SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 S - 26
Estimasi Parameter Distribusi Marshall-Olkin Copula dengan Metode Maximum Likelihood Riris Listya Dahyita Putri, Dewi Retno Sari Saputro, dan Hasih Pratiwi Program Studi Matematika (FMIPA, Universitas Sebelas Maret (UNS))
[email protected]
Abstrak— Pada umumnya fungsi distribusi bersama (fdb) dapat diperoleh melalui beberapa variabel random independen menggunakan perkalian antar distribusi marginalnya. Namun, berbeda dengan fdb yang terdiri atas variabel random dependen, fdb dengan variabel random dependen diperoleh menggunakan copula. Copula adalah fungsi yang digunakan untuk menghubungkan beberapa variabel random dependen menjadi fungsi distribusi bersama. Copula dibagi menjadi beberapa kelas salah satunya Marshall-Olkin copula (MOC). MOC didasarkan pada Marshall-Olkin bivariate exponential (MOBE) yang dapat digunakan untuk mengestimasi data nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi parameter salah satunya adalah metode maximum likelihood. Tujuan penelitan ini adalah mengestimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood. Pada penelitian ini diperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula yaitu . Kata kunci: estimasi parameter, distribusi Marshall-Olkin copula, maximum likelihood
I.
PENDAHULUAN
Extreme Value Theory (EVT) digunakan untuk memodelkan kejadian- kejadian yang bersifat ekstrem. EVT diperkenalkan oleh Fisher, Tippet, dan Gnedenko (1920-1940) serta Gumbel (1920). Referensi [1] menyatakan bahwa EVT merupakan teori yang berfokus pada perilaku ekor (tail) dari suatu distribusi. Distribusi nilai ekstrem adalah bentuk distribusi peluang kontinu yang diperoleh dari teori nilai ekstrem. Dalam statistika salah satu distribusi variabel random adalah distribusi eksponensial univariat. Seiring berjalannya waktu, banyak dikembangkan distribusi eksponensial bivariat dan multivariat. Penelitian terkait dengan distribusi bivariat eksponensial telah dilakukan oleh [2] tahun 1960 dan [3] tahun 1961. Selain itu, [4] pada tahun 1967 mengembangkan distribusi eksponensial bivariat atau yang sering disebut distribusi MOBE. Distribusi MOBE digunakan dalam analisis reliabilitas untuk mempelajari komponen sistem waktu tahan hidup yang saling dependen. Dalam suatu sistem, terdapat komponen yang mempengaruhinya. Jika salah satu komponen gagal bekerja, maka komponen tersebut mempengaruhi laju kegagalan komponen lain. Jika setiap waktu tahan hidup dari komponen dalam sistem adalah dan , maka dapat dikatakan bahwa dan adalah variabel random yang dependen. Sistem ini disebut sistem paralel bersama yang menunjukkan waktu hidup tiap komponen dalam sistem paralel bersama adalah tidak independen. Waktu hidup dalam sistem paralel bersama dengan dua komponen memiliki distribusi bivariat eksponensial seperti pada [5]. Fungsi distribusi bersama dapat dibentuk dari variabel random yang dependen. Fungsi tersebut dapat diperoleh menggunakan copula. Copula yang dikemukakan oleh Sklar tahun 1959, menjelaskan bahwa jika terdapat suatu fungsi distribusi bivariat dan fungsi marginalnya, maka akan diperoleh fungsi yang dapat menghubungkan fungsi distribusi bivariat dengan fungsi- fungsi marginalnya. Referensi [6] keluarga copula terdiri atas 3 kelas yaitu eliptical copula, archimedian copula dan Marshall-Olkin copula. Eliptical copula terbagi menjadi dua kelas yaitu gaussian copula dan student tcopula sedangkan archimedean copula menjadi tiga kelas yaitu Gumbel-copula, Clayton-copula dan Frank-copula. Marshal-Olkin copula (MOC) didasarkan pada MOBE yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter nilai ekstrem. Terdapat beberapa metode untuk mengestimasi parameter, yaitu metode momen, Inference Function for Margins (IFM), dan metode maximum likelihood. Estimasi dengan metode momen pernah dilakukan oleh [7] dengan dua langkah yaitu mengestimasi parameter distribusi marginalnya
MS 165
ISBN 978-602-73403-1-2
kemudian mengestimasi parameter copula. Metode IFM digunakan untuk mengestimasi model multivariat sedangkan metode maximum likelihood dapat digunakan untuk mengestimasi model bivariat. Metode maximum likelihood ini banyak digunakan untuk mengestimasi karena memiliki kelebihan yaitu konsisten dan efisien. Pada penelitian ini dikaji ulang estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula menggunakan metode maximum likelihood dengan rumusan masalah bagaimana melakukan estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula menggunakan metode maximum likelihood. Tujuan penelitian ini adalah untuk memperoleh estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula menggunakan metode maximum likelihood dan manfaat penelitian ini adalah menambah wawasan tentang metode maximum likelihood dalam menentukan parameter dari distribusi Marshall-Olkin copula. II.
METODE PENELITIAN
Dalam penelitian ini metode yang digunakan adalah pengembangan teori dengan mempelajari beberapa literatur, jurnal textbook dan hasil-hasil workshop. Berikut langkah-langkah untuk penelitian. A. Mengestimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan langkah a. menentukan fungsi distribusi bersama Marshall-Olkin copula, yang selanjutnya disebut sebagai fungsi likelihood, b. melakukan transformasi fungsi yang diperoleh pada (a) dengan , c. memaksimumkan fungsi hasil transformasi untuk mendapatkan nilai/ estimasi parameternya dengan cara i. menentukan turunan pertama fungsi yang didapat pada (b) serta ii. menentukan turunan kedua untuk mengetahui apakah solusi yang didapat sudah maksimum. III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Copula adalah fungsi yang membentuk distribusi bersama dari beberapa variabel random dependen. Pada kasus bivariat digunakan dua variabel random untuk menentukan distribusi bersama. Copula erat kaitannya dengan kejadian-kejadian yang bersifat ekstrem. Terdapat beberapa distribusi esktrem salah satunya yaitu distribusi Marshall-Olkin. Referensi [8] menyatakan fungsi distribusi Marshall-Olkin copula pada kasus bivariat didefinisikan
Fungsi distribusi pada persamaan (1) merupakan Marshall-Olkin copula dengan C(u, v) merupakan fungsi distribusi Marshall-Olkin copula, u adalah fungsi marginal variabel pertama, v adalah fungsi marginal variabel kedua dan merupakan parameter copula. Menurut Ebenezer [2], fungsi distribusi Marshall-Olkin copula (MOC) bivariat dinyatakan sebagai
dan densitas copula
didefinisikan dengan
Sehingga diperoleh fungsi densitas Marshall-Olkin copula sebagai berikut
(2)
Berdasarkan (2) fungsi densitas Marshall-Olkin copula dapat juga dinyatakan sebagai
MS 166
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
(3)
Berdasarkan (3) fungsi likelihood yang digunakan untuk mengestimasi parameter distribusi MarshallOlkin copula adalah
sehingga
Missal
untuk
dapat juga dinyatakan dengan
merupakan tranformasi logit dari
diperoleh nilai
pada (4) diperoleh
sebagai berikut
Selanjutnya memaksimumkan fungsi likelihood pada (3) diperoleh
MS 167
ISBN 978-602-73403-1-2
dengan
adalah
konstanta
dan dan
.
Bentuk
dapat disederhanakan sebagai berikut
Langkah berikutnya ditentukan turunan pertama pada (5) terhadap
selanjutnya ditentukan fungsi masimum dari (6) yang dicapai jika
diperoleh
Missal
diperoleh
MS 168
diperoleh
Selanjutnya diperoleh
misalkan
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
Pada (7) diperoleh bentuk polinomial eksponensial terhadap . Misal dapat ditulis
, persamaan (7)
diperoleh penyelesaian
dengan nilai
dan
Untuk nilai
, karena
maka
sehingga diperoleh nilai
yang negatif. Nilai bernilai positif karena dan . Karena bentuk eksponensial selalu bernilai positif, maka penyelesaian pada (7) harus bernilai positif. Oleh karena itu, merupakan solusi tunggal untuk yaitu
dengan
dan . Selanjutnya melakukan pengecekan apakah solusi yang didapat sudah maksimum dengan menentukan turunan kedua persamaan (4) diperoleh
Karena suku kedua pada persamaan (7) bernilai negatif, turunan kedua persamaan (4) bernilai negatif. Dapat disimpulkan bahwa solusi yang didapat sudah maksimum dan tunggal, sehingga estimasi parameter adalah
SIMPULAN DAN SARAN Estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula pada nilai ekstrem dengan mtode maximum likelihood adalah
MS 169
ISBN 978-602-73403-1-2
Pada penelitian ini dilakukan estimasi parameter distribusi Marshall-Olkin copula dengan metode maximum likelihood. Oleh karena itu, pembaca yang tertarik dapat melakukan penelitian ini dengan melanjutkan menggunakan metode estimasi lain. DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
Dharmawan, K., Estimasi Nilai VaR Dinamis Indeks Saham Menggunakan Peak-Over Threshold dan Block Maxima, Jurnal Matematika, vol. 2, pp.1394-1693, 2011. Gumbel, E.J., “A Bivariate Extension of the Exponential Distribution”, J. Amer. Statist. Assoc.56, pp. 971-977, 1960. Freund, J.E., “A Bivariate Extension of the Exponential Distribution”, J. Amer. Statist. Assoc.56, pp. 971-977, 1961. Marshall, A.W. and Olkin, I., “A Multivariate Exponential Distribution”, J. Amer. Statist. Assoc.62, pp. 30-44, 1967. Osmetti, S.A., “Maximum Likelihood Estimate of Marshall-Olkin Copula Parameter: Complete and Censored Sample”, Statistica Applicata Italian Journal of Applied Statistics Vol.22, pp. 211-240, 2012. Embrecths, P. ,Filip Lindskog and Alexander McNeil., Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management, Department of Mathematics ETHZ, Switzerland, 2001. Osmetti, S.A. and Chiodini, P.M., “A Method of Moment to Estimate Bivariate Survival Functions: The Copula Approach”, "STATISTICA, anno LXXI, n. 4", pp. 469-487, 2011. Ebenezer, O., Maximum Likelihood Analysis For Bivariate eksonential Distribution, De-partment of Statistics, Georg-August University, Goettingen, 2007.
MS 170
