Bab IV Persamaan Integral Batas
IV.1
Konvensi simbol
Sebelum memulai pembahasan, kita akan memperkenalkan sejumlah konvensi simbol yang akan digunakan pada tesis ini. Simbol x, y, x0 akan digunakan untuk menyatakan titik di R2 atau sebuah vektor di R2 . Sedang lambang subscript x1 , x2 untuk menyatakan komponen dari titik x = (x1 , x2 ). Sedangkan simbol u atau (superscript) ui menyatakan tensor di R2 . IV.2
Penentuan Solusi Fundamental
Pada bab 4 sebelumnya telah diperoleh persamaan dasar Stokes Nonhomogen (persamaan konstitutif ) dari proses deformasi benang viscoelastis menjadi droplet. −∇P + η∇2 u = De∇ (∂t ) τ dengan u = ud dan τ = τ d . Melalui persamaan di atas, kita akan menentukan solusi fundamental atau solusi Green. Persamaan di atas ditulis dalam bentuk −∇P + η∇2 u∗ + gδ(x − x0 ) = 0
(4.1)
dengan u∗ menyatakan solusi Green, dan x menyatakan titik pengamatan (Observation Point) dan x0 menyatakan titik sumber (Source Point), P menyatakan tekanan isotropik, η menunjukkan kekentalan, g menyatakan vektor konstan, dan δ menyatakan fungsi Delta Dirac. Misal solusi Green dari persamaan (4.1) dituliskan dalam bentuk u∗i (x) =
1 Gij (x, x0 )gj 4πη
(4.2)
dengan x0 titik sumber, x titik pengamatan, dan Gij menyatakan fungsi Green, solusi fundamental atau propagator . Fungsi Green Gij yang kita punyai adalah fungsi Green pada aliran tak berhingga yang dibatasi oleh suatu permukaan. Titik pengamatan (Observation Point) x menghampiri titik sumber x0 sedemikian sehingga semua fungsi Green menghasilkan perilaku singularitas. Melalui teorema Divergensi Gauss yang dikenakan pada persamaan (4.2) dan adanya persamaan kekontinuan, ∂i u∗i = 0 maka kita peroleh persamaan ∂Gij (x, x0 ) = 0 ∂xi
(4.3)
27 dengan mengintegralkan persamaan (4.3) di luar domain Ω yang dibatasi oleh permukaan S, dan melalui teorema Divergensi Gauss diperoleh Z Gij (x, x0 )ni dS = 0 (4.4) ∂Ω
titik sumber x0 dapat diletakkan diluar, di dalam atau di batas domain. Misal kecepatan, tekanan, dan medan tegangan dinyatakan dalam bentuk fungsi Green P (x) = πij (x) =
1 p (x, x0 )gj 4π j 1 T (x, x0 )gj 4πη ijk
(4.5)
yang mana u∗ , p, T menyatakan tensor kecepatan, vektor tekanan, dan tensor tegangan yang dihubungkan dengan fungsi Green. Telah diasumsikan bahwa fluida tak-newton bersifat incompressible dan ada pengaruh pressure terhadap fluida tak-Newton. Dengan demikian tensor tegangan total dapat dinyatakan πij = −P δij + τij
(4.6)
dengan µ τij = η
∂ui (x) ∂uk (x) + ∂xk ∂xi
¶ (4.7)
Melalui persamaan (4.5)-(4.7) diperoleh tensor tegangan yang dinyatakan dalam bentuk fungsi Green T. µ Tijk (x, x0 ) = −δik pj (x, x0 ) +
¶ ∂Gij ∂Gkj (x, x0 ) + (x, x0 ) ∂xk ∂xi
(4.8)
Masing-masing sisi diturunkan terhadap xi sedemikian sehingga diperoleh ∂Tijk ∂pj ∂ 2 Gkj =− + ∂xi ∂xk ∂x2i
(4.9)
dan melalui persamaan (4.5) dan persamaan (4.1) ¶ µ µ ¶µ 2 ¶ ∂pj ∂pj 1 1 ∂pj ∂ ui ∂ 2 uj ∂ 2 uk − − +η + + − = −gδ(x − x0 ) 4π ∂xi ∂xj ∂xk 4πη ∂x2i ∂x2j ∂x2k dan diperoleh −
∂ 2 Gkj ∂pj + = −4πδkj δ(x − x0 ) ∂xk ∂x2k
(4.10)
melalui persamaan (4.9)-(4.10) diperoleh ∂Tijk ∂Tkij = = −4πδkj δ(x − x0 ) ∂xi ∂xi
(4.11)
28 Kita memanfaatkan teorema Divergensi Gauss pada masing-masing sisi persamaan (4.11) diperoleh Z Z 4πδjk ∂Tijk dΩ = Tijk (x − x0 )ni (x)dS(x) = − 2πδjk (4.12) Ω ∂xi S 0 Pandang persamaan Stokes Nonhomogen (4.1). Persamaan (4.1) juga persamaan Poisson. Solusi fundamental dari persamaan Poisson sama dengan solusi fundamental dari persamaan Laplace. ∂jj ui = δ(x − x0 )
(4.13)
Solusi fundamental dari persamaan Laplace ui =
1 ln(r) 2π
(4.14)
akibatnya ∂jj ui =
1 ∂jj ln(r) = δ(x − x0 ) 2π
atau δ(x − x0 ) =
1 2 ∇ ln r 2π
(4.15)
dengan r = x − x0 . Untuk menyeimbangkan dimensi dari persamaan (4.1) , kita dapat menuliskan vektor tekanan (pressure) P 1 (∇ ln r) · g (4.16) 2π p vektor tegangan g = (g1 i + g2 j) dan r = x21 + x22 , akibatnya diperoleh à ! 1 g1 x1 g2 x2 p P = +p 2 2π x21 + x22 x1 + x22 P =
Selanjutnya, persamaan (4.1) dapat ditulis dalam bentuk ∇2 u =
1 (∇P − gδ(x − x0 )) η
divergensi dari persamaan (4.17), diperoleh ¡ ¢ ∇2 (∇ · u∗ ) = η1 ∇2 P + g (∇ · δ(x − x0 )) ∇2 P = 0 dengan mengambil Laplace dari persamaan (4.18), diperoleh η∇4 u∗ − ∇ (∇P ) + g∇2 δ(x − x0 ) = 0
(4.17)
(4.18)
29 dari persamaan kekontinuan diperoleh persamaan biharmonik ∇ 4 u∗ = 0 dan dari persamaan (4.14)-(4.16) µ ¶ µ ¶ 1 1 2 2 ∗ ∇ u =∇ g · ∇ ln r − g ∇ ln r 2π 2π
(4.19)
(4.20)
akibatnya diperoleh ∇ 2 u∗ =
¡ ¢ 1 g · ∇∇ − I∇2 ln(r) 2πη
(4.21)
Penentuan solusi di atas dapat dilihat pada lampiran. Misal: ¢ 1 ¡ u∗ = g · ∇∇ − I∇2 H η
(4.22)
µ ¶ ¡ ¢¡ ¢ 1 ∇u = g · ∇∇ − I∇2 ∇2 H η
(4.23)
akibatnya 2 ∗
dari persamaan (4.20) dan (4.21), diperoleh ∇2 H =
1 ln(r) 2π
(4.24)
dengan memberikan operator Laplace pada persamaan (4.23), berlaku persamaan biharmonik ∇4 H = δ (x − x0 )
(4.25)
Melalui teorema Green kedua, diperoleh H=
1 2 r (ln(r) − 1) 8π
(4.26)
dengan mensubstitusi nilai H ke persamaan (4.21), diperoleh u∗ =
¡ ¢ 1 g · ∇∇ − I∇2 r2 (ln(r) − 1) 8πη
(4.27)
persamaan di atas dapat ditulis u∗ =
1 Gij gj 8πη
G menyatakan fungsi Green atau solusi fundamental. ¶ µ 1 ri rk Gij (r) = −δik ln |r| + 2 4π |r|
(4.28)
30 Selanjutnya, kita akan menentukan tensor tegangan τ . Telah dijelaskan pada bab sebelumnya µ ¶ ∂ui ∂uj πij = −P δij + η (4.29) + ∂xj ∂xi dan pada subbab di atas diperoleh persamaan dari tensor kecepatan ¡ ¢ 1 u=( )g · ∇∇ − I∇2 r2 (ln r − 1) 8πη p dengan r = x21 + x22 dan à ! xg x2 g2 1 p 1 1 P = +p 2 2 2 2π x1 + x2 x1 + x22 Misal πij = −
1 Tijk gj 4π
atau Tijk = 4ππik gj atau
µ
µ
4π −P δij + η
∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi
¶¶ gj
(4.30)
dengan mensubstitusi persamaan vektor kecepatan u dan vektor tekanan p ke persamaan (4.29), diperoleh persamaan Tijk = −
1 ri rj rk π krk4
Tijk merupakan solusi fundamental bagi persamaan −∇P + η∇2 u∗ + gδ(x − x0 ) = 0 IV.3
Persamaan Integral Batas
Pada sub bagian ini, kita akan membangun solusi untuk kecepatan dengan membangun persamaan integral batas. Diasumsikan bahwa tensor tegangan tak Newton awal diketahui
(l)
(l)
η∂jj ui − ∂i P (l) = De∂j ∂t τij [|τij tj |] = 0
µ
[|τij nj |] = −σ dxi = ui dt τij (0) = Qδij
1 1 + R1 R2
dalam Ω ¶
(4.31)
kondisi dinamik pada batasS (4.32) ni kondisi dinamik pada S
(4.33)
kondisi kinematik padaSc.
(4.34)
tensor tegangan awal
(4.35)
31 Teknik standar untuk merepresentasikan solusi masalah syarat batas di atas adalah dengan memanfaatkan solusi fundamentalnya. ¶ µ 1 ri rk Gijk (r) = (4.36) −δik ln |r| + 2 4π |r| 1 ri rj rk Tijk (r) = − (4.37) π |r|4 Untuk melakukan itu, pertama, kita mentransformasi sistem koordinat Ox1 x2 ke dalam sistem koordinat polar. Daerah batas didiskritisasi menjadi beberapa segmen garis. Titik pada batas dinamakan node. Akibatnya dengan mempertahankan orientasi positifnya, kita dapat menuliskan persamaan integral batasnya. Z [∂jj ui − ∂i P − De∂j ∂t τ ij ] dΩ
(4.38)
[∂jj ui (y; x) − ∂i P − De∂j ∂t τ ij ] u∗i (y; x) dΩ
(4.39)
Ω
Z Ω
atau Z
Z Ω
∂jj ui (y; x)u∗i (y; x)dΩ
Z
− Ω
∂i P u∗i (y; x)dΩ
− De Ω
∂j ∂t τ ij u∗i (y; x)dΩ (4.40)
diperoleh persamaan integral batas Z Z 1 cik ui (x) − Kijk (r)ui (y)nj (y)dS − Jik (r)κ(y)ni (y)dS λ S S Z 1 N Jik (r)∂j τ N = ij (y)dΩ λ Ω Integral domain pada persamaan integral di atas diuraikan melalui teorema Divergensi Gauss Z Z Z NN Jik (r)∂j τ ij (y)dΩ = τ ij ∂j Jik (r)dΩ + Jik (r) (τ ij (r) · nj (y)) dS Ω
Ω
S
Karena tensor tegangan ¢tak Newton kontinu pada batas dan memiliki turunan ¡ NN terbatas maka τij · nj = 0, akibatnya Z Z 1 cik ui (x) − Kijk (r)ui (y)nj (y)dS − Jik (r)κni (y)dS (4.41) λ S S Z 1 NN = (y)dΩ (4.42) τij (r)∂j Jik λ Ω Persamaan integral batas (4.42) mengandung dua kasus, yakni
32 a. Elemen batas atau sel internal tidak mengandung titik evaluasi. Elemen ini dinamakan elemen regular. Z Kijk (r)ui (y)nj (y)dS S
b. Elemen batas atau sel internal mengandung titik evaluasi. Elemen ini dinamakan elemen singular. Z Jik (r)κni (y)dS S Z τij (r)∂j Jik (y)dΩ Ω
Pada kasus pertama jarak antara titik Revaluasi x dengan y harus lebih besar dari nol. Penentuan integral batas S Kijk (r)ui (y)nj (y)dS menggunakan metode Gauss Legendre 12 titik. Berikut pada kasus kedua, jarak antara titik evaluasi x dengan y harus sama R R dengan nol. Penentuan integral batas J κni dS dan integral domain De Ω ∂t ∂j ui (y; x)dΩ melalui penentuan solusi S ik eksak.
