PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

Oleh: Roswita Putri Arcelia Hede NIM: 123114005

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2016 i


COMPARISON OF LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER WEIBULL DISTRIBUTION Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics

By: Roswita Putri Arcelia Hede Student Number: 123114005

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY 2016

ii


''' "1:;-

.+' PERBAIIDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMT]NGKINAIY MAKSIMTIM DALAM PNIYDUGAAFI PARAMETER

A}TDUAPARAMETER

fl** d

m*{

**@-gg

"'%*fi***d Dgsen Pembimbing

6rrh^/./*'q Tanggal: Juni 2016

(Ir. Ig.Aris Dwiatmoko, M. Sc.)

lll


SKRIPSI PERBANDINGAI\I METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE

KEMUNGKINAI{ NNA(SNVTUM DALAM PENDUGAAI\ PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER Disiapkan dan ditulis oleh: Roswita Putri Arcelia Hede NIM:123114005 Telah dipertahankan dihadapan Panitia Penguj i Pada tanggal 22 Juni 20 | 6

Dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji

Nama lengkap Ketua: Y. G. Hartono Ph.D. Sekretaris: Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan

Yg

Anggota: Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Se.

Yogyakarta,

lJ

J u /i 2o 1 6

Fakultas Sains dan Teknoloei

frTT^'{

9A

fr#

,/'oL i Mungkasi, Ph.D.)

tv


HALAMAN PERSEMBAHAN

Bagi Tuhan tak ada yang mustahil Lukas 1:37

Skripsi ini dipersembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan memberkatiku dengan berkatNya yang melimpah Kedua orang tua Yohanes Hede dan Elisabet M. Adat Nenek Lusia D. Bunga Adik-adik tercinta Marry Grace Florensia Hede dan Alm. Hendrikus Alvian Hede Serta almamater yang kubanggakan

v


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis

ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 16 Mei 2016 Penulis

Roswita Putri Arcelia Hede

VI


ABSTRAK Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep. Kata kunci: distribusi Weibull, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.

vii


ABSTRACT Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean, variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of wind velocity in Enugu and Sumenep. Keyword: Weibull distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error

viii


LEMBAR PERTANYAAN PERSETUJUAN PT]BLIKASI KARYA ILMIAII UNTTiK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama : R0swita Putri Arcelia Hede Nomer Mahasiswa ;123114005 Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul:

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAI\ MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan

dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data,

mendistribusikannya secara tetbatas, dan mempublikasikannya di intemet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Padatanggal: 16 Mei 2016 Yang menyatakan

(Roswita Putri Arcelia Hede)

lx


KATA PENGANTAR Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik. Skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Dua Parameter” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko. M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada penulis. 2. Bapak Hartono Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan. 3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini. 5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.

x


6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, nenek Lusia D. Bunga, serta adik Marry Grace Florensia Hede yang telah banyak memberikan dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik. 7. Teman-teman angkatan 2012 Program Studi Matematika yaitu Sila, Risma, Happy, Bobi, Tika, Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum, Ilga, Lia, Noni, Dewi, Manda , Anggun, Budi, Rian, Ega, yang telah memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini. 8. Teman-Teman kos Cintia: Archa, Lisa, Nova, Tia, Mb. Ela, Mb. Ria, Mb Ketrin, Mb. Intan, Awang, Hera, Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini. 9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

Yogyakarta, 16 Mei 2016 Penulis (Roswita Putri Arcelia Hede) xi


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL...................................................................................................... i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .................................................. ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. vi HALAMAN ABSTRAK ............................................................................................. vii HALAMAN ABSTRACT ......................................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI....................................... ix KATA PENGANTAR .................................................................................................. x DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ....................................................................................................... xv DAFTAR GAMBAR ................................................................................................. xvi BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 Latar Belakang Masalah ................................................................................................ 1 A. B. C. D. E. F.

Rumusan Masalah ............................................................................................... 3 Pembatasan Masalah .......................................................................................... 4 Tujuan Penulisan ................................................................................................. 4 Manfaat Penulisan ............................................................................................... 4 Metode Penulisan ................................................................................................ 5 Sistematika Penulisan .......................................................................................... 5

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 9 A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 9 1. Variabel Random .............................................................................................. 9 2. Fungsi Probabilitas ............................................................................................ 9 a. Distribusi Probabilitas Diskrit ....................................................................... 9 b. Distribusi Probabilitas Kontinu ................................................................... 10

xii


3. Fungsi Distribusi Kumulatif .................................................................................. 10 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ............................................................... 10 a. Mean.......................................................................................................... 10 b. Variansi ..................................................................................................... 11 c. Momen ...................................................................................................... 11 d. Fungsi Pembangkit Momen ...................................................................... 12 B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya ................................................................ 13 1. Mean ........................................................................................................... 18 2. Variansi ....................................................................................................... 19 3. Fungsi Pembangkit Momen ......................................................................... 20 C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ........................................................ 21 1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter .................. 23 a. Mean ...................................................................................................... 24 b. Variansi ................................................................................................. 24 c. Momen .................................................................................................. 25 2. Grafik Distribusi Weibull ............................................................................ 26 D. Pendugaan Parameter ........................................................................................ 32 1. Penduga Titik............................................................................................... 33 2. Penduga Interval .......................................................................................... 33 E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik ...................................... 33 F. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 35 1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil .......................................................... 38 G. Uji Kolmogorov Smirnov .................................................................................. 53 H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov ..................... 56 I. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 58 J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana .............. 63 K. Metode Newton Raphson .................................................................................. 67 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM .............................................................................................................. 72 xiii


A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ........................................................ 72 B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil ....... 72 C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum ......................................................................................................... 85 BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER ..... 95 A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ............. 95 1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull ........................................ 96 2. Estimasi Parameter ...................................................................................... 97 B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ................................................................................................................. 98 C. Uji Distribusi Weibull ..................................................................................... 101 D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum ......................................................................................................................... 103 E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ....... 104 F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep .......................................................................................................... 106 G. Uji Distribusi Weibull ..................................................................................... 108 H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum ......................................................................................................................... 110 BAB V PENUTUP .................................................................................................... 112 A. Kesimpulan ...................................................................................................... 112 B. Saran ............................................................................................................... 113 DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................... 114 LAMPIRAN .............................................................................................................. 116

xiv


DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku ................................................................ 52 Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 .......................................................................................... 56 Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ( ) Di Kolkata .................... 80 Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan ( ) Di Enugu ...................... 95 Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Sumenep, Jawa Timur .. 104

xv


DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan

dan

dan ......... 27

Gambar 3.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ...................................................................................................... 81 Gambar 3.2 Grafik

( ) dan

( ) ......................................................................... 83

Gambar 3.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ................................................................................................................. 91 Gambar 4.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ............................................................................................................ 98 Gambar 4.2 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ............................................................................................................. 101 Gambar 4.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ........................................................................................................... 106 Gambar 4.4 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ............................................................................................................... 108

xvi


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari statistik adalah menggunakan informasi yang terkandung dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang populasi dari mana sampel tersebut di ambil. Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan (merupakan karakteristik) populasi. Penduga berupaya untuk mengaproksimasi parameter yang diketahui tersebut menggunakan pengukuran. Dalam mengkaji suatu distribusi hal yang paling penting adalah masalah menduga parameternya. Dalam teori probabilitas, distribusi Weibull adalah distribusi probabilitas kontinu dan merupakan satu dari distribusi yang digunakan pada praktek ilmu teknik. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan oleh ilmuwan dari Swedia yang bernama Waloddi Weibull. Walodi Weibull menemukan distribusi Weibull pada tahun 1937 dan disampaikan pada jurnal Hallmark Amerika pada tahun 1950 meskipun pertama kali diidentifikasi oleh Fréchet (1927) dan pertama kali diterapkan oleh Rosin dan Rammler (1933) untuk menggambarkan distribusi ukuran partikel. Weibull mengklaim bahwa distribusi ini dapat diaplikasikan pada berbagai masalah. Distribusi ini pada awalnya mendapat tanggapan negatif dari para ahli.

1

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2

Selama lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian para ahli statistika yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang penerapan statistika. Ditribusi Weibull akhirnya menjadi orientasi dari ahli statistika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari uji hidup (life testing), peramalan cuaca, serta observasi antara lain dalam bidang ekonomi, administrasi bisnis, hidrologi, biologi, dan ilmu-ilmu rekayasa. Variable random

dikatakan mempunyai distribusi Weibull bila fungsi

probabilitasnya : ( )

{

dengan

adalah parameter bentuk (shape parameter) dan

adalah parameter

skala (scale parameter). Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga distribusi Eksponensial, hal itu dapat dilihat dari persamaan di atas. Jika

maka fungsi densitas

probabilitas tersebut menjadi : (

)

{

Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter, penulis menggunakan Metode Pendugaan Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga dalam pemodelan regresi yang meminimumkan


jumlah kuadrat galat. Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood

.

Sesuai dengan uraian diatas, maka penulis ingin mempelajari lebih jauh tentang distribusi Weibull dan sifat-sifatnya dan membandingkan pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum. Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.

B. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah 1.

Bagaimana sifat-sifat statistis distribusi Weibull?

2.

Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil?

3.

Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum?

4.

Bagaimana membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter?


C. Pembatasan Masalah Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah 1.

Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis hanya akan membahas pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.

2.

Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Weibull dengan dua parameter.

3.

Penulis tidak akan mengkaji generalisasi dan modifikasi dari distribusi Weibull.

4. Penulis tidak mencantumkan semua teori yang digunakan, tetapi hanya dibatasi oleh teori yang digunakan secara langsung.

D. Tujuan Penulisan Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah ingin mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) serta membandingkan kedua metode tersebut untuk menentukan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

E. Manfaat Penelitian Manfaat yang diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat mempelajari sifat-sifat distribusi Weibull dan metode pendugaan distribusi


Weibull dengan dua parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.

F. Metode Penelitian Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku atau jurnal yang berkaitan dengan estimasi parameter distribusi Weibull.

G. Sistematika Penulisan BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisa BAB II. LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random 2. Fungsi probabilitas a. Distribusi Probabilitas Diskret b. Distribusi Probabilitas Kontinu


3. Fungsi Distribusi Kumulatif 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean b. Variansi c. Momen d. Fungsi Pembangkit Momen B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya 1. Mean 2. Variansi 3. Fungsi Pembangkit Momen C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter 1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter a. Mean b. Variansi c. Momen 2. Grafik Distribusi D. Estimasi Parameter E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik F. Metode Kuadrat Terkecil 1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil G. Uji Kolmogorov-Smirnov H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov I. Metode Kemungkinan Maksimum


J. Metode

Kemungkinan

Maksimum

Dalam

Regresi

Linear

Sederhana K. Metode Newton Raphson BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil C. Pendugaan

Parameter

Distribusi

Weibull dengan

Metode

Kemungkinan Maksimum BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu 1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull 2. Estimasi Parameter B. Pendugaan

Parameter

Distribusi

Weibull

dengan

Metode

Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu C. Uji Distribusi Weibull D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum


E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep F. Pendugaan

Parameter

Distribusi

Weibull

dengan

Metode

Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep G. Uji Distribusi Weibull H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran


BAB II LANDASAN TEORI

A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan nilainya. Definisi 2.2 Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.

2. Fungsi Probabilitas Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu. a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3 )) adalah fungsi probabilitas dari variabel

Himpunan pasangan terurut random diskrit

jika

9


10

)

1) 2) ∑

untuk setiap

)

b. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.4 ) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel

Fungsi

random kontinu , jika 1)

)

2) ∫

)

3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5 Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah variabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut ∑ )

)

) {

∫

)

4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean Definisi 2.6 Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random sikan sebagai

atau

) didefinisikan sebagai

dinota-


11

∑

)

) {

)

∫

b. Variansi Definisi 2.7 Jika

adalah variabel random, maka variansi dari

ditulis

) didefinisikan

sebagai )

[

)) ]

Teorema 2.1 )

)

(

))

Bukti )

[

)) ] ) )

)

)

) (

)) )

(

))

))

c. Momen Definisi 2.8 Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan didefinisikan sebagai )


12

d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM) Definisi 2.9 ) dari sebuah variabel random Y didefinisikan

Fungsi pembangkit momen )

sebagai

). Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika

terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga untuk | | . Teorema 2.2 ) dan

Diberikan random

dan

. Jika

) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel )

) maka

dan

mempunyai distribusi

yang sama. Bukti Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu )

)

dengan adalah bilangan kompleks Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila

dan

kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu ∫

)

∫

)

adalah fungsi distribusi


13

Maka

)

) (skripsi hal 54).

Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya Distribusi probabilitas (fungsi densitas) merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter. Definisi 2.10 Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi. Definisi 2.11 Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ̅

Definisi 2.12 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai )

∫

∑


14

Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, mean dan momen. Teorema 2.3 Fungsi Gamma memiliki sifat 1.

)

)

) untuk setiap

Bukti Berdasarkan definisi 2.12 )

∫

Misalkan )

maka )

dan

maka

∫

[

]

[

]

)∫

[

]

)∫

.

/

)

∫

)

)

)


15

0 [ {

(

)

(

)

2.

)

)

1

) )

)]

) (

[

)

)

) )

)]}

)

)

) dengan n bilangan bulat positif

Bukti Berdasarkan sifat Gamma )

)

)

Sehingga diperoleh )

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

) )

Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh )

∫

∫ [

]

) )

)


16

diperoleh )

)

)

)

)

) )

) 3.

( )

√

Bukti Akan di buktikan bahwa ( )

√

Berdasarkan definisi 2.12 )

∫

Misalkan )

∫

∫ Ketika

maka

Sehingga diperoleh ( )

[ ( )]

∫

[ ( )] [ ( )] . ∫

/. ∫

/


17

)

∫ ∫

Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan

maka

)

[ ( )]

∫ ∫

∫ ∫

(∫

) .∫

/

Misalkan ( ).

∫

[

] )

( )

√

/


18

Definisi 2.13 Sebuah variabel random

dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter

jika dan hanya jika fungsi probabilitas

)

dengan

)

{

adalah

)

∫

1. Mean Jika

berdistribusi Gamma dengan parameter

, maka

) Bukti Berdasarkan definisi 2.6 )

∫

∫ Berdasarkan definisi fungsi probabilitas

∫

)

)

)


19

∫

)

)

(2.1)

∫

)

)

∫

)

)

Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1 )

Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka

), maka diperoleh

)

)

)

2. Variansi Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter

, maka variansi dari

distribusi Gamma adalah ) Bukti Berdasarkan teorema 2.1 )

)

)

∫

(

))

)


20

∫

)

)

∫

Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh

)

)

) )

) )

) )

)

) Maka )

)

))

( )

) 3. Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan definisi 2.9, maka )

)

)


21

∫

[

)

)

)

)

)

]

∫ (

∫

(

∫

)

)

∫

Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh

)

)

(

)

)

) C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 2.14 Variabel random

dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter , bila fungsi probabilitasnya: ( )

{


22

dengan


adalah parameter skala

(scale parameter). Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan fungsi probabilitas. Jelas bahwa

untuk setiap

. Selanjutnya akan

)

ditunjukkan bahwa ∫ Misalkan

)

( ) maka ∫

)

( )

∫

∫ [

] )

Jadi terbukti bahwa

) adalah fungsi probabilitas

Definisi 2.15 Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka )

∫

)


23

)

Misalkan

∫

[

]

( )

)

)

∫

∫

)

[

)]

[

( ) ]

( ( ) ) Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

( ( ) )

1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata (mean), variansi dan fungsi pembangkit momen (moment generating function)


24

a. Mean Berdasarkan definisi 2.6

)

)

∫

( )

∫

Misalkan

( ) maka

dan ∫

∫

∫ berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh )

(

)

b. Variansi Berdasarkan teorema 2.1 )

)

) )

( ∫

))

( ) )


25

( )

∫

Misalkan

( ) maka ∫

∫ (

)

∫ Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh )

(

)

)

) ))

(

(

)

(

)

0 (

[

)

(

(

)]

(

)

) 1

c. Momen (Moment) Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai ) Maka, momen ke- dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah


26

)

)

∫

( )

∫

Misalkan

( ) maka

dan

∫

(

)

∫

Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh (

)

2. Grafik Distribusi Weibull Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull bergantung pada nilai parameter

dan

yang dipilih, sehingga grafik akan

memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan diperoleh grafik fungsi probabilitas

)

. Hal ini juga terjadi ketika


27

parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan. 2.5

grafik fungsi distribusi Weibull

0.0

0.5

1.0

f(x)

1.5

2.0

a=0.5 a=1 a=1.5 a=5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan

2.5

dan

Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai

yang berbeda-beda akan

membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika

maka akan diperoleh

grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada lampiran A.1.

Teorema 2.4 Misalkan

), jika

maka

berdistribusi Chi Squre dengan derajat

bebas . Bukti Fungsi probabilitas dari

adalah

)

√


28

)

) ) (

√ )

( √

√ )

(√ ) )

[

( √ )

(√ )

( √ )] (√ )

( √ )

(√ )

( √ )

√

√

√

√

√ ) ( ) ) adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma

Sehingga diperoleh dengan

dan

dan

) juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi

Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari )

)

adalah


29

Teorema 2.6 Misalkan )

variabel random independen berdistribusi Normal dengan )

dan

untuk

dan misalkan

∑

konstanta. Jika

adalah

maka

variabel random

dan

)

berdistribusi Normal dengan )

∑

dan )

∑

Bukti Karena

)

berdistribusi Normal dengan

pembangkit momen

, fungsi

adalah )

Maka fungsi pembangkit momen dari

.

/

adalah

)

) ) .

Karena variabel random untuk

, maka

/

independen, maka variabel random

juga independen


30

)

)

)

.

) /

.

/

( ∑

∑

.

/

)

) merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑ dan variansi ∑ Maka berdasarkan teorema ketunggalan ∑

berdistribusi Normal dengan rata-rata

dan variansi ∑

Teorema 2.6 Misalkan ∑

). Jika

adalah variabel random independen dengan , maka

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

Bukti Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari Karena

adalah

independen, maka )

)

) ) )

) )

)

)


31

)

)

dengan

adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma

dan

atau

(

) dan juga fungsi pembangkit momen dari

distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan ) Teorema 2.7 Jika

) dan

adalah matriks simetri idempoten dengan rank

maka

) Bukti Karena

simetri maka

dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal

maka

diperoleh

[

Selanjutnya, karena maka dapat dipilih

]

idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah

dan ,

sedemikian sehingga *

+

Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari

, karena banyaknya akar

tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari Misalkan

.


32

) )

) ) )

Maka berdasarkan teorema 2.5 Misalkan distribusi dari ortogonal, maka invers dari

)

menggunakan transformasi dari . Karena

matriks

sama dengan transpose dari )

Maka diperoleh

*

+

∑

∑( )

∑

( ) adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema

2.6 maka

berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas

D. Pendugaan Parameter Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empiris yang


33

berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel. Definisi 2.16 Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel. Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation). 1. Penduga Titik (Point Estimator) Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya. 2. Penduga Interval (Interval Estimator) Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter yang sebenarnya.

E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik Definisi 2.17 Misalkan ̂ adalah penduga titik dari parameter , maka ̂ adalah penduga tak bias jika ( ̂ )

.


34

Definisi 2.18 Bias dari penduga titik ̂ didefinisikan sebagai ( ̂ )

( ̂ )–

Definisi 2.19 Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik ̂ adalah ( ̂)

*( ̂

) +

Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga ̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya. Teorema 2.8 (̂)

(̂)

* (̂) +

Bukti ̂

(̂

(̂

)

*( ̂

(̂

)

(̂

*( ̂

) +

[( ̂

*( ̂

) +

(̂)

( ̂ ))

( (̂)

( ̂ ))

( (̂)

( ̂ )) ( ̂ )) ] [ ( ̂ )]

)

(̂

)+ ( ̂ )) ( ( ̂ )

* (̂

)

( ̂ )) ( ̂ ))+

( (̂) [ ( ̂ )]

)


35

F. Metode Kuadrat Terkecil Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen; ) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen; ). Definisi 2.20 Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

dengan

pengamatan ke- variabel dependen = intersep (intercept) = parameter regresi (slope) = pengamatan ke- variabel independen = galat (error) dari pengamatan ke-

Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam ) sampel random berukuran n dari sebuah

pemodelan regresi. Misalkan

populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah

Metode Kuadrat Terkecil bertujuan menentukan penduga dari ̂

̂ . Dengan asumsi

)

persamaan regresi akan di duga oleh

yaitu


36

̂

̂

̂

.

Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).

Definisi 2.21 Jumlah kuadrat galat (Sum of Squares Error) didefinisikan sebagai ̂)

∑

∑[

(̂

̂

)]

Jumlah Kuadrat Galat minimum diperoleh dengan menggunakan turunan parsial terhadap ̂

̂ maka ,∑

(̂

[

̂

)] -

̂

)]

̂ (̂

∑ [

̂

(∑

∑

∑

̂

̂

̂

̂ ∑

̂ ∑

)

̂ ∑

(2.2)


37

,∑

(̂

[

̂

̂

)] -

̂

)] }

̂ (̂

∑ {[

̂ ∑

(∑

̂ ∑

∑

̂ ∑

∑

̂ ∑

)

̂ ∑

̂ ∑

(2.3)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3 maka diperoleh

̂

̂

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑ )

(2.4)

∑ ∑

(2.5)

)

Penduga ̂ dan ̂ pada persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 adalah penduga yang memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena

̂

dan

̂

̂

maka ̂ dan ̂ adalah titik minimum.

dan

̂

dan


38

1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana adalah a. Penduga ̂ dan ̂ tak bias, yaitu ( ̂ )

untuk

.

Bukti ( ̂)

Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika )

mengunakan fakta bahwa

. Dan

.

Berdasarkan persamaan 2.4 ̂

̂ )

∑

∑

∑

)

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

) ) ) ) )

∑ )

∑ ∑ )

)

∑

∑

∑ ∑

)

))

(∑ ) ∑ ∑

) )

∑

∑


39

Maka ̂ adalah penduga tak bias bagi

.

Berdasarkan persamaan 2.5 ∑

̂

̂ )

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑

) ∑

)

∑ ∑

∑

)

) ∑

∑ ∑

)

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

) ∑ ∑

∑

Maka ̂ adalah penduga tak bias bagi

)

) ) ) ) )

.

∑ )

)


40

b.

(̂ )

dengan

dan

̅)

∑

adalah parameter yang tidak

diketahui. Bukti Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini ∑

̂

∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

)

∑

̅∑ ̅∑

∑ ∑

Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari ̂ adalah

̂

̅)

∑

̅)

∑ ̅)

∑ ∑

Jika ∑

̅)

, maka diperoleh ̂

∑ ∑

̅)

̅) ̅)

̅ ̅)

̅)


41

̅) / ̅)

∑ . ∑

̂ )

.

.

∑

̅)

∑

̅)

(̂ )

̅)

/ ∑

∑

dengan

̅) )

(∑

)

̅)

∑

c.

/

̅)

∑

dan

adalah parameter yang

tidak diketahui. Bukti Berdasarkan persamaan 2.3

̂ ∑

∑ ∑

̂ ̅̅ ̅ ̅ ̂ )

̂ ∑

∑

̂

̂ ̅

∑

̂ ̅

̂

̂ ̅ (

∑

(2.6) ∑

(

̅)

∑

(

̅)

)


42

∑

Karena

dan

∑

independen dimana

(

̅)

(

̅)

(

(

, maka

)

)

̅ ̂ ) dari persamaan 2.6 diperoleh ̂ ̂ )

̂ ̅

̅ ̅

̂ ̅)

̅)

(

̅)

̅ ̅

̅

̂ ̅) (̂ )

̅)

∑

̅) ̅)

̅ ̂ )

̅

̅ ̅)

∑

̅

∑ ∑ ∑ ∑

̅ ̂ )

̅

∑

∑

̂ ̅)

̅

̅)

̅ ) ̅)

̅


43

d.

(̂

̂ )

̅

dengan

dan

̅)

∑

adalah parameter yang

tidak diketahui. Bukti Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh ̂

̂ ̅

̅ ∑

) ̅

̂

)̅

(̂

̅

̂ ̅

̅

(̂

̂ ̅

̅

)̅

maka (̂

̂ )

[ ̂ [( ̅

) ̂ (̂

* ̅( ̂ karena [ ̂

)] ) ̅) ̂ ̅( ̂

)

] * ̅( ̂ ̅

) +

(̂ ) ̅

∑

̅)

)] ) +


44

e. Penduga tak bias dari (̂

̂

adalah

∑

dengan

[

)] .

Bukti Akan dibuktikan

adalah penduga tak bias dari

)

[(

)

(

)

]

)

)

[∑[

(̂

̂

)] ]

[∑[

̅

̂ ̅

̂

̅)

[∑

̅)

karena ∑ )

̅) [∑

∑ [ karena ∑

̅)

̂

̅ )) ]

̂

̅)

̅)

[∑ (

∑

] ]

̂

̅)

̅ ) ̂ , maka diperoleh

∑ ̅)

̂

̅) ]

∑

̅) ]

̅)

̅ , maka diperoleh

̂ )

̅ )]


45

)

̅ )

Untuk sebarang variabel random

berlaku

)

∑

̂ )

̅)

∑ )

)

[

)] , maka

diperoleh )

)

∑[

[

)] ]

[

̅) * ( ̂ )

∑

) ]

∑[

̅) 0

∑

̅)

[ ( ̂ )] +

̅) 1

0

1

̅)

∑

]

∑[

∑

)

̅ 1

̅

∑

̅)

∑

∑

̅

0

̅)

∑

̅

̅ )] ]

[

̅

∑

̅)


46

Karena ∑

̅)

̅ , maka diperoleh

∑

)

∑

̅

[∑

)

∑

̅

∑

̅ ]

̅

) )

)

)

Maka Jika f.

adalah penduga tak bias dari untuk

.

berdistribusi Normal, maka

̂ dan ̂ berdistribusi Normal. Bukti Pada model regresi linear sederhana tidak bergantung pada

dengan rata-rata

, bentuk galat )

dan variansi

)

. Bentuk dari distribusi sampling untuk ̂ dan ̂ bergantung pada distribusi dari galat

. Maka jika

Normal dengan rata-rata fungsi linear dari

berdistribusi Normal, maka dan variansi

berdistribusi

, karena ̂ dan ̂ adalah

, maka ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata


47

dan variansi dan variansi

∑ ̅)

∑ ∑ ̅)

∑

g. Variabel random

)

dan ̂ berdistribusi Normal dengan rata-rata

.

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas

.

Bukti Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

Jika ditulis ke dalam bentuk matriks, maka model regresi linear sederhana dapat ditulis sebagai

[ ]

[

][

]

[

]

Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah

dengan

[ ]

[

]

Penduga kuadrat terkecil dari

[

yaitu

] dan

]

̂ , dapat dinotasikan dengan notasi

matriks ̂

[

)

Penduga dari regresi linear sederhana adalah


48

̂

̂

Galat dari model regresi linear sederhana adalah ̂ ) )

)

dengan

)

)

adalah matriks simetri idempoten. Akan dibuktikan

adalah matriks simetri dan idempoten

Bukti )

)

)[

) ] )

Jadi

adalah matriks simetri. )

) )

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

)

) )


49

Jadi

adalah matriks idempoten.

Akan dibuktikan )

)

)

)

)

)

)

)

) ) ̂

Akan dibuktikan )

)

)

) )

)

) )

Statistik

didefinisikan sebagai

) ) ) )

)


50

∑

)

Akan dibuktikan

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas )

)

0 1

* +

Variabel random * + berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan variansi . Karena matriks berdasarkan teorema 2.7 * + bebas Jadi h. Statistik Bukti

adalah matriks simetri dan idempoten, maka * + berdistribusi Chi Square dengan derajat

. )

berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas tidak bergantung pada ̂ dan ̂


51

∑

[

(̂

̂

∑

[

(̅

̂ ̅

∑

[

̅

∑

[

̂ ̅

̂

̂

̅)

̂

)]

]

̅ )]

∑

̅)

̂

̅)

̅)

̂

̅)

∑

̅)

̂

̅)

̅)

̂

̅)

∑

̅)

∑

karena ̂

)]

∑

̅) ̅)

∑

̅)

∑

̅)

̂

̅)

̅)

, maka diperoleh ̅) ̅)

∑ ∑ ̅)

̅)

∑

∑ Jadi,

̅)

̅)

̅) ∑ )

̅)

̅)

̅)

tidak bergantung pada ̂ dan ̂

Contoh 2.1 Auditor sering diminta untuk membandingkan hasil audit dari item penyimpanan buku (atau terdaftar). Jika sebuah perusahaan selalu memperbaharui penyimpanannya


52

dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini. Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku Item 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nilai Audit ( ) 9 14 7 29 45 109 40 238 60 170

Nilai Buku ( ) 10 12 9 27 47 112 36 241 59 167

Gunakan model

untuk data di dalam tabel tersebut.

Jawab Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh ̂

∑

∑ ∑

∑ ∑

)

)


53

̂

∑

∑ ∑

∑ ∑

∑ )

)

Jadi, penduga kuadrat terkecil dari

dan

adalah ̂

dan ̂

Sehingga diperoleh model persamaan regresi Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.

G. Uji Kolmogorov Smirnov Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random). Uji kecocokan (goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Kecocokan (goodness of fit) dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini, hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov. Pada dasarnya uji kecocokan berdasarkan pada salah satu dari dua elemen distribusi, yaitu fungsi distribusi kumulatif (Cumulative Ditribution Function) atau


54

fungsi probabilitas (Probability Density Function). Uji Chi Square berdasarkan pada fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933. Misalkan variabel random diketahui

), dan misalkan

diuji hipotesis bahwa

berasal dari distribusi yang tidak )

)

)

adalah statistik terurut. akan

) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu

).

Definisi 2.22 Statistik uji Kolmogorov Smirnov

didefinisikan sebagai ) [ [ (

dengan

,

)

(2.7) (

))

) )]

)]

) adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris

berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui

).

Definisi 2.23 Misalkan definisikan sebagai

adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris

) di


55

)

)

)

{

)

)

Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah ) untuk setiap

dengan

)

) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan )

Jika

lebih dari

)

yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka

ditolak pada tingkat signifikansi . H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull. Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai berikut 1.

))

2. Tentukan tingkat signifikansi 3. Statistik uji )


56

4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar 5. Hitunglah

) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull

6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris 7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dari

(

dan

)

, dan tentukan maksimum

)

8. Daerah keputusan : ditolak jika 9. Kesimpulan

Contoh 2.2 Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan

.

Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 No

Jawab 1.

2. 3. Statistik uji

1 1.43

2 4.115

3 7.578

4 8.02

5 10.429

6 11.722


57

) 4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah )

( ( ) )

5. Daerah keputusan : di tolak jika 6. Perhitungan

1 2 3 4 5 6

1.43 4.115 7.578 8.02 10.429 11.722

) 0.091 0.315 0.566 0.593 0.718 0.771 Maksimum

) 0.167 0.333 0.500 0.667 0.833 1.000

) 0.000 0.167 0.333 0.500 0.667 0.833

0.075 0.019 -0.066 0.073 0.115 0.229 0.229

0.091 0.148 0.233 0.093 0.051 -0.062 0.233

) 7. Kesimpulan Karena

maka )

diterima. Data tersebut berdistribusi


58

I. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method) Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah ( )( ) ( ) Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara acak adalah ( ) ( ) Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari sampel yang diamati bandingkan dengan dua yang probabilitasnya

(lebih kecil).


59

Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi

untuk

sampel yang sangat besar. Definisi 2.24 Misalkan probabilitas

adalah variabel random kontinu berukuran ) dan

dengan fungsi

adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood

dari sampel random adalah densitas bersama dari

variabel random dan adalah

fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan ) dan didefinisikan sebagai )

∏

)

Definisi 2.25 Penduga Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimator) ̂ memaksimumkan likelihood likelihood

| ) dengan

dari

| ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan log).


60

Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk : ) Nilai parameter

dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-

likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE ̂ merupakan penyelesaian dari persamaan berikut :

Misalkan terdapat

parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter

dengan Metode Kemungkinan Maksimum

dengan

)

Contoh 2.3 Misalkan dan variansi Maksimum.

adalah sampel random berdistribusi Normal dengan mean . Temukan ̂ dan ̂ dengan menggunakan Metode Kemungkinan


61

Jawab adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean variansi

dan

maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai )

[(

√

)

)]

berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh )

| | 0

)

|

)

) )

.

√

(

)

[

|

/1

) )

.

√

/

) ]

∑

Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah [

)]

{(

[

)

(

[

)]

)

∑

∑ Penduga kemungkinan maksimum dari kan

[

diperoleh

dan

) ]}

∑

)

adalah penduga yang memaksimum-

)], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap

dan

, maka


62

[

)]

[

)]

Jika turunan parsial terhadap

)

∑

)

∑

dan

disamakan dengan nol, maka akan diperoleh ∑

)

∑

)

∑ ∑

∑

)

∑

)

∑

)

̅

∑ dengan subsitusi

̅ ke persamaan maka diperoleh

)


63

∑

̅)

Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk ∑

̅ dan

dan

adalah

̅) .

J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai

Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah untuk menduga vektor parameter [

]

Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari gunakan (

asumsi

bahwa

galat

). Misalkan

( ) independen

dan

dengan meng-

berdistribusi

Normal

variabel random independen dan berdistribusi ) untuk

Normal

, dan

.

Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean

dan variansi

adalah )

) ]

[

√

Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh )

∏

√

[

) ]


64

(

(

) ∏

√

)

√

) ]

[

[

) ]

∑

Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut [

)]

{( √

)

[

(√

) ]}

∑

)

)

∑

)

∑

)

∑ Penduga Kemungkinan Maksimum dari turunan parsial

[

, dan

)] terhadap

dapat diperoleh dengan mencari , dan

dan menyamakan dengan

nol, maka diperoleh [

∑

)

∑

∑

) ]

)

(2.9)


65

[

) ]

∑

)

∑

)(

)

(2.10)

)

∑

[

) ]

∑

(2.11)

)

∑ Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh ∑

)

∑

)

∑

∑

Berdasarkan persamaan 2.10 diperoleh ∑

)

(2.12)


66

∑

∑

∑

(2.13)

Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.12 dan 2.13, maka diperoleh ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑ )

(2.14)

∑ ∑

(2.15)

)

Berdasarkan persamaan 2.11 diperoleh )

∑

∑

)

)

∑

∑

)

(2.16)

Persamaan 2.14 dan 2.15 menunjukkan bahwa Pendugaan Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana menghasilkan penduga (estimator) yang sama dengan penduga yang dihasilkan dengan Metode Kuadrat Terkecil. Penduga Kemungkinan


67

Maksimum dari

yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat

sampel.

K. Metode Newton Raphson Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga Metode Kemungkinan Maksimum

parameter menggunakan

menghasilkan fungsi log-likelihood yang non

linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret Taylor. Misalkan

mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai

pendekatan akarnya. Deret Taylor ) Untuk

disekitar

)

)

yang cukup dekat dengan

adalah )

)

)

maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan,

maka akan diperoleh pendekatan ) Jika

adalah akar dari

)

)

)

)

maka

) )

)

)

) ) )

)


68

) ) Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke

metode Newton Raphson adalah ) )

Contoh 2.34 )

Tentukan akar persamaan nonlinear jika diketahui nilai awal

dengan metode Newton Raphson

dengan toleransi

Jawab Diketahui

)

)

maka

Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah ) ) Ketika

maka diperoleh ) )

) Ketika

maka diperoleh


69

) )

) Ketika

maka diperoleh ) )

) Ketika

maka diperoleh ) )

) Ketika

maka diperoleh ) )


70

) Karena

)

Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan nakan R. > newton<-function(f,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100){ + h <-1e-7 + i = 1; x1 = x0 + p = numeric(N) + while (i <= N) { + df.dx = (f(x0 + h) - f(x0))/h + x1 = (x0 - (f(x0) / df.dx)) + p[i] = x1 +i=i+1 + if (abs(x1 - x0) < tol) break + x0 = x1 +} + return(p[1 : (i-1)]) +} > f <- function(x){x^2-3}

)

, maka akar persamaan fungsi

)

adalah

menggu-


71

> h <-1e-7 > df.dx <- function(x){(f(x + h) - f(x)) / h} > df.dx(1);df.dx(2) [1] 2 [1] 4 > app <- newton(f, x0 = 1) > app [1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051 > f(app[length(app)]) [1] 4.440892e-16


BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 3.1 Variable random

dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter bila fungsi probabilitasnya

{

(

,

)

, selainnya dengan


adalah parameter skala

(scale parameter) B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method). Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear. Model regresi linear didefinisikan sebagai (3.1)

72


73

dengan pengamatan ke- variabel dependen = intersep (intercept) = gradien (slope) = pengamatan ke- variabel independen galat (error) dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain

yang

mempengaruhi Metode

kuadrat ̂

terkecil

akan

menentukan

dari

̂ yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan

adalah sampel random dengan ukuran misalkan

penduga

dari distribusi

dan

adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para-

meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah ( ( ) )

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear. Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil.

( ( ) )


74

( ( ) ) [( ) ] (

)

[

(

)

( )

[

(

)]

[

(

)]

(( ) )]

[( ) ]

(3.2)

Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu: (3.3) dengan

* (

)+,

,

Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah ̂ dengan ̂ = penduga model (estimator) ̂ = penduga dari ̂ = penduga dari

̂

̂

(3.4)


75

Misalkan

adalah statistik terurut dari

dan misalkan

adalah observasi terurut.

pada persa-

maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova (Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149), nilai dari di estimasi dengan mean rank yaitu ̂(

dengan

)

(3.5)

adalah x urutan ke-i.

Berdasarkan

persamaan

2.4

̂ dan ̂ dari parameter regresi ̂

̂

Selanjutnya nilai 2.4 dan persamaan 2.5.

* (

dan dan

∑

persamaan

∑

)+ dan

dari

∑ ∑

∑ ∑

penduga

adalah

∑ ∑ ∑

2.5

∑ ∑ disubsitusikan ke persamaan


∑

̂

∑

( (

)) ∑

∑

̂

(

)

(

)

(3.6)

∑

∑

(

)

(3.7)

∑

maka ̂

̂ Karena ̂ adalah penduga dari ̂

∑

∑

∑ Karena ̂ adalah penduga

∑

(3.8)

maka penduga dari

̂

adalah ̂

̂

̂ ̂

∑

∑

( (

∑

)) ∑

∑

(

)

∑ ̂

[

]

76


∑

∑

(

(

[

̂[ ∑

∑

∑

∑

)

))

∑

∑ ∑

[

∑ ∑

[

∑ ∑

∑

∑

( ( )

( (

∑

∑

(

) )

∑

∑ ∑

∑

∑ (

)

∑

∑

( (

]

( (

]

) )

∑

∑

( )

∑

∑ ))

) ]

]

∑

))

( (

(

∑

(

[ ∑

∑

∑

( (

(

[

Misalkan

∑

))

)] )

]

)

77


∑

∑

(

∑

)

∑

(

)

[

∑

∑

(

∑

(

∑

)

)[ ∑

∑

∑

(

) ]

]

[

( ∑

(

)

∑

∑

)) ∑

(

]

∑

∑ ( (

(

))

∑ ∑

[

)

∑

∑ ∑

(

)

∑

∑ ]

78


∑

∑ ( (

)) (

Dengan

) ∑

[ ∑

( (

[

)) ̂

diduga dengan ̂

∑

)

∑

∑

∑

̂

(

(

)

∑ ∑

∑ ∑

(

∑

) ]

̂∑ ]

(3.9)

dari persamaan 3.5

Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull ̂ ̂

̂ ̂

( ( ) ) ̂

79


80

Contoh 3.1 Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31 Maret 2009 (Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241). Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov

Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (m/s) di Kolkata Maret, 2009 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Kecepatan angin (m/s) 0.56 0.28 0.56 0.56 1.11 0.83 1.11 1.94 1.11 0.83 1.11 1.39 0.28 0.56 0.28 0.28

Maret, 2009 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Kecepatan angin (m/s) 0.28 0.83 1.39 1.11 1.11 0.83 0.56 0.83 1.67 1.94 1.39 0.83 2.22 1.67 2.22


81

Jawab Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 a. ̂

∑

(

) ∑

̂

∑ [

∑

∑

(

)

∑

(

)

̂∑ ]

̂

(

)

Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull [ (

)

]

Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4. Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan

dan


82

Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan

(diproduksi dengan program R pada lampiran A.5)

b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.

Langkah- langkah pengujian 1.

2.

dengan

dan


83

3. Statistik uji

4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

( ( ) )

5. Daerah keputusan : ditolak jika 6. Perhitungan

0.28 0.28 0.28 0.28 0.28 0.56 0.56 0.56 0.56 0.56 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 0.83 1.11 1.11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

0.08 0.08 0.08 0.08 0.08 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.43 0.43 0.43 0.43 0.43 0.43 0.60 0.60

0.03 0.06 0.10 0.13 0.16 0.19 0.23 0.26 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.45 0.48 0.52 0.55 0.58

0.00 0.03 0.06 0.10 0.13 0.16 0.19 0.23 0.26 0.29 0.32 0.35 0.39 0.42 0.45 0.48 0.52 0.55

-0.05 -0.02 0.01 0.05 0.08 -0.05 -0.02 0.01 0.04 0.08 -0.07 -0.04 -0.01 0.03 0.06 0.09 -0.05 -0.02

0.08 0.05 0.02 -0.01 -0.05 0.08 0.05 0.02 -0.01 -0.04 0.10 0.07 0.04 0.01 -0.03 -0.06 0.08 0.05


84

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

0.60 0.60 0.60 0.60 0.74 0.74 0.74 0.84 0.84 0.91 0.91 0.95 0.95 maksimum

0.61 0.65 0.68 0.71 0.74 0.77 0.81 0.84 0.87 0.90 0.94 0.97 1.00

0.58 0.61 0.65 0.68 0.71 0.74 0.77 0.81 0.84 0.87 0.90 0.94 0.97

0.01 0.05 0.08 0.11 0.00 0.04 0.07 0.00 0.03 0.00 0.03 0.02 0.05 0.11

0.02 -0.01 -0.05 -0.08 0.03 0.00 -0.04 0.03 0.00 0.04 0.00 0.01 -0.02 0.10

grafik F0(xi) grafik Fn(xi)

0.2

0.4

F0

0.6

0.8

1.11 1.11 1.11 1.11 1.39 1.39 1.39 1.67 1.67 1.94 1.94 2.22 2.22

0.5

1.0

1.5

2.0

xi

Gambar 3.2 grafik

dan

(diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6) 7. Kesimpulan Karena berdistribusi

maka dengan

dan

diterima. Data tersebut


85

C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah Metode Kemungkinan Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation). Prinsip dasar dari metode ini adalah menentukan penduga parameter ̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode ini dapat dilakukan karena distribusi data diketahui. Untuk itu sebagai langkah awal perlu diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull dengan dua parameter. Berdasarkan definisi 3.1, fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dua parameter adalah

{

,

( )

, selainnya berdasarkan definisi 2.24 fungsi likelihood adalah ∏ Dengan demikian fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter dapat dituliskan sebagai berikut: ( )

(

)

(

)


86

(

) ∏

[ ∑( ) ]

Oleh karena itu diperoleh ∏

(

) ∏

[ ∑( ) ]

(3.10)

Metode Kemungkinan Maksimum mengestimasi ̂ dan ̂ untuk parameter

dan

yang memaksimumkan fungsi dalam persamaan 3.10 atau ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi dalam persamaan 3.10 yang biasa disebut dengan fungsi log-likelihood dan didefinisikan sebagai berikut [(

) ∏

[ ∑ ( ) ]]

[(

) ]

[∏

]

∑ Dengan mencari turunan parsial terhadap

[

[ ∑ ( ) ]]

∑( ) dan

dari persamaan 3.11 dan nilai dari

kedua turunan disamakan dengankan nol, maka akan diperoleh [

∑

(3.11)

∑( ) ]


87

∑

∑( )

∑

∑( ) [ ∑

∑

[

( )

]

∑

∑

∑( ) ]

∑ Jika turunan parsial pada persamaan 3.13 diselesaikan maka akan diperoleh ∑ ∑

∑

∑ ∑

∑ (

)


persamaan 3.14 disubsitusikan kedalam persamaan 3.12 maka akan diperoleh ∑

∑

(

(

∑

∑

∑

∑

∑

)

)

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

)

∑ ∑

∑

(

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

∑

88


89

Persamaan 3.15 tidak dapat diselesaikan secara analitik, oleh karena itu harus diselesaikan secara numerik terhadap

. Dalam hal ini, digunakan metode Newton

Raphson untuk memperoleh solusi numerik dari

. Rumus iterasi untuk metode

Newton Raphson di definisikan sebagai

Misalkan ∑

∑

∑

Maka diperoleh

(

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

) ∑

Berdasarkan rumus iterasi Newton Raphson, maka diperoleh ∑

∑

∑ ∑

Misalkan

∑ ∑

∑


90

∑

∑

∑

∑

Maka, rumus iterasi di atas dapat ditulis menjadi

Nilai awal yang digunakan pada pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah bilangan Real tak negatif yang tidak sama dengan nol. Dalam skripsi ini, penulis menggunakan nilai yang diperoleh dalam pendugaan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil sebagai nilai awal (Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149). Contoh 3.2 Berdasarkan data pada Contoh 3.1, carilah penduga dari parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Jawab Pendugaan parameter dari data pada Contoh 3.1 menggunakan program R. Berikut ini adalah hasil pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan


91

Maksimum yang diperoleh dari program R pada lampiran A.7 dengan nilai awal dan

dan dengan 3 iterasi.

Maximum Likelihood estimation Newton-Raphson maximisation, 3 iterations Return code 1: gradient close to zero Log-Likelihood: -23.45415 2 free parameters Estimates: Estimate Std. error t value Pr(> t) [1,] 1.9228

0.2776 6.927 4.29e-12 ***

[2,] 1.1720

0.1173 9.988 < 2e-16 ***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Penduga

dan

dan ̂

menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum adalah ̂ , maka diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull [ (

)

]


0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

fMLE

92

dist Weibul data asli

0.5

1.0

1.5

2.0

xi

Gambar 3.3 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan

dan

(diproduksi dengan program R pada lampiran A.8) Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dalam membandingkan Metode Kemungkinan Maksimum dan Metode Kuadrat Terkecil untuk menduga parameter distribusi Weibull (Lei,Y. (2008). Evaluation of The Three Methods For Estimating The Weibull Distribution Parameters of Chinese pine. Journal of Forest Science. 54(12):566-571). Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga dan didefinisikan sebagai

∑[ ̂

dengan

]

(3.17)


93

̂

̂

( ( ) ) ̂

Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat paling minimum. Berdasarkan pendugaan pada data Contoh 3.1 menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, diperoleh

dan

Kemungkinan Maksimum diperoleh

, dan menggunakan Metode dan

. MSE digunakan

untuk membandingkan metode terbaik dalam mengestimasi data pada Contoh 3.1. Berdasarkan persamaan 3.17, maka MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah

∑[ ̂

]

MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah

∑[ ̂

]

Perhitungan MSE dengan program R pada lampiran A.9.


94

Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dari data pada Contoh 3.1 adalah Metode Kuadrat Terkecil.


BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Pada BAB IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter pada kasus data kecepatan angin. Terdapat dua data yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull, yaitu data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data rata-rata kecepatan angin di Sumenep, Jawa timur. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu merupakan data yang dikutip dari jurnal “Weibull Distribution Based On Model For Prediction Of Wind Potential in Enugu, Nigeria”. Sedangkan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS”. A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu Tabel di bawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu. Data yang dipakai adalah data rata rata kecepatan angin dalam periode 13 tahun (1995-2007) dengan jumlah sampel

.

Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan (

) (1995-2007)

Tahun Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Agst Sep Okt Nov Des 1995 2.4 3.0 2.8 3.3 3.0 3.0 2.7 2.7 2.7 2.5 2.0 2.0

95


1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007

2.7 3.2 3.0 2.7 2.6 2.1 2.3 3.2 2.6 2.5 2.6 3.2

3.0 2.6 2.3 1.7 2.1 2.6 3.5 2.6 2.7 3.0 2.9 2.8

3.1 2.3 3.2 3.1 2.8 2.9 2.5 2.8 3.6 2.9 2.9 3.0

2.7 2.1 3.0 2.6 2.5 2.8 2.5 3.1 2.9 3.3 2.9 3.0

2.3 1.9 2.4 2.2 2.1 2.8 1.9 2.6 2.6 2.5 2.5 2.5

2.6 2.0 2.3 2.4 2.4 2.5 2.3 2.3 2.3 2.4 2.5 2.5

2.2 2.5 2.8 2.6 2.4 2.6 2.9 2.8 2.6 2.7 2.6 2.4

2.6 3.2 2.4 2.7 2.1 2.5 2.5 2.5 2.7 2.7 2.8 2.5

2.1 2.3 2.1 2.3 2.1 2.4 2.4 2.5 2.3 2.5 2.5 2.3

2.1 2.1 2.1 1.9 2.0 2.2 2.1 2.1 2.1 2.0 2.0 1.8

1.5 2.5 2.1 2.2 2.5 2.5 1.7 1.7 1.7 1.9 1.8 1.8

2.7 2.6 2.6 3.2 2.0 1.8 2.2 2.4 2.5 2.8 2.1 2.7

1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah fungsi non linear, oleh karena itu dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.2, transformasi logaritma dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah [ (

( )

)]

Data kecepatan angin yang mengikuti distribusi Weibull akan ditransformasikan dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh

dengan rata-rata kecepatan angin * (

( )

)+,

, ( )

,


misalkan untuk

[ (

)]

Dengan langkah yang sama, maka di dapatkan

dan

sampai dengan

dan 2. Estimasi Parameter Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari ∑

(

̂

̂

∑ ∑

(

[

) ∑ ( ) ( ) (∑ ( ) ̂

)

∑

( )

̂∑ ]

maka diperoleh (

̂

̂

) (

[

Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.10.

)

]

dan

adalah

( )

)


Jadi penduga

dan

dan ̂

adalah ̂

Dengan demikian fungsi probabilitas dari distribusi Weibull adalah ( )

[ (

)

1.0

(

)

]

0.0

0.2

0.4

fLS

0.6

0.8

data asli dist. Weibull

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

xi

Gambar 4.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dan

(diproduksi dengan program R yang pada lampiran A.11)

B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu. Prinsip dasar dari Metode kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.10, fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah


(

)

(

) ∏

[ ∑( ) ]

Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari

diperoleh dengan

metode Newton Raphson dengan menggunakan rumus iterasi

dengan

∑

dan penduga dari

∑

∑

∑

(

)

adalah

∑ (

)

Pendugaan parameter dari data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dengan Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan menggunakan program R. Nilai awal yang digunakan pada iterasi Newton Raphson adalah nilai

dan

yang

diperoleh dengan menduga data yang sama tetapi menggunakan Metode Kuadrat Terkecil, yaitu

dan

.

Berikut ini adalah hasil pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di Enugu yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.12.


Maximum Likelihood estimation Newton-Raphson maximisation, 4 iterations Return code 2: successive function values within tolerance limit Log-Likelihood: -81.64383 2 free parameters Estimates: Estimate Std. error t value Pr(> t) [1,] 6.79310 0.41311 16.44 <2e-16 *** [2,] 2.67009 0.03338 79.98 <2e-16 *** --Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Maka diperoleh penduga dari

dan

dan ̂

adalah ̂

.

Jadi fungsi probablitas dari distribusi Weibull adalah

( )

[ (

)

]


0.4 0.0

0.2

fMLE

0.6

0.8


1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

xi


dan

(diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.13) C. Uji Distribusi Weibull Pengujian ini dilakukan untuk meyakinkan bahwa model yang telah diduga sungguh-sungguh berdistribusi Weibull. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu akan diuji apakah berdistribusi Weibull atau tidak. Uji yang digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov. Berikut ini adalah perhitungan dan langkah-langkah dalam melakukan uji Kolmogorov Smirnov. 1.

Data rata-rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan dan Data rata-rata kecepatan angin tidak berdistribusi Weibul

2. Tingkat signifikansi Tingkat signifikansi yang digunakan adalah


3. Statistik uji ( ( ( ) ( ( )

) ( )) ( ))

dengan ( ) ( ) ( )

(

)

4. Daerah keputusan ditolak jika 5. Perhitungan Proses perhitungan dilakukan dengan menggunakan Microsoft exel pada lampiran B.1 Berdasarkan lampiran B.1, diperoleh dan Maka


6. Kesimpulan Karena

maka

diterima. Data rata-rata

kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan

dan

. D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Pendugaan parameter pada data rata-rata kecepatan angin di Enugu dengan dan ̂

Metode Kuadrat Terkecil diperoleh ̂

nakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh ̂

dan menggudan ̂

.

Berdasarkan persamaan 3.17, MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah

∑[ ̂ ( )

( )]

MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah ∑[ ̂ ( )

( )]

Perhitungan MSE dengan program R dilampirkan pada lampiran A.14. Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (MSE), MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka metode yang


terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull pada data rata-rata kecepatan angin di Enugu adalah Metode Kemungkinan Maksimum. E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep Tabel dibawah ini menyajikan data rata-rata kecepatan angin dalam dua periode (2009-2010) dengan jumlah sampel

di Sumenep. Data ini merupakan

data yang dikutip dari jurnal “Permodelan Kecepatan Angin Rata-rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS” (Permai, S.D., et all. (2013). Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS. Statistika. 1(2):48-58) Tabel 4.2 Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Sumenep, Jawa Timur Bulan Jan Feb Mar Apr Mei Jun Jul Ags Sep Okt Nov Des

Tahun 2009 2010 7.097 6.065 7.143 2.929 2.093 2.871 3.867 2.533 4.387 3.871 6.467 4.800 7.742 5.935 8.355 6.645 7.100 5.233 7.258 4.516 5.767 3.800 3.613 5.452


Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 penduga dari ∑

) ∑ ( ) ( ) (∑

(

̂

∑ ∑

̂

(

( ) ̂

[

∑

dan (

adalah

( )

)

)

̂∑

)

]

Maka diperoleh (

̂

)

( (

̂

*

(

(

) )

)

+

)

Penyelesaian dengan program R pada lampiran A.15. Penduga dari

dan

adalah ̂

dan ̂

, maka fungsi

probabilitas dari distribusi Weibull adalah

( )

(

)



dan

(diproduksi dengan program R pada lampiran A.16)

F. Pendugaan Paramater Distribui Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Kecepatan Angin di Sumenep Berdasarkan persamaan 3.16 dan persamaan 3.14 penduga dari kan dengan metode Newton Raphson dengan rumus iterasi

dengan

didapat-


∑

dan penduga dari

∑

∑

∑

(

)

adalah ∑ (

)

Metode Kemungkinan Maksimum menggunakan program R dalam menduga parameter distribusi Weibull. Nilai awal yang digunakan pada iterasi Newton Raphson adalah nilai

dan

yang diperoleh pada pendugaan parameter dengan

Metode Kuadrat Terkecil, yaitu

dan

Berikut ini adalah

pendugaan parameter dari data kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur yang diperoleh dengan program R pada lampiran A.17. Maximum Likelihood estimation Newton-Raphson maximisation, 4 iterations Return code 1: gradient close to zero Log-Likelihood: -47.09017 2 free parameters Estimates: Estimate Std. error t value Pr(> t) [1,] 3.3923

0.5596 6.062 1.34e-09 ***

[2,] 5.8419

0.3703 15.774 < 2e-16 ***

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


Diperoleh penduga dari

dan

dan ̂

adalah ̂

, maka fungsi

probabilitas dari distribusi Weibull adalah

( )

(

0.15

0.20


0.05

0.10

fMLE

)

2

3

4

5

6

7

8

xi

Gambar 4.4 Grafik fungsi probablitas distribusi Weibull dengan

dan

(diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.18) G. Uji Distribusi Weibull Pengujian ini dilakukan untuk meyakinkan bahwa model yang telah diduga sungguh-sungguh berdistribusi Weibull. Data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumepen, Jawa Timur akan diuji apakah berdistribusi Weibull atau tidak. Uji yang


digunakan adalah uji Kolmogorov Smirnov. Berikut ini adalah perhitungan dan langkah-langkah dalam melakukan uji Kolmogorov Smirnov. 1.

Data rata-rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengsn dan Data rata-rata kecepatan angin tidak berdistribusi Weibull

2. Tingkat signifikansi Tingkat signifikansi yang digunakan adalah 3. Statistik uji ( ( ( ) ( ( )

) ( )) ( ))

dengan ( ) ( ) ( )

(

)

4. Daerah keputusan ditolak jika 5. Perhitungan Proses perhitungan dilakukan dengan menggunakan Microsoft exel dilampirkan pada lampiran B.2.


Berdasarkan lampiran B.2, diperoleh dan Maka 6. Kesimpulan Karena

maka

diterima. Data rata-

rata kecepatan angin berdistribusi Weibull dengan

dan

. H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Penduga Kemungkinan Maksimum Pendugaan parameter pada data rata-rata kecepatan angin di Sumenep, Jawa Timur dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh ̂

dan ̂

dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh ̂ ̂

.

Berdasarkan persamaan 3.17, MSE dari metode kuadrat Terkecil adalah

∑[ ̂ ( )

( )]

MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah

dan


∑[ ̂ ( )

( )]

Perhitungan MSE dengan program R dilampirkan pada lampiran A.19. Berdasarkan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat, MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kuadrat Terkecil. Maka metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dari data kecepatan rata-rata angin di Sumenep adalah Metode Kuadrat Terkecil.


BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas kontinu lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen yang diperoleh dengan menggunakan fungsi Gamma. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood

.

Dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter digunakan data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu, Nigeria dan data ratarata kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur. Pendugaan parameter menggunakan data rata-rata kecepatan angin per bulan dan ̂

di Enugu dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh ̂ sedangkan

pendugaan

parameter

112

dengan

menggunakan

Metode


113

dan ̂

Kemungkinan Maksimum diperoleh ̂

Pada data rata-

rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, Jawa Timur pendugaan parameter dengan dengan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh ̂

dan ̂

sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh ̂

dan ̂

.

Dalam membandingkan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter digunakan perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang terbaik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Metode terbaik dalam pendugaan menggunakan data ratarata kecepatan angin di Enugu adalah Metode Kemungkinan Maksimum. Sedangkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep, metode terbaik adalah Metode Kuadrat Terkecil. B. Saran Penulis menyarankan beberapa hal sebagai berikut 1. Menduga selang kepercayaan dari distribusi Weibull dengan dua parameter. 2. Membahas lebih lanjut tentang distribusi Weibull, misalnya distribusi Weibull dengan tiga parameter. 3. Menggunakan metode lain dalam menduga parameter distribusi Weibull. 4. Membahas lebih lanjut tentang aplikasi distribusi Weibull.


DAFTAR PUSTAKA

Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241 Castro, R. (2013). Goodness of Fit (GOF) Test. Lecture Note Evans, D.L, et all. (2008). The Distribution of The Kolmogorov-Smirnov, CramenVon Mises, and Anderson-Darling Test Statistics For Exponential Populations With Estimated Parameters. Communications In Statistics-Simulation and Computation 37:1396-1421 Gustavsson, S.M, et all. (2012). Linear Maximum Likelihood Regression Analysis for Unstransformed Log-Normally Distributed Data. Open Journal of Statistics 2:389-400 Lai, C.D. (2014). Generalized Weibull Distribution. Palmerston North: Springer Larson, H.J. (1982). Introduction to Probability Theory and Statistical Inference, Third Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc Lei,Y. (2008). Evaluation of The Three Methods For Estimating The Weibull Distribution Parameters of Chinese pine. Journal of Forest Science. 54(12):566-571 Nwobi, F. N., and Ugomma, C.A. (2014). A Comparison of Method for the Estimation of Weibull Distribution Parameter. Metodoski Zwezki. 11(1):65-78 Odo, F.C., et all. (2012). Weibull Distribution Based Model for Prediction of Wind Potential In Enugu, Nigeria. Advanced in Applied Science Research. 3(2):1202-1208 114


Permai, S.D., et all. (2013). Permodelan Kecepatan Angin Rata-Rata di Sumenep menggunakan Mixture of ANFIS. Statistika. 1(2):48-58 Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149 Rinne, H. (2009). The Weibull Distribution. A Handbook. Boca Raton: CRC Press. Steenbergen, M.R. (2012). A Primer of Maximum Likelihood Programming in R. lecture Note Van De Geer, S.A. (2005). Least Squares Estimation. Ensyclopedia of Statistic in Behavioral Science 2: 1041-1045 Wackerly, D.D., et all. (2008). Mathematical Statistics with Application. Duxbury: Thompson Brooks Zhao, Y. (2014). Newton Raphson in R. Lecture Note


LAMPIRAN

Lampiran A.1: Program R untuk Gambar 2.1 > par(mar=c(3,3,1,1)) > x<-seq(0,2.5,length.out=1000) >plot(x,dweibull(x,0.5),type="l",col="blue",xlab="x",ylab="f(x)",xlim=c(0,2.5),yli m=c(0,2.5),xaxis="l",yaxis="l",title="distribusi Weibull") There were 18 warnings (use warnings() to see them) > lines(x,dweibull(x,1),type="l",col="red") > lines(x,dweibull(x,1.5),type="l",col="magenta") > lines(x,dweibull(x,5),type="l",col="green") >legend("topright",c("α=0.5","α=1","α=1.5","α=5"),cex=0.8,col=c("blue","red","m agenta","green"),pch=21:22,lty=1:2) > title("grafik fungsi distribusi Weibull",xlab="x",ylab="f(x)") Lampiran A.2: bentuk lain dari pembilang dan penyebut untuk rumus ̂

∑

̅∑

∑

̅̅

∑

̅∑ ̅

∑

116

̅∑

̅̅ ̅∑

̅

̅̅

̅̅


∑

̅∑

∑

̅

̅

̅

∑ ∑

̅

∑

̅∑

∑

̅

∑

̅ ̅ ̅

̅

Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R > A<-read.csv(file.choose(),header=T) > B<-lm(A$Y~A$X) >B Call: lm(formula = A$Y ~ A$X) Coefficients: (Intercept) 0.7198

A$X 0.9914


Lampiran A.4: Penyelesaian contoh 3.1 dengan program R > data<-read.delim(file.choose(),header=T) > x<-data[,1] > X<-log(x) > F<-data[,3] > Y<-log(log(1/(1-F))) > lm(Y~X) Call: lm(formula = Y ~ X) Coefficients: (Intercept) -0.2702

X 1.7162

> LSE<-lm(Y~X) > lin.mod.coef <- coefficients(LSE) > alpha<- lin.mod.coef[2] > alpha X 1.716205 > beta<-exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2]) > beta (Intercept)


1.170502

Lapiran A.5: Program untuk Gambar 3.1 > data<-read.delim(file.choose(),header=T) > data > xi<-data[,1] >fLS=(1.716205394/(1.170502)^1.716205394)*xi^(0.716205)*exp((xi/1.170502)^1.716205394) > plot(xi,fLS,col="magenta",type="o") > x<-seq(0,2.5,length.out=31) >f=(1.716205394/(1.170502)^1.716205394)*x^(0.716205)*exp((x/1.170502)^1.716205394) > lines(x,f,type="l",col="blue") >legend("topright",c("distWeibul","data asli"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.6: Program untuk gambar 3.2 > data<-read.delim(file.choose(),header=T) > Fn<-data[,4] > F0<-data[,3]


> xi<-data[,1] > plot(xi,F0,type="l",col="blue") > lines(xi,Fn,type="l",col="magenta") >legend("topleft",c("grafik F0(xi)","grafik Fn(xi)"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.7: Program R untuk menyelesaian contoh 3.2 >data=read.delim(file.choose()) > xi<-data[,2] > n<-length(xi) > lnl<-function(pars,xi){ + alpha<-pars[1] + beta<-pars[2] + n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)âlpha)} > MLE<-maxLik(lnl,start=c(1.716205394,1.170502),method="NR",xi=xi) > summary(MLE) Lampiran A.8: Program untuk gambar 3.3 >data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] > fMLE=(1.9228/(1.1720)^1.9228)*xi^(1.9228-1)*exp(-(xi/1.1720)^1.9228) > plot(xi,fMLE,col="magenta",type="o")


> x<-seq(0,2.5,length.out=31) > f1=(1.9228/(1.1720)^1.9228)*x^(1.9228-1)*exp(-(x/1.1720)^1.9228) > lines(x,f1,type="l",col="blue") >legend("topright",c("dist Weibul","data asli"),cex=0.8,col=c("blue","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.9: Perhitungan MSE contoh 3.2 dengan R > data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] > i=data[,2] > beta=1.170502 > alpha=1.716205 > Fxi=i/32 > A=(xi/beta)âlpha > Fx_MKT=1-exp(-A) > B=(Fx_MKT-Fxi)^2 > MSE_MKT=sum(B) > MSE_MKT [1] 0.05993449 > alpha1=1.9228 > beta1=1.172


> C=(xi/beta1)âlpha1 > Fx_MLE=1-exp(-C) > D=(Fx_MLE-Fxi)^2 > MSE_MLE=sum(D) > MSE_MLE [1] 0.07762

Lampiran A.10: Program Metode Kuadrat Terkecil untuk data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu

> data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] > F<-data[,2] > X=log(xi) > Y<-log(log(1/(1-F))) > LSE<-lm(Y~X) > summary(LSE) Call: lm(formula = Y ~ X) Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max


-1.03335 -0.08430 0.01996 0.12681 0.41358 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -7.25190 0.09052 -80.11 <2e-16 *** X

7.40359 0.09862 75.07 <2e-16 ***

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.2014 on 154 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9734, Adjusted R-squared: 0.9732 F-statistic: 5635 on 1 and 154 DF, p-value: < 2.2e-16

> lin.mod.coef <- coefficients(LSE) > alpha<- lin.mod.coef[2] > alpha X 7.403585 > beta (Intercept) 2.663155


Lampiran A.11: program untuk Gambar 4.1

> data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] > fLS=(7.403585 /(2.663155 )^7.403585 )*xi^(6.403585 )*exp(-(xi/2.663155 )^7.403585 ) > plot(xi,fLS,col="magenta",type="o") > x<-seq(0,3.5,length.out=156) > f=(7.403585 /(2.663155 )^7.403585 )*x^(6.403585 )*exp(-(x/2.663155 )^7.403585 ) > lines(x,f,type="l",col="blue") >legend("topright",c("data asli","dist. Weibull"),cex=0.8,col=c("magenta","blue"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.12: Program Metode Kemungkinan Maksimum untuk data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu

> data=read.delim(file.choose()) > library(maxLik) > xi=data[,1] > n<-length(xi)


> lnl<-function(pars,xi){ + alpha<-pars[1] + beta<-pars[2] + n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)âlpha)} > MLE<-maxLik(lnl,start=c(7.403585,2.663155),method="NR",xi=xi) > summary(MLE)

Lampiran A.13: program untuk Grafik 4.2

> data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] >fMLE=(6.79310/(2.67009)^6.79310)*xi^(6.79310-1)*exp((xi/2.67009)^6.79310) > x<-seq(0,3.5,length.out=156) > f=(6.79310/(2.67009)^6.79310)*x^(6.79310-1)*exp(-(x/2.67009)^6.79310) > plot(xi,fMLE,col="green",type="o") > lines(x,f,type="l",col="red") > legend("topright",c("data asli ","dist. Weibull"),cex=0.8,col=c("green","red"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.14: Perhitungan MSE data rata-rata kecepatan angin di Enugu


> data1=read.delim(file.choose()) > i=data1[,1] > xi=data1[,2] > Fxi=i/157 > beta=2.67009 > alpha=6.79310 > A=(xi/beta)âlpha > F_MLE=1-exp(-A) > B=(F_MLE-Fxi)^2 > MSE_MLE=sum(B) > MSE_MLE [1] 0.1897452 > alpha1=7.403585 > beta1=2.6631553 > C=(xi/beta1)âlpha1 > Fx_MKT=1-exp(-C) > D=(Fx_MKT-Fxi)^2 > MSE_MKT=sum(D) > MSE_MKT [1] 0.1943771


Lampiran A.15: Program Metode Kuadrat Terkecil untuk data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep > data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] > F=data[,2] > X=log(xi) > Y<-log(log(1/(1-F))) > LSE<-lm(Y~X) > summary(LSE)

Call: lm(formula = Y ~ X) Residuals: Min

1Q Median

3Q

Max

-0.21322 -0.09312 -0.03852 0.09720 0.26944 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) -5.11543 0.12101 -42.27 <2e-16 *** X

2.88400 0.07408 38.93 <2e-16 ***

--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1


Residual standard error: 0.1357 on 22 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9857, Adjusted R-squared: 0.985 F-statistic: 1516 on 1 and 22 DF, p-value: < 2.2e-16

> lin.mod.coef <- coefficients(LSE) > alpha<- lin.mod.coef[2] > beta<-exp(-lin.mod.coef[1]/lin.mod.coef[2]) > alpha X 2.883996 > beta (Intercept) 5.892787

Lampiran A.16: program untuk Gambar 4.3 >data=read.delim(file.choose()) >xi=data[,1] > fLS=(2.883996 /(5.892787)^2.883996 )*xi^(2.883996-1)*exp(-(xi/5.892787 )^2.883996 ) > plot(xi,fLS,col="green",type="o")


> x<-seq(2,8.5,length.out=24) > f=(2.883996 /(5.892787)^2.883996

)*x^(2.883996-1)*exp(-(x/5.892787

)^2.883996 ) > lines(x,f,type="l",col="blue") > legend("topright",c("data asli","dist. Weibull"),cex=0.8,col=c("green","blue"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.17: Program Metode Kemungkinan Maksimum untuk data rata-rata kecepatan angin per bulan di Sumenep

> data=read.delim(file.choose()) > library(maxLik) > xi=data[,1] > n<-length(xi) > lnl<-function(pars,xi){ + alpha<-pars[1] + beta<-pars[2] + n*(log(alpha)-alpha*log(beta))+(alpha-1)*sum(log(xi))-sum((xi/beta)âlpha)} > MLE<-maxLik(lnl,start=c(2.883996,5.892787),method="NR",xi=xi) > summary(MLE)


Lampiran A.18: program untuk Grafik 4.4

> fMLE=(3.3923/(5.8419)^3.3923)*xi^(3.3923-1)*exp(-(xi/5.8419)^3.3923) > x<-seq(2,8.5,length.out=24) > f=(3.3923/(5.8419)^3.3923)*x^(3.3923-1)*exp(-(x/5.8419)^3.3923) > plot(xi,fMLE,col="orange",type="o") > lines(x,f,type="l",col="magenta") > legend("topright",c("data asli ","dist. Weibull"),cex=0.8,col=c("orange","magenta"),pch=21:22,lty=1:2)

Lampiran A.19: Perhitungan MSE untuk data kecepatan angin di Sumenep > data=read.delim(file.choose()) > xi=data[,1] > i=data[,2] > Fxi=i/25 > alpha=2.883996 > beta=5.892787 > A=(xi/beta)âlpha > Fx_MKT=1-exp(-A) > B=(Fx_MKT-Fxi)^2 > MSE_MKT=sum(B)


> MSE_MKT [1] 0.0247503 > alpha1=3.3923 > beta1=5.8419 > C=(xi/beta1)âlpha1 > Fx_MLE=1-exp(-C) > D=(Fx_MLE-Fxi)^2 > MSE_MLE=sum(D) > MSE_MLE [1] 0.06035996

Lampiran B1: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1.5 1.7 1.7 1.7 1.7 1.8 1.8 1.8 1.8 1.9 1.9 1.9 1.9

0.014 0.036 0.036 0.036 0.036 0.055 0.055 0.055 0.055 0.082 0.082 0.082 0.082

0.014 0.035 0.035 0.035 0.035 0.054 0.054 0.054 0.054 0.079 0.079 0.079 0.079

0.006 0.013 0.019 0.026 0.032 0.038 0.045 0.051 0.058 0.064 0.071 0.077 0.083

0.000 0.006 0.013 0.019 0.026 0.032 0.038 0.045 0.051 0.058 0.064 0.071 0.077

-0.008 -0.023 -0.016 -0.010 -0.003 -0.015 -0.009 -0.002 0.004 -0.015 -0.008 -0.002 0.005

0.014 0.029 0.023 0.016 0.010 0.021 0.015 0.009 0.002 0.021 0.015 0.008 0.002


14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

2 2 2 2 2 2 2 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.1 2.2 2.2 2.2 2.2 2.2 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3 2.3

0.120 0.120 0.120 0.120 0.120 0.120 0.120 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.172 0.243 0.243 0.243 0.243 0.243 0.338 0.338 0.338 0.338 0.338 0.338 0.338 0.338

0.113 0.113 0.113 0.113 0.113 0.113 0.113 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.158 0.216 0.216 0.216 0.216 0.216 0.287 0.287 0.287 0.287 0.287 0.287 0.287 0.287

0.090 0.096 0.103 0.109 0.115 0.122 0.128 0.135 0.141 0.147 0.154 0.160 0.167 0.173 0.179 0.186 0.192 0.199 0.205 0.212 0.218 0.224 0.231 0.237 0.244 0.250 0.256 0.263 0.269 0.276 0.282 0.288 0.295 0.301 0.308 0.314

0.083 0.090 0.096 0.103 0.109 0.115 0.122 0.128 0.135 0.141 0.147 0.154 0.160 0.167 0.173 0.179 0.186 0.192 0.199 0.205 0.212 0.218 0.224 0.231 0.237 0.244 0.250 0.256 0.263 0.269 0.276 0.282 0.288 0.295 0.301 0.308

-0.023 -0.017 -0.011 -0.004 0.002 0.009 0.015 -0.024 -0.017 -0.011 -0.004 0.002 0.008 0.015 0.021 0.028 0.034 0.041 0.047 0.053 0.060 0.066 0.073 0.021 0.028 0.034 0.041 0.047 -0.017 -0.011 -0.005 0.002 0.008 0.015 0.021 0.027

0.030 0.023 0.017 0.011 0.004 -0.002 -0.009 0.030 0.024 0.017 0.011 0.004 -0.002 -0.008 -0.015 -0.021 -0.028 -0.034 -0.041 -0.047 -0.053 -0.060 -0.066 -0.015 -0.021 -0.028 -0.034 -0.041 0.024 0.017 0.011 0.005 -0.002 -0.008 -0.015 -0.021


50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85

2.3 2.3 2.3 2.3 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5 2.5

0.338 0.338 0.338 0.338 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.463 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626 0.626

0.287 0.287 0.287 0.287 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.371 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465 0.465

0.321 0.327 0.333 0.340 0.346 0.353 0.359 0.365 0.372 0.378 0.385 0.391 0.397 0.404 0.410 0.417 0.423 0.429 0.436 0.442 0.449 0.455 0.462 0.468 0.474 0.481 0.487 0.494 0.500 0.506 0.513 0.519 0.526 0.532 0.538 0.545

0.314 0.321 0.327 0.333 0.340 0.346 0.353 0.359 0.365 0.372 0.378 0.385 0.391 0.397 0.404 0.410 0.417 0.423 0.429 0.436 0.442 0.449 0.455 0.462 0.468 0.474 0.481 0.487 0.494 0.500 0.506 0.513 0.519 0.526 0.532 0.538

0.034 0.040 0.047 0.053 -0.024 -0.018 -0.012 -0.005 0.001 0.008 0.014 0.020 0.027 0.033 0.040 -0.049 -0.042 -0.036 -0.029 -0.023 -0.017 -0.010 -0.004 0.003 0.009 0.015 0.022 0.028 0.035 0.041 0.047 0.054 0.060 0.067 0.073 0.079

-0.027 -0.034 -0.040 -0.047 0.031 0.024 0.018 0.012 0.005 -0.001 -0.008 -0.014 -0.020 -0.027 -0.033 0.055 0.049 0.042 0.036 0.029 0.023 0.017 0.010 0.004 -0.003 -0.009 -0.015 -0.022 -0.028 -0.035 -0.041 -0.047 -0.054 -0.060 -0.067 -0.073


86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121

2.5 2.5 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.6 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.7 2.8 2.8 2.8 2.8

0.626 0.626 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 0.837 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.107 1.449 1.449 1.449 1.449

0.465 0.465 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.567 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.669 0.765 0.765 0.765 0.765

0.551 0.558 0.564 0.571 0.577 0.583 0.590 0.596 0.603 0.609 0.615 0.622 0.628 0.635 0.641 0.647 0.654 0.660 0.667 0.673 0.679 0.686 0.692 0.699 0.705 0.712 0.718 0.724 0.731 0.737 0.744 0.750 0.756 0.763 0.769 0.776

0.545 0.551 0.558 0.564 0.571 0.577 0.583 0.590 0.596 0.603 0.609 0.615 0.622 0.628 0.635 0.641 0.647 0.654 0.660 0.667 0.673 0.679 0.686 0.692 0.699 0.705 0.712 0.718 0.724 0.731 0.737 0.744 0.750 0.756 0.763 0.769

0.086 0.092 -0.003 0.003 0.010 0.016 0.023 0.029 0.035 0.042 0.048 0.055 0.061 0.068 0.074 0.080 0.087 0.093 0.100 0.004 0.010 0.016 0.023 0.029 0.036 0.042 0.048 0.055 0.061 0.068 0.074 0.081 -0.009 -0.002 0.004 0.010

-0.079 -0.086 0.009 0.003 -0.003 -0.010 -0.016 -0.023 -0.029 -0.035 -0.042 -0.048 -0.055 -0.061 -0.068 -0.074 -0.080 -0.087 -0.093 0.003 -0.004 -0.010 -0.016 -0.023 -0.029 -0.036 -0.042 -0.048 -0.055 -0.061 -0.068 -0.074 0.015 0.009 0.002 -0.004


122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156

2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.8 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 2.9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3.1 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2 3.3 3.3 3.5 3.6

1.449 1.449 1.449 1.449 1.449 1.449 1.879 1.879 1.879 1.879 1.879 1.879 1.879 2.415 2.415 2.415 2.415 2.415 2.415 2.415 2.415 2.415 3.079 3.079 3.079 3.895 3.895 3.895 3.895 3.895 3.895 4.891 4.891 7.561 9.315

0.765 0.765 0.765 0.765 0.765 0.765 0.847 0.847 0.847 0.847 0.847 0.847 0.847 0.911 0.911 0.911 0.911 0.911 0.911 0.911 0.911 0.911 0.954 0.954 0.954 0.980 0.980 0.980 0.980 0.980 0.980 0.992 0.992 0.999 1.000 Maksimum

0.782 0.788 0.795 0.801 0.808 0.814 0.821 0.827 0.833 0.840 0.846 0.853 0.859 0.865 0.872 0.878 0.885 0.891 0.897 0.904 0.910 0.917 0.923 0.929 0.936 0.942 0.949 0.955 0.962 0.968 0.974 0.981 0.987 0.994 1.000

0.776 0.782 0.788 0.795 0.801 0.808 0.814 0.821 0.827 0.833 0.840 0.846 0.853 0.859 0.865 0.872 0.878 0.885 0.891 0.897 0.904 0.910 0.917 0.923 0.929 0.936 0.942 0.949 0.955 0.962 0.968 0.974 0.981 0.987 0.994

0.017 0.023 0.030 0.036 0.042 0.049 -0.027 -0.020 -0.014 -0.008 -0.001 0.005 0.012 -0.045 -0.039 -0.032 -0.026 -0.020 -0.013 -0.007 0.000 0.006 -0.031 -0.024 -0.018 -0.037 -0.031 -0.025 -0.018 -0.012 -0.005 -0.012 -0.005 -0.006 0.000 0.100

-0.010 -0.017 -0.023 -0.030 -0.036 -0.042 0.033 0.027 0.020 0.014 0.008 0.001 -0.005 0.052 0.045 0.039 0.032 0.026 0.020 0.013 0.007 0.000 0.037 0.031 0.024 0.044 0.037 0.031 0.025 0.018 0.012 0.018 0.012 0.012 0.006 0.055


Lampiran B.2: Uji Kolmogorov-Smirnov pada data kecepatan angin perbulan di Sumenep

2.093 2.533 2.871 2.929 3.613 3.8 3.867 3.871 4.387 4.516 4.8 5.233 5.452 5.767 5.935 6.065 6.467 6.645 7.097 7.1 7.143 7.258 7.742 8.355

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

0.051 0.088 0.126 0.133 0.244 0.282 0.297 0.298 0.427 0.464 0.553 0.710 0.799 0.940 1.021 1.087 1.308 1.414 1.710 1.712 1.742 1.824 2.197 2.737

0.049 0.084 0.118 0.125 0.216 0.246 0.257 0.257 0.348 0.371 0.425 0.508 0.550 0.609 0.640 0.663 0.730 0.757 0.819 0.819 0.825 0.839 0.889 0.935 maksimum

0.042 0.083 0.125 0.167 0.208 0.250 0.292 0.333 0.375 0.417 0.458 0.500 0.542 0.583 0.625 0.667 0.708 0.750 0.792 0.833 0.875 0.917 0.958 1.000

0.000 0.042 0.083 0.125 0.167 0.208 0.250 0.292 0.333 0.375 0.417 0.458 0.500 0.542 0.583 0.625 0.667 0.708 0.750 0.792 0.833 0.875 0.917 0.958

-0.008 -0.001 0.007 0.042 -0.008 0.004 0.035 0.076 0.027 0.045 0.033 -0.008 -0.009 -0.026 -0.015 0.004 -0.021 -0.007 -0.027 0.014 0.050 0.078 0.069 0.065 0.078

0.049 0.042 0.035 0.000 0.050 0.038 0.007 -0.034 0.014 -0.004 0.008 0.050 0.050 0.068 0.056 0.038 0.063 0.049 0.069 0.028 -0.009 -0.036 -0.028 -0.023 0.069

PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER

Recommend Documents