2. OSNOVNA KOLA U ELEKTRONICI

10/3/2015

Predmet: ANALOGNA ELEKTRONIKA Predmetni nastavnik: Dr Nándor Burány 3. semestar Broj èasova: 2+2

2. OSNOVNA KOLA U ELEKTRONICI • Upoznavanje sa osnovnim kolima. • Podela: ¯Pasivna kola (sadrže samo pasivne komponente). ¯Aktivna kola (sadrže bar jednu aktivnu komponentu): logièka kola, pojaèavaèka kola, nelinearna kola.

2

1

10/3/2015

POGLAVLJE 2.1. PASIVNA KOLA • Bez aktivnih komponenti nema prave elektronike, ali se neki prosti zadaci ipak mogu obaviti: — deljenje (slabljenje) signala, — razdvajanje i sprezanje signala, — zadaci filtracije... • Uobièajeni pristupi pri projektovanju elektronskih sklopova: — sve što se može rešiti pasivnim kolima, tako i rešavamo, — ako se zadatak može rešiti èisto sa otpornicima, neãemo koristiti druge komponente, — ako su pored otpornika potrebne i neke reaktivne komponente, prvenstveno ãemo koristiti kondenzatore, — kalemove koristimo samo ako se zadatak ne može rešiti kombinacijom otpornika i kondenzatora, — i kod aktivnih kola pasivne komponente ãemo koristiti u skladu sa 3 ovde navedenim prioritetima.

2.1.1. ANALIZA ELEKTRONSKIH KOLA • Pod analizom kola se podrazumeva izraèunavanje struja i napona u svakoj grani kola odnosno u svakom èvoru kola (ili izmeðu èvorova kola). • Proraèuni se vrše polazeãi od Kirchhoff-ovih zakona ali treba uzeti u obzir i ponašanje komponenti. • Jednaèine dobijene na bazi Kirchhoff-ovih zakona (topološke jednaèine) su uvek linearne. • Karakterizacija komponenti, naroèito kod poluprovodnièkih komponenti èesto sadrži nelinearnost – kvadratna ili eksponencijalna zavisnost izmeðu struje (struja) i napona. 4

2

10/3/2015

2.1.1.1. VRSTE ANALIZA Dato elektronsko kolo se može analizirati za razne situacije: • DC analiza: raèunanje odziva na izvore sa konstantnim naponom/strujom u ustaljenom stanju – proraèun radne taèke). Raðeno je na prvoj godini. Kondenzatori se zamenjuju prekidom, kalemovi kratkim spojem. • AC analiza: raèunanje ustaljenog odziva na sinusne pobude, odreðivanje amplitude i faze signala – analiza u frekvencijskom domenu. Isto poznato sa prve godine. Kalemovi i kondenzatori se zamenjuju sa adekvatnim impedansama. • Tranzijentna analiza: proraèun ponašanja u vremenu, odziv na akumulisanu energiju, odziv na ukljuèivanje/ iskljuèivanje prekidaèa, posledice skoka signala izvora. Na narednim slajdovima analiziraãemo tranzijentne pojave. http://www.ni.com/white-paper/12794/en/

2.1.1.2. Kola prvog reda odziv na akumulisanu energiju - RC kolo • U kolu na slici kondenzator C je prvobitno bio napunjen na napon U0 . U t=0 ukljuèi se prekidaè K. Analizirajmo prelaznu pojavu u kolu! • Iz Kirchhoff-ovih zakona sledi: uC  u R , iC  iR  0. • Primenimo veze izmeðu napona i struja du u R  R  iR , iC  C  C . pojedinih komponenti: dt duC uC • Za napon kondenzatora dobijena je jednaèina C   0. sledeãeg tipa: homogena diferencijalna dt R 1 jednaèina sa konstantnim koeficijentima. u C  K 1e K 2 t , K 2   . • ô=RC se zove vremenska konstanta kola. RC K1  U 0 . • Rešenje se dobija u eksponencijalnom obliku: • Konstantu K1 odreðujemo iz poèetnih uslova. t • Napon kondenzatora je: 

uC  U 0  e

RC

.

http://sist.sysu.edu.cn/uploaded/file/2010553.pdf

6

3

10/3/2015

2.1.1.3. Kolo prvog redaodziv na akumulisanu energiju - RL kolo • U kolu kroz kalem L je prvobitno tekla struja I0 preko prekidaèa K. U t=0 iskljuèimo prekidaè K. Analizirajmo odziv kola! • Iz Kirchhoff-ovih zakona sledi: • Primenimo veze izmeðu napona i struja u L  u R , iL  iR  0. pojedinih komponenti: di • Za struju kalema dobijena je jednaèina u R  R  iR , u L  L  L . sledeãeg tipa: homogena diferencijalna dt diL jednaèina sa konstantnim koeficijentima. L  R  i L  0. • ô=L/R se zove vremenska konstanta kola. dt • Rešenje se dobija u eksponencijalnom obliku: R K 2t  ,   . i K e K 1 2 L • Konstantu K1 odreðujemo iz poèetnih uslova. L • Struja kalema je: K1  I 0 .

iL  I 0  e

R  t L

. 7

2.1.1.4. Kola prvog reda- odziv na ukljuèivanje prekidaèa - RC kolo • U t=0 ukljuèimo prekidaè K. Time se na rednu RC vezu prikljuèuje izvor konstantnog napona: UG=const. • Ponašanje kola za t>0 se opisuje sledeãom diferencijalnom jednaèinom (nehomogena diferencijalna jednaèina RC  duC  uC  U G . dt sa konstantnim koeficijentima): t • ô=RC je vremenska konstanta kola.  RC u  U  ( 1  e ). C G • Rešenje jednaèine je: • Vremenski dijagram napona kondenzatora je:

8

4

10/3/2015

2.1.1.5. Kola prvog reda- odziv na ukljuèivanje prekidaèa - RL kolo • U t=0 ukljuèimo prekidaè K. Time se na rednu RL vezu prikljuèuje izvor konstantnog napona: UG=const. • Ponašanje kola za t>0 se opisuje sledeãom diferencijalnom jednaèinom (nehomogena diferencijalna jednaèina L  diL  R  iL  U G . dt sa konstantnim koeficijentima): • ô=L/R je vremenska konstanta kola. R  t U • Rešenje jednaèine je: iL  G  (1  e L ). • Vremenski dijagram struje kalema je: R

9

2.1.1.6. Kola prvog reda – opšte rešenje • Kod bilo kog kola sa jednim akumulacionim elementom (kolo sadrži jedan rezultantni kalem ili kondenzator, broj izvora i otpornika je proizvoljan) može se napisati formula za napon kondenzatora ili struju kalema bez pisanja i rešavanja diferencijalne jednaèine, na bazi sledeãe opšte formule: 

t 

x(t )  x( )  x(0)  x() e . • x je struja kalema ili napon kondenzatora. • x(0) je vrednost tražene promenljive u t=0, poznat iz poèetnih uslova. • x(∞) je vrednost tražene promenljive u t→∞. Izraèunava se rešavanjem kola za DC sluèaj. Pri tome se kalem zamenjuje sa kratkim spojem a kondenzator sa prekidom. 10

5

10/3/2015

2.1.1.7. Kola prvog reda – opšte rešenje – primer • Treba odrediti vremenski dijagram napona kondenzatora u datom kolu, + ako je poznato: UG=12V, R1=R2=1kÙ, C=2ìF, uC(0)=-5V! Prekidaè K se ukljuèuje u t=0. • U opštem obrascu x(0)=uC(0)=-5V. • Radi izraèunavanja x(∞) kolo treba da se zameni sa Thèvenin-ovim izvorom (gledajuãi sa izvoda kondenzatora). Pošto je UT=R2/(R1+R2)·12=6V, RT=R1·R2/(R1+R2)=500Ù, sledi: x(∞)=UT=6V, ô=RT·C=500Ù·2 ìF=1ms. • Prema tome, rezultantna formula za napon kondenzatora:

x(t )  x ()  x (0)  x ()  e  6  [ 5  6]  e

1000 t



t 

 6  11  e

+6

POLAZNO KOLO

K

iC

R1

UG

R2

uC

C

POMOÃNA KOLA ZA ODREÐIVANJE ELEMENATA THÈVENIN-OVOG IZVORA

+ UG

R1 R2

UT

R2

RT

3

4

R1

uC [V]



t[ms]

1000 t

.

0

1

2

-5

11

2.1.1.8. Kola drugog reda – redno RLC rezonantno kolo • Prelazna pojava je složenija ako dato kolo sadrži i kalem i kondenzator istovremeno. • Važno kolo drugog reda je redno RLC rezonantno kolo pobuðeno iz naponskog izvora (na primer, javlja se pri modelovanju indukcionog zagrevanja.

• Po drugom Kirchhoff-ovom zakonu može se napisati sledeãa jednaèina:

di 1   i  dt  L   R  i  uG . C dt • Uzimanjem izvoda jednaèine i deljenjem sa L dobija se sledeãa diferencijalna jednaèina: d 2i R di 1 1 duG

dt 2



  i   . L dt LC L dt

• U pitanju je nehomogena, linearna diferencijalna jednaèina drugog reda sa konstantnim koeficijentima (prema matematièkoj klasifikaciji). 12

6

10/3/2015

2.1.1.9. Kola drugog reda - paralelno RLC rezonantno kolo • Drugo važno kolo drugog reda je paralelno RLC rezonantno kolo (na primer, primenjuje se kod radio frekvencijskih pojaèavaèa sa karakteristikom propusnika opsega)

• Prema prvom Kirchhoff –ovom zakonu može se napisati sledeãa jednaèina:

du u 1   u  dt  C    iG . L dt R

• Uzimanjem izvoda jednaèine i deljenjem sa C dobija se sledeãa diferencijalna jednaèina:

d 2u 1 du 1 1 di    u   G . 2 dt R  C dt L  C C dt

• I ovde je u pitanju nehomogena, linearna diferencijalna jednaèina drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

13

2.1.1.10. Kola drugog reda – rešavanje jednaèina – 1. • Dobijene su jednaèine istog oblika i za redno i za paralelno RLC rezonantno kolo: d 2x dx  a1   a2  x  f (t ). 2 dt dt • Rešenja takvih jednaèina se traži u dva dela: x  x p  xc . • xp je partikularno rešenje, odgovara ustaljenom odzivu na datu pobudu, dok xc opisuje prelaznu pojavu u kolu i može se dobiti rešavanjem odgovarajuãe homogene diferencijalne jednaèine (sluèaj f(t)=0). • Ako se pobuda sastoji od ukljuèivanja DC izvora (jednosmerni napon/struja) u t=0, odziv na takvu pobudu se odreðuje iz sledeãe (partikularne) jednaèine: d 2 xp dt

2

 a1 

dx p dt

 a2  x p  A  const. 14

7

10/3/2015

2.1.1.11. Kola drugog reda – rešavanje jednaèina – 2. • Deo rešenja koji zadovoljava partikularnu jednaèinu je: xp 

A  const. a2

odnosno, odziv na ukljuèivanje izvora konstantnog napona/struje sadrži deo sa konstantnim naponom/strujom, kakva je i sama pobuda. • Homogena jednaèina se može pisati u sledeãoj formi: d 2x dx  2     02  x  0. 2 dt dt

• Upotrebom smene x=K·est dobija se sledeãa algebarska jednaèina: s 2  K  e st  2    s  Ke st  02  K  e st  0. • Ona se može uprostiti na sledeãu formu: s 2  2    s  02  0.

15

2.1.1.12. Másodfokú hálózatok - az egyenletek megoldása 3. • Dobijena algebarska jednaèina drugog reda se zove karakteristièna jednaèina, parametar á je koeficijent prigušenja a ù0 je rezonantna frekvencija. • Karakteristièna jednaèina ima dva rešenja (korena): s1 , s2     2  02 .

• Na osnovu toga, rešenja homogene jednaèine su: xc1  K1  e s1t , xc 2  K 2  e s2t .

• Kompletno rešenje se može napisati kao zbir gornja dva rešenja i partikularnog rešenja. Konstante K1 i K2 se mogu odrediti iz poèetnih uslova (to su struja kalema i napon kondenzatora u t=0). http://opencourses.emu.edu.tr/pluginfile.php/602/mod_resource/ content/0/Lecture_Notes/second_order_circuits.pdf

16

8

10/3/2015

2.1.1.13. Kola drugog reda – ponašanje za sluèaj á>ù0 • U ovom sluèaju rešenje (pored partikularnog dela) se sastoji od zbira dve eksponencijalne funkcije sa negativnim eksponentom (opadajuãe u vremenu, tzv. aperiodièni odziv):     2  02  t     2  02  t A A    x   K1e  K 2e    K1e 1t  K 2 e  2t . a2 a2 • Slika prikazuje položaj polova karakteristiène jednaèine u kompleksnoj ravni a na dijagramu se vidi oblik odziva. • Odziv raste sporo, nakon puno vremena se približava konaènoj vrednosti.

PRIGUŠENI (APERIODIÈNI) SLUÈAJ. Im[s] Re[s] s1

s2 17

2.1.1.14. Kola drugog reda – ponašanje za sluèaj á=ù0 • U ovom sluèaju rešenje (pored partikularnog dela) sadrži i sledeãe èlanove: A x   B1e t  B2  t  e t . a2 • Slika prikazuje položaj polova karakteristiène jednaèine u kompleksnoj ravni a na dijagramu se vidi oblik odziva. • Odziv raste maksimalnom brzinom i približava konaènoj vrednosti ali nema prebaèaja. KRITIÈNO PRIGUŠENI SLUÈAJ. Im[s] Re[s] s1 , s2

18

9

10/3/2015

2.1.1.15. Kola drugog reda – ponašanje za sluèaj á<ù0 • U ovom sluèaju rešenje (pored partikularnog dela) sadrži sinusnu i kosinusnu funkciju opadajuãe amplitude (pseudoperiodièni odziv): A A x   K1e   j n t  K1e   jn t   e  t   A1 cos n t  A2 sin  n t . a2 a2 • Slika prikazuje položaj polova karakteristiène jednaèine u kompleksnoj ravni a na dijagramu se vidi oblik odziva. • Odziv raste velikom brzinom ali se javlja prebaèaj i oscilacije i potrebno je puno vremena da se smiri odziv na konaènoj vrednosti. PSZEUDOPERIÓDIKUS ESET. Im[s] s1

 j n

Re[s] 

s2

 j n

19

2.1.1.16. Kola drugog reda – ponašanje za sluèaj á=0 • U ovom sluèaju rešenje (pored partikularnog dela) sadrži i zbir sinusne i kosinusne funkciju (periodièni odziv): A x   A1 cos 0t  A2 sin 0t. a2 • Slika prikazuje položaj polova karakteristiène jednaèine u kompleksnoj ravni a na dijagramu se vidi oblik odziva. • Prebaèaj napona ima dvostruku amplitudu u odnosu na pobudu i oscilacije se ne smiruju. NEPRIGUŠENI (PERIODIÈNI) SLUÈAJ. Im[s] s1

 j 0

Re[s]

s2

 j 0 20

10

10/3/2015

2.1.2. RC NISKOPROPUSNIK - OSNOVI • Sadrži jedan otpornik i jedan kondenzator. U nekim aplikacijama potrebno je uzeti i otpornost optereãenja na izlazu. • Pogodan je za proste filtracije. • Obièno se karakteriše vremenskom konstantom: ô=RC. http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/electric /filcap2.html#c3 21

2.1.2.1. RC NISKOPROPUSNIK – OPIS U FREKVENCIJSKOM DOMENU • U frekvencijskom domenu elektronska kola se opisuju pomoãu prenosnih funkcija. • Prenosna funkcija odreðuje odnos ulaznog i izlaznog signala (pojaèanje, pomeranje faze) za sluèaj sinusne pobude. • Kod linearnih kola (i RC niskopropusnik spada tu) nema nelinearnog izoblièenja: ako je na ulazu sinusni signal, i na izlazu ãe biti sinusni signal. • Prenosna funkcija niskopropusnika je:

Vo 1  j   1  . 1  jRC 1  j Vi

• Ponašanje: na niskim frekvencijama signal prolazi bez slabljenja, oko graniène frekvencije dolazi do postepenog slabljenja prenosa, na višim frekvencijama izlazna amplituda pada srazmerno sa reciproènom vrednošãu frekvencije. Fazni pomeraj na niskim frekvencijama je približno nulti, oko graniène frekvencije poèinje postepeno da opada – kasnije asimptotski teži ka vrednosti od -ð/2. • Granièna frekvencija (kružna uèestanost) je:  H  1 . 22 

11

10/3/2015

2.1.2.2. RC NISKOPROPUSNIK – BODE-OVI DIJAGRAMI • Posebno se crta modul i faza prenosne funkcije u funkciji uèestanosti: Vo dB   20 log Vo Vi Vi V  Im o  V V  arg o   arctg  i  V   Vi  Re o   Vi  23

2.1.2.3. RC NISKOPROPUSNIK – OPISIVANJE U VREMENSKOM DOMENU • Pri skoku ulaznog signala dobija se t sledeãi odziv: 

Vo  Vm (1  e

RC

)

• Pri periodiènom ponavljanju èetvrtastog signala na ulazu, ponašanje niskopropusnika zavisi od odnosa vremenske konstante kola i periode signala: — velika vremenska konstanta: jak filtarski efekat, na izlaz stiže skoro samo srednja vrednost ulaznog signala. —mala vremenska konstanta: jedva ima izoblièenja (samo na ivicama).

24 24

12

10/3/2015

2.1.3. RC VISOKOPROPUSNIK - OSNOVI • Sadrži jedan otpornik i jedan kondenzator. • Pogodan je za proste filtracije. • Obièno se karakteriše vremenskom konstantom (nije potrebno posebno poznavati vrednosti R i C): ô=RC. http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/electric/ filcap.html

25

2.1.3.1. RC VISOKOPROPUSNIK – OPISIVANJE U FREKVENCIJSKOM DOMENU • I u ovom sluèaju se koristi prenosna funkcija. • I ovo kolo je linearno. • Prenosna funkcija RC visokopropusnika: Vo jRC  . Vi 1  jRC

• Ponašanje: na visokim frekvencijama dobija se jedinièni prenos, oko graniène frekvencije prenos se postepeno smanjuje, ispod graniène frekvencije signal se smanjuje srazmerno frekvenciji, faza kreãe sa vrednosti +ð/2 zatim oko graniène frekvencije postepeno pada i asimptotski teži nuli. 1   . H • Granièna frekvencija (kružna uèestanost) je:  26

13

10/3/2015

2.1.3.2. RC VISOKOPROPUSNIK – BODE-OVI DIJAGRAMI • Posebno se nacrta modul i faza prenosne funkcije u funkciji uèestanosti: Vo dB   20 log Vo Vi Vi V  Im o  V V  arg o   arctg  i  V   Vi  Re o   Vi  27

2.1.3.3. RC VISOKOPROPUSNIK – OPISIVANJE U VREMENSKOM DOMENU • Za sluèaj jediniènog skoka na ulazu t dobija se izlazni signal: 

Vo  Vm e

RC

• Pri periodiènom ponavljanju èetvrtastog signala na ulazu, ponašanje niskopropusnika zavisi od odnosa vremenske konstante kola i periode signala: — velika vremenska konstanta: skida se jednosmerna komponenta signala, ali se oblik signala jedva menja. — mala vremenska konstanta: i u ovom sluèaju nestaje jednosmerna komponenta, a na ivicama ulaznog signala na izlazu se generišu iglièasti impulsi.

28 28

14

10/3/2015

2.1.4. RAZDELNICI NAPONA OSNOVI • Cilj: smanjenje ulaznog signala bez promene oblika. • Raspoložive komponente: – otpornici, – kondenzatori, – kalemovi – transformatori. https://en.wikipedia.org/wiki/Voltage_divider

29

2.1.4.1. RAZDELNICI NAPONA – OTPORNIÈKA REŠENJA • Prosta otpornièka rešenja: – fiksni odnos razdele, – promenljivi odnos. • Kompenzovani razdelnici: ako je R1C1=R2C2 , neãe doãi do izoblièenja zbog kapacitivnog optereãenja na izlazu (signali svih frekvencija se prenose podjednako).

30

15

10/3/2015

2.1.4.2. RAZDELNICI NAPONA – KAPACITIVNA I INDUKTIVNA REŠENJA • Induktivni razdelnik: redovno se primenjuje kada veã ima kalema u datom kolu. • Razdela se dobije pravljenjem posebnog izvoda (odvoda) sa kalema. • Istovremeno se javlja i prilagoðenje impedanse. • Kapacitivna razdela: uglavnom se primenjuje u tehnici visokog napona. • Lakše je napraviti visokonaponski kondenzator male kapacitivnosti nego otpornik velike otpornosti. • Gubici kondenzatora su zanemarljivi. • Transformatorom se može i smanjiti i poveãati signal.

31

2.1.5. RC PROPUSNIK OPSEGA • Koriste se dva otpornika i dva kondenzatora. • Prenosna funkcija je:

Vo jC1 R2 ( j )  Vi 1  j (C1 R1  C1 R2  C 2 R2 )   2 C1C 2 R1 R2

• Prenos je maksimalan na srednjim 1 . frekvencijama, na manjim i veãim  0  C C R R 1 2 1 2 frekvencijama se smanjuje. • Prelaz iz propusnog opsega u nepropusni nije strm.

32

16

10/3/2015

2.1.6. LC FILTRI - OSNOVI • Bilo koji zadatak filtracije se može ostvariti kombinacijom potrebnog broja kalema i kondenzatora. • Podrazumeva se da se ne može pojaèati snaga pošto je reè o èisto pasivnim kolima. • Teorija LC filtara je složena, potrebni su složeni proraèuni za odreðivanje vrednosti komponenti. • Ranije je projektovanje podržavano gotovim formulama i tabelama. • Danas su na raspolaganju odgovarajuãi softveri (ima i besplatnih). https://inst.eecs.berkeley.edu/~ee247/fa07/files07/lectures/L4_f07.pdf 33

2.1.6.1. LC FILTRI – LESTVIÈASTE MREŽE • Mogli bi se koristiti mnogi razlièiti rasporedi LC elemenata za ostvarivanje filtara. • Najpopularnije su lestvièaste mreže. • Najèešãe se koriste sledeãi filtri: propusnik niskih uèestanosti (a), propusnik visokih uèestanosti (b), propusnik opsega uèestanosti (c). • Broj elemenata u lestvièastoj strukturi se odreðuje prema potrebama.

34

17

10/3/2015

2.1.7. WIEN-OV MOST • Na izvesnoj frekvenciji (f0=(2ðRC)-1 ) dolazi do uravnoteženja: daje nulti izlazni signal. • Primena: oscilatori, merni instrumenti. 35

2.1.8. REDNO RLC REZONANTNO KOLO • Impedanse kalema i kondenzatora se kompenzuju delimièno ili potpuno u zavisnosti od frekvencije ulaznog signala. • Rezonantna frekvencija je: 0 

1

LC

• Na rezonantnoj frekvenciji ulazna impedansa je èisto ohmska: Zi=R. • Strmina krive odnosno širina propusnog opsega zavisi od vrednosti Q  L 1 faktora: Q 0  R

 0 RC

36

18

10/3/2015

2.1.9. PARALELNO RLC REZONANTNO KOLO

• Kod ovog kola meðusobno se kompenzuju admitanse kalema i kondenzatora • Rezonantna frekvencija je: 0 

1 LC

• Na ovoj frekvenciji ulazna admitansa je èisto ohmska: Zi=R. • Strmina krive odnosno širina propusnog opsega zavisi od vrednosti Q faktora: Q

0L 1  R  0 RC

37

Kraj poglavlja 2.1. (PASiVNA KOLA)

19