2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang

TUJUAN PEMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu sudut antara dua vektor, persamaan bidang yang dibentuk dari vektor, hasil kali silang beserta penafsiran secara geometri

OUTCOME PEMBELAJARAN Setelah mempelajari bab ini diharapkan mahasiswa dapat : 1. Memahami dan mampu menyelesaikan segala permasalahan yang berkaitan dengan koordinat kartesian dalam ruang dimensi tiga, antara lain Titik, Jarak dua Titik, Persamaan Bola, Posisi dua buah Bola, Persamaan Bidang secara Geometri dan Aljabar 2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang 3. Memahami dan mampu menafsirkan sebuah Hasil Kali Silang dua vektor beserta penerapannya dalam sebuah bidang

Geometri dalam Ruang, Vektor

129

4.1. Sistem Koordinat Dimensi Tiga Pada pembahasan yang telah kita lakukan, kita telah memahami dan belajar pada bidang datar yang dikenal sebagai bidang Euclides atau ruang dimensi dua hal ini telah diterapkan pada fungsi variable tunggal yaitu fungsi yang dapat digambarkan pada bidang datar. Bagaimana jika fungsi yang akan kita pelajari adalah fungsi yang mempunyai variable ganda atau yang sering kita sebut dengan kalkulus peubah ganda, yaitu yang diterapkan pada suatu fungsi yang mempunyai dua peubah atau lebih. Ambil tiga garis koordinat yang saling tegak lurus, misalnya sumbusumbu X , Y dan Z dengan titik Nol berada pada suatu titik O yang sama.disebut titik asal. Sistem koordinat dimensi tiga dapat digambarkan seperti Gambar 4.1 Z

O X

Y

Gambar 4.1. Sistem Koordinat Dimensi 3 Ketiga sumbu tersebut menentukan tiga bidang, yaitu bidang yz , bidang xz dan bidang xy yang membagi ruang menjadi delapan oktan, Jika titik P dalam ruang, maka koordinat kartesiusnya dituliskan berupa bilangan ganda tiga yaitu P( x, y, z ) Dalam sistem koordinat dimensi tiga terbagi atas tiga bidang, yaitu : 1. bidang yz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-x 2. bidang xz yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-y 3. bidang xy yaitu bidang yang tegak lurus sumbu-z ketiga bidang tersebut dapat digambarkan seperti Gambar 4.2 berikut

Geometri dalam Ruang, Vektor

130

Z

Z

O

O Y

Y

X

X (a) Bidang yz

(b) Bidang xy

Z

O Y X (c) Bidang xz

Gambar 4.2. Tiga Bidang dalam Koordinat Dimensi Tiga

Contoh 4.1 : Diketahui dua Titik yaitu titik P(2,1,2) dan titik Q(2,3,4) dimana letak kedua titik tersebut

Penyelesaian 4.1 : . Titik P(2,1,2) , maka artinya titik P terletak pada 2 satuan dari

Sumbu  X , 1 satuan dari Sumbu  Y dan 2 satuan dari Sumbu  Z artinya titik P terletak pada Oktan pertama . Titik Q(2,3,4) , maka artinya titik Q terletak pada -2 satuan

Sumbu  X , -3 satuan dari Sumbu  Y dan 4 satuan dari Sumbu  Z artinya titik Q terletak pada Oktan ketiga

dari

Geometri dalam Ruang, Vektor

131

Jika titik P( x, y, z ) sebenarnya merupakan jarak dari tiga bidang tersebut, titik P( x, y, z ) berarti berjarak x dari bidang yz, berjarak y dari xz dan berjarak z dari bidang xy sehingga jika digambar dalam sistem koordinat dimensi tiga seperti Gambar 4.3. Z

x

 (x,y,z)

O

z X

Y

y

Gambar 4.3. Jarak ke tiga bidang

Contoh 4.2 : Diketahui titik P(4,3,5) gambarkan dalam sistem koordinat dimesi tiga

Penyelesaian 4.2 : Gambar titik P(4,3,5) seperti bangun sebuah balok Z

-4 O 3 X

Y

 (-4,3,-5) -5

Geometri dalam Ruang, Vektor

132

4.1.1. Jarak Dua Titik

P1 x1 , y1 , z1  dan P2 x2 , y 2 , z 2  dalam ruang dimensi tiga dimana x1  x2 , y1  y 2 dan z1  z 2 , P1 dan P2 Misalnya ada dua titik yaitu

merupakan titik sudut yang berlawanan didalam suatu balok seperti pada Gambar 4.4.

Z

P2  x 2 , y 2 , z 2  

 P1 x1 , y1 , z1  Y

Q

X

R Gambar 4.4. Jarak Dua Titik

Jika kita letakan sebuah titik Q dan titik R ternyata masing-masing

Qx2 , y 2 , z1  dan titik R mempunyai koordinat Rx2 , y1, z1 , karena segiriga P2 QP1 siku-siku di Q dan titik mempunyai koordinat

QRP1 siku-siku di R , maka akan diperoleh panjang garis P1 P2 dan panjang garis QP1 menurut rumus Pytagoras yaitu

segitiga

. P1 P2

2

 P2 Q  QP1 2

2

Dan . QP1

2

 P1 P2

2

 P1 P2

2

 P1P2

2



 QR  RP1 2

2

sehingga panjang garis

 P2 Q  QR  RP1 2

2

2

 z 2  z1    y 2  y1   x2  x1  2

2

2

atau

 x2  x1    y2  y1   z2  z1 

P1 P2 

2

2

2

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2

Geometri dalam Ruang, Vektor

133

P1 x1 , y1 , z1  dan P2 x2 , y 2 , z 2  maka panjang atau jarak antara titik P1 dan P2 dirumuskan sebagai Secara umum jika diketahui dua titik berikut :

P1 P2 

x2  x1 2   y2  y1 2  z2  z1 2

Contoh 4.3 :

P3,4,2 dan Q 4,2,5 tentukan jarak titik P ke titik Q atau PQ Diketahui titik

Penyelesaian 4.3 : Diketahui adalah :

P3,4,2 dan Q 4,2,5 , maka jarak kedua titik itu



PQ 

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2



PQ 

 4  32   2  42  5  (2)2



PQ 

 72   62  72

 PQ

 42  36  42

 PQ

 120

 PQ

 10,95

Contoh 4.4 :

P4,5,3 dan Q 2,1,7 tentukan jarak titik P ke titik Q atau PQ Diketahui titik

Geometri dalam Ruang, Vektor

134

Penyelesaian 4.4 : Diketahui titik P titik itu adalah :

4,5,3

dan titik

Q 2,1,7 , maka jarak kedua



PQ 

x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2



PQ 

 2  42   1   52   7  (3)2



PQ 

 62  42   42

 PQ

 36  14  14

 PQ

 64

 PQ

8

4.1.2. Bola dan Persamaanya Pada pembahasan materi sebelumnya, yaitu telah diketahui bahwa jarak dua buah titik misalnya titik P1 x1 , y1 , z1 dan titik

P2 x2 , y 2 , z 2 

adalah

P1 P2 

karena sebuah bola merupakan

  x2  x1 2   y2  y1 2  z 2  z1 2 , himpunan titik P x, y, z  yang

berjarak sama atau konstan yaitu R atau jari-jari dari suatu titik tetap Q a, b, c sebagai titik pusat bola, maka jarak setiap titik

 P x, y, z 

adalah



ke titik pusat

PQ 

titik Q atau

Qa, b, c  menurut rumus jarak dua titik

x  a 2   y  b2  z  c 2 ,

karena jarak titik P ke

PQ sama dengan jari-jari sebuah bola , maka PQ  R

x  a 2   y  b2  z  c 2 , maka 2 2 2 2 PQ  x  a    y  b  z  c  karena PQ  R , maka didapat 2 2 2 2 PQ  R 2 , sehingga diperoleh R 2  x  a    y  b  z  c 

dan karena

PQ 

maka persamaan bola dapat dirumuskan sebagai berikut :

x  a 2   y  b 2  z  c 2  R 2 Geometri dalam Ruang, Vektor

135

Jika kita gambarkan sebuah bola dengan titik pusat

a, b, c 

dengan

jari-jari R seperti pada Gambar 4.5. Z

 x, y , z 



R 

a, b, c  Y X Gambar 4.5. Bola dengan titik pusat (a,b,c) Jika persamaan x  a    y  b   z  c   R kita uraikan, maka akan menjadi persamaan : 2

2

2

2

x  a 2   y  b2  z  c2  R 2

x 2  2ax  a 2  y 2  2by  b 2  z 2  2cz  c 2  R 2 2 2 2 2 2 2 2  x  y  z  2ax  2by  2cz  a  b  c  R 2 2 2 2 2 2 2  x  y  z  2ax  2by  2cz  a  b  c  R  0 2 2 2 2 Jika A  2a , B  2b , C  2c dan D  a  b  c  R , maka 

persamaan akan menjadi : 

x 2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0

Sehingga persamaan bola dengan titik pusat di

a, b, c  dengan jari-

jari R adalah :

x 2  y 2  z 2  Ax  By  Cz  D  0 Dengan Catatan :

A  2a B  2b C  2c D  a2  b2  c2  R2

Geometri dalam Ruang, Vektor

136

Contoh 4.5 : Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik jari 4.

2,4,2 dengan jari-

Penyelesaian 4.5 : Diketahui titik persamaanya :

pusat

2,4,2

bola

 x  a    y  b   z  c   R 2

2

2

jari-jarinya

R  4 , maka

2

  x  2   y  4   z  2  4 Sehingga persamaan bolanya adalah : 2

2

2

2

x  22   y  42  z  22

 16

Contoh 4.6 : Tentukan persamaan bola yang berpusat di titik jari 3.

0,0,0 dengan jari-

Penyelesaian 4.6 : Diketahui titik persamaanya :

pusat

bola

0,0,0

 x  a    y  b   z  c   R 2

2

2

2

2

R  3 , maka

2

  x  0   y  0   z  0  3 2

jari-jarinya

2

Sehingga persamaan bolanya adalah :

x2  y2  z 2  9

Contoh 4.7 : Diketahui bola x dan kari-jarinya

2

 y 2  z 2  10 x  8 y  12 z  68  0 , tentukan pusat

Geometri dalam Ruang, Vektor

137

Penyelesaian 4.7 :

x 2  y 2  z 2  10 x  8 y  12 z  68  0 , maka diperoleh data A  10 , B  8 , C  12 dan D  68 , karena . A  2a   2a  10  a5 . B  2b   2b  8  b4 . C  2c   2c  12  c6 2 2 2 2 2 2 2 2 . D  a  b  c  R  68  5  4  6  R 2  R  25  16  36  68 2  R 9  R3 Diketahui persamaan bola

Sehingga diperoleh kesimpulan bola tersebut mempunyai titik pusat di titik 5,4,6 dengan jari-jari R  3





Grafiknya seperti Gambar 4.6 Z

3 

5,4,6 4

Y

5

X Gambar 4.6. Bola dengan pusat (5,4,6) dan R=3

4.1.3. Titik Tengah Hal lain yang berkaitan dengan jarak antara dua titik adalah titik tengah, misalkan diketahui dua titik P1 x1 , y1 , z1 dan P2 x2 , y 2 , z 2 yang masing-masing merupakan titik ujung dari sebuah garis, jika titik tengah dari garis tersebut dituliskan sebagai M m1 , m2 , m3 



dimana







m1 , m2 dan m3 diperoleh dari rumus : y  y2 x  x2 z  z2 m2  1 m1  1 m3  1 2 , 2 , 2 .

Geometri dalam Ruang, Vektor

138

Jika kita gambar, maka seperti Gambar 4.7 Z

y1

m2

x2 m1 x1 X z1

Y

z2 m3

 

y2



P2 x2 , y2 , z2 

M m1 , m2 , m3 

P1 x1 , y1 , z1  Gambar 4.7. Titik tengah pada suatu Garis

Contoh 4.8 : Tentukan titik tengah antara titik

P1 2,4,2 dan titi P2 6,4,8

Penyelesaian 4.8 :

P1 2,4,2 dan titik P2 6,4,8 maka koordinattitik tengahnya adalah M m1 , m2 , m3  dimana : x  x2 26 8 . m1  1  m1   4 2 2 2 y  y2 4   4 0 . m 2  1  m2   0 2 2 2 z  z2  2   8  10 . m3  1  m3    5 2 2 2 Sehingga titik tengah mempunyai koordinat M 4,0,5 , jika Diketahui titik

kitagambarkan seperti pada Gambar 4.8

Geometri dalam Ruang, Vektor

139

Z -4 4 2

X

6

Y -5





2,4,2

M 4,0,5



6,4,8 Gambar 4.8. Titik tengah pada suatu Garis

Contoh 4.9 : Tentukan persamaan bola yang pusatnya merupakan titik tengah dari suatu garis yang dibentuk dari dua titik P1  1,2,3 dan titik



P2 5,2,7



Penyelesaian 4.9 : Persoalan yang kita hadapi adalah pusat bola belum diketahui, jarijari belum diketahui, maka langkah pertama adalah menentukan pusat bola dan jari-jari. . Koordinat Titik tengah antara titik P1  1,2,3 dan titik P2 5,2,7 adalah

M m1 , m2 , m3  dimana :

x1  x 2 2 y  y2 m2  1 2 z  z2 m3  1 2









1 5 4  2 2 2 2   2 0  m2   0 2 2 3  7 10  m3   5 2 2 Jadi titik tengahnya M 2,0,5 dan titik tengah ini merupakan

m1 

 m1 

titik pusat bola Geometri dalam Ruang, Vektor

140

. Jari-jari bola adalah jarak titik tengah M 2,0,5 ke titik

P1  1,2,3 yaitu

atau jarak titik

P1 M

M 2,0,5 ke titik

P2 5,2,7 yaitu P2 M 

P1 M 

m1  x1 2  m2  y1 2  m3  z1 2



P1 M 

2   12  0  22  5  32



P1 M 

32   22  22



P1 M  9  4  4



P1 M  17

Sehingga persamaan bola yang dimaksud adalah :  x  2   y  0  z  5  2

2

2

 x  2  y  z  5  17 Atau dalam bentuk : 2

 17 

2

2

2

x 2  y 2  z 2  4 x  10 z  12  0 4.1.4. Persamaan Bidang Datar Grafik dalam ruang dimensi tiga pada prinsipnya sama dengan grafik pada bidang dimensi dua, jika pada dimensi dua berupa garis, maka pada dimensi tiga akan berupa bidang, demikian juga jika pada dimensi dua berupa bidang, maka jika digambar pada dimensi tiga akan berupa ruang. Persamaan linier pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah bidang, secara umum persamaan linier dalam ruang dimensi tiga dirumuskan sebagai berikut :

Ax  By  Cz  D dengan syarat A  B  C  0 jika suatu bidang S memotong ke tiga sumbu koordinat yaitu sumbu-x, sumbu-y dan sumbu-z, maka untuk menggambar grafiknya kita tentukan titik potong pada ketiga sumbu tersebut, yaitu titik potong sumbu-x yaitu P x,0,0 , titik potong sumbu-y yaitu Q 0, y,0 2

2

2



Geometri dalam Ruang, Vektor







141





dan titik potong sumbu-z yaitu R 0,0, z , untuk menentukan nilai x, y dan z sebagai berikut : . Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai y  0 dan z  0

x  0 dan z  0 . Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai x  0 dan y  0 Sehingga akan diperoleh ketiga titik potong yaitu Px,0,0 , Q0, y,0 dan R0,0, z  . Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai

Contoh 4.10 : Gambarkan grafik dari persamaan 3x  4 y  2 z  12

Penyelesaian 4.10 : Untuk menentukan ke tiga titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x, y dan z , yaitu :

x , maka kita beri nilai y  0 dan z  0 dan kita substitusikan ke persamaan 3x  4 y  2 z  12 , maka

. Untuk menentukan nilai diperoleh  3x  4(0)  2(0)  12  3x  0  0  12  3x  12

x  4 sehingga titik potong sumbu-x adalah P4,0,0 . Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai x  0 dan z  0 dan kita substitusikan ke persamaan 3x  4 y  2 z  12 , maka 

diperoleh  3(0)  4 y  2(0)  12  0  4 y  0  12  4 y  12

Q0,3,0 . Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai x  0 dan y  0 dan kitasubstitusikan ke persamaan 3x  4 y  2 z  12 , maka  y  3 sehingga titik potong sumbu-y adalah

diperoleh  3(0)  4(0)  2 z  12  0  0  2z

 12

Geometri dalam Ruang, Vektor

142

 2 z  12  z  6 sehingga titik potong sumbu-z adalah R 0,0,6 Sehingga kita peroleh titik-titik potong terhadap ke tiga sumbu yaitu P 4,0,0 , Q 0,3,0 dan R 0,0,6 jika kita letakkan ketiga titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.9













Z





 R0,0,6 3 x  4 y  2 z  12

 X

Q0,3,0



Y

P4,0,0

Gambar 4.9. Bidang dari sebuah persamaan

Contoh 4.11 : Gambarkan grafik dari persamaan 4 x  6 y  12

Penyelesaian 4.11 : Karena persamaannya 4 x  6 y  12 dimana tidak mengandung variable z , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- z , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- z , Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x dan y , yaitu :

x , maka kita beri nilai y  0 dan kita substitusikan ke persamaan 4 x  6 y  12 , maka diperoleh  4 x  6(0)  12  4 x  0  12  4 x  12  x  3 sehingga titik potong sumbu-x adalah P3,0,0

. Untuk menentukan nilai

Geometri dalam Ruang, Vektor

143

x  0 dan kita

. Untuk menentukan nilai y , maka kita beri nilai

substitusikan ke persamaan 4 x  6 y  12 , maka diperoleh  4 x  6 y  12  4(0)  6 y  12  6 y  12  y  2 sehingga titik potong sumbu-y adalah

Q0,2,0

Karena dalam persamaan 4 x  6 y  12 tidak ada variabel z , maka berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-z, sehingga tidak ada titik potong sumbu-z, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu-x yaitu P 3,0,0 , dan titik potong sumbu-y yaitu









Q 0,2,0 jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.10 Z

4 x  6 y  12

 X

Q0,2,0 Y

 P3,0,0

Gambar 4.10. Bidang Sejajar Sumbu-z

Contoh 4.12 : Gambarkan grafik dari persamaan

2x  4z  8

Penyelesaian 4.12 : Karena persamaannya 2 x  4 z  8 dimana tidak mengandung variable y , maka grafiknya sebuah bidang yang sejajar dengan sumbu- y , artinya tidak memiliki titik potong terhadap sumbu- y , Geometri dalam Ruang, Vektor

144

Untuk menentukan ke dua titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, maka kita tentukan nilai-nilai x dan z , yaitu : . Untuk menentukan nilai x , maka kita beri nilai z  0 dan kita substitusikan ke persamaan 2 x  4 z  8 , maka diperoleh  2 x  4(0)  8

2x  0  8 2x  8  x  4 sehingga titik potong sumbu-x adalah P4,0,0 . Untuk menentukan nilai z , maka kita beri nilai x  0 dan kita substitusikan ke persamaan 2 x  4 z  8 , maka diperoleh  2x  4z  8  2(0)  4 z  8  4z  8  z  2 sehingga titik potong sumbu-z adalah R0,0,2 Karena dalam persamaan 2 x  4 z  8 tidak ada variabel y , maka  

berarti bidang datar tersebut sejajar dengan sumbu-y, sehingga tidak ada titik potong sumbu-y, kita hanya memperoleh titik potong terhadap sumbu-x yaitu P 4,0,0 , dan titik potong sumbu-z yaitu









R 0,0,2 jika kita letakkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat dimensi tiga, maka akan terlihat pada Gambar 4.11 Z



P4,0,0



Q0,0,2 2 x  4 z  8

Y

X Gambar 4.11. Bidang Sejajar Sumbu Y

Geometri dalam Ruang, Vektor

145

4.1.5. Soal-Soal Latihan

P6,1,3 ke titik Q2,2,5

1. Tentukan jarak titik



 







2. Diketahui titik-titik 4,5,2 , 1,7,3 dan 2,4,5 merupakan titik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama sisi



 







3. Diketahui titik-titik 1,0,5 , 3,6,8 dan 7,4,7 merupakan titiktitik sudut suatu segitiga, perlihatkan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku dengan bantuan teorema Phytagoras 4. Sebuah kotak persegipanjang sisi-sisinya sejajar bidang-bidang koordinat dan sebagai titik ujung diagonal utamanya adalah 2,3,4









dan 5,2,0 , Gambarkan kotak itu dan cari koordinat ke delapan titik sudutnya 5. Tuliskan persamaan bola yang titik pusatnya dan jari-jarinya sebagai berikut : a. c.

3,1,4 , 5  6,2,3 , 2

b. d.

 1,0,4 , 3,0,0 , 3

6. Cari persamaan bola yang pusatnya bidang xy

6

2,4,5

dan menyinggung

7. Tentukan pusat bola dan jari-jarinya dari persamaan bola di bawah ini

x 2  y 2  z 2  12 x  14 y  8z  1  0 2 2 2 b. x  y  z  2 x  6 y  10 z  34  0 2 2 2 c. 4 x  4 y  4 z  4 x  8 y  16 z  12  0 2 2 2 d. x  y  z  8x  4 y  22 z  77  0 a.

8. Buatkan sketsa grafik dari persamaan yang diketahui a. 2 x  6 y  3z  12 b. 3x  4 y  2 z  24 d.  3x  2 y  z  6

c. x  3 y  z  6

9. Tentukan persamaan bola yang mempunyai ruas garis yang menghubungkan titi  2,3,6 dan 4,1,5 sebagai garis tengah



Geometri dalam Ruang, Vektor







146