INTEGRAL CONTOUR Tujuan Perkuliahan: Mahasiswa dapat memahami konsep integral contour dan menyelesaikan masalah dalam integral Contour.
Definisi: Diberikan fungsi z = z(t) untuk
≤ ≤ , Mewakili sebuah lintasan C yang
diperpanjang dari sebuah titik z1 = z (a) ke titik z2 = z (b), misal fungsi f(z) kontinu pada C, maka f(z(t)) kontinu pada interval
≤ ≤ , kita mendefinisikan integral contour
dari f sepanjang C sebagai berikut:
( )
=
( )
′(
)
Ā
Jika lintasan C dimaksudkan lintasan berarah dari titik awal lintasan tersebut berarah dari
ke
ke titik akhir , maka jika
akan dinyatakan dengan –C.
Dengan demikian, kita mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: 1. C tetap, f dipandang sebagai variabel. a. Jika f kontinu dan C terbatas, maka ∫
( )
b. Jika f dan g kontinu pada C, maka∫ ( + )( ) c. Jika k
dan f kontinu pada C maka∫
( )
=∫
( )
= ∫
( )
+∫
( )
2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel a. ∫−
( )
b. ∫ 1+
2
( )
= −∫
( )
=∫1 ( )
+∫2 ( )
dengan C=C1+ C2, yakni rangkaian
dari C1dan C2 dengan titik awal C berimpit dengan titik awal C1, titik akhir C berimpit dengan titik akhir C2 dan titik akhir C1 berimpit dengan titik awal C2. 3. Jika fungsi f kontinu pada C , C terbatas, untuk suatu M >0 berlaku
≤
( )
∫
.| |
Bukti Jika C kurva mulus, maka panjang kurva C adalah ( )2 + ( )2
| | =∫
=∫ ( =∫ |
) +(
)
|……….(1)
Sedangkan menurut definisi diperoleh ∫
( )
= lim‖Δ‖→0 ∑ =1 ( )Δ
…….(2)
Dan |∑ =1 (
)Δ | ≤ ∑ =1| ( )Δ | ≤∑
| ( )||Δ | ∑
≤
|Δ |…….(3)
Dari (1),(2),(3) diperoleh ( )
∫
= lim‖Δ‖→0 ∑ =1 ( )Δ ∑
≤ lim‖Δ‖→
Δ
∑
|Δ |
≤
lim‖Δ‖→ ∑
|Δ |
≤
∫ |
≤ lim‖Δ‖→
|=
| |
TEOREMA EKSISTENSI INTEGRAL KOMPLEKS Teorema Eksistensi Integral Kompleks Jika f(x) = u(x,y) + v(x,y) kontinu pada setiap titik di suatu kurva mulus C, maka integral f sepanjang C ada dan ( )
=
−
+ (
+
)
Bukti : Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), Ci = (σi,ωi) dan Δzi = Δxi + iΔyi maka
( )
∫
= lim∥Δ∥→0 ∑ =1 ( )Δzi
= lim∥Δ∥→ ∑
[ (σi,ωi) + iv(σi,ωi)]( Δxi + iΔyi)
= lim∥Δ∥→ ∑
[ (σi,ωi) Δxi - v(σi,ωi) Δyi] + ilim∥Δ∥→0 ∑ =1[ (σi,ωi) Δyi + v(σi,ωi)
Δxi] = lim∥Δ∥→ ∑
(σi,ωi) Δxi - lim∥Δ∥→0 ∑ =1 v(σi, ωi) Δyi + ilim∥Δ∥→0 ∑ =1 (σi,ωi) Δyi
+ lim∥Δ∥→0 ∑ =1 (σi,ωi) Δxi =∫
−∫
+ (∫
+∫
)
CONTOH-CONTOH SOAL (2,4)
2
1. Hitunglah ∫(0,3) 2 +
sepanjang:
+ (3 − )
a. Parabola x = 2t, y = t2 + 3 b. Garis lurus dari (0,3) ke (2,3) dan kemudian dari (2,3) ke (2,4) c. Garis lurus dari (0,3) ke (2,4) Penyelesaian : a. Titik (0,3) dan (2,4) pada parabola berkaitan dengan t = 0 dan t = 1. Maka integral yang diberikan adalah 1
2
2
2
∫ =0{2(t +3) + (2t) } 2dt + {3(2t) – (t +3)} 2t dt 1
= ∫0 (24 2 +12 – 2t3- 6t) dt = 33/2. b. Sepanjang garis lurus dari (0,3) ke (2,3), y=3, dy=0 dan integral garisnya 2
∫ =0 6 +
2
+ (3 − 3)0 =
2
∫ =0 6 +
2
=
44 3
Sepanjang garis lurus dari (2,3) ke (2,4), x=2, dx=0 dan integral garisnya 4 adalah ∫ =3(2 + 4)0 + (6 − )
Maka nilai yang diinginkan =
44 3
4 = ∫ =3(6 − ) 5
+2=
103 6
=
5 2
c. Suatu persamaan garis yang menghubungkan (0,3) dan (2,4) adalah 2y-x = 6. Selesaikan untuk x, maka x = 2y – 6. Jadi integralnya 4
4
2
2
∫ =3{2 + (2y - 6) } 2dy + {3 (2y – 6 ) – y) dy =∫ =3(8y – 39y +54) dy =
97/6 Hasil tersebut dapat juga diperoleh dengan menggunakan y = ½ (x+6) 2. Hitunglah ∫
dz, z = 0 ke z = 4+2i sepanjang kurva C yang diberikan:
a. Z = t2 + it b. Garis dari z = 0 dan z = 2i kemudian garis dari z = 2i ke z = 4 + 2i Penyelesaian : a. Titik z = 0 dan z = 4+2i pada C berkaitan dengan t = 0 dan t = 2 2
∫ =0 (
2
2
2
+ )d(t2 + it) = ∫0 ( 2 + it) (2t+i) dt = ∫0 (2
3
– it + t) dt = 10 –
8 3
b. Integral garis yang diberikan ∫ ( −
)(
+
)=∫
+
+ ∫
−
Garis dari z = 0 ke z = 2i sama seperti garis dari (0,0) ke (0,2) sehingga x=0, dx = 0 dan integral garisnya 2
∫ =0(0)(0) +
2
+ ∫ =0(0)(
2
) − (0) = ∫ =0
=2
Garis dari z = 2i ke z = 4+2i sama dengan garis dari (0,2) ke (4,2) sehingga y = 2, dy = 0 dan integral garisnya 4
4
+ 2.0 + =0
4
.0 −2 =0
4
=
+ 0
−2
=8−8
0
3. Jika C lingkaran | |=1 dengan arah positif dan f(z) suatu cabang dari z -1+i = e(1+i)iө
(| | > 0, 0 < arg( ) < 2 ) ℎ
ℎ∫
( )
Penyelesaian : Untuk z pada C berlaku z = eiө dengan 0≤ ∫
( )
2
≤2 2
= ∫0 ( eiө).i eiө d = ∫0 ( e(-1+i)iө. i eiө d =i∫0
4. Dipunyai z = 2eiө ( -2 ≤
≤2)
−
d = i(1-e-2π)
Tentukan I = ∫ Penyelesaian: Jelas z = 2 cos
+ 2 sin
Diperoleh x = 2cos 2
Sehingga ׀z=׀
= 4 = 4(
dan y = 2sin 2
+
+ 4sin2
2 2
+ sin2 )
= √4 =2 Batas dari z = -2i ke z = 2i dapat di interpretasikan pada gambar berikut: Y
Karena
= e-iө dan
eiθ
= i eiө
Berdasarkan definisi 2 pada section 32 diperoleh 2i
π
X
π
I = ∫−2 2 eiθ . 2ieiθ dθ = 4i ∫−2 dθ = 4i(2 + 2) 2
2
= 4πi -2i
Tulis bahwa pada saat titik z pada lingkaran ׀z = ׀2 maka z = 4 atau sehingga hasil I= 4πi dapat ditulis ∫
=
4
=
5. Misalkan C1 dinotasikan sebagai garis OAB seperti terlihat pada gambar berikut: Y
A
B
C1 C2
0
dengan f(x) = y – x – i3x2 ( z = x + iy) berdasarkan gambar tersebut diperoleh:
X
=
( ) 1
+
( )
( )
0
pada lintasan garis OA dapat dipresentasikan dengan parameter z = 0 +iy ≤ 1)
(0≤
karena x = 0 nilai f dengan parameter y menurut persamaan f(z) = y, ≤ 1) akibatnya
(0≤ ∫
1
1
= ∫0
( )
1 2 1 ]0
= ∫0
= [2
1
= ∫0 1 − − 3
( )
= ∫ (1 − ) =( −
1
0 = 2 … . (1)
2
.1
−3 ∫
] −3 [
= 1−
1 − 2
≤ 1) diperoleh
Pada lintasan AB, z=x+i, (0≤ ∫
=
]
− 0 − 3 ( − 0)
= − … . (2) Dari (1) dan (2) diperoleh =∫
( )=∫
( )
+∫
( )
= + − = − = Selanjutnya jika C2 dinotasikan dengan segmen OB pada garis y=x dengan representasi parameter z = x+ix (0≤ ∫2 ( )
1 = ∫0 − 3 2 (1 + )
= ∫ (−3 =∫ 3
+3 (1 − )
= 3(1 − ). =1−
]
)
≤ 1) diperoleh:
Untuk selanjutnya ∫ ( )
sepanjang 2 garis C1 dan C2 mempunyai
perbandingan nilai walaupun kedua garis merupakan titik awal dan titik akhir yang sama. ∫ ( )
pada lintasan tertutup DABO atau C1-C2 adalah
−∫2 ( )
∫1 ( )
=
1− 2
− (1 − )
= 6. Hitunglah ∫
=
dengan
C1 : y = 4x-x2 ; x:3 →0, y:3→4→ 0 1
C2 : y = 3 ; : 0 → 3, : 0 → 1 C3 : x =3; y: 1→ 3 C = C1 + C2 + C3 = ∫1
∫ 1. ∫ 1
+∫3
+∫ 2
= ∫ 1( −
)(
−
)
=∫
+∫
+ (∫
−∫
)
=∫
+ ∫
+ ∫
+ (∫
(4 − 2 )
− ∫ (4 −
)
= −4 − 4 + (0 + 9) = −9 + 9 2. ∫ 2
=∫
=∫
+∫
+∫
+ (∫
+ (∫
−∫
−∫
)
)
=4 + +0 3. ∫ 3
=∫
=∫
+∫
+∫
+ (∫
+ (∫ 3
−∫
−∫
)
. 0)
=0+4+6 =4+6 Jadi ∫
= ∫1
+∫ 2
+∫3
= (−9 + 9 ) + 5 + (4 + 6 ) = 15
)
DAFTAR PUSTAKA
Churchill dan Brown. 1990. Complex Variables and Applications Fifth Edition. Singapore: McGraw-Hill.Inc. Dedy dan Sumiati. 2001. Fungsi Variabel Kompleks. Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UPI. Bandung. Soemanto, R. 1994. Fungsi Variabel Kompleks. Yogyakarta: Spiegel, Murray R. dan Koko Martono. 1991. Seri Buku Schaum Teori dan Soal-soal Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konformal dan Penerapannya. Jakarta: Erlangga.
