ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
TESIS
Oleh JEMONO 117021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh JEMONO 117021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD Nama Mahasiswa : Jemono Nomor Pokok : 117021005 Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua
Ketua Program Studi
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota
Dekan
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 3 Juni 2013
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 3 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua
: Dr. Sutarman, M.Sc
Anggota
: 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang 2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis 3. Dr. Marwan Ramli, M.Si
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 3 Juni 2014 Penulis, Jemono
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Metode Bayes merupakan metode yang menggabungkan informasi dari cuplikan dengan informasi lain yang diketahui atau disebut juga dengan prior sehingga lebih dikenal sebagai peluang subjektif. Andaikan X1 , X2 , . . . , Xn , . . . merupakan suatu barisan variabel acak yang terdistribusi dan saling bebas dengan suatu distribusi kumulatif, F (x), serta fungsi densitas probabilitas, f(x). Selanjutnya, barisan {U (n), n ≥ 1} disebut dengan jumlah cuplikan informasi. Distribusi Pareto merupakan suatu distribusi yang digunakan di bidang sosial, ilmiah, geofisika, aktuaria dan fenomena di bidang lainnya. Estimasi Bayes yang digunakan pada suatu parameter Pareto merupakan suatu fungsi implisit tanpa adanya penyelesaian secara numerik. Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk mengkaji estimasi Bayes pada parameter Pareto dengan serta dilakukan penyempurnaan bilangan (iterasi numerik) dengan metode Newton-Raphson. Sehingga, model dapat digunakan di berbagai bidang, khususnya bidang sosio-ekonomi. Kata Kunci : Estimasi bayes, Distribusi pareto, Fungsi likelihood.
ii Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT Bayesian Method is a method that combines information of records with any known other information or also called priors known as subjective probability. Suppose that x1 , x2, . . . , Xn , . . . is a sequence of random variables distributed and independent with a cumulative distribution, F (x), and the probability density function, f (x). Furthermore, the sequence {U (n), n ≥ 1} is called by the number of pieces of information records. Pareto distribution is a distribution that is used in the social, scientific, geophysical, actuarial and other phenomena in the field. Bayesian estimation in a Pareto parameter is only an implicit function without any numerical solution. This research is conducted to assess the parameters of Bayesian estimate and made improvements by numerical iterations with the Newton-Raphson method. Thus, the model can be used in many fields, especially in the field of socio-economic development. Keywords : Bayesian estimate, distribution Pareto, likelihood function.
iii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR Dengan rasa rendah hati, penulis mengucapkan puju dan syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia yang telah dilimpahkan-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains di Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan. Dalam penyusunan tesis ini, penulis telah banyak mendapat dukungan, bimbingan dan petunjuk dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya pada: Prof.
Dr.
dr.
Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara. Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan Ketua Komisi Pembimbing yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan juga selaku anggota komisi pembimbing yang telah penuh memberikan motivasi dan bimbingan kepada penulis hingga penulisan tesis ini telah diselesaikan. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan masukan dalam perbaikan dan kesempurnaan tesis ini. Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku anggota komisi pembanding yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini. Dr. Marwan Ramli, M.Si sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini. Bapak Drs. H. Pargino, M.Si selaku Kepala SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu.
iv Universitas Sumatera Utara
Ibunda tercinta Ibunda Ngadiyem dan seluruh keluarga. Istri tercinta, Siti Hidayani, S.Pd dan anak-anakku tersayang, yaitu Aisyah Nabilah dan Muhammad Azmi Pramono. Seluruh teman-teman stambuk 2011 ganjil Program Studi Magister Matematika. Seluruh teman-teman di SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu Semoga tesis ini bermanfaat.
Medan,
Juni 2013
Penulis, Jemono
v Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP Jemono dilahirkan di Kw.Bingai Kabupaten Langkat pada tanggal 18 Juni 1976 dan merupakan anak ke-11 dari 13 bersaudara. Anak dari Ayah Poniman (Alm.) dan Ibu Ngadiyem. Menamatkan Sekolah Dasar (SD) Negeri 050659 di Stabat pada tahuun 1988, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Stabat Kabupaten Langkat pada tahun 1991 dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri di Stabat jurusan Fisika pada tahun 1994. Tahun 1996 memasuki perguruan tinggi di Universitas Negeri Medan (UNIMED) jurusan Pendidikan Matematika dan memperoleh gelar sarjana pendidikan pada tahun 2002. Tahun 2003 sampai dengan tahun 2008 mengajar bidang studi Matematika dan sebagai guru kelas di SD Swasta Harapan 2 Medan. Tahun 2008 mengajar bidang studi Matematika di SMA Negeri 1 Teluk Mengkudu Kabupaten Serdang Berdagai sampai sekarang. Tahun 2011 mengikuti sekolah pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara (USU) Medan.
vi Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
BAB 2 LANDASAN TEORI DAN KAJIAN PUSTAKA
4
2.1 Estimasi Bayes
4
2.2 Parameter Pareto
6
2.3 Distribusi Posterior
8
BAB 3 LANDASAN TEORI
14
3.1 Metode Estimasi Bayes
14
3.2 Parameter Pareto
16
3.3 Distribusi Posterior
18
BAB 4 ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD 4.1 Estimasi Maximum-Likelihood
20 20
vii Universitas Sumatera Utara
4.2 Estimasi Bayes untuk Parameter Pareto 4.2.1 Distribusi prediktif
22 23
4.3 Prosedur Algoritma Newton-Raphson
25
BAB 5 KESIMPULAN
27
5.1 Kesimpulan
27
5.2 Riset Lanjutan
27
DAFTAR PUSTAKA
28
viii Universitas Sumatera Utara
