1
BAB V HITUNG INTEGRAL
Perhitungan integral merupakan teknik matematis standar yang penting untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup yang bentuknya tidak tertentu. Daerah terasir pada Gambar 5.1 menunjukkan daerah yang diekspresikan oleh fungsi sebagai berikut : B
∫ F ( X )dx A
Fungis F(X) adalah kontinyu pada interval titik A dan B
Y
Y= F(X)
B
∫ F ( X )dx A
A
X
B
Gambar 5.1 : Luas daerah terasir di bawah kurva Y=F(X) antara titik A B
dan B adalah sama dengan ∫ F ( X )dx A
Selama ini telah dikembangkan beberapa metoda numerik yang telah diformulasikan untuk perhitungan integral. Bagian ini akan membahas tiga metoda yang banyak dimanfaatkan dalam pemecahan permasalahan hitung integral, yaitu metoda Simpson, metoda Rectangle (empat persegi panjang), dan metoda Trapesoid (segi empat sembarang).
2
Ide dasar pendekatan perhitungan integral pada ketiga metoda tersebut sebenarnya hampir sama. Pada dasarnya cara untuk menghitung luas daerah terasir dalam interval titik A dan titik B pada Gambar 5.1 dapat dilakukan dengan cara membagi daerah terasir di bawah kurva F(X) menjadi sejumlah sub interval yang lebih kecil dan kemudian masing-masing sub interval tersebut dihitung luasnya. Luas daerah yang dicari adalah sama dengan hasil penjumlahan seluruh luas daerah sub interval. Semakin kecil sub interval yang digunakan akan semakin tinggi pula akurasi hasil perhitungan yang diperoleh. Hal ini karena ujung-ujung
daerah
sub
interval
akan
mendekati
bentuk
kurva
yang
kesalahan
hasil
sesungguhnya.
Tentu
saja
tidak
tertutup
kemungkinan
terjadinya
perhitungannya. Oleh karenanya, kita akan dapat membandingkan tingkat akurasi hasil perhitungan di antara ketiga metoda tersebut. Dua hal penting yang harus dipertimbangkan dalam memilih metoda yang paling tepat adalah lamanya waktu yang diperlukan untuk perhitungan dan akurasi hasil perhitungannya.
Perbedaan antara ketiga metoda tersebut adalah terletak pada bentuk bidang yang digunakan untuk pendekatan pada bentuk kurvanya. Dalam pendekatan metoda Simpson luas daerah terasir di bawah kurva F(X) dihitung dengan menjumlahkan luas darah sub interval yang terdiri dari bidang dengan ujung berupa parabola. Dalam pendekatan metoda rectangle luas daerah terasir di bawah kurva F(X) adalah dihitung dengan menjumlahkan luas daerah sub interval yang terdiri dari bidang yang dengan ujung berbentuk empat persegi panjang. Sedangkan dalam pendekatan metoda trapezoid luas daerah terasir di bawah kurva F(X) adalah dihitung dengan menjumlahkan luas daerah sub interval yang terdiri dari bidang yang memiliki ujung berbentuk segi empat sembarang.
3
5.1. Metoda Simpson
Dalam pendekatan dengan metoda Simpson, luas daerah tertutup di bawah kurva F(X) pada interval titik A dan titik B, adalah dihitung dengan mempergunakan formula sebagai berikut ini :
B
∫ (X)dx = 3 x{F(X0P ) + 4xF(X0+1P ) + 2xF(X0+ 2P ) + 4xF(X0+3P ) + ... + 2xF(X(N − 2)P ) + 4xF(X(N −1)P ) + F(X NP )}A P
B
A
Keterangan: N
: (B - A) / P, yaitu banyaknya sub interval
P
: lebar sub interval
X0
:A
XN
:B
Gambar
5.2
adalah
menunjukkan
pendekatan
metoda
Simpson
untuk
menghitung luas daerah di bawah kurva F(X) dan sumbu X dalam interval titik A dan titik B.
Y
Y=F(X)
X0=A
X1
X2
X3
…….
XN -2 XN -1 XN=B
X
Gambar 5.2: Menghitung luas daerah di bawah kurva F(X) dengan pendekatan metoda Simpson
4
Proses penyelesaian perhitungan integral dengan pendekatan metoda Simpson dimulai dengan membaca fungsi F(X), dan titik-titk batas interval kurva yang akan dihitung luasnya, yaitu titik A untuk batas awal interval dan titik B untuk batas akhir interval. Mula-mula lebar masing-masing sub interval (=P) dihitung dengan membagi dua jarak antara titik A dan titik B. Formula yang digunakan adalah sebagai berikut :
P = (B – A) / 2
Sedangkan cacah sub interval yang terbentuk dapat dihitung dengan formula sebagai berikut :
N = (B - A) / P
Langkah berikutnya adalah menjumlahkan luas masing-masing sub interval yang telah terbentuk tersebut. Proses dilanjutkan untuk membagi kembali setiap sub inteval menjadi sub interval yang lebih sempit / kecil dan kemudian dijumlahkan kembali luas setiap sub interval yang baru. Suatu batas ketelitian perlu ditetapkan untuk mengecek perbedaan hasil perhitungan luas pada setiap kali perulangan. Untuk itu batas ketelitian dapat menggunakan suatu angka yang sangat kecil hampir mendekati 0 (nol) yang biasanya disebut epsilon atau ε.
Jika perbedaan hasil perhitungan penjumlahan luas masing-masing sub interval sudah sangat kecil yaitu lebih kecil atau sama dengan ε, maka proses dapat dihentikan. Tetapi jika perbedaan perhitungan jumlah luas sub interval masih cukup besar yaitu masih lebih besar dari pada ε, maka masing-masing sub interval tersebut perlu dibagi kembali sehingga menjadi semakin sempit dan kemudian dijumlahkan kembali luas setiap sub interval yang baru. Demikian proses pembagian sub interval dan penjumlahan luas setiap sub interval ini akan dilakukan terus menerus hingga proses dapat dihentikan.
Jika TERAKHIR menyatakan hasil perhitungan intergral Simpson pada pendekatan terakhir, dan INTEGRAL_SIMPSON menyatakan hasil perhitungan
5
pada langkah sebelumnya, maka akurasi hasil perhitungan yang diperoleh dapat dicek berdasarkan kesalahan relatif yang dihitung dengan formula sebagai berikut :
INTEGRAL _ SIMPSON − TERAKHIR <ε INTEGRAL _ SIMPSON
Keterangan: INTEGRAL_SIMPSON TERAKHIR
: hasil pendekatan terakhir
: hasil pendekatan terdekat sebelumnya
Namun demikian, untuk menghindari proses yang berkepanjangan dalam melaksanakan proses perulangan tersebut kita dapat menetapkan batas cacah perulangan yang harus dilakukan. Dalam contoh di sini cacah iterasi perulangan ditetapkan sebanyak 20 kali. Sehingga jika iterasi perulangan telah dilakukan sebanyak 20 kali, tetapi perbedaan hasil perhitungan masih cukup besar, maka proses akan diperhentiikan dengan menyertakan pesan bahwa harga integral yang dicari tidak ditemukan.
Flowchart prosedur perhitungan integral dengan pendekatan metoda Simpson adalah seperti ditunjukkan pada Gambar 5.3.
6
Mulai
Baca F(X), A, B, ε
INTEGRAL_SIMPSON = 0.0 P = (B-A) / 2
FOR I = 1 TO 20
TERAKHIR = INTEGRAL_SIMPSON N = (B-A) / P
FOR J=2,4,6,…N-2
JUMLAH = JUMLAH+2xF(A+JxP)+4xF(A+(J+1)xP
INTEGRAL_SIMPSON=P/3xJUMLAH
ABS((INTEGRAL_SIMPSON TERAKHIR)/INTEGRAL_SIMPSON) < ε
CETAK INTEGRAL_SIMPSON
P=P/2
NEXT I
CETAK “Integral Simpson tidak ditemukan dalam 20 iterasi, hasil perhitungan : “, INTEGRAL_SIMPSON
Selesai B
Gambar 5.3 : Flowchart prosedur menghitung ∫ F ( X )dx dengan metoda Simpson A
7
Dengan asumsi bahwa fungsi F(X) telah diketahui, maka solusi dalam bentuk algoritma untuk menghitung harga integral suatu fungsi dengan menggunakan pendekatan metoda Simpson dapat dituliskan sebagai berikut ; Masukkan fungsi F(X), titik awal A dan titik akhir B, dan ε sebagai batas ketelitian 1. Mulai 2. Inisialisasikan harga-harga awal INTEGRAL_SIMPSON = 0.0 P = (B – A) / 2 3. Proses berulang langkah-4 s/d langkah-9 FOR I = 1 TO 20 4. Catat hasil perhitungan nilai pendekatan sebelumnya TERAKHIR
= INTEGRAL_SIMPSON
5. Hitung cacah sub interval N = (B – A) / P 6. Akumulasikan luas bidang pada semua sub interval JUMLAH = F(A) + 4xF(A+P) + F(B) FOR J = 2, 4, 6, .. ,N-2 JUMLAH = JUMLAH + 2xF(A+JxP)+4xF(A+(J+1)xP) 7. Hitung Integral INTEGRAL_SIMPSON
= P / 3 x JUMLAH
8. Cek konvergensi | (INTEGRAL_SIMPSON – TERAKHIR) / INTEGRAL_SIMPSON| < ε Jika yA, cetak Hasil (INTEGRAL_SIMSON) Lanjutkan ke langkah-11 9. Tentukan lebar sub interval untuk iterasi berikutnya P=P/2 10. Tidak konvergen dan cetak pesan (“Integral tidak ditemukan dalam 20 iterasi, hasil perhitungan : ”, INTEGRAL_SIMPSON) 11. Selesai
8
Untuk membuktikan keakuratan hasil perhitungan fungsi integral dengan pendekatan metoda Simpson, berikut ini diberikan contoh penyelesaian fungsi integral yaitu sebagai berikut :
Contoh : 2
3 2 ∫ (4 X − 3 X + 2)dx 1
Jika dihitung harga fungsi integral tersebut adalah sebagai berikut : 2
∫
= F( X )dx 1
∫ (4X − 3X + 2)dx = (X − X + 2X + C ) = (X − X + 2X + C ) − (X − X = (2 − 2 + 2 x 2 ) − (1 − 1 + 2 x1) 2
=
3
2
1
4
3
4
3
4
3
2 1 x =2
4
4
3
+ 2X + C
)
x =1
3
= 12 − 2 = 10
Dari perhitungan di atas, diperoleh hasil akhir harga fungsi integral adalah 10. Selanjutnya kita akan menyelesaikan perhitungan fungsi integral tersebut dengan pendekatan metoda Simpson. Untuk itu, perlu ditetapkan lebar sub interval (=P) terlebih dahulu, misal 0.1. Perhitungannya adalah sebagai berikut :
Contoh :
= (P/3)x(F(X0P)+4xF(X0+1P)+2xF(X0+2P)+4xF(X0+3P)+…+ 2xF(X(N-2)P)+4xF(X(N2 2)P)+4xF(X(N-1)P)+F(XNP)) 1
= 0.1/3x{(4x13-3x12+2)+(4(4x1.13-3x1.12+2))+(2(4x1.23-3x1.22+2))+(4(4x1.333x1.32+2))+…..+ (2(4x1. 83-3x1.82+2))+(4(4x1.93-3x1.92+2))+((4x23-3x22+2))}
= 0.0033x{(3)+(4x3.694)+(2x4.592)+(4x5.718)+…+(2x15.608)+(4x18.606)+(22)}
= 9.602
9
Dengan menggunakan sub interval 0.1, maka hasil perhitungan dengan pendekatan metoda Simpson diperoleh hasil akhir untuk harga fungsi integral sebesar 9.602. Harga fungsi integral yang sebenarnya adalah 10, sehingga terdapat selisih harga sebesar 0.398 lebih kecil daripada harga yang sesungguhnya. Kejadian seperti ini sangat wajar, karena bisa jadi bentuk bidang berbentuk parabola yang digunakan untuk mendekati kurva F(X) tidak dapat persis sama dengan bentuk kurvanya. Tentu saja kita dapat memperoleh hasil yang lebih baik dengan cara memperkecil lebar sub intervalnya, misal diubah menjadi 0.01.
Pembaca dapat mencoba dan mengecek hasil pehitungannya apabila lebar inteval diubah menjadi 0.01, dan penggunaan komputer akan membantu dalam menyelesaikan perhitungan tersebut. Karena jika lebar sub intrval yang digunakan 0.01, maka akan diperlukan 100 kali perhitungan untuk menemukan hasil akhir perhitungan, yaitu mulai dari titik 1.00, 1.01, 1.02, 1.03,….dst,…., 1.98, 1.99, 2.00. Selain menjadi rumit, proses perhitungan tersebut akan memerlukan ketelitian yang sangat tinggi. Tetapi jika dilakukan oleh komputer, maka hal ini tidak akan menjadi permasalahan dan sekaligus dapat mengetes prosedur pada algoritma di atas.
5.2. Metoda Empat Persegi Panjang (Rectangle)
Logika prosedur untuk menghitung luas daerah di bawah kurva F(X) dalam B
interval titik A dan titik B atau
∫ F ( X )dx
dengan menggunakan pendekatan
A
metoda
empat
persegi
panjang
(rectangle)
sebenarnya
sama
dengan
pendekatan metoda Simpson. Perbedaannya adalah terletak pada bentuk bidang yang digunakan untk mendekati bentuk kurva F(X). Gambar 5.4 adalah menunjukkan pendekatan metoda empat persegi panjang untuk menghitung luas daerah di bawah kurva F(X) dalam interval titik A dan titik B. Titik A adalah berfungsi sebagai batas bawah interval, sedangkan titik B berfungsi sebagai batas atas interval.
10
Secara ringkas, luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva F(X) pada interval titik A dan titik B dengan menggunakan pendekatan metoda empat persegi panjang adalah dihitung dengan formula sebagai berikut : = ∫ F ( X )dx = P{F ( X 0 P ) + F ( X 0 +1P ) + F ( X 0 + 2 P ) + ... + F (X 0 + () N − 2 ) P ) + F (X 0 + () N −1) P )}A 2
B
1
Keterangan: N
: (B – A) / P, yaitu banyaknya sub interval
P
: lebar sub interval
X0
:A
XN
:B
Y
Y=F(X)
X0=A
X1 X2 X3
…….
XN-2 XN-1 XN=B
X
Gambar 5.4: Menghitung luas daerah di bawah kurva F(X) dengan pendekatan metoda empat persegi panjang Sebagaimana terjadi dalam pendekatan metoda Simpson, akurasi hasil perhitungan fungsi integral dengan pendekatan metoda empat persegi panjang akan semakin bertambah jika cacah sub interval (=N) semakin banyak, sehingga ukuran lebar masing-masing sub interval (=P) semakin kecil / sempit.
Tingkat akurasi hasil perhitungan yang diperoleh dapat dicek berdasarkan kesalahan relatif yang dihitung dengan formula sebagai berikut :
INTEGRAL _ RECTANGLE − TERAKHIR <ε TERAKHIR
11
Keterangan: INTEGRAL_RECTANGLE
: hasil pendekatan terakhir
TERAKHIR
: hasil pendekatan terdekat sebelumnya
Dengan asumsi bahwa fungsi F(X) telah diketahui, maka solusi dalam bentuk algoritma untuk menghitung harga integral suatu fungsi dengan menggunakan pendekatan metoda empat persegi panjang dapat dituliskan sebagai berikut : Masukkan fungsi F(X), titik awal A dan titik akhir B, dan ε sebagai batas ketelitian 1. Mulai 2. Inisialisasikan harga-harga awal INTEGRAL_RECTANGLE = 0.0 P = (B – A) / 2 3. Proses berulang langkah-4 s/d langkah-9 FOR I = 1 TO 20 4. Catat hasil perhitungan nilai pendekatan sebelumnya TERAKHIR = INTEGRAL_RECTANGLE 5. Hitung cacah sub interval N = (B – A) / P 6. Jumlahkan luas bidang pada semua sub interval JUMLAH
= 0.0
FOR J = 0 TO N -1 JUMLAH = JUMLAH + F(A+JxP) 7. Hitung integral INTEGRAL_RECTANGLE = P x JUMLAH 8. Cek konvergensi IF ABS((INTEGRAL_RECTANGLE-TERAKHIR)/INTEGRAL_RECTANGLE)<ε Jika ya, cetak hasil (INTEGRAL_ RECTANGLE) Lanjutkan ke langkah-11 9. Tentukan lebar sub interval untuk iterasi berikutnya P=P/2 10. Tidak konvergen dan cetak pesan (“Integral tidak ditemukan dalam 20 iterasi, hasil perhitungan : ”, INTEGRAL_ RECTANGLE)
12
11. Selesai
Sebagaimana terjadi dalam metoda Simpson yang telah dibahas sebelumnya, pembagian sub interval di sini hanya dibatasi hingga 20 kali. Selanjutnya Gambar 5.5 adalah menunjukkan flowchart prosedur pendekatan metoda empat persegi panjang untuk menghitung harga fungsi integral.
Berikut ini akan diberikan contoh menghitung harga integral dengan metoda empat persegi panjang. Persamaan fungsinya adalah sama dengan contoh sebelumnya.
Demikian
juga
untuk
lebar
sub
intervalnya
yaitu
0.1.
Perhitungannya adalah seperti berikut ini :
Contoh : 2
2
(
)
= ∫ F ( X )dx = ∫ 4 X 3 + 3 X 2 + 2 dx 1
1
= P{F ( X 0 P ) + F ( X 0 +1P ) + F ( X 0 + 2 P ) + ... + F (X 0 + () N − 2 ) P ) + F (X 0 + () N −1) P )}A B
= 0.1{(4x13-3x12+2)+ (4x1.13-3x1.12+2)+ (4x1.23-3x1.22+2)+…+ (4x1.833x1.82+2)+ (4x1.93-3x1.92+2)}
= 9.075
Hasil perhitungan dengan pendekatan metoda segi empat persegi panjang untuk harga fungsi integral adalah sebesar 9.075. Harga fungsi integral yang sebenarnya adalah 10, sehingga terdapat selisih harga sebesar 0.925 lebih kecil daripada harga yang sebenarnya.
Sebagaimana terjadi dalam pendekatan metoda Simpson kejadian seperti terjadi karena bidang berbentuk empat persegi panjang yang digunakan untuk mendekati kurva F(X) tidak dapat persis sama dengan bentuk kurva F(X). Hasil yang lebih baik akan diperoleh jika lebar masing-masing sub intervalnya diperkecil.
13
Mulai
Baca F(X), A, B, ε
INTEGRAL_RECTANGLE = 0.0 P = (B-A) / 2
FOR I = 1 TO 20
TERAKHIR = INTEGRAL_RECTANGLE N = (B-A) / P JUMLAH = 0.0
FOR J = 0 TO N-1
JUMLAH = JUMLAH + F(A+JxP)
INTEGRAL_RECTANGLE = P / 3 x JUMLAH
ABS((INTEGRAL_RECTANGLE TERAKHIR)/INTEGRAL_RECTANGLE)< ε
P=P/2
Cetak INTEGRAL_ RECTANGLE
NEXT I
CETAK (“Integral Rectangle tidak ditemukan dalam 20 iterasi, hasil perhitungan : “, INTEGRAL_RECTANGLE)
Selesai B
Gambar 5.5 : Flowchart prosedur menghitung ∫ F ( X )dx dengan metoda empat persegi A
14
5.3. Metoda Segi Empat Sembarang (Trapezoid)
perhitungan harga integral suatu fungsi dengan pendekatan metoda segi empat sembarang adalah hampir sama dengan pendekatan metoda Simpson dan empat persegi panjang. Perbedaannya, pada pendekatan metoda segi empat sembarang bidang yang digunakan untuk pendekatan kurva F(X) adalah berbentuk segi empat sembarang, tidak harus empat persegi panjang. Penyelesaian integral dengan pendekatan ini ditunjukkan pada Gambar 5.6.
Y
Y=F(X)
X0=A
X1 X2 X3
…….
XN-2 XN-1 XN=B
X
Gambar 5.6: Menghitung luas daerah di bawah kurva F(X) dengan pendekatan metoda segi empat sembarang Perhitungan integral dengan pendekatan metoda Segi empat sembarang, umumnya memberikan hasil perhitungan yang lebih akurat daripada pendekatan metoda empat persegi panjang. Penyelesaian integral suatu fungsi dengan pendekatan metoda segi empat sembarang adalah dihitung dengan formula sebagai berikut ini : = ∫ F ( X )dx = P / 2 x{F ( X 0 P ) + 2 xF ( X 0+1P ) + 2 xF ( X 0+ 2 P ) + ... + 2 xF (X ( N −1) P ) + F ( X NP )}A B
B
A
Keterangan: N
: (B – A) / P, yaitu banyaknya sub interval
P
: lebar sub interval
15
X0
:A
XN
:B
Sebagaimana terjadi dalam pendekatan meoda empat persegi panjang, akurasi hasil perhitungan fungsi integral dengan pendekatan metoda segi empat sembarang akan semakin bertambah jika cacah sub interval (=N) semakin banyak, sehingga ukuran lebar masing-masing sub interval =(P) semakin kecil / sempit. Tingkat akurasi hasil perhitungan yang diperoleh dapat dicek berdasarkan kesalahan relatif yang dihitung dengan formula sebagai berikut ini :
INTEGRAL _ TRAPEZOID − TERAKHIR <ε TERAKHIR Keterangan: INTEGRAL_TRAPEZOID : hasil pendekatan terakhir TERAKHIR
: hasil pendekatan terdekat sebelumnya.
Dengan asumsi bahwa fungsi F(X) telah diketahui, maka solusi dalam bentuk algoritma untuk menghitung harga integral suatu fungsi dengan menggunakan pendekatan metoda segi empat sembarang dapat dituliskan sebagai berikut ini : Masukkan fungsi F(X), titik awal A dan titik akhir B, dan ε sebagai batas ketelitian 1. Mulai 2. Inisialisasikan harga-harga awal INTEGRAL_TRAPEZOID = 0.0 P = (B – A) / 2 3. Proses berulang langkah-4 s/d langkah-9 FOR I = 1 TO 20 4. Catat hasil perhitungan nilai pendekatan sebelumnya TERAKHIR = INTEGRAL_ TRAPEZOID 5. Hitung cacah sub interval N = (B – A) / P 6. Jumlahkan luas bidang pada semua sub interval JUMLAH
= 0.0
FOR J = 0 TO N -1
16
JUMLAH = JUMLAH + F(A+JxP)+F(A+(J+1)xP) 7. Hitung Integral INTEGRAL_TRAPEZOID = P x JUMLAH 8. Cek konvergensi IFABS((INTEGRAL_TRAPEZOID
-
TERAKHIR)/INTEGRAL_TRAPEZOID)< ε Jika ya, cetak hasil (INTEGRAL_ TRAPEZOID) Lanjutkan ke langkah-11 9. Tentukan lebar sub interval untuk iterasi berikutnya P=P/2 10. Tidak konvergen dan cetak pesan (“Integral tidak ditemukan dalam 20 iterasi, hasil perhitungan : ”. INTEGRAL_ TRAPEZOID) 11. Selesai
Gambar 5.7 adalah menunjukkan flowchart prosedur untuk menghitung harga fungsi integral dengan pendekatan metoda segi empat sembarang, dan sebagaimana terjadi dalam pendekatan metoda Simpson dan metoda empat persegi panjang yang telah dibahas sebelumnya, pembagian sub interval di sini hanya dibatasi hingga 20 kali.
17
Mulai
Baca F(X), A, B, ε
INTEGRAL_TRAPEZOID = 0.0 P = (B-A) / 2
FOR I = 1 TO 20
TERAKHIR = INTEGRAL_TRAPEZOID N = (B-A) / P JUMLAH = 0.0
FOR J = 0 TO N-1
JUMLAH = JUMLAH + F(A+JxP)+F(A+(J+1)xP)
INTEGRAL_TRAPEZOID = P x JUMLAH
ABS((INTEGRAL_TRAPEZOID TERAKHIR)/INTEGRAL_ TRAPEZOID)< ε
P=P/2
Cetak INTEGRAL_ TRAPEZOID
NEXT I
CETAK (“Integral Trapezoid tidak ditemukan dalam 20 iterasi, hasil perhitungan : “, INTEGRAL_TRAPEZOID)
Selesai B
Gambar 5.7 : Flowchart prosedur menghitung ∫ F ( X )dx dengan metoda segi empat A
18
Dengan menggunakan persamaan fungsi pada contoh sebelumnya dan lebar sub interval 0.1, maka jika dihitung menggunakan pendekatan metoda segi empat sembarang akan diperoleh hasil sebagai berikut ini :
Contoh : 2
2
(
)
= ∫ F ( X )dx = ∫ 4 X 3 + 3 X 2 + 2 dx 1
1
= P / 2 x{F ( X 0 P ) + 2 xF ( X 0+1P ) + 2 xF ( X 0+ 2 P ) + ... + 2 xF (X ( N −1) P ) + F ( X NP )}1
2
= 0.1 / 2 x{( 4 x13 − 3 x12 + 2) + (2 x(4 x1.13 − 3 x1.12 + 2) + ... + (2 x(4 x1.9 3 − 3x1.9 2 + 2) + (4 x 2 3 − 3 x 2 2 + 2)} = 11.125
Hasil perhitungan yang diperoleh dengan menggunakan pendekatan segi empat sembarang adalah 11.125, sehingga terjadi selisih perhitungan dengan harga integral yang sebenarnya sebesar 1.125. Dalam kasus ini, perhitungan fungsi integral dengan pendekatan segi empat sembarang telah memberikan hasil perhitungan paling tidak akurat.
Secara relatif, umumnya perhitungan fungsi integral dengan pendekatan metoda Simpson akan memberikan hasil paling akurat. Kemungkinan kesalahan dalam perhitungan relatif lebih kecil. Hal ini dikarenakan bidang yang digunakan untuk pendekatan terhadap kurva fungsinya adalah berbentuk parabola sehingga akan lebih sempurna jika dibandingkan dua pendekatan metoda lainnya yang menggunakan bidang dengan batas berupa garis lurus. Pendekatan metoda Simpson sangat terkenal dan banyak dimanfaatkan dalam banyak aplikasi karena kesederhanaan formulanya.
Penggunaan pendekatan metoda empat persegi panjang dalam aplikasi relatif paling mudah dipahami dan sederhana. Namun demikian, pendekatan dengan metoda ini mempunyai kelemahan yaitu kemungkinan terjadinya kesalahan
19
perhitungan sangat besar. Sedangkan metoda segi empat sembarang secara relatif memiliki keunggulan dan kelemahan di antara dua metoda lainnya.
Selain itu penetapan lebar sub interval dalam perhitungan juga sangat berpengaruh terhadap tingkat akurasi hasil perhitungan. Sebagaimana dalam dua pendekatan sebelumnya, Pembaca dapat mengetes hasil perhitungan menggunakan pendekatan metoda segi empat sembarang apabila lebar sub interval yang digunakan adalah 0.01. Tentu kita juga akan sepakat bahwa semakin kecil lebar sub interval yang digunakan akan memberikan hasil yang lebih baik. Perbedaan pada bentuk bidang yang dipergunakan untuk pendekatan kurva fungsi pada masing-masing metoda akan memberikan hasil akhir perhitungan yang tingkat akurasinya dapat saling diperbandingkan.
