit, že regulovaný výstup nabývá požadované hodnoty ve dvou krocích, tedy za 0.2 sec., spojitý regulovaný výstup y(t) zůstává na požadované hodnotě ∀t , t ≥ 2T . Sekvence řízení je po dvou krocích nulová a systém již není řízením ovlivňován u ( k ) = 0 ∀k , k ≥ 2 - jedná se o tzv. silnou verzi konečného počtu kroků regulace. Vysoké hodnoty řízení u (0) , u (1) vyplývají z krátké periody vzorkování a z minimálního počtu kroků regulace.
9.12. Dynamický regulátor pro řízení skokové odezvy polohového servosystému s konečným počtem kroků regulace Jak bylo ukázáno v předchozím odstavci, návrh stavového regulátoru pro řízení skokové odezvy s minimálním počtem kroků regulace ( w(t ) − y (t ) = 0 pro t ≥ nT ) a s minimálním počtem kroků řízení ( u (t ) = 0 pro t ≥ nT ) předpokládal měřitelnost vektoru stavu a kompenzaci zesílení. Předpokládejme nyní, že stav systému není měřitelný a zabývejme se návrhem diskrétního dynamického regulátoru ve smyslu dosažení konečného (minimálního) počtu kroků regulace resp. konečného počtu kroků řízení. Z důvodů, které vyplynou z pozdější analýzy se omezíme se na problém řízení skokové odezvy polohových servosystémů , který je v praktických situacích dosti frekventovaný a důležitý (řízení polohy ramena robotického manipulátoru či raménka se snímačem u CD mechanik, řízení posuvu u obráběcích strojů, řízení hydraulických či elektrických servomotorů a pod.). Ve všech těchto případech se obvykle vyžaduje co nejkratší doba odezvy na skokovou změnu požadované hodnoty, přesnost regulace a také realizovatelnost akčních zásahů. Formulace problému: Je dán spojitý model polohového servosystému, popsaný přenosem Y ( p) b( p ) FS ( p ) = = KS (9.104) U ( p) pa ( p ) kde b( p ), a ( p ) jsou monické nesoudělné polynomy, st a ( p ) = n − 1 , st b( p ) ≤ n − 1 , K S je zesílení. 81
Diskrétní model systému s tvarovačem 0.-tého řádu a při zvolené periodě vzorkování T má tvar Y ( z) b( z ) FS ( z ) = = KS (9.105) U ( z) ( z − 1)a ( z ) kde b( z ), a ( z ) jsou monické nesoudělné polynomy, st b( z ) = st a ( z ) = n − 1 . Diskrétní přenos 1 DoF regulátoru uvažujeme ve tvaru U ( z) d ( z) FR ( z ) = = KR (9.106) E ( z) c( z ) kde d ( z ), c( z ) jsou monické nesoudělné polynomy, st d ( z ) = st c( z ) = n − 1 a E ( z ) je Z-obraz regulační odchylky e(k ) , e(k ) = w(k ) − y (k ) . Regulátor by měl zajistit, aby při skokové změně referenčního signálu w(t ) regulovaný výstup y (t ) , t = kT , nabyl požadované hodnoty za minimální počet kroků regulace k = n a setrval na této hodnotě i ve všech časových okamžicích t ∈ [kT , (k + 1)T ], ∀k . Jinak řečeno požadujeme nulovou regulační odchylku po n krocích regulace i ve spojitém čase. To lze zajistit požadavkem, aby také řízení bylo po n krocích nulové a nebyl tak ovlivňován řízený systém - silná verze konečného počtu kroků regulace. Požadujeme tedy, aby regulační odchylka e(k ) a řízení u (k ) byly konečné sekvence a aby platilo e(t ) = 0 ∧ u (t ) = 0 pro t ≥ nT (9.107) Vyjděme z přenosů referenčního signálu na řízení a na regulační odchylku v uzavřené regulační smyčce: ↓ (9.108a,b) d ( z) KR FR ( z ) K R ( z − 1)a ( z )d ( z ) U ( z) c( z ) Fu , w ( z ) = = = = b( z ) d ( z ) W ( z ) 1 + FS ( z ) FR ( z ) ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) 1+ KS KR ( z − 1)a ( z )c( z ) Fe , w ( z ) =
E( z) 1 = = W ( z ) 1 + FS ( z ) FR ( z )
1 ( z − 1)a ( z )c( z ) = b( z ) d ( z ) ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) 1+ KS KR ( z − 1)a ( z )c( z )
Charakteristický polynom uzavřené smyčky a z (z ) je pro oba přenosy stejný:
a z (z ) = ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) , přičemž st a z (z ) = 2n-1
(9.109)
Pro docílení n-krokové odezvy u (k ) a e(k ) na skokovou změnu w(t ) musí být n pólů uzavřené smyčky umístěno v nule a tomu odpovídá požadovaný tvar charakteristického polynomu uzavřené smyčky a ∗z ( z ) = z n . Ten je ovšem nižšího stupně než charakteristický polynom uzavřené smyčky a z (z ) a je zřejmé, že vzhledem k (9.107) musí dojít v obou přenosech (9.108) ke společnému krácení čitatelů a jmenovatelů nějakým polynomem stupně (n-1). Tímto polynomem je polynom a(z), který se musí ve jmenovateli krátit s polynomem d (z ) , neboť je podle předpokladu nesoudělný s b(z). Problém vede na řešení Diofantické rovnice ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) = z n a (z ) ,
82
při d ( z ) = a ( z )
(9.110)
Návrh regulátoru pro minimální počet kroků regulace a řízení (silná verze): 1/ Položíme d ( z ) = a ( z ) 2/ Polynom c(z ) a K R určíme řešením Diofantické rovnice (po vykrácení a(z) = d(z)): ( z − 1)c( z ) + K S K R b( z ) = z n 3/ Zesílení regulátoru K R lze také určit z požadavku na jednotkové zesílení přenosu uzavřené smyčky v ustáleném stavu (a po vykrácení a(z) = d(z)): K S K R b( z ) 1 = 1 ⇒ KR = lim Fy , w ( z ) = lim , b(1) ≠ 0 n z→1 z→1 K S b(1) z U ( z) d ( z) 4/ FR ( z ) = = KR E ( z) c( z ) Výpočet konečných sekvencí {u (k )}k =0 a {e(k )}k =0 při w(t ) = 1[t ] , resp. W ( z ) = n −1
n −1
z : z −1
K R ( z − 1)d ( z ) z = K R ( z n −1 + d n −2 z n −2 + ... + d1 z + d 0 ) z −( n −1) = n z 1 − z = K R (1 + d n −2 z −1 + .... + d 1 z − ( n − 2) + d 0 z − ( n −1) ) … U (z ) je polynom konečného stupně! ( z − 1)c( z ) z E ( z ) = Fe , w ( z )W ( z ) = = ( z n −1 + c n − 2 z n − 2 + ... + c1 z + c0 ) z − ( n −1) = n z −1 z −1 −( n− 2) = (1 + c n− 2 z + ..... + c1 z + c0 z − ( n −1) ) … E (z ) je polynom konečného stupně ! (9.111)
U ( z ) = Fu , w ( z )W ( z ) =
Po transformaci do časové oblasti dostáváme: {u (k )}nk−=10 = {K R , K R d n−2 ,....K R d1 , K R d 0 }, {e(k )}nk−=10 = {1, c n− 2 ,....c1 , c0 } (9.112) Při řízení skokové odezvy se polynomiální zlomky U ( z ), E ( z ) mohou stát polynomem konečného stupně jen v případě, že řízeným systémem je polohový servosystém. Jen v tomto případě dochází k nutnému krácení členu (z-1) v (9.111), jinak bychom dostali polynom nekonečného stupně. Při minimálně-krokovém řízení je doba regulace Treg = nT. Zkrácení doby regulace zavedením kratší periody vzorkování T vede na vysoké hodnoty řízení. Často je perioda vzorkování fixována a jsou nerealizovatelné hodnoty řízení. V takovém případě lze navrhnout regulátor s větším počtem kroků regulace.
Návrh regulátoru pro zvýšený počet kroků regulace a řízení ( N > n , silná verze): Požadujeme-li počet kroků regulace a řízení N > n, budeme řešit Diofantickou rovnici pro regulátor řádu N − 1 a s požadavkem na umístění N pólů do nuly. Protože v přenosech (9.108) musí být opět vykrácen polynom a (z ) , st a ( z ) = n − 1 s polynomem d (z ) , st d ( z ) = N − 1 , položíme d ( z ) = α ( z )a ( z ) , kde α (z ) je libovolný monický polynom stupně N − n. (9.113) Problém vede na řešení Diofantické rovnice ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) = z N a (z ) , při d ( z ) = α ( z )a ( z ) (9.114) Návrh regulátoru pro zvýšený počet kroků regulace a řízení ( N > n, silná verze): 1/ Pro specifikované α (z ) určíme d ( z ) = α ( z )a ( z ) 2/ K R a c(z ) , st c( z ) = N − 1 , určíme řešením Diofantické rovnice (po vykrácení a(z) = d(z)): ( z − 1)c( z ) + K S K Rα ( z )b( z ) = z N 3/ Zesílení regulátoru K R lze také určit z požadavku na jednotkové zesílení přenosu uzavřené smyčky v ustáleném stavu (a po vykrácení a(z) = d(z)): 83
K S K Rα ( z )b( z ) =1 ⇒ z→1 z→1 zN U ( z) d ( z) 4/ FR ( z ) = = KR E ( z) c( z ) lim Fy , w ( z ) = lim
KR =
1 , b(1) ≠ 0 , α (1) ≠ 0 K S α (1)b(1)
Poznamenejme, že zavedení polynomu α (z ) zavádí do návrhu regulátoru N − n stupňů volnosti, neboť koeficienty tohoto polynomu jsou součástí polynomu regulátoru d ( z ) = α ( z )a ( z ) a koeficienty polynomu d (z ) násobené K R určují přímo hodnoty řízení v sekvenci (9.111). Koeficienty polynomu α (z ) lze tedy vybrat s ohledem na realizovatelnost hodnot řízení nebo určit jejich hodnoty jako výsledek parametrické optimalizace dle nějakého kriteria optimality. Tyto úlohy však již překračují rámec zaměření přednášek LS2.
Návrh regulátoru pro minimální počet kroků regulace (slabá verze): Pokud požadujeme, aby při skokové změně referenčního signálu w(t ) regulovaný výstup y (t ) , t = kT , nabyl požadované hodnoty za minimální počet kroků regulace k = n, ale nevyžadujeme její setrvání na této hodnotě i ve spojitém čase (připouštíme tedy nenulové řízení po n krocích), hovoříme o slabé verzi konečného počtu kroků regulace. Pro návrh regulátoru vyjdeme z přenosu (9.108b): E( z) 1 1 ( z − 1)a ( z )c( z ) Fe , w ( z ) = = = = b( z ) d ( z ) W ( z ) 1 + FS ( z ) FR ( z ) ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) 1+ KS KR ( z − 1)a ( z )c( z ) Pro docílení n-krokové odezvy e(k ) na skokovou změnu w(t ) musí být n pólů uzavřené smyčky umístěno v nule a požadujeme tedy opět a ∗z ( z ) = z n , který je nižšího stupně než charakteristický polynom uzavřené smyčky a z (z ) (9.109). V přenosu (9.108b ) musí opět dojít ke krácení čitatele a jmenovatele nějakým polynomem stupně (n-1). Tímto polynomem bude nyní polynom c(z), který se musí ve jmenovateli zkrátit s polynomem b( z ) , neboť předpokládáme jeho nesoudělnost s d(z). Problém vede na řešení Diofantické rovnice ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) = z n c( z ) , při c( z ) = b( z )
(9.115)
Návrh regulátoru pro minimální počet kroků regulace (slabá verze): 1/ Položíme c( z ) = b( z ) 2/ Polynom d ( z ) a K R určíme řešením Diofantické rovnice (po vykrácení b(z) = c(z)): ( z − 1)a ( z ) + K S K R d ( z ) = z n 3/ Zesílení regulátoru K R lze také určit z požadavku na jednotkové zesílení přenosu uzavřené smyčky v ustáleném stavu (a po vykrácení b(z) = c(z)): K K d ( z) 1 lim Fy , w ( z ) = lim S Rn = 1 ⇒ KR = , d (1) ≠ 0 z→1 z→1 z K S d (1) U ( z) d ( z) 4/ FR ( z ) = = KR E ( z) c( z ) Slabá verze konečného počtu kroků regulace často způsobuje oscilace spojité regulované veličiny y (t ) mezi okamžiky vzorkování v důsledku stabilní nuly se zápornou reálnou částí, která se objevuje v polynomu b( z ) diskrétního modelu systému při krátké periodě vzorkování. 84
Protože platí b(z) = c(z), stává se „nulový“ polynom systému „pólovým“ polynomem regulátoru a pól se zápornou reálnou částí je důvodem oscilujícího řízení, a tedy i oscilující regulované veličiny. Sekvence řízení při slabé verzi je nekonečnou (stabilní) sekvencí, neboť K R ( z − 1)a ( z )d ( z ) z K a ( z )d ( z ).z (9.116) U ( z ) = Fu , w ( z )W ( z ) = = R n ( z − 1)a ( z )c( z ) + K S K R b( z )d ( z ) z − 1 z c( z ) a to je polynomiální zlomek, který při c( z ) ≠ a ( z ) nelze dělením převést na polynom konečného stupně, a tedy na konečnou sekvenci. Pro silnou i slabou verzi uvedeme ilustrativní příklad. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Y ( p) 10 Příklad 9.12: Pro spojitý servosystém popsaný přenosem FS ( p ) = = navrhněte číslicový U ( p ) p ( p + 1) regulátor s minimálním počtem kroků pro řízení odezvy na skokovou změnu referenčního signálu w(t) = 1[t]. Regulátor navrhněte pro silnou i slabou verzi. Periodu vzorkování volte T = 1sec. Řešení: 1/ Určíme diskrétní model spojitého systému s tvarovačem 0.-tého řádu:
FS ( z ) =
K S b( z ) Y ( z) 0.2459 z + 0.2418 0.24588( z + 0.9835) (nula je -0.9835!) = = 2 = U ( z ) ( z − 1)a ( z ) z − 1.951z + 0.9512 ( z − 1)( z − 0.9512)
2/ Systém je druhého řádu, minimální počet kroků n = 2, dynamický regulátor bude 1. řádu
FR ( z ) =
z + d0 U ( z) d ( z) = KR = KR E( z) c( z ) z + c0
Silná verze:
d ( z ) = a ( z ) = z − 0.9512
Diofantická rovnice:
( z − 1)c( z ) + K S K R b( z ) = z 2
( z − 1)( z + c0 ) + 0.24588 K R ( z + 0.9835) = z 2 → c0 = 0.4959 , K R = 2.051
FR ( z ) =
z + d0 U ( z) z − 0.9512 = KR = 2.051 E( z) z + c0 z + 0.4958
Slabá verze:
c( z ) = b( z ) = z + 0.9835
Diofantická rovnice:
( z − 1)a ( z ) + K S K R d ( z ) = z n
( z − 1)( z − 0.9512) + 0.24588 K R ( z + d 0 ) = z 2 → d 0 = −0.4875 , K R = 7.9355 Simulací dle uvedených schémat lze ověřit průběhy diskrétní i spojité odezvy, regulační odchylky a řízení v silné i slabé verzi. Slabá verze vykazuje zmíněné oscilace spojité regulované veličiny.
85
9.13. Návrh regulátorů pro LDS s dopravním zpožděním – Smithův prediktor Velmi ošidný problém, který je nutno při návrhu zpětnovazebních regulátorů překonat, představují procesy s dopravním zpožděním. S dopravním zpožděním se setkáme zejména u kontinuálních technologických procesů, kde dochází k transportu zpracovávaného materiálu z místa působení akčního orgánu do místa, kde je umístěn snímač regulované veličiny. Vzdálenost mezi těmito místy dělená rychlostí transportu udává hodnotu dopravního zpoždění τ d . Vysvětlivky: SP(t) …. požadovaná hodnota (w(t)) PV(t)…. regulovaný (měřený) výstup y(t) CO(t)…. řízení u(t) S …. vzdálenost V….. rychlost Piston …akční orgán, hydraulický servomotor pro přestavování pracovního válce Optical thickness gage….optický snímač tloušťky Controller …. regulátor
Ilustrativním příkladem je např. regulace tloušťky plechu na válcovací stolici (viz obrázek). Dopravní zpoždění je příčinou toho, že účinek akčního zásahu může být detekován až po uplynutí této doby a regulátor (obvykle PI nebo PID), nemaje informaci o důsledcích svého zásahu na regulovanou veličinu, generuje i nadále řízení s cílem potlačení regulační odchylky. To bude mít za následek, že po uplynutí doby zpoždění odměřená hodnota regulované veličiny bude zřejmě signalizovat překompenzování požadované hodnoty, a tedy opačné znaménko regulační odchylky, která může mít ještě větší hodnotu než před akčním zásahem. Velikost překompenzování a tendence k nestabilitě bude záviset na tom, jak „agresivně“ jsou nastaveny parametry regulátoru a jak velké je dopravní zpoždění. V tomto směru je kritická zejména integrační složka regulátoru. Jednu z možností jak upravit nastavení parametrů PI , PID regulátorů při řízení systémů s dopravním zpožděním uvádí již Ziegler a Nichols ve svých empirických metodách: Integrační konstantu vydělit τ d2 a proporcionální konstantu vydělit τ d . Derivační konstanta dopravním zpožděním ovlivněna není. Jinou strategii řízení systémů s dopravním zpožděním volí Smithův prediktor. Strategie vychází z představy, že regulátor by měl mít informaci o dopravním zpoždění, aby v této době nereagoval na základě „starých“ hodnot měřených veličin. Jinak řečeno, regulátor by měl nějakým způsobem získat nezpožděnou informaci o hodnotě regulované veličiny. Regulaci tloušťky plechu lze znázornit regulačním obvodem dle následujícího schéma: w
Gw
e
u
v
FR ( p) = ?
FS ( p ) e e + pτ d
86
− pτ d
y
Požadavek na získání informace o nezpožděné hodnotě regulované veličiny bychom mohli hypoteticky získat zařazením (nerealizovatelného) prediktoru s přenosem e + pτ d do zpětné vazby. Přenos uzavřené regulační smyčky by měl tvar (při v = 0) FS ( p ) FR ( p )e − pτ d FS ( p ) FR ( p ) − pτ d Y ( p) = = Fy , w ( p ) = e (9.117) − pτ d + pτ d 1 + FS ( p ) FR ( p ) W ( p ) 1 + FS ( p ) FR ( p )e e což znamená, že by se dopravní zpoždění dostalo mimo uzavřenou regulační smyčku. Regulovaná veličina by samozřejmě reagovala se zpožděním na změny referenčního signálu, ale regulátor by bylo možno navrhnout stejným způsobem jako u systémů bez dopravního zpoždění. V podstatě téhož efektu je možno dosáhnout realizovatelnou strukturou Smithova prediktoru: w
e
u
v
FR ( p)
Gw
FS ( p ) e
y
− pτ d
y–
vˆ
e − pτ d
FˆS ( p)
vˆ
Model systému bez zpoždění
Predikovaný výstup y
Smithův prediktor obsahuje kromě klasické zpětnovazební smyčky ještě vnitřní smyčku, sestávající z modelu FˆS ( p) řízeného systému se separovaným dopravním zpožděním. Zpětná vazba je tak odvozena od predikovaného výstupu s přičtenou poruchou, ale neobsahuje zpoždění. Dále ukážeme, že tato strategie bude funkční pouze za obtížně splnitelného předpokladu, že model bude přesně odpovídat řízenému systému. Blokové schéma upravíme w
Gw
e
u
v
FR ( p)
FS ( p ) e
[
FˆS ( p) 1 − e − pτ d
y
− pτ d
]
a určíme opět přenos uzavřené regulační smyčky se Smithovým prediktorem: FS ( p ) FR ( p )e − pτ d 1 + FˆS ( p ) FR ( p ) 1 − e − pτ d FS ( p ) FR ( p ) Y ( p) = = Fy , w ( p ) = e − pτ d − pτ d − pτ d − pτ d ˆ W ( p) FS ( p ) FR ( p )e 1 + FS ( p ) FR ( p ) 1 − e + FS ( p ) FR ( p )e 1+ − pτ d ˆ 1 + FS ( p ) FR ( p ) 1 − e (9.118) Všimněme si, že při FˆS ( p) = FS ( p) dostáváme přenos uzavřené regulační smyčky s dopravním zpožděním mimo regulační smyčku a přenos odpovídá přenosu (9.117), který byl získán použitím hypotetického prediktoru.
[
]
[
[
]
87
]
Při použití nepřesného modelu bude regulátor sice dobře řídit fiktivní regulovanou proměnnou, o které dostává informaci prostřednictvím modifikované zpětné vazby, ta však může mít málo společného se skutečnou regulovanou veličinou. Uveďme ještě variantu Smithova prediktoru, která vyplývá z návrhu regulátoru s inverzním modelem systému (invertuje se pouze část přenosové funkce systému bez dopravního zpoždění!) w
Gw
e
u
v
R( p)
FS ( p ) e
y
− pτ d
R( p) = FQ ( p) FS ( p)−1 FˆS ( p)e− pτ
Závěrečná poznámka ke klasickým metodám návrhu regulátorů: Mezi metody návrhu regulátorů uvedenými v této kapitole je žádoucí započítat i frekvenční metody, které byly vysvětleny nebo alespoň naznačeny již v 7. kapitole „Požadavky na regulační obvod a návrhová omezení“. Jedná se zejména o návrh korekčních článků – regulátorů dle požadované bezpečnosti v zesílení a fázi, potlačení poruch, kmitavosti, resp. návrh regulátorů vycházející z požadavků na tvarování průběhu frekvenční charakteristiky otevřené regulační smyčky.
88
10. DETERMINISTICKÁ REKONSTRUKCE STAVU V předchozí kapitole jsme při návrhu stavových regulátorů vycházeli z předpokladu, že stav řízeného systému je měřitelný. Zpravidla však není možné měřit všechny stavové veličiny (nedostupnost měření, neexistence vhodných čidel, vysoké náklady a pod.) a je nutno určit stavové veličiny na základě znalosti modelu řízeného systému a měření vstupních a výstupních veličin na reálném systému. Z analýzy lineárních systémů víme, že má-li být určen vekor stavu na základě měření jeho výstupu, musí být systém pozorovatelný. Nabízí se tak možnost výpočet vektoru stavu s využitím explicitního řešení výstupní rovnice (5.28). Chceme-li však získat aktuální stav ve všech časových okamžicích, je tento postup nevhodný a výpočet neefektivní. Dáváme proto přednost rekurzivnímu algoritmu, který je implementován v podobě dynamického systému – rekonstruktoru stavu. V této kapitole vysvětlíme princip deterministické rekonstrukce stavu , ukážeme přístupy k návrhu lineárního asymptotického rekonstruktoru stavu a budeme analyzovat vlastnosti spojení rekonstruktoru se stavovým regulátorem - dynamického kompenzátoru.
10.1. Lineární asymptotický rekonstruktor stavu (spojitá verze) Předpokládejme, že je dán stavový model řízeného spojitého, pozorovatelného SISO systému, S: x& (t ) = Ax(t ) + bu (t ), x(t 0 ) , x(t ) ∈ R n jsou neměřitelné, u (t ) ∈ R1 , y (t ) ∈ R1 (10.1) y (t ) = c T x(t ) jehož měřený vstup a výstup je přiveden do nespecifikovaného bloku rekonstruktoru stavu. Výstupem tohoto bloku by měl být průběžně rekonstruovaný stav, který označíme xˆ (t ) . S: (A,b,cT) x(t), x(t0)
u(t)
yˆ (t )
cT xˆ (t )
y (t )
Rekonstruktor ?
Hledejme odpověď na tři otázky: 1/ Jakou strukturu by měl mít rekonstruktor? 2/ Jaké vlastnosti by měl mít rekonstruovaný stav xˆ (t ) ? 3/ Jak navrhnout parametry rekonstruktoru?
Ad1/ Rekonstruktor stavu je zřejmě dynamický systém, na jehož vstup je přiveden měřitelný vstup u (t ) a výstup y (t ) řízeného systému a výstupem rekonstruktoru je rekonstruovaný stav xˆ (t ) resp. rekonstruovaný výstup yˆ (t ) = c T xˆ (t ) . Z této formulace vyplývá, že rekonstruktor můžeme formálně popsat stavovým modelem: Rek.: x&ˆ (t ) = Fxˆ (t ) + gu (t ) + κy (t ) , xˆ (t 0 ) je poč. podmínka rekonstruktoru, xˆ ( t0 ) ≠ x ( t0 ) (10.2) yˆ (t ) = c T xˆ (t ) F , g , κ jsou prozatím neurčené matice Pokud zvolíme dim xˆ (t ) = dim x(t ) = n , budeme hovořit o úplném rekonstruktoru stavu. Jestliže dim xˆ (t ) < dim x(t ) , hovoříme o redukovaném rekonstruktoru stavu (řád rekonstruktoru lze snížit o počet lineárně nezávislých výstupů systému – u SISO systémů tedy o jeden řád).
89
Ad2/ Od rekonstruovaného stavu budeme požadovat následující vlastnosti: a/ Rekonstruovaný stav xˆ (t ) by měl konvergovat ke skutečnému stavu x(t ) . b/ Rekonstrukce stavu xˆ (t ) by neměla záviset na vstupu u (t ) a na stavu x(t ), ve kterém se řízený systém nachází. Ad3/ Definujme chybu rekonstrukce ε (t ) = xˆ (t ) − x(t ) . Pro návrh úplného asymptotického rekonstruktoru stavu musíme požadovat, aby lim ε (t ) = lim xˆ (t ) − lim x(t ) = 0 t →∞
t→∞
t →∞
(10.3)
Časový vývoj chyby rekonstrukce ε (t ) dostaneme po její formální časové derivaci a dosazení rovnice systému a rekonstruktoru ε& (t ) = x&ˆ (t ) − x& (t ) = Fxˆ (t ) + gu (t ) + κy (t ) − Ax(t ) − bu (t ) + Fx(t ) − Fx(t ) (10.4) Po úpravě vidíme, že chybu rekonstrukce generuje fiktivní dynamický systém ε&(t ) = Fε (t ) + ( F − A + κc T ) x(t ) + ( g − b)u (t )
(10.5)
Požadavky ad2/ na rekonstruovaný stav xˆ (t ) jsou současně požadavky na chybu rekonstrukce ε (t ) . Požadovanou nezávislost rekonstruovaného stavu xˆ (t ) na vstupu u (t ) a stavu x(t ) zaručíme, jestliže položíme ( F − A + κc T ) = 0 a ( g − b) = 0 . Musí tedy platit: F = A − κc T a g = b , kde κ zůstává prozatím neurčenou maticí nx1. Fiktivní dynamický systém pro chybu rekonstrukce se stává autonomním systémem , který reaguje jen na nenulové počáteční podmínky ε&(t ) = Fε (t ) , ε (t 0 ) = xˆ (t 0 ) − x(t 0 ) ≠ 0 , (10.6) Tento systém musí být stabilní, aby bylo splněno (10.3). Stabilitu je dána umístěním vlastních čísel matice F = A − κc T , respektive umístěním pólů odpovídajícího charakteristického polynomu det ( pI − A + κ cT ) . Volbou požadovaného umístění pólů pi∗ , i = 1,...n tak můžeme určit matici κ , a tedy i F = A − κc T , porovnáním polynomů n
det ( pI − A + κ cT ) = ∏ ( p − pi∗ ) = p n + an∗−1 p n −1 + ...a1∗ p + a0∗
(10.7)
i =1
Rovnici navrženého rekonstruktoru získáme dosazením F = A − κc T a g = b do (10.2): Rek: x&ˆ (t ) = ( A − κ cT ) xˆ (t ) + bu (t ) + κ y (t ) , xˆ (t ) 0
(10.8)
yˆ (t ) = cT xˆ (t ) Používanější tvar rekonstruktoru získáme po úpravě Rek: x&ˆ (t ) = Axˆ (t ) + bu (t ) + κ y (t ) − cT xˆ (t ) , xˆ (t 0 )
(10.9)
yˆ (t ) = cT xˆ (t ) Z této struktury vyplývá důležitá interpretace rekonstruktoru: Rekonstruktor je paralelní model systému řízený „inovační vazbou“, získanou z rozdílu měřené hodnoty y(t) a rekonstruovaného výstupu yˆ (t ) , násobeného „ziskovou maticí rekonstruktoru“ κ . Rekonstrukce je nefunkční pro xˆ (t0 ) = x(t0 ) a rekonstruktor je pouze paralelním modelem systému.
90
Blokové schéma rekonstrukce stavu: S: (A,b,cT) x(t), x(t0)
u(t) xˆ(t ) yˆ (t )
y (t )
x&ˆ = Axˆ + bu + κ ( y − cT xˆ ) xˆ (t0 ) ≠ x(t0 )
cT xˆ (t )
Lineární asymptotický rekonstruktor stavu (diskrétní verze) Pro pozorovatelný diskrétní lineární dynamický systém, s neměřitelným stavem, popsaný modelem S: x(k + 1) = Ax(k ) + bu (k ) ; x(0) , x(k ) ∈ R n , u (k ), y (k ) ∈ R1 , k = 0,1,.... (10.10) y ( k ) = cT x ( k ) lze analogickým způsobem odvodit rovnici úplného diskrétního rekonstruktoru stavu Rek.: xˆ (k + 1) = Axˆ (k ) + bu (k ) + κ y (k ) − cT xˆ (k ) ; xˆ(0) ≠ x(0) , k = 0,1,...
(10.11)
yˆ (k ) = cT xˆ (k ) a určit ziskovou matici rekonstruktoru κ (v diskrétní verzi můžeme navíc požadovat konečný počet kroků rekonstrukce!). Stavová rovnice diskrétního rekonstruktoru nabízí interpretaci rekonstruktoru jako prediktoru rekonstruovaného stavu o jeden krok xˆ (k ) → xˆ (k + 1) . Rekurzivní algoritmus rekonstrukce stavu vyplývá přímo z rovnic rekonstruktoru. Spojitý i diskrétní rekonstruktor můžeme použít i pro rekonstrukci stavu nestabilního systému ( chyba rekonstrukce ε je stabilní). -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 10.1: Navrhněte úplný asymptotický rekonstruktor stavu pro nestabilní spojitý LDS, popsaný přenosem
FS ( p ) =
Y ( p) p+2 ∗ ∗ = 2 . Póly rekonstruktoru zvolte p1 = p 2 = −2 . U ( p) p − 1
Funkci rekonstruktoru ověřte simulací při jednotkovém skoku na vstupu a při volbě počátečních podmínek rekonstruktoru xˆ1 (0) = −3 , xˆ 2 (0) = 2 . Řešení: 1/ Určíme Frobeniovu stavovou reprezentaci systému: A =
0 1 0 T 1 0 , b = 1 , c = [2 1]
2/ Určíme matici dynamiky rekonstruktoru (10.8):
− 2κ 1 1 − κ 1 κ 1 A − κc T = ; κ = 1 − 2κ 2 − κ 2 κ 2
κ určíme porovnáním ( pI − A + κ c ) = ( p + 2) 2 ⇒ κ1 = 1 , κ 2 = 2
3/ Ziskovou matici rekonstruktoru det
T
Rovnice rekonstruktoru:
nebo
x&ˆ (t ) = ( A − κ cT ) xˆ (t ) + bu (t ) + κ y (t ) , yˆ (t ) = cT xˆ (t )
xˆ(0) ≠ x(0)
x&ˆ (t ) = Axˆ (t ) + bu (t ) + κ y (t ) − cT xˆ (t ) , xˆ(0) ≠ x(0) yˆ (t ) = cT xˆ (t ) 91
Simulační schéma systému s rekonstruktorem Osciloskopy zobrazují měřený výstup systému v porovnání s rekonstruovaným výstupem a chybu rekonstrukce výstupu. Rekonstruovaný stav je na výstupech integrátorů.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10.2. Redukovaný rekonstruktor stavu (Luenbergerův, minimální) Protože z měřeného výstupu systému získáváme vždy informaci o stavu systému, není nutné navrhovat rekonstruktor s řádem rovnajícím se dimenzi vektoru stavu systému. Obecně lze řád rekonstruktoru snížit o počet nezávisle měřených výstupů systému. Počet nezávisle měřených výstupů je také určen rozměrem největší regulární submatice v matici výstupu C. Uvažujme spojitý, pozorovatelný LDS s r vstupy a p výstupy S: x& (t ) = Ax(t ) + Bu (t ), x(t 0 ) , x(t ) ∈ R n jsou neměřitelné, u (t ) ∈ R r , y (t ) ∈ R p y (t ) = Cx(t )
(10.12)
Předpokládejme, že C = [C1 C2 ] , C1... px(n − p ) , C2 ... pxp , regulární submatice.
Potom systém S bude mít p nezávisle měřených složek vektoru výstupu y (t ) a redukovaný rekonstruktor může mít minimální řád n − p.
x (t ) Převeďme systém S ( A, B, C ) transformací stavových proměnných x (t ) = 1 = Tx(t ) do x2 (t ) (vstupně-výstupní) ekvivalentní stavové reprezentace S ( A, B , C ) , ve které bude p složek výstupu systému y (t ) ztotožněno s p složkami subvektoru stavu x2 (t ) a rekonstruovat budeme pouze zbylých n − p složek subvektoru stavu x1 (t ) . Z uvedeného vyplývá, že regulární transformační matice ekvivalence T a T −1 mají tvar 0 0 I I T = , T −1 = (10.13) −1 −1 C1 C2 −C1C2 C2 Matice A, B , C ekvivalentní stavové reprezentace jsou dány transformačními vztahy
0 I A = TAT −1 , B = TB , C = CT −1 = [C1 C2 ] = [0 I ] −1 −1 −C1C2 C2 Po transformaci dostaneme ekvivalentní systém S : x& (t ) = Ax (t ) + Bu (t ), x (t0 ) , x (t ) ∈ R n , u (t ) ∈ R r , y (t ) ∈ R p y (t ) = Cx (t ) , 92
(10.14)
(10.15)
A B1 A12 x1 (t ) přičemž A = 11 , B = , C = [ 0 I ] a x (t ) = x2 (t ) A21 A22 B2 Respektujeme-li rozložení stavu x (t ) na subvektory x1 (t ) a x2 (t ) , mají systémové rovnice tvar S : x&1 (t ) = A11 x1 (t ) + A12 x2 (t ) + B1u (t ) x&2 (t ) = A21 x1 (t ) + A22 x2 (t ) + B2u (t ) y (t ) = x2 (t ) Vzhledem k výstupní rovnici můžeme druhou stavovou rovnici přepsat S : x&1 (t ) = A11 x1 (t ) + A12 x2 (t ) + B1u (t )
(10.16)
y& (t ) = A21 x1 (t ) + A22 y (t ) + B2u (t )
(10.17)
Protože v této reprezentaci je p složek vektoru stavu přímo měřeno výstupem y (t ) = x2 (t ) , potřebujeme navrhnout rekonstruktor pouze pro x1 (t ) . Všimněme si, že druhá rovnice v (10.17) obsahuje informaci o x1 (t ) , kterou lze získat pozorováním (u,y): A21 x1 = y& − A22 y − B2u (10.18) Tuto informaci využijeme v redukovaném rekonstruktoru stavu v “inovační vazbě” - analogicky jako u úplného rekonstruktoru. Redukovaný rekonstruktor (dim xˆ1 = n − p ) je popsán rovnicí & Rek.: xˆ1 (t ) = A11 xˆ1 (t ) + A12 y (t ) + B1u (t ) + κ A21 x1 (t ) − A21 xˆ1 (t ) , (10.19)
(
)
kde κ je prozatím neurčená zisková matice rekonstruktoru (n-p) x p. Z (10.17) a (10.19) zjistíme, že pro chybu rekonstrukce ε 1 (t ) = xˆ1 (t ) − x1 (t ) platí e&1 (t ) = ( A11 − κ A21 )e1 (t ) (10.20) Tento systém musí být stabilní, aby byl splněn požadavek na asymptotickou rekonstrukci stavu: lim ε 1 (t ) = lim xˆ1 (t ) − lim x1 (t ) = 0 (10.21) t →∞
t →∞
t →∞
Rychlost rekonstrukce lze ovlivnit umístěním vlastních čísel matice (A11 − κ A21 ) , respektive umístěním pólů odpovídajícího charakteristického polynomu det ( pI − A11 + κ A21 ) . Ziskovou matici rekonstruktoru κ lze určit z požadovaného umístění pólů pi∗ , i = 1,...n-p, porovnáním polynomů n− p
det ( pI − A11 + κ A21 ) = ∏ ( p − pi∗ ) = p n − p + an∗− p −1 p n − p −1 + ...a1∗ p + a0∗
(10.22)
i =1
Pro vlastní realizaci redukovaného rekonstruktoru upravíme (10.19) dosazením za zprostředkovaně měřené A21 x1 z (10.18): & Rek.: xˆ1 (t ) = A11 xˆ1 (t ) + A12 y (t ) + B1u (t ) + κ y& (t ) − A22 y (t ) − B2u (t ) − A21 x1 (t ) − A21 xˆ1 (t ) (10.23)
(
)
Eliminujme ještě nevhodnou derivaci výstupní veličiny zavedením nové proměnné vˆ(t ) : & vˆ(t ) = xˆ1 (t ) − κ y (t ) → vˆ& = xˆ − κ y& a xˆ1 = vˆ + κ y Po dosazení a úpravě dostáváme rovnici redukovaného rekonstruktoru Rek.: v&ˆ(t ) = ( A11 − κ A21 )vˆ(t ) + ( B1 − κ B2 )u (t ) + ( A11κ + A12 − κ A22 − κ A21κ ) y (t ) Rekonstruktor generuje rekonstruovanou část vektoru stavu xˆ1 (t ) = vˆ(t ) + κ y (t ) , kterou doplňuje přímo měřitelná část - výstup xˆ (t ) = y (t ) 2
V původních souřadnicích:
−1
xˆ(t ) = T xˆ (t ) 93
(10.24) (10.25)
Příklad 10.2: Navrhněte minimální asymptotický rekonstruktor stavu pro systém s přenosem
FS ( p ) =
Y ( p) p+2 = 2 . U ( p) p + 2 + 2
Systém s rekonstruktorem namodelujte a ověřte funkci rekonstruktoru simulací při jednotkovém skoku na vstupu a pro zvolené počáteční podmínky na systému a rekonstruktoru. Řešení: 1/ Systém převedeme do Frobeniovy stavové reprezentace
1 x1 (t ) 0 x&1 (t ) 0 = x& (t ) + u (t ) ; 2 −2 − 2 x2 (t ) 1
S ( A, b, cT ) :
x (t ) y (k ) = [ 2 1] 1 x2 (t )
2/ Systém S má měřený výstup y (t ) odvozen jako lineární kombinaci obou složek vektoru stavu, ale z měřitelného výstupu vyplývá, že minimální řád rekonstruktoru je 1.
x1 (t ) x1 (t ) x (t ) = T x (t ) do ekvivalentní stavové reprezentace 2 2 T S ( A, b , c ) bude výstup systému y (t ) ztotožněn s x2 (t ) a rekonstruovat budeme pouze x1 (t ) .
3/ Transformací stavových proměnných
Regulární transformační matice ekvivalence
1 0 1 0 −1 T a T −1 mají podle (10.13) tvar : T = , T = 2 1 −2 1
4/ Po transformaci dostáváme ekvivalentní systém S ( A, b , c
T
):
1 x1 (t ) 1 x&1 (t ) −2 x1 (t ) + u ( t ) ; y ( k ) = 0 1 [ ] & = x (t ) 2 x2 (t ) −3.17 0.58 x2 (t ) 1 Protože v této reprezentaci je y (t ) = x2 (t ) , navrhneme rekonstruktor pouze pro x1 (t ) . 5/ Podle (10.25) je upravená rovnice rekonstruktoru
v&ˆ(t ) = (a11 − κ a21 )vˆ(t ) + (b1 − κ b2 )u (t ) + (a11κ + a12 − κ a22 − κ a21κ ) y (t ) , kde vˆ(t ) = xˆ1 (t ) − κ y (t ) Po dosazení parametrů ekvivalentního systému dostáváme rovnici rekonstruktoru
v&ˆ(t ) = (−2 + 3.17κ )vˆ(t ) + (1 − κ )u (t ) + (κ + 1 − 0.58κ + 3.17κ 2 ) y (t ) , vˆ(t ) = xˆ1 (t ) + 2 y (t ) , vˆ(0) 6/ Ziskovou matici κ určíme z požadovaného umístění vlastního čísla matice dynamiky rekonstruktoru, tj. umístěním pólů odpovídajícího charakteristického polynomu det ( p − a11 + κ a21 ) = det ( p + 2 − 3.17 κ Volba
κ = -2
vede na rovnici rekonstruktoru se stabilním pólem
).
∗
p = −8.34 :
v&ˆ(t ) = −8.34vˆ(t ) + 3u (t ) + 18.85 y (t ) , vˆ(0) který zaručí rychlou asymptotickou rekonstrukci stavu
xˆ1 (t ) = vˆ(t ) − 2 y (t ) a xˆ2 (t ) ≡ x2 (t ) = y (t ) .
7/ Pro rekonstruované složky vektoru stavu v původních souřadnicích použijeme zpětnou transformaci ekvivalence
xˆ1 ( t ) 1 0 xˆ1 (t ) = xˆ2 (t ) −2 1 xˆ2 (t )
94
Simulační schéma a ověření funkce rekonstruktoru jsou na následujících obrázcích:
1
2 1 s
Integrator Gain
Integrator1
Step Subtract
Gain2
1 s
x2, x2rek.
Out1
Subtract1
x1, x1rek.
-K-
Subtract3
Gain1 2
Gain8 3
2
18.854 Gain7
Subtract4
Integrator2
Gain4
Subtract2
1 s Gain5
2 8.342 Gain3
Rekonstrukce složky x1(t) 5 x1(t) 0
-5
-10
x1(t) rek
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
Rekonstrukce složky x2(t) 20 15 x2(t) rek
10 5
x2(t)
0 -5
0
1
2
3
4
5
6
10.3. Lineární stavový regulátor s rekonstruktorem stavu Analyzujme nyní situaci, kdy z důvodu neměřitelnosti stavu x(t ) na reálném systému bude pro již navržený stavový regulátor použit rekonstruovaný stav xˆ (t ) . S: (A,b,cT)
uk
x(t 0 ), x(t ) u(t)
„Dynamický kompenzátor“
Rekonstruktor
Stavový reg.
xˆ (t 0 ) xˆ (t ) 95
y(t)
Především musíme zjistit, jaké důsledky způsobí náhrada skutečného stavu rekonstruovaným stavem, jak se změní vlastnosti uzavřeného systému a zda je přípustné provést odděleně návrh stavového regulátoru a rekonstruktoru stavu. Stavový regulátor s rekonstruktorem stavu je dynamický regulátor, řád uzavřeného systému by měl být součtem řádu systému a rekonstruktoru (2n) a dynamický regulátor, na rozdíl od stavového regulátoru, by měl zavést do přenosu uzavřeného systému i nuly. Uvažujme řiditelný a pozorovatelný SISO systém: S: x& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) , x(t 0 ) , x(t ) ∈ R n jsou neměřitelné, u (t ), y (t ) ∈ R 1
(10.26)
y (t ) = c x(t ) Systém je řízen lineárním stavovým regulátorem, Reg.: u (t ) = −k T xˆ (t ) + u k (t ) (10.27) který využívá rekonstruovaný stav xˆ (t ) , získaný z rekonstruktoru stavu. Abychom mohli analyzovat vlastnosti stavového regulátoru s rekonstruktorem, určíme stavový popis uzavřeného systému, který musí být 2n-tého řádu. Za stavové proměnné zvolíme s výhodou x, xˆ − x respektive x, ε ( lze snadno dokázat, že popis je ekvivalentní s popisem při volbě x, xˆ ). Po dosazení za u (t ) do (10.26) a úpravě dostaneme stavovou rovnici x& (t ) = Ax(t ) − bk T xˆ (t ) + bu k (t ) + bk T x(t ) − bk T x(t ) = ( A − bk T ) x(t ) − bk T ε (t ) + bu k (t ) , kterou doplníme o stavovou rovnici pro chybu rekonstrukce (10.6) ε& (t ) = ( A − κc T )ε (t ) Stavový popis uzavřeného systému uvedeme v maticovém tvaru: x(t ) x& (t ) A − bk T − bk T x(t ) b Sz: = . + .u k (t ) ; 0 (10.28) ε&(t ) T A − κc ε (t ) 0 0 ε (t 0 ) T
[
y (t ) = c T
]
x(t ) 0 . ε (t )
Vlastnosti stavového regulátoru s rekonstruktorem (dynamického kompenzátoru): 1/ Matice dynamiky uzavřeného systému je horní trojúhelníkovou maticí a její vlastní čísla jsou na diagonále. Z toho vyplývá, že návrh stavového regulátoru - umístění vlastních čísel A − bk T a návrh rekonstruktoru stavu - umístění vlastních čísel A − κc T jsou separovatelné úlohy, které mohou být řešeny nezávisle. 2/ Uzavřený systém není úplně řiditelný (je vidět, že není řiditelný subsystém chyby rekonstrukce). To znamená, že v přenosu uzavřeného systému, který je definován při nulových počátečních podmínkách, musí dojít ke krácení nul a pólů. Lze dokázat, že se krátí zavedené nuly s póly rekonstruktoru, které ovlivňují pouze odeznívání počátečních podmínek. 3/ Z předchozího vyplývá ,že v ustáleném stavu je chování systému s dynamickým kompenzátorem stejné jako při řízení systému stavovým regulátorem, který využívá skutečný stav systému.
10.4. Dynamický kompenzátor v regulačních úlohách. Pro správnou funkci rekonstruktoru a tedy i dynamického kompenzátoru je nutné dodržet dvě důležité podmínky:
1/ Na vstup rekonstruktoru musí být přiveden stejný vstupní signál jako na řízený systém 2/ Model systému obsažený v rekonstruktoru musí být modelem toho systému, jehož stav pozorujeme výstupem přivedeným na vstup rekonstruktoru.
96
v(t)
správná funkce rekonstruktoru
v(t) (nesprávná funkce rekonstruktoru) S: (A,b,cT)
x(t 0 ), x(t )
y(t)
u(t)
u komp
Stavový reg.
xˆ (t )
Rekonstruktor s modelem S
S: (A,b,cT)
y(t)
x(t 0 ), x(t ) u(t) Stavový reg.
xˆ (t )
Rekonstruktor s modelem S+Gw
Gw w(t) e
Výstup přiváděný na vstup rekonstruktoru „pozoruje“ stav systému S+Gw !!
Předchozí blokové schéma využijeme pro ilustraci regulace na konstantní hodnotu w(t) = 1[t]. Stavový model řízeného systému: S: x& (t ) = Ax(t ) + bu (t ) , x(t 0 ) , x(t ) ∈ R n jsou neměřitelné, u (t ), y (t ) ∈ R 1 (10.29) y (t ) = c T x(t ) Stavový model systému generujícího w(t) = 1[t]: Gw: x& w (t ) = 0 ; x w (t 0 ) = 1 , x w (t ) ∈ R 1
(10.30)
w(t ) = x w (t ) Stavový model “rozšířeného systému” S+Gw: x& (t ) A 0 x(t ) b x(t ) S+Gw: = . + .u (t ) ; 0 0 0 xw (t ) 0 4 1 x&w (t ) 1 24 3 123 { 123 x&r
Ar
(10.31)
br
xr
x(t ) e(t ) = −cT 1 . 1424 3 xw (t ) cTr
Výstupem je regulační odchylka e = w − y = xw − cT x , která je přiváděna na vstup rekonstruktoru. Pro „rozšířený systém“ navrhneme lineární stavový regulátor : x(t ) Reg.: u (t ) = −k rT x r (t ) = − k T , k w . k T ....1xn , k w ....1x1 (10.32) , x ( t ) w
[
]
Zpětnovazební matici regulátoru k rT navrhneme z požadavku na umístění pólů uzavřeného systému, což odpovídá požadovanému umístění vlastních čísel matice ( Ar − br k rT ) . Navrhneme úplný asymptotický rekonstruktor pro stav “rozšířeného systému” xˆ r (t ) : κ xˆ Rek.: xˆ& r (t ) = Ar xˆ r (t ) + br u (t ) + κ r e(t ) − c rT xˆ r (t ) ; xˆ r (t 0 ) , κ r = , xˆ r = κ w xˆ w eˆ(t ) = c rT xˆ r (t ) κ ....nx1 , κ w ....1x1
[
]
97
(10.33)
Ziskovou matici rekonstruktoru κ r určíme z požadovaného umístění vlastních čísel ( Ar − κ r c rT ). Jejich reálné části volíme “vlevo“ od reálných částí vlastních čísel matice ( Ar − br k rT ) . Po náhradě neměřitelného stavu x r (t ) rekonstruovaným stavem xˆ r (t ) dostáváme blokové schéma: S: (A,b,cT)
y(t)
x(t 0 ), x(t ) u(t) S+Gw kT
xˆ (t ) xˆ w (t )
Rekonstruktor pro S+Gw
Gw
xˆ r (t 0 )
e
kw
w(t)
Pokud je stav x w (t ) systému Gw měřitelný (v našem případě w(t ) = x w (t ) ), není nutná jeho rekonstrukce a může být použit namísto xˆ w (t ) (v blokovém schéma naznačeno čárkovaně). Této situaci odpovídá blokové schéma, Gw
S: (A,b,cT)
kw
x(t 0 ), x(t )
u(t)
w(t)
y(t)
Rekonstruktor pro S
kT
xˆ (t 0 )
xˆ (t )
které je strukturálně podobné schématu pro návrh lineárního stavového regulátoru s kompenzací statického zesílení (viz odstavec 8.4.). Konstantu k w musíme ovšem určit z podmínky jednotkového zesílení přenosu uzavřeného systému. Analogickým způsobem bychom navrhovali dynamický kompenzátor při působení výstupní poruchy v(t ) , generované systémem Gv. Rozšířeným systémem by v tomto případě byl model systému a model generátoru poruchy.
98
11.
NELINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY
Při určování matematických modelů reálných systémů na základě matematicko-fyzikálního modelování (LS1, Kap.1) jsme ukázali, že jejich popis obvykle vede na nelineární diferenciální rovnici či soustavu nelineárních diferenciálních rovnic. Neexistence obecné teorie nelineárních dynamických systémů nás vedla k použití lineárních modelů, získaných linearizací v rovnovážných nebo ustálených stavech (pracovních bodech) nelineárního dynamického systému. Propracovaná teorie lineárních dynamických systémů, těžící zejména z platnosti principu superpozice, existence obecného řešení lineárních diferenciálních rovnic a z možnosti využití transformačních modelů získaných použitím Laplaceovy, Fourrierovy a Z-transformace nám poskytla dostatek nástrojů pro analýzu a syntézu LDS, nemáme však jistotu, že získané výsledky při aplikaci na reálný nelineární dynamický systém budou skutečně použitelné. To neznamená, že musíme linearizaci zavrhnout - je však důležité uvědomit si její omezení: 1/ Při analýze nelineárního systému na základě linearizace v okolí pracovního bodu dostáváme pouze lokální a nikoliv globální představu o jeho chování. 2/ Dynamika nelineárního systému je mnohem bohatší než u lineárního systému, neboť mohou nastat takové jevy, které jsou vázány pouze na existenci nelinearity a nelze je tedy popsat či predikovat ze znalosti linearizovaného modelu.
Některé typicky nelineární jevy ve srovnání s LDS: a/ U nestabilního nelineárního systému může stav nabýt nekonečné hodnoty v konečném čase! Stav nestabilního LDS roste nade všechny meze pro čas limitující k nekonečnu. b/ Nelineární systém může mít více rovnovážných stavů, stabilita nelineárního systému obecně závisí na počátečních podmínkách. LDS může mít jen jeden izolovaný rovnovážný stav, který je buď stabilní či nestabilní pro všechny počáteční podmínky. c/ U nelineárních systémů může existovat izolovaný mezný cyklus, který odpovídá periodickému řešení a projevuje se vznikem oscilací (samobuzených kmitů, autooscilací), které nezávisí na počátečních podmínkách. Naopak, periodické řešení u lineárních systémů není izolovaným mezným cyklem. Vyžaduje existenci dvojice ryze imaginárních vlastních čísel, závisí na počátečních podmínkách a není robustní vzhledem k poruchám. d/ Nelineární systém je z frekvenčního hlediska spektrálním převodníkem: Při vybuzení vstupu harmonickým signálem se na výstupu mohou objevit vyšší harmonické i subharmonické frekvence. U lineárního systému se při průchodu harmonického signálu frekvence nemění. e/ U nelineárních systémů může nastat chaos. Jedná se o ustálený stav, který není ani rovnovážným stavem ani periodickým řešením. Chaotické chování vykazuje prvky náhodnosti, byť se jedná o deterministický systém. f/ Stejný nelineární systém může vykazovat více druhů chování v závislosti na počátečních podmínkách a vstupním signálu. Na spojité změny amplitudy či frekvence vstupního signálu může reagovat nespojitými skoky a pod. Z uvedeného přehledu je zřejmé, že u nelineárních systémů nelze řešit celou šíři problémů najednou, a proto se rozpracovávají metody pro řešení dílčích, ale zásadních problémů. Jedná se např. o problém exaktní zpětnovazební linearizace (hledá se nelineární zpětnovazební řízení, které by převedlo nelineární systém na lineární), hledají se metody pro analýzu vzniku mezných cyklů, metody pro analýzu stability, stabilizaci a řízení nelineárních dynamických systémů a další. Dílčími problémy z oblasti analýzy nelineárních dynamických systémů, které mají užší vztah k přednesené látce z oblasti lineárních systémů (lineární systémy ve spojení se statickou nelinearitou, metoda harmonické linearizace, vznik autooscilací, Ljapunovova teorie stability) se budeme okrajově zabývat v následujících odstavcích. Připomeňme si nejprve stručně matematické modely používané pro popis nelineárních dynamických systémů a zrekapitulujme poznatky z linearizace nelineárních systémů v okolí rovnovážných stavů či pracovních bodů. 99
11.1. Matematické modely nelineárních dynamických systémů V 1.kapitole jsme ukázali, že spojitý jednorozměrový nelineární t-invariantní dynamický systém může být popsán nelineární diferenciální rovnicí n-tého řádu, S: y ( n ) (t ) = f [ y (t ), y& (t ),... y ( n −1) (t ), u (t )] ; y (t0 ), y& (t0 ),... y ( n −1) (t0 ) , f (.) je nelineární funkce (11.1) která může být převedena vhodnou volbou stavových proměnných x1 (t ),.....xn (t ) na stavový model, popsaný soustavou n nelineárních diferenciálních rovnic prvního řádu a výstupní rovnicí (11.2) S: x&1 (t ) = f1 [ x1 (t ),....xn (t ), u (t )] ; x1 (t0 ),....xn (t0 ) , x ∈ R n , u , y ∈ R1 M x&n (t ) = f n [ x1 (t ),....xn (t ), u (t ) ]
y (t ) = h [ x1 (t ),...xn (t ), u (t )] Ve vektorovém zápisu je stavový model popsán S: x& (t ) = f [ x(t ), u (t )] ; x(t0 )
(11.3)
y (t ) = h [ x(t ), u (t ) ] nebo v ekvivalentní t.zv. “ kauzálně separabilní formě”, používané např. ve zmíněné exaktní zpětnovazební linearizaci nelineárních dynamických systémů (11.4) S: x& (t ) = f ( x) + g ( x)u (t ) ; x(t0 )
y (t ) = h [ x(t ), u (t )] Linearizovaný model S: (A,b,cT,d) pro aproximaci chování nelineárního systému (11.3) v okolí jeho rovnovážných stavů či pracovních bodů jsme určili použitím Taylorova rozvoje při zanedbání vyšších členů. Matice A,b,cT,d byly určeny dosazením rovnovážného stavu do Jacobiových matic ∂f (.) ∂f (.) ∂h(.) ∂h(.) , , , . ∂x ∂u ∂x ∂u Připomeňme, že predikce chování nelineárního systému v okolí rovnovážného stavu na základě znalosti jeho linearizovaného modelu byla možná pro případ rovnovážných stavů typu uzel, ohnisko (stabilní či nestabilní) a sedlo, ale nikoliv pro typ střed (vlastní čísla matice A na imaginární ose). V tomto případě o chování nelze rozhodnout, což je příkladem omezení použitelnosti linearizace, zmíněné v úvodní části této kapitoly. Speciální třídu nelineárních systémů tvoří lineární systémy se statickou nelinearitou, která se nejčastěji vyskytuje na vstupu systému. Nelinearita bývá nežádoucí vlastností akčního orgánu, ale také ji můžeme využít cíleně, např. v reléových regulačních obvodech. Ty používají jako regulační orgán nelineární prvek typu relé. Předností regulačních prvků typu relé (ideální dvoupolohové relé, relé s necitlivostí, s hysterezí aj.) je jednoduchost, malá hmotnost i rozměrnost a spolehlivost. Jsou levnější než spojité regulátory a bývají používány při řešení jednoduchých regulačních úloh. Regulační pochody však nebývají příliš příznivé, objevují se sklony k nestabilitě a ke vzniku mezných cyklů – autooscilací.
Uvažujme např. statickou nelinearitu typu saturace (nasycení) na vstupu LDS (obr. vlevo). Vytvoříme-li jednoduchý regulační obvod zavedením jednotkové záporné zpětné vazby, je uzavřený systém popsán stavovým modelem Sz: x& (t ) = Ax(t ) + b.sat (e) ; kde e = w − y je regulační odchylka (11.5) y (t ) = c T x(t ) V uzavřeném systému může nastat mezný cyklus, který se projeví trvalými oscilacemi.
100
Na předchozím obrázku vpravo je motivační příklad demonstrující vznik oscilací. Tyto oscilace jsou z hlediska regulace nežádoucí, ale mohou být i užitečné – např. při experimentálním vybuzení regulační smyčky s cílem zjistit kritický bod frekvenční charakteristiky pro automatické nastavování parametrů regulátoru podle frekvenční metody Ziegler-Nichols. V dalším odstavci budeme hledat odpovědi na otázky: Za jakých podmínek mohou oscilace vzniknout? Jakou mají amplitudu a frekvenci ? Jak souvisí s modelem lineární části systému a s typem statické nelinearity? Některé typické nelinearity: Necitlivost
relé (s hysterezí nebo bez)
nasycení (saturace) Coulombovo tření
“ vůle v zubech”
Jednou z metod analýzy vzniku oscilací je metoda harmonické linearizace (metoda ekvivalentních přenosů).
11.2. Metoda harmonické linearizace Uvažujme zjednodušený regulační obvod, analogicky k (11.5), se statickou nelinearitou N (.) na vstupu lineárního systému popsaného frekvenčním přenosem FS ( jω ) :
N ( x1 ) w=0
x2
x1 = − y
y FS ( jω )
Pro analýzu uzavřeného obvodu vyjdeme z předpokladů: 1/ V obvodu vznikly ustálené kmity (autooscilace) se základní frekvencí ω 0 2/ Lineární systém má charakter dolnofrekvenční propusti, FS ( jω 0 ) >> FS ( jkω 0 ) pro k ≥ 2 3/ Nelinearita je symetrická vůči nulovému bodu Za těchto předpokladů je na výstupu nelinearity periodický signál se základní frekvencí ω 0 a můžeme jej rozložit ve Fourrierovu řadu. Předpoklad 2/ znamená, že vyšší harmonické budou lineárním systémem potlačeny a na výstupu nelinearity má smysl uvažovat pouze první harmonickou periodického signálu s frekvencí ω 0 . Předpoklad 3/ znamená, že ve Fourrierově řadě bude stejnosměrná složka nulová. Protože chceme nahradit statickou nelinearitu v regulační smyčce tzv. ekvivalentním přenosem, budeme tento přenos definovat analogicky jako u frekvenčních přenosů lineárních dynamických systémů. Na vstupu statické nelinearity budeme předpokládat harmonický signál a na výstupu nelinearity první harmonickou periodického signálu. Ekvivalentní přenos statické nelinearity definujeme poměrem výstupního a vstupního signálu nelinearity, respektive poměrem jejich Fourrierových obrazů. Analýza vzniku oscilací v lineárním obvodu se statickou nelinearitou potom může být vyšetřována frekvenčními metodami analýzy stability lineárních systémů.
101
Matematické vyjádření: Na vstupu nelinearity uvažujeme harmonický signál x1 (t ) = A sin ω 0t Na výstupu nelinearity je periodický signál, který lze rozvést ve Fourrierovu řadu
(11.6)
∞
x 2 (t ) = N ( A sin ω 0 t ) = b0 + ∑ a k ( A, ω ) sin kω 0 t + bk ( A, ω ) cos kω 0 t ,
(11.7)
k =1
přičemž b0 je stejnosměrná složka, a k ( A, ω ), bk ( A, ω ) jsou koeficienty Fourrierova rozvoje, závisející obecně na amplitudě a frekvenci periodického signálu. Vzhledem k předpokladu 1/ se v celém obvodu uplatní pouze jeho první harmonická I x 2 (t ) I
x 2 (t ) = a1 ( A, ω 0 ) sin ω 0 t + b1 ( A, ω 0 ) cos ω 0 t
(dle 2/ je b0 = 0 ) ,
(11.8)
Koeficienty Fourrierova rozvoje a1 ( A, ω 0 ), b1 ( A, ω 0 ) lze určit ze vztahů : a1 ( A, ω0 ) =
1
π
2π
∫
N ( A sin ω 0 t ) sin ω0t.d (ω0t ) ,
b1 ( A, ω0 ) =
0
1
π
2π
∫ N ( A sin ω t ) cos ω t.d (ω t ) (11.9) 0
0
0
0
Poznamenejme, že pro lichou funkci statické nelinearity je koeficient b1 (.) = 0 a pokud nemá nelinearita hysterezi, nezávisí koeficienty rozvoje a1 ( A, ω ), b1 ( A, ω ) na frekvenci ω . Ekvivalentní přenos statické nelinearity FN ( A, ω ) definujeme, analogicky jako frekvenční přenos u LDS, poměrem Fourrierových obrazů výstupní a vstupní veličiny. Protože pro každé ω je přenos obecně komplexním číslem, dostaneme pro předpokládané ω = ω 0 FN ( A, ω0 ) =
I
X 2 ( A, ω0 ) F {a1 ( A, ω0 ) sin ω0t + b1 ( A, ω0 ) cos ω0t} a1 ( A, ω0 ) + jb1 ( A, ω0 ) = = (11.10) X 1 ( A, ωo ) F { A sin ω0t} A
Předpoklad, že v uzavřeném obvodu již vznikly oscilace s frekvencí ω 0 a amplitudou A nyní opustíme, protože v obecném případě musíme zjistit, zda vůbec oscilace mohou vzniknout a v případě jejich vzniku musíme jejich frekvenci a amplitudu určit. Protože ekvivalentní přenos FN ( A, ω ) zastupuje v uzavřeném obvodu statickou nelinearitu, můžeme postupovat stejným způsobem jako při frekvenční analýze stability LDS (viz Nyquist): Vznik oscilací je vázán podmínkou existence reálného řešení rovnice FS ( jω ) FN ( A, ω ) = −1 resp. FS ( jω ) FN ( A, ω ) = 1 ∧ arg {FS ( jω ) FN ( A, ω )} = −π
(11.11)
a z těchto rovnic také určíme hledanou amplitudu A a frekvenci autooscilací ω . -----------------------------------------------------Příklad 11.1: Určete ekvivalentní přenos statické nelinearity „relé s necitlivostí“, použité v předchozím schéma uzavřeného obvodu. Necitlivost vymezíme hodnotami − γ , + γ a maximální hodnotu na výstupu nelinearity –M, +M.
Řešení: Nelineární funkce je lichá funkce, symetrická vůči nulovému bodu a nemá hysterezi
→ koeficienty b0 , b1 ( A, ω ) budou nulové a stačí určit pouze koeficient a1 ( A, ω ) , který nebude záviset na frekvenci a1 ( A, ω ) = a1 ( A) . Přivedeme-li na vstup nelinearity harmonický signál x1 (t ) = A sin ωt , objeví se na výstupu nelinearity periodická funkce x 2 (t ) = N ( A sin ωt ) , kde α = arcsin γ (viz obr.): 102
N ( A sin ωt ) x2
x2 M
γ
a1 ( A) =
1
π
π +α
M
α
x1
2π
∫ N ( A sin ωt ) sin ωt.d (ωt ) =……= 0
π −α
4M
π
cos α ; FN ( A) =
Pro ideální relé bez necitlivosti je α = 0
⇒ FN ( A) =
ωt
a1 ( A) + 0 4 M = cos α πA A a1 ( A) + 0 4 M = A πA
Poznámka: Ekvivalentní přenosy běžně používaných statických nelinearit jsou tabelovány. V anglosaské literatuře ekvivalentnímu přenosu odpovídá termín „describing function“. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 11.2: 3 Analyzujte možnost vzniku oscilací v uzavřeném regulačním obvodu, kde systém s přenosem FS ( p ) = je ( p + 1)3 řízen ideálním dvoupolohovým relé ,
u (t ) = sgn w ( t ) − y ( t ) = ±1 .
Řešení: Existuje-li reálné řešení, amplitudu A a frekvenci oscilací
ω
určíme řešením rovnic (analogie výpočtu
ωkrit , K krit ):
FS ( jω ) FN ( A) = 1 ∧ arg {FS ( jω ) FN ( A)} = −π , kde FN ( A) =
4M , M = 1. πA Frekvenci oscilací určíme z argumentové podmínky Im{FS ( jω ) FN ( A)} = 0 . Výpočtem určíme ω = 3 . Po dosazení
ω= 3
FS ( jω ) FN ( A) = 1 dostaneme amplitudu autooscilací
do amplitudové podmínky
3
( 1+ ω ) 2
3
4 = 1 → A = 0.47 πA
---------------------------------------------------------------------------------
11.3. Reléové regulační obvody V odst. 11.1. jsme uvedli, že v reléových regulačních obvodech je regulátorem nelineární prvek typu relé (ideální dvoupolohové relé, relé s necitlivostí, s hysterezí aj.) a že se při regulaci objevují sklony k nestabilitě, spojené se vznikem mezných cyklů – autooscilací (viz Příklad 11.2.) Autooscilace jsou v regulačním obvodě nežádoucím jevem a v dalším ukážeme, že je lze odstranit zavedením derivační zpětné vazby.
103
Problém budeme analyzovat na jednoduchém příkladu nelineárního regulačního obvodu s ideálním dvoupolohovým relé, které generuje řízení u (t ) = sgn w ( t ) − y ( t ) = ±1 dle znaménka regulační odchylky e(t ) = w(t ) − y (t ) . Řízeným systémem je dvojnásobný integrátor, referenčním signálem w(t ) je jednotkový skok. Ve schéma zatím neuvažujeme derivační zpětnou vazbu −0.18 y& (t ) :
1 s
1 s
Integrator
Integrator 1
Step Sign Add 1
Gain 3
Scope
.18 XY Graph
Řízený systém je popsán diferenciální rovnicí && y ( t ) = u (t ) . Stavový model je popsán stavovými rovnicemi x&1 (t ) = x2 (t ) , x&2 (t ) = u (t ) a výstupní rovnicí y (t ) = x1 (t ) . Vyloučením času ze stavových rovnic dostaneme trajektorie ve stavové rovině x1 − x2 , závisející na počátečních podmínkách x1 ( 0 ) , x2 ( 0 ) a aplikovaném řízení u (t ) = ±1 : dx2 dt = u dx1 x2 dt
⇒ x2 dx2 = udx1
(11.12)
Integrací levé a pravé strany dostáváme s ohledem na u = +1 a u = −1 dvě soustavy trajektorií parabol , parametrizovaných počátečními podmínkami 2 x22 x2 ( 0 ) − = u x1 − x1 ( 0 ) (11.13) 2 2 Znaménkem řízení je definován směr trajektorie (pro u = +1 se x2 zvětšuje a naopak). Uvažujme nyní reléové řízení systému v uzavřeném regulačním obvodu se systémem v nulových počátečních podmínkách (stále ještě neuvažujeme derivační zpětnou vazbu ve schéma). Při w ( t ) = 1 je řízení u (t ) definováno vztahem u (t ) = sign e(t ) = sign [1 − x1 (t ) ] :
Pro x1 ( t ) < 1 je generováno řízení +1, trajektorie vychází z nulových počátečních podmínek a sleduje rostoucí parabolu. Při x1 (t1 ) = 1 dochází k přepnutí, x2 (t1 ) = 2 . Pro x1 ( t ) > 1 je generováno řízení -1, trajektorie pokračuje z x2 (t1 ) = 2 po klesající parabole a k dalšímu přepnutí dochází opět při x1 (t2 ) = 1 , t2 > t1 . Celý proces se opakuje, přímka x1 = 1 má funkci „přepínací přímky“ (rovnoběžná s osou x2 ) a ve stavové rovině vzniká uzavřená křivka – vynucený stabilní cyklus, který se ve skokové odezvě projevuje nežádoucím netlumeným kmitáním:
104
Stavová trajektorie při autooscilacích (jednotkový skok, nulové poč. podmínky) x2
1.5 1 u = +1
0.5
u = -1
0 x1 -0.5 -1 -1.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Odezva na jednotkový skok a průběh řízení při autooscilacích (nulové poč. podmínky)
y(t)
2
u(t)/5
1.5
výstup - y(t)
1 0.5
řízení - u(t)
t [sec]
0 -0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Zavedeme-li do regulačního obvodu navíc zápornou zpětnou vazbu od derivace výstupní veličiny, dostáváme pro regulační odchylku e(t ) = [1 − x1 (t ) − ky& (t ) ] = [1 − x1 (t ) − kx2 (t ) ] (11.14) a pro řízení u (t ) = sign e(t ) = sign [1 − x1 (t ) − kx2 (t )] (11.15) Záporná derivační zpětná vazba způsobí, že k přepínání nyní dochází na přímce se záporným sklonem -1/k, k přepnutím na druhou soustavu trajektorií dochází s předstihem, zpětná vazba má stabilizující účinek a skoková odezva má již tlumený charakter. V našem příkladu jsme zavedli zápornou derivační zpětnou vazbu s k = 0.18 (viz schéma). Chování trajektorií ve stavové rovině a skoková odezva jsou na následujících grafech:
x2
Stavová trajektorie po stabilizaci derivační zpětnou vazbou 1.5 1
u=+1
0.5
u=-1 přepínací přímka x1
0 -0.5 -1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
105
1
1.2
1.4
1.6
y(t)
Odezva na jednotkový skok a průběh řízení po stabilizaci derivační zpětnou vazbou 2
u(t)/5
výstup y(t)
1.5 1 0.5 řízení u(t)
t [sec]
0 -0.5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Z uvedeného také vyplývá, že v případě použití relé s necitlivostí nebo s hysterezí by docházelo k „pozdějšímu“ přepínání, nežli u ideálního dvoupolohového relé. Bez stabilizující derivační zpětné vazby by systém vykazoval výraznější tendenci k nestabilitě. V následujícím příkladu je ještě ilustrován vliv stabilizující zpětné vazby od derivace výstupu na stabilní řízený systém z Příkladu 11.2 , kde jsme vyšetřovali amplitudu a frekvenci autooscilací regulačního obvodu: Step Sign Add 1
1 s
1 s
1 s
Integrator
Integrator 1
Integrator 2
3
Scope
Gain
Gain 2 Add
Gain 1
3
3 Gain 3 1.5
Navržená derivační zpětná vazba vede na řízení u (t ) = sign e(t ) = sign [1 − x1 (t ) − 1.5 x2 (t )] , které opět stabilizuje skokovou odezvu regulačního obvodu: y(t)
Odezva na jednotkový skok a průběh řízení po stabilizaci derivační zpětnou vazbou 0.6
u(t) (1:5) 0.4
y(t)
0.2 u(t) t [sec] 0
-0.2
0
1
2
3
4
5
6
Poznámka: Všimněme si, že u systémů s přepínací přímkou nastává ke konci regulačního pochodu ke zrychlené frekvenci přepínání relé – jedná se o tzv. klouzavý režim, při kterém se trajektorie blíží k ustálené hodnotě podél přepínací přímky.
106
11.4. Ljapunovova teorie stability Uvažujme autonomní (neřízený) nelineární t-variantní dynamický systém S: x& (t ) = f [x(t ), t ] ; x(t 0 ) = x0 , x(t ) ∈ R n , t ∈ R+
(11.16)
a předpokládejme, že f [x(t ), t ] je nelineární funkce vyhovující standardním podmínkám pro existenci a jednoznačnost řešení a rovnovážný stav x r vyhovuje rovnici 0 = f [x r (t ), t ] , ∀t , t ≥ t 0 . Ljapunovova teorie stability se zabývá vyšetřováním stability rovnovážného stavu neřízeného systému (11.16). Pokud má systém více rovnovážných stavů, vyšetřuje se jejich stabilita odděleně. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat x r = 0 (při x r ≠ 0 využijeme translaci do nuly). Definice 11.1. : (Stabilita rovnovážného stavu ve smyslu Ljapunova) Rovnovážný stav x r = 0 neřízeného systému (11.16) je stabilní ve smyslu Ljapunova, jestliže ∀ε >0 a ∀t0 ∃δ (ε ) takové, že x0 − xr ≤ δ ⇒ x(t ; x0 , t0 ) − xr ≤ ε ; ∀t , t > t0 ; ε , δ ...reálná čísla. Definice 11.2. : (Lokální asymptotická stabilita rovnovážného stavu ve smyslu Ljapunova) Rovnovážný stav x r = 0 neřízeného systému (11.16) je lokálně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova, jestliže platí Definice 11.1. a každá trajektorie z bodu x0 dostatečně blízkého k xr konverguje pro t → ∞ k rovnovážnému bodu xr , tedy lim x(t ; x0 , t0 ) − xr = 0 . t →∞
Definice 11.3. : (Globální asymptotická stabilita rovnovážného stavu ve smyslu Ljapunova) Rovnovážný stav x r = 0 neřízeného systému (11.16) je globálně asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova, jestliže Definice 11.2. platí ∀x0 , t0 . A.M. Ljapunov navrhl metodu pro vyšetřování stability rovnovážného stavu x r autonomního (neřízeného) nelineárního dynamického systému, která obchází nutnost znalosti řešení nelineárních rovnic popisujících chování systému a o stabilitě rozhoduje podle chování vhodně zvolené skalární funkce (Ljapunovovy funkce) podél trajektorie systému. Metodu můžeme považovat za zobecnění představy, že systém, který se nachází v nějakém počátečním stavu, má určitou vnitřní energii a její časová změna při pohybu systému z počátečního stavu rozhoduje o stabilitě či nestabilitě vyšetřovaného rovnovážného stavu. Rovnovážný stav bude zřejmě stabilní, pokud energie systému bude s rostoucím časem klesat nebo alespoň zůstane na nějaké konstantní hodnotě. Za Ljapunovovu „energetickou“ funkci lze považovat v podstatě libovolnou nezápornou skalární funkci V ( x, t ) . V dalším ukážeme, že chování V ( x, t ) resp. její časové derivace V& ( x, t ) ∂V ( x, t ) ∂V ( x, t ) ∂V ( x, t ) ∂V ( x, t ) + + (11.17) x& (t ) = f [x(t ), t ] & f ( x ,t ) = x= ∂t ∂t ∂x ∂x podél trajektorií systému v nějaké oblasti D ⊆ R n , obsahující x r = 0 , rozhoduje o stabilitě rovnovážného stavu. Při určení V& ( x, t ) x= & f ( x ,t ) se dosazuje pravá strana nelineární diferenciální rovnice (11.16) a jedná T
T
V& ( x, t )
se o tak zvanou přímou Ljapunovovu metodu. Nabízí se také možnost provést nejprve linearizaci nelineárního systému v okolí rovnovážného stavu a dosadit z rovnic linearizovaného modelu nelineárního systému. V tomto případě by jednalo o nepřímou Ljapunovovu metodu, která ovšem může rozhodnout pouze o málo cenné lokální stabilitě.
107
Uveďme nejprve dvě definice: Definice 11.4.: (Lokální positivně definitní funkce V(x,t)) Spojitá funkce V: R n xR+ → R je lokální positivně definitní funkcí, jestliže pro nějaké δ > 0 a nějakou spojitou striktně rostoucí funkci α : R+ → R platí V (0, t ) = 0 a V ( x, t ) ≥ α ( x ) ,
{
}
∀x ∈ D, D = x ∈ R n : x ≤ δ , ∀t ≥ t 0
Definice 11.5.: (Positivně definitní funkce V(x,t)) Platí Definice 11.1. a navíc α ( x ) → ∞ př i x → ∞ Ljapunovův teorém o stabilitě (t-variantní nelineární dynamický systém) Jestliže existuje nějaká oblast D v okolí rovnovážného stavu x r = 0 a spojitě diferencovatelná positivně definitní funkce V: DxR → R , jejíž časová derivace V& podél trajektorií systému je +
negativně semidefinitní, potom rovnovážný stav x r = 0 systému (11.16) je stabilní ve smyslu Ljapunova. Ljapunovův teorém o asymptotické stabilitě (t-variantní nelineární dynamický systém) Jestliže existuje nějaká oblast D v okolí rovnovážného stavu x r = 0 a nějaká positivně definitní funkce W : D → R omezující shora spojitě diferencovatelnou positivně definitní funkci V: DxR+ → R , jejíž časová derivace V& podél trajektorií systému je negativně definitní, potom rovnovážný stav x r = 0 systému (11.16) je asymptoticky stabilní ve smyslu Ljapunova. Jestliže D ≡ R n , jedná se o globální asymptotickou stabilitu. Ljapunovova metoda dává jen postačující podmínky stability. To znamená, že rovnovážný stav může být stabilní, ale nenalezneme vhodnou Ljapunovovu funkci V(x,t) pomocí které bychom to dokázali.
Ljapunovův teorém o stabilitě pro t-invariantní nelineární dynamický systém Uvažujme autonomní (neřízený) nelineární t-invariantní dynamický systém S: x& (t ) = f [x(t )] ; x(t 0 ) = x0 , x(t ) ∈ R n , x r = 0
(11.18)
Jestliže existuje oblast D ⊆ R v okolí rovnovážného stavu x r = 0 , kde nějaká spojitě diferencovatelná positivně definitní skalární funkce vektorového argumentu V(x) vyhovuje podmínkám: n
1/ V (x) > 0 , ∀x, x ≠ 0 a V (0) = 0 ,
(11.19)
∂V ( x) ∂V ( x) = (11.20) x& = f ( x) ≤ 0 ( negativně semidefinitní), ∂x ∂x potom rovnovážný stav x r = 0 systému (11.14) je stabilní v oblasti D ⊆ R n . Je-li časová derivace Ljapunovovy funkce negativně definitní V& ( x) x& = f ( x ) < 0, potom rovnovážný T
2/ V& ( x)
T
x& = f ( x )
stav x r = 0 systému (11.18) je asymptoticky stabilní v oblasti D ⊆ R n . Kromě energetické interpretace Ljapunovovy stability dává dobrou představu i geometrická interpretace (viz následující obr.). Rovnovážný stav bude asymptoticky stabilní, jestliže vzdálenost zastupujícího bodu trajektorie od rovnovážného stavu (vzdálenost je dána „polohou“ zastupujícího bodu na V(x)) se bude s rostoucím časem zmenšovat. To může nastat tehdy, když trajektorie systému x(t ) bude protínat křivky V ( x) = konst. „zvenku dovnitř“.
108
Jinak řečeno: úhel, který svírá v daném bodě vektor gradV ( x) =
∂V ( x) s tečnou x& musí být tupý, ∂x ∂V ( x) = x& < 0. ∂x T
což odpovídá požadavku na záporné znaménko skalárního součinu V& ( x)
V (x)
Průmět do roviny x1,x2
x(t 0 )
x& = f ( x )
trajektorie x(t)
x2
∂V ∂x
V ( x) = konst. trajekorie x(t)
x&
x1
xr = 0
xr =0
x1
V ( x) = konst.
x2
Problémem zůstává, jak volit Ljapunovovu funkci. Existuje řada metod pro generování Ljapunovových funkcí, ale tato problematika přesahuje rámec přednášené látky. Poznamenejme pouze, že pokud lze určit úplnou energii systému, lze ji použít jako Ljapunovovu funkci. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad 11.3: Analyzujte stabilitu rovnovážného stavu nelineárního tlumiče s jednotkovou hmotností, popsaného nelineární diferenciální rovnicí &y&(t ) + ψ y& (t ) + ϕ y (t ) = 0 za předpokladů
[
]
[
]
ϕ (0) = ψ (0) = 0, ϕ ( y ) y > 0 (nelinearita prochází 1. a 3. kvadrantem).
Řešení:
y (t ) = x1 (t ) ⇒ y& (t ) = x&1 (t ) = x 2 (t ) , ……. rovnovážný stav je x1r = x 2 r = 0 &y&(t ) = x& 2 (t ) = −ϕ ( x1 ) − ψ ( x 2 ) Protože y (t ) označuje polohu a y& (t ) rychlost, budeme za Ljapunovovu funkci považovat součet kinetické a potenciální energie x
x 22 1 V ( x) = + ϕ (σ )dσ , neboť vyhovuje Ljapunovovu teorému: V (x) > 0, ∀x, x ≠ 0 , V (0) = 0 . 2 ∫0 Určíme časovou derivaci V& ( x ) & x= f ( x)
∂V ∂V ∂V ( x) x&1 + x& 2 = ϕ ( x1 ) x 2 − x 2ϕ ( x1 ) − x 2ψ ( x 2 ) = x& = ∂x1 ∂x 2 ∂x Tato funkce bude negativně semidefinitní, bude-li x2ψ ( x2 ) ≥ 0 (nelineární funkce tlumení ψ ( x 2 ) prochází 1. a 3. T
V& ( x)
x& = f ( x )
kvadrantem) a rovnovážný stav systému
x1r = x 2 r = 0 bude stabilní.
Poznámka: Ve skutečnosti bude rovnovážný stav dokonce asymptoticky stabilní, protože za určitých podmínek postačuje pro asymptotickou stabilitu i negativní semidefinitnost časové derivace Ljapunovovy funkce (Lasallův princip – nebudeme se jím zabývat). -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
109
Příklad 11.4: Analyzujte stabilitu rovnovážného stavu netlumeného kyvadla s jednotkovou hmotností, popsaného nelineární diferenciální rovnicí &y&(t ) + a sin y (t ) = 0 , a > 0 Řešení: y (t ) = x1 (t ) ⇒ y& (t ) = x&1 (t ) = x 2 (t ) , ……… rovnovážný stav je x1r = x 2 r = 0
&y&(t ) = x& 2 (t ) = − a sin x1 (t ) Za Ljapunovovu funkci zvolíme opět součet kinetické a potenciální energie: x
1 x22 x2 + a ∫ sin σ dσ = 2 + a(1 − cos x1 ) , 2 2 0 Určíme časovou derivaci V& ( x ) x& = f ( x )
V ( x) =
V (0) = 0 a V (x) > 0
pro
0 < x1 ≤
π 2
∂V ∂V ∂V ( x) x&1 + x& 2 = ax 2 sin x1 − ax 2 sin x1 = 0 x& = x& = f ( x ) = ∂x1 ∂x 2 ∂x Protože v dané oblasti je V (x ) > 0 a V& = 0 , je rovnovážný stav systému x1r = x 2 r = 0 stabilní. T
V& ( x)
----------------------------------------------------------------------------------------------
11.5. Analýza stability LDS – Ljapunovovy rovnice Ljapunovovy teorémy stability lze přirozeně aplikovat i na autonomní (neřízené) lineární dynamické systémy (s jediným rovnovážným stavem x r = 0 ). Připomeňme, že stabilita, asymptotická stabilita či nestabilita LDS je globální - platí ∀ x(t 0 ) . Pro spojité i diskrétní LDS lze Ljapunovovu funkci V (x) volit jako kvadratickou formu se symetrickou pozitivně definitní maticí P.
Pro spojitý neřízený LDS S: x& (t ) = Ax(t ) ; x(t 0 ) , x ∈ R n
(11.21)
s rovnovážným stavem x r = 0 má Ljapunovova funkce tvar V ( x) = x T (t ) Px(t ) ; P = P T , P > 0 ⇒ V (x) > 0 ∀x, x ≠ 0 , V (0) = 0
(11.22)
Pro časovou derivaci Ljapunovovy funkce podél trajektorií systému (11.17) dostaneme kvadratickou formu V& ( x) x& = Ax = x&T (t ) Px(t ) + xT (t ) Px& (t ) = xT (t ) AT Px(t ) + xT (t ) PAx(t ) = xT (t ) AT P + PA x(t ) (11.23) Pro stabilitu rovnovážného stavu x r = 0 požadujeme V& ( x) x& = f ( x ) ≤ 0 ⇒ x T (t ) AT P + PA x(t ) = − x T Qx(t ), kde Q je positivně semidefinitní matice
[
]
a pro asymptotickou stabilitu rovnovážného stavu x r = 0 V& ( x) x& = f ( x ) < 0 ⇒ x T (t ) AT P + PA x(t ) = − x T Qx(t ), kde Q je positivně definitní matice
[
]
Protože uvedené vztahy musí platit ∀x(t ) , můžeme učinit závěr: Globální asymptotická stabilita rovnovážného stavu spojitého LDS je zaručena, jestliže existují positivně definitní matice P a Q vyhovující Ljapunovově rovnici AT P + PA + Q = 0 (11.24)
110
Pro diskrétní neřízený LDS S: x(k + 1) = Ax(k ) ; x(0) , x ∈ R n , k = 0,1,...... s rovnovážným stavem x r = 0 má Ljapunovova funkce tvar V ( x) = xT (k ) Px(k ) , P = P T , P > 0 a její časová diference podél trajektorií systému je opět kvadratickou formou ∆V ( x) = V [ x(k + 1)] − V [ x(k )] = xT (k ) AT PA − P x(k ) = − xT (k )Qx(k )
(11.25) (11.26) (11.27)
Protože uvedené vztahy musí platit ∀x(k ) , můžeme učinit analogický závěr jako u spojité verze: Globální asymptotická stabilita rovnovážného stavu diskrétního LDS je zaručena, jestliže existují positivně definitní matice P a Q vyhovující Ljapunovově rovnici AT PA − P + Q = 0 (11.28) ---------------------------------------Pro nelineární systémy sestávající z lineárního systému se statickou nelinearitou na vstupu S: x& (t ) = Ax(t ) + bN ( y ) (11.29) y (t ) = cT x(t ) se doporučuje volba Ljapunovovy funkce ve tvaru kvadratická forma + integrál z nelinearity V ( x) = xT Px + ∫ N ( y )dy
(11.30)
Za předpokladu, že lineární systém je stabilní a statická nelinearita vyhovuje “sektorové“ podmínce N ( y) N (0) = 0 a 0 ≤ ≤k , k ≠∞ y odvodil Popov s použitím (11.30) „Popovovo frekvenční kriterium stability“:
(11.31)
Uzavřený nelineární systém, sestávající z lineárního systému se vstupní statickou nelinearitou vyhovující „sektorové“ podmínce, je globálně asymptoticky stabilní, jestliže existuje reálné číslo q takové, že ∀ω , ω ≥ 0 platí 1 Re {(1 + jω q ) FS ( jω )} + > 0 (11.32) k Rozepsáním této podmínky dostáváme Re {(1 + jω q ) [ Re Fs ( jω ) + j Im Fs ( jω )]} +
1 1 > 0 → Re Fs ( jω ) − q ω Im Fs ( jω ) + > 0 14243 14243 k k x
y
a podmínku asymptotické stability lze přeformulovat: Uzavřený nelineární systém, sestávající z lineárního systému se vstupní statickou nelinearitou vyhovující „sektorové“ podmínce, je globálně asymptoticky stabilní, jestliže se celá modifikovaná frekvenční charakteristika lineárního systému v souřadnicích Re Fs ( jω ), jω Im Fs ( jω ) nachází “pod” přímkou y = (1/ q ) x + 1/ kq (11.33)
********************************
111
112
