UJI LIKELIHOOD RASIO UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL Sartika1), Wayan Somayasa2), Rahmaliah Sahupala 2) 1)Mahasiswa Program Studi Matematika 2)Dosen Program Studi Matematika Jurusan Matematika F-MIPA UHO Kendari ABSTRAK Uji Likelihood Rasio merupakan salah satu metode yang digunakan dalam menguji suatu hipotesis dengan membandingkan fungsi likelihood antara hipotesis majemuk dan alternatifnya. Tujuan dari uji likelihood rasio adalah untuk meperoleh kesimpulan terhadap hipotesis pada tingkat signifikansi pada suatu nilai parameter distribusi Weibull, dengan mengestimasi parameternya yaitu dan . Estimasi parameter dilakukan untuk memperoleh nilai penduga maksimum menggunakan metode Maksimum Likelihood (MLE) dengan bantuan iterasi Newton-Raphson. Metode MLE ( Estimasi maksimum likelihood), merupakan metode untuk pemperoleh penduga maksimum jika dapat membentuk suatu persamaan yang kongkrit, tetapi persamaan yang dibentuk tidak kongkrit atau berbentuk persamaan nonlinear, nilai penduga maksimum dapat di cari dengan bantuan pendekatan Newton-Raphson. Selanjutnya dengan teorema likelihood rasio diperoleh untuk hipotesis terhadap dan
untuk hipotesis terhadap
dapat ditunjukkan bahwa hipotesis di tolak atau tidak ditolak.
Kata Kunci: Uji Likelihood Rasio,MLE, Newton-Raphson, Distribusi Weibull.
I. 1.1
Menurut Sudjana (1996), populasi mempunyai karakteristik tertentu yang disebut parameter. Karakteristik yang sama juga dimiliki sampel yang dipilih dari populasi tersebut. Masalah penting dalam inferensi statistik adalah merumuskan bagaimana parameter suatu populasi. Hal ini disebut juga kegiatan estimasi terhadap nilai parameter suatu populasi. Karena pada umumnya nilai parameter suatu populasi tidak diketahui sehingga penarikan kesimpulan terhadap parameter memerlukan konsep probabilitas yang baik. Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi dan memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk, atau
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Secara umum statistika inferensi dibagi menjadi dua yaitu estimasi parameter dan uji hipotesis. Estimasi parameter adalah penaksiran (pendugaan) terhadap nilai-nilai parameter populasi (misalnya mean, standar deviasi, proporsi, dll) berdasarkan data atau sampel yang diambil dari popolasi tersebut. Estimasi parameter terbagi atas dua yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Sedangkan Hipotesis adalah pernyataan tentang model distribusi suatu populasi. Pengujian hipotesis statistik adalah suatu proses pengambilan keputusan apakah menerima atau menolak hipotesis tersebut[16]. 1
memberikan metode pengujian dari suatu hipotesis sederhana terhadap hipotesis alternatif majemuk. Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood. Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik, namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang meminimumkan kesalahan uji[12]. Menurut Somayasa (2008) Likelihood Rasio Test (LRT) merupakan salah satu uji yang berhubungan langsung dengan Maksimum Likelihood Estimator (MLE) yang merupakan metode pendugaan parameter dari gugus data yang mengikuti sebaran distribusi tertentu. Dalam hal ini MLE merupakan metode yang diterapkan untuk memaksimumkan fungsi kemungkinan (Likelihood Function) suatu distribusi sehingga dapat menghasilkan penduga parameter dengan kemungkinan maksimum. Distribusi Weibull sering diaplikasikan dalam menganalisis data uji hidup, serta memiliki dua parameter, yaitu sebagai parameter bentuk ( ) yang menggambarkan bentuk distribusi pada distribusi Weibull dan sebagai parameter skala (scale) yang menggambarkan sebaran data pada distribusi[2]. Distribusi Weibull merupakan distribusi yang mempunyai aplikasi paling luas dalam menganalisa data uji hidup. Data uji hidup atau uji reliabilitas merupakan peluang bahwa komponen tersebut akan berfungsi sebagaimana mestinya, sampai jangka waktu tertentu dalam percobaan yang telah ditentukan (Hazhiah, 2012). Estimasi parameter model distribusi Weibull tidak dapat dilakukan secara konkrit, melainkan dengan pendekatan menggunakan iterasi Newton-Raphson begitu juga dalam pengujian hipotesis, terhadap parameter distribusi weibull tidak dapat dilakukan secara konkrit dengan rumus matematika yang diturunkan langsung dari pdf Weibull, melainkan dengan metode pendekatan[17].
Model distribusi Weibull adalah salah satu distribusi kontinu yang pertama kali diperkenalkan oleh fisikawan Swedia bernama Waloddi Weibull pada tahun 1939. Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat, dan disebut juga distribusi waktu tunggu hingga gagal (Desfina, 2012). Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungngan hidup yang memiliki ruang sampel bilangan real positif dengan variabel acak kontinu. Distribusi Weibull paling banyak digunakan untuk waktu hidup dalam tekhnik ketahanan. Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis distribusi lain, berdasarkan pada nilai dari bentuk parameter (Lawless , 1982). Definisi 2.1. Distribusi Weibull termaksuk distribusi acak kontinu dengan parameter dan , dan mempunyai fungsi kepadatan peluang sebagai berikut : (2.1) dimana sebagai parameter skala yang menskala variabel x, dan parameter sebagai parameter bentuk yang menentukan fungsi dasar x. Sedangakan fungsi distribusi komulatifnya adalah : (2.2) Devinisi 2.2. Fungsi Gamma di definisikan sebagai (2.3) hasil integral menghasilkan
akan . (Walpole & Myers, 1995) Teorema 2.3. Misalkan X adalah suatu variabel acak berdistribusi Weibull dengan parameter dan , maka rata-rata dan variansinya adalah :
II. KAJIAN PUSTAKA 2.1
fungsi
Gamma
, dan
Model Distbusi Weibull
. 2
(2.4)
Metode Newton-Rapson adalah metode yang digunakan untuk mencari akarakar persamaan dari suatu fungsi non-linear . Metode Newton-Rapson merupakan proses iterasi yang dilakukan dalam metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi atau pemecahan suatu persamaan. Proses iterasi adalah suatu teknik penghampiran yang dilakukan secara berulang-ulang, dimana setiap pengulangan disebut iterasi. Pada umumnya para ahli statistik sering menggunakan metode Newton-Rapson untuk menghampiri nilai parameter dari suatu persamaan[2]. Metode Newton-Rapson untuk mencari pemecahan dari sehingga :
2.2 Estimasi Parameter Model distribusi peluang suatu populasi bergantung pada nilai satu atau lebih parameter. Tujuan dari statistika adalah memberikan nilai pendugaan terhadap parameter-parameter tersebut berdasarkan sampel yang diambil dari populasi tersebut. Salah satu metode yang sering dipakai adalah metode Maklimum Likelihood[2]. 2.2.1 Estimasi (MLE)
Maksimum
Likelihood
Definisi 2.4. (Fungsi Likelihood) Fungsi kepadatan peluang bersama dari sampel acak berukuran n yang dihitung pada titik pengamatan (sampel) adalah di anggap tetap, sedangkan dianggap berubah-ubah jika maka disebut Kemudian misalkan terhadap fungsi likelihood untuk dan dituliskan parsial dari dengan . sebagai ,
adalah turunan atau dapat ditulis
Definisi 2.5. (Penaksir Maksimum Likelihood)
selanjutnya dibentuk kedalam sebuah matriks yang disebut dengan matriks jacobian, yaitu:
Misalkan , adalah fungsi kepadatan peluang bersama dari . Untuk suatu titik pengamatan suatu nilai di dimana maksimum, disebut sebagai penaksir maksimum likelihood dari . Dengan demikian adalah suatu nilai dari yang memenuhi .
,
kemudian dicari invers dari persamaan (2.7), yaitu :
Jika adalah suatu selang terbuka, dan jika dapat diturunkan terhadap dan dapat diasumsikan mencapai maksimum pada , maka penduga maksimum likelihood (MLE) untuk adalah suatu penyelesaian dari persamaan maksimum likelihood berikut: , (2.5) nilai estimasi didapatkan apabila persamaan turunan pertama membentuk persamaan yang kongkrit. Apabila persamaan yang terbentuk tidak kongkrit maka diperlukan analisis numerik lanjutan untuk penyelesaiannya. 2.2.1
(2.6)
.
(2.8)
Selanjutnya misalkan adalah nilai hampiran pada iterasi ke- dan misalkan adalah nilai-nilai yang berhubungan dengan fungsi , yaitu : , ,
Metode Newton Rapson 3
pada fungsi kemungkinan dan intuisi bahwa fungsi kemungkinan Dan misalkan adalah elemen dari cenderung tertinggi dekat nilai sebenarnya yang dihasilkan pada , dari θ. Memang, ini juga dasar untuk estimasi maka hampiran iterasi selanjutnya dapat kemungkinan maksimum. dibentuk secara umum, yaitu : Definisi 2.6. (Somayasa, 2008) Misalkan merupakan fungsi likelihood dengan variabel random . Misalkan , .
(2.10) ,
(2.15)
Tes
berukuran
untuk adalah
hipotesis
,
proses iterasi dapat di mulai dengan adalah konstanta yang penentuan nilai-nilai awal terlebih dahulu. dimana Penggunaan metode Newton-Raphson tidak diketahui yang ditentukan dari dilakukan dengan menggunakan iterasi-iterasi persamaan . hingga didapatkan hasil yang konvergen. Persamaa umum Newton-Raphson dari Misalkan adalah untuk pada penurunan deret Taylor sebagai berikut: daerah yang dibatasi (MLE yang dibatasi pada ( )) dan adalah MLE untuk pada , atau (MLE yang tidak dibatasi). Maka , (2.9) daerah daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan adalah vektor gradien dengan cara sedemikian rupa sehingga titikberukuran dimana adalah jumlah titik sampel mempunyai rasio yang kecil. parameter dari turunan pertama III. PEMBAHASAN terhadap parameternya. adalah matriks jacobian berukuran yang berisi Estimasi titik untuk parameter model turunan kedua fungsi terhadap distribusi Weibull tidak ditemukan motode parameternya. Iterasi dapat berhenti apabila estimasi yang dapat dihitung dengan rumus yang kongkrit. Estimasi dengan metode . Maksimum Likelihood dengan pendekatan 2.3 Uji Hipotesis Dengan iterasi Newton-Raphson. Membandingkan Fungsi Likelihood 3.1 Metode Maksimum Likelihood (MLE) (Likelihood Rasio Test) Metode maksimum likelihood adalah salah satu metode yang digunakan dalam mengestimasi parameter dari sebuah distribusi. Dalam penelitian ini akan menggunakan metode tersebut untuk menentukan parameter dari distribusi Weibull.
Suatu bentuk yang sangat populer dari pengujian hipotesis adalah uji dengan membandingkan fungsi likelihood (Likelihood Rasio Test = LRT), yang merupakan generalisasi dari tes optimal untuk hipotesis sederhana yang dikembangkan oleh Neyman dan Pearson. Uji LR didasarkan 4
Misalkan diberikan sampel acak berdistribusi Weibull dengan parameter tidak diketahui. Fungsi kepadatan peluang dari distribusi Weibull dapat ditunjukkan sebagai berikut :
(3.4)
3.1.2 Penduga untuk untuk , (3.1) Menentukan penduga maksimum sedemikian hingga untuk mencari penduga dari distribusi Weibull maksimum dari distribusi weibull yaitu dan likelihood untuk , dengan membentuk fungsi likelihood dari dapat dilakukan dengan mendiferensialkan terhadap , yaitu : distribusi Weibull, sedemikian hingga fungsi likelihoodnya yaitu : Sedemikian hingga untuk adalah (3.2)
diperoleh
penduga
(4.2)
Persamaan (3.1) merupakan fungsi likelihood dari distribusi Weibull. Jika di (3.5) pandang parameter dan sebagai variabel. Dengan mensubtitusikan pada Setelah diperoleh fungsi likelihood, selanjutnya akan ditentukan penduga Persamaan (3.5) ke Persamaan (3.4) diperoleh maksimum likelihood dengan mencari dan bentuk sebagai berikut : yang memaksimumkan nilai fungsi logaritma likelihood, yaitu : dimisalkan
sedemikian
hingga, (3.3)
Untuk Selanjutnya penduga untuk dan (3.6) dari distribusi Weibull diperoleh dengan cara Persamaan terakhir tidak dapat mencari turunan pertama dari diselesaikan secara kongkrit untuk karena terhadap dan dan menyamakannya berbentuk persamaan non-linear, dimana dengan nol. variabel berderajat tidak sama dengan satu dan mengandung nilai fungsi nonlinear. Oleh 3.1.1 Penduga untuk karena itu penyelesaian persamaan tersebut Penduga parameter dari distribusi akan ditentukan dengan menggunakan pendekatan iterasi Newton-Raphson. Weibull dapat diperoleh dengan memaksimumkan dengan metode 3.1.3 Iterasi Newton Raphson diferensial, yaitu : Dalam iterasi Newton-Raphson terlebih dahulu ditentukan nilai dengan cara menggunakan Sehingga diperoleh : 5
turunan parsial pada fungsi loglikelihood pada Persamaan (4.3) terhadap dua parameter untuk suatu nilai yang ditentukan yang dimilikinya dengan cara kemudian. mensubtitusikan nilai parameter awal yang Pada penelitian ini diperagakan aplikasi telah diperoleh sebelumnya, yaitu : metode Newton-Raphson pada data Leukimia yang diberikan oleh Cox dan Oaskes (1984). Data yang dipresentasikan pada Tabel 4.1. (4.7) penderita menggambarkan sisa waktu hidup penyakit Leukimia : Tabel 4.1. . (4.8)Leukimia Sisa waktu Penderita Penyakit 56 65 17 7 16 22 3 4 Selanjutnya mencari matriks Jacobian 2 3 8 4 3 30 4 43 menggunakan persamaan, (sumber: Storvik (2011)).
Akan dicari nilai penduga maksimum likelihood dengan metode Newton-Raphson dengan mengambil sembarang nilai awal dan . misalkan diambil dan dan . Nilai turunan pertama untuk parameter dan
(3.7) dimana :
.
.
urunan Kedua untuk parameter diberikan yaitu
. Invers/balikan dari matriks Jacobian adalah (3.8)
dan
, maka matriks jacobian dapat terbentuk dari persamaan : dan
,
invers dari matriks jacobiannya adalah dan misalkan juga parameter
dan
, maka nilai
.
dihitung dari persamaan Maka nilai parameter untuk
(3.9)
dan
, dan
persamaan Untuk demikian , Dengan demikian nilai untuk masing-masing dengan pada iterasi ke adalah sedemikian hingga, dengan menggunakan , dan persamaan, , maka Iterasi akan berhenti apabila 6
4.3. dapat disimpulkan beberapa hal penting, yaitu : 1. Nilai penduga maksimum likelkihood untuk dan tidak berhantung pada pemilihan nilai awal dan 2. Pemilihan nilai awal dan mempengaruhi jumlah iterasi yang dibutuhkan sampai menghasilkan pendekatan yang kontinu. 3. Nilai penduga maksimum likelihood untuk data Leukimia adalah .
, Nilai untuk masing-masing pada iterasi pertama,
adalah
16,9548
Dengan menggunaan program yang dijalankan dengan computer dapat diperoleh nilai dan pada iterasi-iterasi selanjutnya. Nilai dan untuk , selanjutnya diperoleh pada Tabel 4.2. 3.2 Tabel 4.2. Itersi Newton-Raphson dan
17,0000 1,0000 16,9548 0,8632
-62,2138 -62,1555
0,1820
36 17,2018 0,9218 37 17,2019 0,9219 38 17,2019 0,9219
-62,0962 -62,0962 -62,0962
0,0001 0,0002 0,0000
Tebel 4.3. Itersi Newton-Raphson dan , dimana S
0 1 3
10,0000 2,0000 139,6702 9,9718 -0,5565 #NUM! 9,7632 0,0099 -126,1565
95 17,2018 96 17,2019 96 17,2019
0,9218 0,9219 0,9219
-62,0962 -62,0962 -62,0962
prosedur
uji
LR
Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi dan memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk, atau memberikan metode pengujian dari suatu hipotesis sederhana terhadap hipotesis alternatif majemuk. Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood. Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik, namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang meminimumkan kesalahan uji[12]. Misalkan menyatakan n peubah acak yang masing-masing mempunyai pdf , dengan . Himpunan yang terdiri pada semua titik parameter dinotasikan dengan yang biasa disebut ruang parameter. Misalkan adalah subset dari ruang parameter . Misalkan ingin melakukan pengujian hipotesis (sederhana atau majemuk) dengan terhadap semua hipotesis alternatif. Definisi fungsi likelihood adalah:
S 0 1
Menurunkan berukuran α
2,58470 0,77500 0,00010 0,00020 0,00000
dan
Dari hasil komputasi dengan program R yang ditampilkan pada Tabel 4.2. dan Tabel dimana dibawah 7
, merupakan fungsi likelihood dan merupakan fungsi
likelihood pada
. Misalkan
adalah nilai dari dihitung pada titik memaksimumkan dari
Tes
berukuran
dan
dan dan
acak yang berdistribusi Weibull ( , yang sedemikian hingga berlaku uji LR sebagai yang berikut : Pada kasus ini ruang parameter untuk dan . adalah : . (3.10) Persamaan Likelihood Rasio,
untuk hipotesis adalah ,
(3.11) dimana tidak diketahui persamaan
adalah konstanta yang yang ditentukan dari
(3.12) diketahui bahwa
.
, dan
(4.18)
, (3.13) Misalkan adalah untuk pada daerah yang dibatasi (MLE yang dibatasi subtitutusi kedalam Persamaan (3.12), pada ( )) dan adalah MLE untuk pada maka diperoleh : daerah (MLE yang tidak dibatasi). Maka daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga titiktitik sampel mempunyai rasio yang kecil. Teorema 4.1.[12] Misalkan adalah peubah acak yang memiliki distribusi identik yang saling bebas dengan pdf , , dimana adalah subset dari dengan dimensi , dan misalkan adalah subset dari yang berdimensi . Misalkan himpunan dimana pdf bernilai positif, tidak bergantung pada , maka dibawah beberapa kondisi tambahan yang regular, distribusi asymptotic dari adalah , untuk , dan saat . . 3.2.1 Uji LR untuk Distribusi Weibull Misalkan , maka a) Uji tentang Diberikan sebuah Hipotesis : = vs : ≠ , dimana diketahui atau ditentukan oleh eksperimen dan merupakan parameter yang diketahui dari sebuah sampel
. 8
(3.13)
Sedemikian hingga,
(3.14)
,
Jadi
ditolak jika,
,
. Jadi
. Maka uji hipotesis untuk menolak jika .
(3.17) ditolak
sebesar (3.15) tingkat signifikansi
b) Uji tentang
hipotesis
Diberikan sebuah Hipotesis : vs : ≠ , dimana diketahui atau ditentukan oleh eksperimen dan merupakan parameter yang tidak diketahui dan diestimasi dari sebuah sampel acak yang berdistribusi Weibull ( , sedemikian hingga berlaku uji LR sebagai berikut : Persamaan (4.14) Likelihood Rasio,
untuk
,
Maka pada ditolak jika . Maka uji
menolak .
yaitu
3.2.2 Aplikasi Uji Likelihood Rasio a. Uji tentang Distribusi yang diaplikasikan untuk menganalisis data kelangsungan hidup untuk penderita penyakit Leukimia pada Tabel 4.1. adalah distribusi Weibull. diberikan hipotesis pada tingkat signifikansi dan diberikan pdf Weibull pada Persamaan (3.1). Akan diturunkan Test LR untuk hipotesis jika kedua parameternya tidak diketahui:
,
dimana
jika,
dan
Sedemikian hingga,
.
dan
Dimana
,
,
(3.16) .
diketahui:
Dengan menggunakan bantuan program R nilai disubtitusi pada persamaan diatas sedemikian diperoleh sedemikian hingga jika hingga 9
ditolak, tetapi jika 1. Penduga maksimum likelihood tidak dapat ditentukan dengan rumus kongkrit tidak ditolak. melainkan dengan itersi Newton-Raphson, Karena LR dimana terhadap dimana iterasi Newton-Raphson tidak bergantung pada . lebih besar, maka hipotesis yang menyatakan bahwa 2. Uji Likelihood Rasio (LRT) dapat dilakukan terhadap sampel dari distribusi ditolak . hal ini berarti pada Weibull dengan bantuan iterasi Newtontingkat signifikansi , tidak terdapat Raphson. Untuk hipotesis berbentuk cukup bukti bahwa sampel berada di daerah , penerimaan. Menghasilkan prosedur uji yang menolak pada tingkat signifikansi b. Uji tentang jika Diberikan sebuah Hipotesis : = 0,90 vs : ≠ 0,90 pada data kelangsungan hidup untuk penderita penyakit Leukimia pada Tabel 4.1. dimana data diambil dari Sedangkan untuk hipotesis yang berbentuk populasi berdistribusi Weibull dengan tingkat : vs : ≠ signifikansi , sedemikian hingga Menghasilkan prosedur uji yang menolak berlaku uji LR untuk hipotesis, sebagai pada tingkat signifikansi berikut : jika Persamaan Likelihood Rasio, maka
,
dimana mensubtitusikan (4.31)
dan . Dengan dan pada Persamaan diperoleh hasil sedemikian hingga atau . hal ini berarti untuk hipotesis yang menyatakan = 0,90 pada tingkat signifikansi , tidak terdapat cukup bukti bahwa sampel berada di daerah penerimaan. IV. Kesimpulan dan Saran Dari hasil penelitian yang dilakukan dapat ditarik beberapa kesimpulan :
3. Aplikasi Metode Uji Likelihood Rasio terhadap data Leukimia yang bersumber pada Storvik (2011) menghasilkan kesimpulan bahwa hipotesis ditolak pada begitupun untuk hipotesis : dengan tingkat signifikansi ditolak. 5.1
Saran
Adapaun yang dapat saya sarankan untuk penelitian selanjutnya yaitu Uji Likelihood Rasio pada parameter distribusi Weibull pada Pendekatan Asimtotiknya. DAFTAR PUSTAKA [1] Bain, L.J and Engelhardt, M. 1991. Introduction to Probability and
10
[2]
[3]
[4]
[5]
Mathematical Statistics. Second Edition. Duxbury Press: California. Desfina, A.P; Erdini, M. 2012. Distribusi Weibull Dan Pareto Untuk Data Tinggi Gelombang Tsunami Aceh Jurnal Sains Tekonologi Dan Industri vol 9(2) Cox, D.R & Oakes, D. (1982). Statistical Models and Method for Lifetime Data: New York : John Wiley & Sons. Geir. S. 2011. Numerical Optimation Of Likelihoods: Additional Literature For STK2120. University Of Oslo Lawless, J. F. (1982). Statistical Models and Method for Lifetime Data. New York: John Wiley & Sons.
[6] Lehman, E.L;Romano, J.P. 2005. Testing Statistical Hypotesis (3rd Edition). Spingers: New York
[7] Mustafid. 2003. Statistika Elementer. Semarang: Universitas Diponegoro. [8] Somayasa, W. 2001. Diktat Kuli ah Bagian I Statistika Elementer. Kendari: Universitas Halu Oleo. [9] , 2001. Diktat Kuliah Bagian II Statistika Elementer. Kendari: Universitas Halu Oleo. [10] . 2008. Diktat Kuliah Statistika Matematika I. Kendari: Universitas Halu Oleo.
[11] Rinne, H. (2009). The Weibull Distribution A Handbook. Chapman & Hall/CRC [12] Roussas, G.G. 1997. A Course in Mathematical Statistics (2nd Edition). USA: Academic Press. [13] Shafira. 2011. Penaksir Parameter Distribusi Binomial Negatif Pada Kasus Overdispersi. Depok : Universitas Indonesia. [14] Sudjana. 1996. Metode Statistik Edisi ke6. Bandung : Tarsiro. [15] Subanar. 2013. Statistika Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu. [16] Walpole, R .E dan Myers, R. H. 1995. Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi ke - 4. Alih bahasa oleh Sembiring, R.K. Penerbit ITB: Bandung. [17] Yustika. D.W.S. dan Stikno. 2013. Estimasi Parameter Generalized ParetoDistribution Pada Kasus Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur. JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.2, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
11
