PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Matematika Program Studi Matematika
Oleh : Skolastika Augustia Sarasvati NIM: 133114026
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD
A Thesis Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains Mathematics Study Program
Written by: Skolastika Augustia Sarasvati Student Number: 133114026
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan memberikan kemudahan lewat orang-orang baik hati yang berada di sekelilingku terutama dalam perjuanganku menyelesaikan skripsi ini. Kedua orangtuaku Bonaventura Saptono Arko dan Teresia Atik Solikhati Adik-adikku, yaitu Ano, Awgia, Sekal, Zita. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing skripsi yang terbaik. Semua orang yang akan membaca skripsi saya.
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRAK Distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal memiliki satu parameter yaitu parameter π. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dapat dilakukan dengan berbagai metode. Dalam skripsi ini dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah menduga parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dipilih sebagai kriteria pembanding kedua metode penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yang minimum. Dari hasil penerapan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh. Kata kunci: distribusi Rayleigh, pendugaan parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemungkinan Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat.
viii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ABSTRACT Rayleigh distribution with single parameter has a parameter namely parameter b. The parameter of Rayleigh distribution can be estimated using several methods. In this final assignment, writter will estimated the parameter estimation of Rayleigh distribution using two methods which are Least Square Method and Maximum Likelihood Method. In general, Least Square Method estimate the parameter by selecting the regression line that best fit among all data which minimizes the Sum of Square Error. Meanwhile the concept of Maximum Likelihood Method is to estimate the parameter distribution that maximizes the likelihood function. The parameter estimation of Rayleigh distribution is implemented on the data of the annual biggest waveβs height in Kalukalukuang Islandβs offshore, South Sulawesi. Mean Square Error is chosen as the comparasm criteria for both methods. Method which has minimum Mean Square Error is the best one. From our attempts on the annual biggest waveβs height data in Kalukalukuang Islandβs offshore shows that Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh distribution. Keywords: Rayleigh distribution, parameter estimation, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mean Square Error
ix
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi yang berjudul βPendugaan Parameter Distribusi Rayleigh Dengan Metode Kuadrat Terkecil Dan Kemungkinan Maksimumβ ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulis mendapat banyak dukungan dan bantuan dalam proses menyelesaikan tugas akhir ini. Oleh karena itu, dengan tulus hati penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada: 1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing tugas akhir yang dengan penuh kesabaran telah meluangkan waktu, tenaga, dan pikiran serta memberikan masukan, arahan, bimbingan, dan nasihat kepada penulis. 2. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi. 3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi Matematika dan Dosen Pembimbing Akademik yang selalu memberikan arahan yang berkaitan dengan perkuliahan. 4. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 5. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Sc., dan Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen program studi matematika yang telah membagikan ilmu dan pengalaman selama masa perkuliahan. 6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dalam proses administrasi. 7. Kedua orang tuaku yang selalu memberikan doa, semangat, dukungan, arahan, dan nasihat sampai skripsi ini selesai.
x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR ISI
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN ...................................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN .......................................................... vii ABSTRAK ................................................................................................................. viii ABSTRACT ................................................................................................................. ix KATA PENGANTAR .................................................................................................. x DAFTAR ISI ............................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ...................................................................................................... xiv DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. xv BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1 A. Latar Belakang ..................................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................................ 2 C. Batasan Masalah .................................................................................................. 3 D. Tujuan Penulisan ................................................................................................. 3 E. Manfaat penulisan ................................................................................................ 3 F. Metode Penulisan................................................................................................. 4 G. Sistematika Penulisan .......................................................................................... 4 BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 6 A. Distribusi Probabilitas ......................................................................................... 6 B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya................................................................. 13 C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen ........................................................... 18 D. Pendugaan Parameter......................................................................................... 23 xii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
E. Selang Kepercayaan........................................................................................... 25 F. Ukuran Penduga Yang Baik .............................................................................. 29 G. Metode Kuadrat Terkecil ................................................................................... 31 H. Metode Kemungkinan Maksimum .................................................................... 35 I. Uji Kolmogorov-Smirnov .................................................................................. 39 J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 41 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM .......... 44 A. Distribusi Rayleigh ............................................................................................ 44 B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter ............................................. 47 C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil .. 49 D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum ......................................................................................................... 51 E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh ............................................... 53 Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh .............................................................. 58 BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 61 A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Squared Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. ........................................ 61 B. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum ................................................................................. 65 C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov .................... 69 D. Perbandingan Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum .................... 71 BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 73 A. Kesimpulan ........................................................................................................ 73 B. Saran .................................................................................................................. 74 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 75 LAMPIRAN .............................................................................................................. 756
xiii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR TABEL Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 ........................................................................................ 34 Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 ........................................................................................ 42 Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 ................................................. 42 Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut .......... 62 Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut. 69
xiv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma ..................................................................... 17 Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square ................................................................ 18 Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial denganπ(π β€ π β€ π) = 0.90 ............ 28 Gambar 2. 4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil ........................................................ 35 Gambar 2. 5 Grafik πΉ0 (π₯π ) dan πΉπ (π₯π ) ..................................................................... 43 Gambar 3. 1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai b = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3. ..................................................................................................................................... 45 Gambar 3. 2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh ......................... 46 Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala b = 1.715623 ..... 65 Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan b = 1.757045 67 Gambar 4. 3 Grafik πΉ0 (π₯π ) dan πΉπ (π₯π ) ..................................................................... 70
xv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi Rayleigh diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Distribusi ini juga merupakan distribusi penting dalam statistik dan diterapkan di beberapa bidang seperti kesehatan, pertanian, biologi, dan ilmu-ilmu lainnya. Variabel acak π dikatakan mempunyai distribusi Reyleigh dengan satu parameter π bila fungsi densitasnya 2
π(π₯; π) =
π₯ (βπ₯2 ) π 2π , π2
π₯ β₯ 0, π > 0
Pendugaan parameter merupakan salah satu persoalan yang penting dalam bidang statistika. Pendugaan adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen acak. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel. Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation). 1. Penduga titik (Point Estimation) Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaikbaiknya menduga parameter yang sebenarnya.
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 2
2. Penduga Selang (Interval Estimation) Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya. Dalam skripsi ini, pendugaan parameter distribusi Rayleigh dilakukan dengan menggunakan dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menduga parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan
Maksimum
adalah
menduga
parameter
distribusi
yang
memaksimumkan fungsi likelihood. Selain itu, dalam skripsi ini juga akan dilakukan perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum untuk menduga parameter distribusi Rayleigh. Untuk menentukan metode mana yang lebih baik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis akan menggunakan RataRata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran keakuratan dari penduga. Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengukuran yang termuat di dalam sampel. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.
B. Rumusan Masalah Masalah yang akan dibicarakan pada skripsi ini adalah: 1. Bagaimana sifat-sifat distribusi Rayleigh? 2. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil?
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 3
3. Bagaimana pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum? 4. Bagaimana memilih metode terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh?
C. Batasan Masalah Skripsi ini dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut: 1. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas penduga titik dan penduga selang distribusi Rayleigh dengan satu parameter. 2. Dalam pendugaan parameter distribusi, penulis hanya akan membahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum. 3. Penulis tidak membahas perluasan dari distribusi Rayleigh.
D. Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah dapat menduga parameter distribusi Rayleigh satu parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.
E. Manfaat penulisan Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah: 1.
Dapat mempelajari metode untuk pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.
2.
Dapat mengetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan satu parameter.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 4
F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis dalam penulisan skripsi ini adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku atau jurnaljurnal yang berkaitan dengan distribusi Rayleigh dan metode-metode yang digunakan dalam pendugaan parameter.
G. Sistematika Penulisan BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Batasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya C. Momen dan Fungsi Pembangkit Moment D. Penduga Parameter E. Selang Kepercayaan F. Ukuran Penduga Yang Baik G. Metode Kuadrat Terkecil H. Metode Kemungkinan Maksimum I. Uji Kolmogorov-Smirnov J. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 5
B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh C. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil D. Pendugaan Paramater Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum BAB
IV
PENERAPAN RAYLEIGH
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA
PENDUGAAN
PARAMETER
DISTRIBUSI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II LANDASAN TEORI
Dalam proses pembuatan skripsi ini diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dalam ilmu statistika. Berikut akan dijelaskan beberapa teori yang berkaitan dengan pendugaan parameter, antara lain distribusi probabilitas, distribusi Gamma dan sifat-sifatnya, momen dan fungsi pembangkit momen, pendugaan parameter, selang kepercayaan dan sebagainya. A. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas berkaitan erat dengan variabel random, jenis distribusi probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan karakteristik distribusi probabilitas yang akan dijelaskan pada subbab ini. 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Huruf kapital, misalnya π, adalah notasi untuk variabel random dan huruf kecil π₯, menyatakan nilainya.
Definisi 2.2 Variabel π dikatakan diskrit jika nilai-nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang. Jika tidak memenuhi hal tersebut maka variabel acak π dikatakan kontinu. Contoh: a. Banyaknya mahasiswa matematika setiap tahun mulai dari tahun 2010. b. Banyaknya kecelakaan mobil di Kabupaten Magelang setiap bulan selama satu tahun.
6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 7
2. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit yang dilambangkan dengan π(π₯) dan distribusi probabilitas kontinu (fungsi densitas) yang dilambangkan dengan π(π₯). a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3 Himpunan pasangan terurut (π₯, π(π₯)) adalah distribusi probabilitas dari variabel random diskrit π jika 1)
0 β€ π(π₯) β€ 1 untuk setiap π₯
2)
βπ₯ π(π₯) = 1
Contoh 2.1 Distribusi Geometrik π(π₯) = π(1 β π)π₯β1 ,
π₯ = 1, 2, 3, . . .
Akan ditunjukkan bahwa distribusi Geometrik memenuhi definisi 2.3 1) Diketahui π(π₯) = π(1 β π)π₯β1 untuk π₯ = 1, 2, 3, .. maka diperoleh π(π₯) positif untuk setiap π₯. Jadi terbukti 0 β€ π(π₯) β€ 1 untuk setiap π₯. 2) Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan π merupakan suku π
pertama dan π merupakan rasio antar suku adalah πβ = 1β π. Dengan π
menggunakan jumlah deret tak hingga dari deret geometri πβ = 1β π maka diperoleh π = π dan π = 1 β π sehingga π β π(π₯) = = 1. 1 β (1 β π) π₯
b. Distribusi Probabilitas Kontinu Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kontinu disebut juga fungsi densitas (density function).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 8
Definisi 2.4 Fungsi π(π₯) adalah distribusi probabilitas untuk variabel random kontinu π, jika 1)
π(π₯) β₯ 0,untuk setiap π₯ β π
2)
β«ββ π(π₯) ππ₯ = 1
β
Contoh 2.2 a) Distribusi Normal 1
π(π₯) =
π β2π
exp [β (
1 ) ((π₯ β π)2 )] , 2π 2
ββ < π₯ < β
Akan ditunjukkan bahwa distribusi Normal memenuhi definisi 2.4 1) Untuk setiap π₯ β π
, terbukti bahwa π(π₯) β₯ 0. β
2) β«ββ π
1
β
1
1
Misalkan π =
π₯βπ π β
, ππ =
ππ₯ π 1
1
, π ππ = ππ₯, 2
misalkan π = β«ββ π π β(2)π π ππ β2π β
1
ββ
β2π
π 2 = (β«
1
β
1
ββ
β2π
2
π β(2)π ππ) (β«
1
2
π β(2)π ππ)
β
1 1 2 2 = β¬ π β(2)(π +π ) ππ ππ 2π ββ
0 β€ π β€ 2π,
0β€πβ€β
π = π πππ π,
π = π π πππ
π2 =
1 π₯βπ 2 ) π
exp [β (2π2 ) ((π₯ β π)2 )] ππ₯ = β«ββ π π β2 ( β2π β2π
1 2π β β(1)(π 2 πππ 2 π+ π2 π ππ2 π) |π½|ππ ππ β« β« π 2 2π 0 0
ππ ππ |π½| = | ππ ππ | = |βπ π ππ π cos π| ππ ππ π cos π sin π ππ ππ = |(βπ π ππ π)(sin π) β (π cos π)(cos π)|
ππ₯ = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 9
= |βπ π ππ2 π β π πππ 2 π| = |βπ| |π ππ2 π + πππ 2 π| = π π2 = =
1 2π β β(1)π2 (πππ 2 π+ π ππ2 π) β« β« π 2 π ππ ππ 2π 0 0 1
2π
β
1
2
β( )π β« β«0 π 2 π ππ ππ 2π 0
Misal π€ = π 2 , ππ€ = 2π ππ,
ππ€
= π ππ
2
1 2π β β(1)π€ ππ€ = β« [β« π 2 ] ππ 2π 0 2 0 =
β 1 1 2π 1 β« |β2 π β2π€ | ππ 2π 0 2 0 1
2π
= 2π β«0 β(0 β 1)ππ =
1 2π β« β(β1)ππ 2π 0
=
1 2π 1 |π|2π β« 1 ππ = 2π 0 2π 0
=
1 (2π β 0) = 1 2π
Jadi, β
π2 = 1 β π = β«
ββ π
1
1
β2π
2
π β(2)π π ππ = 1.
b) Distribusi Eksponensial π(π₯) = ππ βπ π₯ ,
π > 0, π₯ β₯ 0
Akan ditunjukkan bahwa distribusi Eksponensial memenuhi definisi 2.4 1) untuk setiap π₯ β π
, terbukti bahwa π(π₯) β₯ 0. β
β
2) β«ββ π(π₯) ππ₯ = β«0 ππ βπ π₯ ππ₯ β1 β = |ππ βπ π₯ ( ) | π 0 β
= β (|π βπ π₯ |0 ) = β(0 β 1) = 1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 10
3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5 Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu π didefinisikan sebagai berikut , jika π diskrit
β π(π₯) βπβ€π₯ π₯
πΉ(π₯) = π(π β€ π₯) =
β« π(π‘)ππ‘ { ββ
, jika π kontinu
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dicirikan oleh adanya konstanta mean dan variansi yang merupakan karakteristiknya. a. Mean Definisi 2.6 Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random X dinotasikan sebagai π atau πΈ(π) didefinisikan sebagai β π₯π(π₯) πΈ(π) =
,jika π diskrit
βπ₯ β
β« π₯π(π₯) ππ₯ { ββ
, jika π kontinu
b. Variansi Definisi 2.7 Jika π adalah variabel random, maka variansi dari π ditulis π(π) didefinisikan sebagai π(π) = πΈ[(π β πΈ(π))2 ]. Teorema 2.1 π(π) = πΈ(π 2 ) β (πΈ(π))
2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 11
Bukti: π(π) = πΈ[(π β πΈ(π))2 ] = πΈ(π 2 β 2ππΈ(π) + (πΈ(π))2 = πΈ(π 2 ) β 2πΈ(π)πΈ(π) + (πΈ(π)) π(π) = πΈ(π 2 ) β (πΈ(π))2
2
β
Contoh 2.3 a) Jika π₯ berdistribusi Geometrik π(π₯) = π(1 β π)π₯β1 ,
π₯ = 1, 2, 3, . . .
Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Geometrik β
β
πΈ(π) = β π₯π(π₯) = β π₯ π(1 β π)π₯β1 = π β π₯(1 β π)π₯β1 βπ₯
π₯=1
π₯=1
πΈ(π) = π[1 + 2(1 β π) + 3(1 β π)2 + 4(1 β π)3 +. . . ] (1 β π)πΈ(π) = π[(1 β π) + 2(1 β π)2 + 3(1 β π)3 + 4(1 β π)4 +. . . ] πΈ(π)(1 β (1 β π)) = π[1 + (1 β π) + (1 β π)2 + (1 β π)3 + (1 β π)4 +. . . ]. Jumlah deret tak hingga suatu deret geometri dengan π merupakan suku π
pertama dan π merupakan rasio antar suku adalah πβ = 1β π. Dengan menggunakan deret geometri tersebut diperoleh π = π dan π = 1 β π sehingga jumlah deret tak hingga dari π[1 + (1 β π) + (1 β π)2 + (1 β π)3 + (1 β π)4 +. . . ] dapat ditulis kembali menjadi π πΈ(π)π = 1 β (1 β π) πΈ(π)π = 1. 1
Jadi, πΈ(π) = π. Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Geometrik π(π) = πΈ(π 2 ) β [πΈ(π)]2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 12
Telah ditunjukkan pada contoh di atas berdasarkan definisi 2.6 bahwa 1 πΈ(π) = , π maka untuk mencari π (π) yang perlu dihitung terlebih dahulu adalah β
πΈ(π
2)
β
2
2
= β π₯ π(π₯) = β π₯ π(1 β π) βπ₯
π₯β1
= π β π₯ 2 (1 β π)π₯β1
π₯=1
π₯=1
2 π₯β1 Misalkan π = 1 β π, π = 1 β π, ββ = π₯=1 π₯ (π) β
= π β π₯ 2 (π)π₯β1 = π ( π₯=1
1+ π (1β π)3
1+ π 1+1βπ 2βπ )=π ( )= . 3 3 (1 β π) π π2
Jadi, variansi distribusi Geometrik adalah π(π) = πΈ(π 2 ) β [πΈ(π)]2 =
2βπ 1 2 2βπ 1 1βπ β ( ) = β 2= 2 . 2 2 π π π π π
b) Jika π₯ berdistribusi Normal π(π₯) =
1 π β2π
exp [β (
1 ) ((π₯ β π)2 )] , 2π 2
ββ < π₯ < β
Berdasarkan definisi 2.6, akan ditunjukkan mean dari distribusi Normal β
πΈ(π) = β« π₯π(π₯) ππ₯ = ββ
=
β
1
β«
π β2π
π₯π
β
β
1 π β2π
β«
1 π₯βπ 2 ) π ππ₯
π₯ π β2 (
ββ
1 (π₯βπ)2 2π2 ππ₯
ββ
Misalkan π¦ = π₯ β π, ππ¦ = ππ₯, π₯ = π¦ + π πΈ(π) =
β
1 π β2π
= π+π
β«
(π¦ + π) π
β
1 (π¦)2 2π2 ππ¦
ββ 1
β
β« π¦π β2π ββ
β
1 2π2
(π¦)2
ππ¦ = π.
Berdasarkan Teorema 2.1, akan ditunjukkan variansi dari distribusi Normal β
π(π) = πΈ[(π₯ β π)2 ] = β« (π₯ β π)π(π₯) ππ₯ ββ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 13
=
1 π β2π
β
β« (π₯ β π)π
β(
1 )((π₯βπ)2 ) 2π2
ππ₯
ββ
Misalkan π¦ = π₯ β π, ππ¦ = ππ₯, π₯ = π¦ + π, =
1 π β2π
β
β« (π¦ 2 )π
β(
1 )((π¦)2 ) 2π2
Misal π’ = π¦, ππ’ = ππ¦, ππ£ = π¦π =
1 π β2π
|
ππ¦
ββ β(
β 1 2 2 β(2π2 )((π¦) ) π¦ (βπ π )| 0
1 )((π¦)2 ) 2π2
β
1 π β2π
ππ¦, π£ = βπ 2 π β
β« βπ 2 π
β(
β(
1 )((π¦)2 ) 2π2
1 )(π¦ 2 ) 2π2 ππ¦
ββ
2
= 0 + π .1 = π2. Jadi, variansi dari distribusi Normal adalah π(π) = π 2 .
B. Distribusi Gamma dan Sifat-sifatnya Definisi 2.8 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai β
π€(πΌ) = β« π₯ πΌβ1 π βπ₯ ππ₯ 0
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistika karena dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, rata-rata dan momen.
Teorema 2.2 Fungsi Gamma memiliki sifat 1. π€(πΌ) = (πΌ β 1)π€(πΌ β 1) untuk setiap πΌ > 1 Bukti: Berdasarkan definisi 2.8 β
π€(πΌ) = β« π₯ πΌβ1 π βπ₯ ππ₯, 0
misalkan π’ = π₯ πΌβ1 maka ππ’ = (πΌ β 1)π₯ πΌβ2 dan ππ£ = π βπ₯ maka π£ = βπ βπ₯
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 14
β
π€(πΌ) = π’π£ β β« π£ ππ’ 0 β
= lim [βπ₯ πΌβ1 π βπ₯ ]π0 β β« β(πΌ β 1)π₯ πΌβ2 π βπ₯ ππ₯ πββ
0 β
=
lim [βπ₯ πΌβ1 π βπ₯ ]π0 πββ
+ (πΌ β 1) β« π₯ πΌβ2 π βπ₯ ππ₯ 0 β
= lim [βπ₯ πΌβ1 π βπ₯ ]π0 + (πΌ β 1) β« π₯ (πΌβ1)β1 π βπ₯ ππ₯ πββ
0
π πΌβ1 = lim ( π ) + (πΌ β 1)π€(πΌ β 1) πββ π exp((πΌ β 1) ln π) = β lim [ ] + (πΌ β 1)π€(πΌ β 1) πββ ππ = β lim [exp((πΌ β 1) ln π β π)] + (πΌ β 1)π€(πΌ β 1) πββ
ln π) = β lim {exp [(πΌ β 1)π ( β 1)]} + (πΌ β 1)π€(πΌ β 1) πββ π = (πΌ β 1)π€(πΌ β 1). 2. π€(π) = (π β 1)! Dengan π bilangan bulat positif. Bukti: Berdasarkan sifat Gamma π€(πΌ) = (πΌ β 1)π€(πΌ β 1), sehingga diperoleh π€(π) = (π β 1)π€(π β 1) = (π β 1)(π β 2)π€(π β 2) = (π β 1)(π β 2)(π β 3)π€(π β 3) = (π β 1)(π β 2)(π β 3)(π β 4) β¦ (3)(2)(1)π€(1) Berdasarkan definisi 2.8 maka diperoleh β
π€(1) = β« π₯1β1 π βπ₯ ππ₯ 0
(2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 15
π
= lim β« π βπ₯ ππ₯ πββ 0
= lim [βπ βπ₯ ]π0 πββ
=1 Persamaan (2.1) menjadi π€(π) = (π β 1)(π β 2)(π β 3)(π β 4) β¦ (3)(2)(1)π€(1) = (π β 1)!. 1
3. π€ (2) = βπ Bukti: 1
Akan dibuktikan bahwa π€ (2) = βπ Berdasarkan definisi 2.8 β
π€(πΌ) = β« π₯ πΌβ1 π βπ₯ ππ₯, 0 2
misalkan π₯ = π’ , ππ₯ = 2π’ ππ’ β
2
π€(πΌ) = β« π’2πΌβ2 π βπ’ 2π’ ππ’ 0 β
2
= 2 β« π’2πΌβ2 π βπ’ π’ ππ’ 0 β
2
= 2 β« π’2πΌβ1 π βπ’ ππ’ 0 1
ketika 2πΌ β 1 = 0 maka πΌ = 2, sehingga diperoleh β 1 2 π€ ( ) = β« π βπ’ ππ’ 2 0
1 2 1 1 [π€ ( )] = [π€ ( )] [π€ ( )] 2 2 2 β
2
β
2
= (2 β« π βπ’ ππ’) (2 β« π βπ£ ππ£) 0
=
2 2 β β 4 β«0 β«0 π β(π’ +π£ )
0
ππ’ ππ£.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 16
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan π’ = π cos π, π£ = π sin π maka π’2 + π£ 2 = π 2 πππ 2 π + π 2 π ππ2 π = π 2 (πππ 2 π + π ππ2 π) = π2 π
β 2 1 2 2 [π€ ( )] = 4 β« β« π βπ ππ’ ππ£ 2 0 0 π 2
β
2
= 4 β« β« π βπ πππ ππ£ 0
0 π 2
β
2
= 4 (β« ππ) (β« π βπ πππ) 0
0
misalkan π = π 2 , ππ = 2π ππ π π 1 = 4 ( ) (β lim β« π βπ ππ ) 2 2 πββ 0
= βπ lim [βπ βπ ]π0 πββ
= βπ(0 β 1) = π. Definisi 2.9 Sebuah variabel random π dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter πΌ > 0 dan π½ > 0 jika dan hanya jika fungsi densitas π adalah β
π₯
π₯ πΌβ1 π π½ π(π₯) = { π½ πΌ π€(πΌ) , 0, β
dengan π€(πΌ) = β«0 π₯ πΌβ1 π βπ₯ ππ₯.
π₯ > 0, πΌ > 0, π½ > 0 selainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 17
0.5
Γ=1,a=2 Γ=2,a=2 Γ=3,a=2 Γ=5,a=1 Γ=9,a=0.5 Γ=7.5,a=1 Γ=0.5,a=1
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0.0 0
5
10
15
x
Gambar 2. 1 Grafik Distribusi Gamma Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.1
Definisi 2.10 Misal π£ adalah sebuah bilangan bulat positif. Sebuah variabel random π dikatakan berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas π£ jika dan hanya jika π merupakan π£
variabel random yang berdistribusi Gamma dengan parameter πΌ = 2 dan π½ = 2. Fungsi densitasnya adalah π£
π₯
π₯ 2β1 π β2 , π₯2 > 0 π(π₯) = 2πΌ π€ (π£ ) 2 {0, selainnya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 18
0.5
v=1 v=2 v=3 v=4 v=6 v=9
0.4
f(x)
0.3
0.2
0.1
0.0 0
2
4
6
8
10
x
Gambar 2. 2 Grafik Distribusi Chi-Square Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.2
C. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen Definisi 2.11 Momen ke β π dari variabel random π di sekitar titik asal didefinisikan sebagai πΈ(π π ) dan dinotasikan dengan π β² π . Contoh 2.4 Tentukan momen saat k=1 dan saat k=2. Jawab:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 19
Untuk k=1, πΈ(π) = π1 β² = π. Untuk k=2, πΈ(π 2 ) = π2 β² . Hal ini dapat berguna saat mencari variansi, berdasarkan Teorema 2.1 π(π) = πΈ(π 2 ) β (πΈ(π))
2
= π2 β² β π 2 . Definisi 2.12 Fungsi pembangkit momen π(π‘) untuk variabel random π didefinisikan sebagai π(π‘) = πΈ(π π‘π₯ ). Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta positif π berhingga untuk |π‘| β€ π.
Definisi 2.13 Fungsi Pembangkit Momen dari variabel random π adalah πΈ(π π‘π₯ ) dan dinyatakan dengan ππ₯ (π‘). Sehingga β π π‘π₯ π(π₯), βπ₯ β
ππ₯ (π‘) =
β« π π‘π₯ π(π₯), { ββ Contoh 2.5 1. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Normal β
ππ₯ (π‘) = β« π π‘π₯ π(π₯) ββ β
=β« π
1
π‘(π₯βπ)
πβ2π
0
β(π₯βπ)2 π 2π2
misalkan π’ = π₯ β π β
= β« π π‘π’ 0
=
1 πβ2π
1 πβ2π β
β« π 0
π‘π’
β(π’)2 2π2
ππ₯
β(π’)2 π 2π2
ππ₯
π
jika π diskrit
ππ₯
jika π kontinu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 20
= = =
=
πβ2π πβ2π πβ2π
=
2
2
2
β« π
πβ2π π π‘2
π
π‘2
π2 2
2
π2
π’2 2π2 π‘π’ + 2π2 2π2 ππ₯
β
1 (π’2 β2π2 π‘π’) 2π2 ππ₯
β« π
=π
π2 2
ππ‘
β
β« π
2π
βπ‘ 2
π2 2
βπ
β
1 (π’2 β2π2 π‘π’) 2π2 ππ₯
2
β
β« π
β
1 (π’2 β2π2 π‘π’+π4 π‘ 2 ) 2π2 ππ₯
0 β
β« β
β« 0
= ππ‘
1 (π’2 β2π2 π‘π’) 2π2 ππ₯
0
π
β
1 (π’2 β2π2 π‘π’+π4 π‘ 2 ) 2π2
πβ2π
0 π‘2
β
0
2
2
β
β
πβ2π
1
ππ₯
0
1
πβ2π
(π’)2 2π2
0
2
1
=π
β« π
π2
2π
π‘π’β
0
β
1
ππ‘
β« π β
1
ππ‘ =
β
1
1 πβ2π
π
β
(π’βπ2 π‘) 2π2
ππ₯
2
ππ₯
2
2
Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Normal adalah ππ₯ (π‘) = π π‘ 2. Fungsi Pembangkit Momen distribusi Gamma β
ππ₯ (π‘) = β« π π‘π₯ π(π₯) ββ β
=β« π 0 β
=β« 0
π‘π₯
βπ₯ 1 πΌβ1 π½ π₯ π ππ₯ π½ πΌ π€(πΌ)
βπ₯ 1 πΌβ1 π‘π₯ π½ π₯ π π ππ₯ π½ πΌ π€(πΌ)
β π₯ 1 π‘π₯β = πΌ β« π₯ πΌβ1 π π½ ππ₯ π½ π€(πΌ) 0
2 2π 2
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 21
β π₯ 1 β +π‘π₯ = πΌ β« π₯ πΌβ1 π π½ ππ₯ π½ π€(πΌ) 0
=
β 1 1 πΌβ1 βπ₯(π½ β π‘) β« π₯ π ππ₯ π½ πΌ π€(πΌ) 0 1
1
misalkan π = π½ β π‘ =
β 1 1 πΌβ1 βπ₯( π ) β« π₯ π ππ₯ π½ πΌ π€(πΌ) 0
=
1 [π€(πΌ)π (πΌ)] π½ πΌ π€(πΌ)
π πΌ = πΌ π½ 1
1
Ingat π = π½ β π‘ =
1βπ½π‘ π½
π½
, maka π = 1βπ½π‘
π½ π 1 β π½π‘ π½ 1 1 = = β = π½ π½ 1 β π½π‘ π½ 1 β π½π‘ Jadi, fungsi pembangkit momen distribusi Gamma adalah πΌ π πΌ π πΌ 1 ππ₯ (π‘) = πΌ = ( ) = ( ) = (1 β π½π‘)βπΌ . π½ π½ 1 β π½π‘
Teorema 2.3 Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen 1. Jika π adalah variabel random dan π adalah sebuah konstanta, maka πππ (π‘) = ππ (ππ‘). 2. Jika π adalah variabel random dan π adalah sebuah konstanta, maka ππ+π (π‘) = π ππ‘ β ππ₯ (π‘). 3. Jika π adalah variabel random dan π & π adalah dua buah konstanta, maka ππ‘ π‘ π(π+π) (π‘) = π π β ππ₯ ( ). π π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 22
Bukti: 1. πππ (π‘) = πΈ(π (ππ)π‘ ) = πΈ(π (ππ‘)π ) = ππ (ππ‘). 2. ππ+π (π‘) = πΈ(π (π+π)π‘ ) = πΈ(π (π‘π) π (ππ‘) ) = π ππ‘ β ππ₯ (π‘). 3. π(π+π) (π‘) = πΈ (π (
(π+π) )π‘ π
) = πΈ (π (
(ππ‘+ππ‘) ) π
) = πΈ (π (
(ππ‘) ) π
π(
(ππ‘) ) π
π
ππ‘
π‘
) = π π β ππ₯ (π).
Teorema 2.4 Teorema Ketunggalan Misalkan ππ₯ (π‘) dan ππ¦ (π‘) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak π dan π. Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan ππ₯ (π‘) = ππ¦ (π‘) untuk semua nilai dari π‘, maka π dan π mempunyai distribusi probabilitas yang sama. Bukti: Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu ππ₯ (π‘) = πΈ(π ππ‘π₯ ), dengan π adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen (FPM) adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila πΉ dan πΊ adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu β
β« π ββ
β ππ‘π₯
ππΉ(π₯) = β« π ππ‘π₯ ππΊ(π₯)
βπ‘ β β,
ββ
maka πΉ(π₯) = πΊ(π₯). (Skripsi halaman 54). Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 23
Teorema 2.5 Misalkan π1 , π2 , β¦ , ππ adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen ππ1 (π‘), ππ2 (π‘), β¦ , πππ (π‘). Jika π = π1 + π2 + β― + ππ , maka ππ (π‘) = ππ1 (π‘) Γ ππ2 (π‘) Γ β¦ Γ πππ (π‘). Bukti: ππ (π‘) = πΈ(π π‘π ) = πΈ(π π‘(π1 +π2 +β―+ππ) ) = πΈ(π π‘π1 π π‘π2 β¦ π π‘ππ ) = πΈ(π π‘π1 ) Γ πΈ(π π‘π2 ) Γ β¦ Γ πΈ(π π‘ππ ) = ππ1 (π‘) Γ ππ2 (π‘) Γ β¦ Γ πππ (π‘)
β
D. Pendugaan Parameter Pendugaan parameter adalah bidang dari statistika yang berhubungan dengan menduga nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur atau data empiris yang memiliki komponen random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai dari sampel.
Definisi 2.15 Parameter adalah suatu konstanta yang menggambarkan (merupakan karakteristik) populasi. Sebuah keluarga parametrik fungsi densitas adalah kumpulan fungsi densitas yang diindeks oleh suatu kuantitas yang disebut parameter.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 24
Contoh 2.6: 1. Populasi π(π₯) =
berdistribusi 1 π β2π
Normal
dengan
fungsi
densitasnya
adalah
1
exp [β (2π2 ) ((π₯ β π)2 )] , ββ < π₯ < β memiliki parameter
π dan π 2 , dengan π merupakan rata-rata populasi dan π 2 merupakan variansi populasi. 2. Populasi berdistribusi Eksponensial fungsi densitasnya adalah π(π₯; π) = ππ βππ₯ , dengan π > 0. Maka untuk setiap π > 0, π(π₯; π) adalah fungsi densitas. Kumpulan dari π(π₯; π) adalah keluarga parametrik dari fungsi densitas.
Definisi 2.16 Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam suatu rumus yang digunakan untuk menghitung nilai dari pendugaan yang didasarkan atas pengukuran di dalam sampel.
Penduga dibagi menjadi dua bagian yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation). Definisi 2.17 Penduga Titik (Point Estimation) Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya.
Contoh 2.7 Rata-rata sampel yang dinyatakan dalam suatu rumus π
1 π₯Μ
= β π₯π π π=1
merupakan salah satu penduga titik dari rata-rata populasi π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 25
Definisi 2.18 Penduga Selang (Interval Estimation) Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter sebenarnya.
E. Selang Kepercayaan Penduga selang adalah metode yang digunakan untuk menghitung 2 nilai yang akan membentuk titik-titik batas interval. Idealnya hasil dari interval akan memiliki 2 sifat. Pertama ia akan memuat parameter π, kedua, intervalnya akan relatif sempit. Kedua titik batas dari interval merupakan fungsi dari pengukuran sampel yang akan bervariasi secara acak dari sampel yang satu dengan sampel yang lain. Jadi, panjang dan letak dari interval bersifat random. Kita tidak dapat secara pasti mengetahui letak dari parameter π, tapi kita tahu bahwa letaknya di dalam selang tersebut. Jadi tujuan kita adalah ingin menentukan interval yang relatif sempit tetapi mempunyai peluang yang besar untuk memuat parameter π. Penduga selang sering disebut dengan Selang Kepercayaan (Confidence Interval). Titik batas atas dan titik batas bawah dari selang kepercayaan disebut juga batas atas dan batas bawah kepercayaan. Peluang bahwa selang kepercayaan akan memuat parameter π disebut koefisien kepercayaan. Dari sudut pandang praktis, koefisien kepercayaan mengidentifikasi berapakah π dalam sampling berulang, selang yang terbentuk akan memuat parameter π yang menjadi sasaran. Contoh, misal koefisien kepercayannya 95% , artinya jika ada sampling sebanyak 100 kali maka 95 selang yang terbentuk akan memuat π. Jika diketahui bahwa koefisien kepercayaan yang terkait dengan penduga itu tinggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selang kepercayaan yang dibangun dengan menggunakan hasil dari sampel tunggal akan memuat parameter π. Misalkan πΜπΏ dan πΜπ secara berturut-turut merupakan batas atas dan batas bawah selang kepercayaan random untuk parameter π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 26
Maka, jika π (πΜπΏ β€ π β€ πΜπ ) = 1 β πΌ , peluang (1 β πΌ) adalah koefisien kepercayaan. Interval random yang didefinisikan dengan [πΜπΏ , πΜπ ] disebut selang kepercayaan dua sisi. Memungkinkan juga untuk membentuk selang kepercayaan satu sisi batas bawah yaitu π (πΜπΏ β€ π) = 1 β πΌ, selang kepercayaannya adalah [πΜπΏ , β). Dengan cara yang sama, dapat dibentuk selang kepercayaan satu sisi batas atas yaitu π (π β€ πΜπ ) = 1 β πΌ, selang kepercayaannya adalah (ββ, πΜπ ]. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan disebut metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri: 1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter π, dengan π adalah kuantitas yang tidak diketahui. 2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter π. Jika distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui, maka logika berikut dapat digunakan untuk bentuk penduga selang. Jika π merupakan variabel random, π > 0 adalah konstan, dan π(π β€ π β€ π) = 0.7; maka jelas bahwa π(ππ β€ ππ β€ ππ) = 0.7. Dengan cara yang sama untuk setiap konstan π, π(π + π β€ π + π β€ π + π) = 0.7. Peluang kejadian π(π β€ π β€ π) tidak dipengaruhi dengan perubahan skala atau translasi dari π.
Contoh 2.8 Diberikan suatu populasi, dengan variabel random Y, memiliki distribusi Eksponensial dengan mean ΞΈ. Dengan menggunakan π, buatlah selang kepercayaan bagi π dengan koefisien kepercayaan 0.90.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 27
Jawab: Fungsi densitas untuk Y adalah sebagai berikut π¦ 1 ( ) π βΞΈ , π¦β₯0 π(π¦) = { ΞΈ 0, selainnya π
Dengan menggunakan metode Pivot, akan ditunjukkan bahwa U = ΞΈ memenuhi syarat sebagai kuantitas Pivot. π Fπ’ (π’) = π(π β€ π’) = π ( β€ π’) = π(π β€ ΞΈπ’) = Fπ (ΞΈπ’) ΞΈ π¦ π¦ π¦ 1 βπ‘ Fπ (y) = β« π(π‘)ππ‘ = β« π ΞΈ ππ‘ = 1 β π βΞΈ ββ ββ ΞΈ
(2.2) (2.3)
Dari (2.2) dan (2.3) diperoleh π’π
π’
Fπ (ΞΈπ’) = 1 β π β ΞΈ = 1 β π βΞΈ
fπ’ (π’) = Fπ’ β² (π’) = Fπ β² (ΞΈπ’) = π βπ’ π
U = ΞΈ adalah kuantitas Pivot, karena 1. U merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter π yang tidak diketahui. 2. fπ’ (π’) tidak bergantung pada π. Karena akan dibuat penduga selang dengan koefisien kepercayaan sama dengan 0.90, akan dicari π dan π untuk π(π β€ π β€ π) = 0.90
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 28
π(π’)
0.05
0.05
0.90
π’
a
b
Gambar 2. 3 Kurva Distribusi Eksponensial dengan π(π β€ π β€ π) = 0.90 π
β
π(π < π) = β«0 π βπ’ ππ’ = 0.05 dan π(π > π) = β«π π βπ’ ππ’ = 0.05 Maka, 1 β π βπ = 0.05 π βπ = 1 β 0.05
π βπ = 0.05 ππ(π βπ ) = ln(0.05)
π βπ = 0.95
βπ = β2.99573
ln(π βπ ) = ln(0.95)
π = 2.99573
βπ = β0.0512 π = 0.0512 Diperoleh π = 0.0512 dan π = 2.99573 sehingga π(π β€ π β€ π) = 0.90 menjadi π(0.0512 β€ π β€ 2.99573) = 0.90 π β€ 2.99573) = 0.90 π 0.0512 1 2.99573 π( β€ β€ ) = 0.90 π π π π π π( β₯πβ₯ ) = 0.90 0.0512 2.99573 π π π( β€πβ€ ) = 0.90 2.99573 0.0512
π (0.0512 β€
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 29
Jadi, selang kepercayaan bagi π dengan koefisien kepercayaan 0.90 adalah π(
π π β€πβ€ ) = 0.90. 2.99573 0.0512
F. Ukuran Penduga Yang Baik Penduga yang baik adalah penduga yang mendekati nilai parameter yang sebenarnya. Ciri-ciri penduga yang baik adalah penduga yang tak bias atau memiliki bias yang sekecil mungkin.
Bias dan Rata-rata Galat dari Penduga Titik Definisi 2.19 Misalkan πΜ adalah penduga titik dari parameter π, maka πΜ adalah penduga tak bias jika E(ΞΈΜ) = ΞΈ. Jika E(ΞΈΜ) β ΞΈ, maka ΞΈΜ disebut bias.
Definisi 2.20 Bias dari penduga titik πΜ didefinisikan sebagai π΅(πΜ) = πΈ(πΜ) β π.
Contoh 2.9 Diberikan π¦1 , π¦2 , π¦3 , β¦ , π¦π merupakan sampel random dari populasi memiliki fungsi densitas sebagai berikut π¦ 1 β (ΞΈ+1) ( )π , π(π¦) = { ΞΈ + 1 0,
π¦ > 0, π > β1 selainnya
Tentukan penduga yang tak bias bagi π. Apakah πΜ
merupakan penduga yang tak bias bagi π? Jawab: Akan dicoba πΜ
sebagai penduga π.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 30
π
βππ=1 ππ 1 1 1 Μ
πΈ(π) = πΈ ( ) = πΈ (β ππ ) = β πΈ(ππ ) = π(π + 1) = π + 1. π π π π π=1
Jadi πΜ
bias. Biasnya dari πΜ
adalah 1, maka πΈ(πΜ
) = π + 1 πΈ(πΜ
β 1) = π Jadi, πΜ
β 1 adalah penduga tak bias dari π.
Definisi 2.21 Rata-rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik πΜ adalah 2 πππΈ(πΜ) = πΈ [(πΜ β π ) ].
Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah penduga πΜ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.
Teorema 2.6 2 πππΈ(πΜ) = π(πΜ) + [π΅(πΜ) ]
Bukti: 2 πππΈ(πΜ) = πΈ [(πΜ β π) ] 2
= πΈ [(πΜ β πΈ (πΜ)) + (πΈ(πΜ) β π) ] 2
2
= πΈ [(πΜ β πΈ (πΜ)) + 2 (πΜ β πΈ (πΜ)) (πΈ(πΜ) β π) + (πΈ(πΜ) β π) ] 2
2 = πΈ [(πΜ β πΈ (πΜ)) ] + πΈ [2 (πΜ β πΈ (πΜ)) (πΈ(πΜ) β π)] + πΈ [(πΈ(πΜ) β π) ] 2 = π(πΜ) + 2πΈ [(πΜ β πΈ (πΜ)) π΅(πΜ)] + [π΅(πΜ)] 2 = π(πΜ) + 2π΅(πΜ)πΈ [(πΜ β πΈ (πΜ))] + [π΅(πΜ)] 2 = π(πΜ) + 2π΅(πΜ)πΈ (πΜ) β πΈ[πΈ(πΜ)] + [π΅(πΜ)]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 31
2 = π(πΜ) + 0 + [π΅(πΜ )] 2 = π(πΜ) + [π΅(πΜ)]
β
G. Metode Kuadrat Terkecil Regresi linear adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen;π) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen;π).
Definisi 2.22 Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai ππ = π½0 + π½1 ππ + π’π ,
π = 1,2,3, β¦ , π
dengan ππ = pengamatan ke- π variabel dependen π ππ = pengamatan ke- π variabel independen π₯ π½0 = intersep (konstanta) π½1 = parameter regresi π’π = galat (error) dari pengamatan ke-π Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter model regresi. Misalkan (π₯π , π¦π ) pasangan sampel random berukuran π pengamatan dari suatu populasi, berdasarkan definisi 2.22 maka persamaan garis regresinya adalah ππ = π½0 + π½1 ππ + π’π . Metode Kuadrat Terkecil bertujuan untuk menentukan penduga dari π½0 dan Μ0 dan π½ Μ1. Dengan asumsi πΈ(π’π ) = 0 persamaan regresi akan diduga π½1, yaitu π½ dengan Μ0 + π½ Μ1 ππ . Μπ = π½ π Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan dari π½0 dan π½1 yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 32
Definisi 2.23 Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefinisikan sebagai berikut π
π
Μ0 + π½ Μ1 π₯π )]2 . πππΈ = β(π¦π β π¦Μ) = β[π¦π β ( π½ π 2
π=1
π=1
Μ0 dan π½ Μ1 Jumlah Kuadrat Galat (SSE) akan memiliki nilai minimum jika nilai π½ memenuhi persamaan
ππππΈ Μ0 ππ½
= 0 dan
ππππΈ Μ1 ππ½
= 0. Dengan menggunakan turunan
Μ0 dan π½ Μ1, maka diperoleh parsial terhadap π½ Μ0 + π½ Μ1 π₯π )]2 ππππΈ π( βππ=1[π¦π β ( π½ = Μ0 Μ0 ππ½ ππ½
=0
π
Μ0 + π½ Μ1 π₯π )] = β β 2[π¦π β ( π½
=0
π=1 π
π
Μ0 + π½ Μ1π₯π ) ) = 0 = β2 (β π¦π β β( π½ π=1
π=1
π
π
Μ0 β π½ Μ1 β π₯π ) = (β π¦π β ππ½ π=1
=0
π=1
π
π
Μ0 + π½ Μ1 β π₯π β π¦π = ππ½ π=1
(2.4)
π=1
dan Μ0 + π½ Μ1 π₯π )]2 π( βππ=1[π¦π β ( π½ ππππΈ = =0 Μ1 Μ1 ππ½ ππ½ Μ0 + π½ Μ1 π₯π )]π₯π = 0 = β βππ=1 2[π¦π β ( π½ Μ0 βππ=1 π₯π β π½ Μ1 βππ=1 π₯π 2 ) = 0 = β2(βππ=1 π₯π π¦π β π½ Μ0 βππ=1 π₯π β π½ Μ1 βππ=1 π₯π 2 ) = 0 = (βππ=1 π₯π π¦π β π½ π
π
π
Μ0 β π₯π + π½ Μ1 β π₯π 2 β π₯π π¦π = π½ π=1
π=1
π=1
(2.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 33
Persamaan (2.4) dan (2.5) dapat diselesaikan dengan metode Eliminasi maka Μ0 dan π½ Μ1 sebagai berikut akan diperoleh π½ 1 βππ=1 π₯π π¦π β βππ=1 π₯π βππ=1 π¦π βππ=1(ππ β πΜ
) (π₯π β π₯Μ
) π Μ (2.6) π½1 = = 1 βππ=1(π₯π β π₯Μ
)2 βππ=1 π₯π 2 β (βππ=1 π₯π )2 π 1 1 β π βππ=1 π₯π π¦π βππ=1 π₯π + π βππ=1 π₯π 2 βππ=1 π¦π Μ0 = π½ 1 βππ=1 π₯π 2 β (βππ=1 π₯π )2 π 1 π 1 βπ=1 π₯π 2 βππ=1 π¦π β βππ=1 π₯π π¦π βππ=1 π₯π π π = 1 βππ=1 π₯π 2 β (βππ=1 π₯π )2 π 1 π 1 1 1 βπ=1 π¦π (βππ=1 π₯π 2 β (βππ=1 π₯π )2 ) β (βππ=1 π₯π π¦π β βππ=1 π₯π βππ=1 π¦π ) ( βππ=1 π₯π ) π π π =π 1 π π βπ=1 π₯π 2 β (βπ=1 π₯π )2 π 1 π 1 1 1 βπ=1 π₯π 2 βππ=1 π¦π β ( 2 βππ=1 π¦π (βππ=1 π₯π )2 ) β βππ=1 π₯π π¦π βππ=1 π₯π + ( 2 βππ=1 π¦π (βππ=1 π₯π )2 ) π π π π = 1 π π βπ=1 π₯π 2 β (βπ=1 π₯π )2 π 1 π βππ=1 π₯π π¦π β βππ=1 π₯π βππ=1 π¦π 1 π 1 π = β π¦π β ( β π₯π ) 1 π π π π 2 2 β (β ) π₯ β π₯ π=1 π=1 π=1 π π=1 π π Μ1 π₯Μ
(2.7) = π¦Μ
β π½ Μ0 dan π½ Μ1 pada persamaan (2.6) dan (2.7) adalah penduga yang Penduga π½ Μ0 dan π½ Μ1 adalah titik memiliki jumlah kuadrat galat yang paling minimum, maka π½ minimum.
Contoh 2.10 Μ0 + π½ Μ1 π₯π untuk π = 15 Tentukan koefisien dari garis lurus dengan model π¦Μπ = π½ titik data yang diberikan dalam tabel di bawah ini dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 34
Tabel 2.1 Data Contoh 2.10 No Roe (π₯π ) Gaji (π¦π ) 1 14.1 1095 2 10.9 1001 3 23.5 1122 4 5.9 578 5 13.8 1368 6 20.0 1145 7 16.4 1078 8 16.3 1094 9 10.5 1237 10 26.3 833 11 25.9 567 12 26.8 933 13 14.8 1339 14 22.3 937 15 56.3 2011 Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). South-Western: Cengage Learning. Halaman: 37.
Jawab: Dengan menggunakan persamaan kuadrat terkecil yang dimiliki, maka diperoleh hasil 1 1 βππ=1 π₯π π¦π β βππ=1 π₯π βππ=1 π¦π 361935.1 β (303.8)(16338) π 15 Μ1 = π½ = 1 1 βππ=1 π₯π 2 β (βππ=1 π₯π )2 8106.78 β (303.8)2 π 15 = 15.884 Μ0 = π¦Μ
β π½ Μ1 π₯Μ
= 1089.2 β (15.884 β 20.25333) = 767.4784 π½ Jadi, penyelesaiannya adalah π¦Μ = 767.4784 + 15.884 π₯.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1000 0
500
Y
1500
2000
35
0
10
20
30
40
50
60
X
Gambar 2.4 Grafik penduga Kuadrat Terkecil Penyelesaian contoh 2.10 dan Grafik diproduksi dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.
H. Metode Kemungkinan Maksimum Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna. Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah, dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara random adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 36
(22)(10) (32)
=
1 3
Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara random adalah (32) (32)
=1
Oleh karena itu dipilih tiga sebagai perkiraan jumlah bola merah di dalam kotak, karena perkiraan ini memaksimumkan peluang dari sampel yang diamati. Tentu saja, ada kemungkinan bahwa kotak hanya berisi dua bola merah, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan suatu metode untuk menemukan suatu penduga yang dapat diaplikasikan di berbagai situasi. Metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Definisi 2.24 Misalkan π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π adalah variabel random kontinu berukuran π dengan fungsi densitas π(π₯; π) dan π adalah parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dari sampel random adalah fungsi densitas bersama dari π variabel random dan merupakan fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan
dengan
πΏ (π₯|π)
dan
didefinisikan
sebagai
πΏ (π₯|π) =
βππ=1 π(π₯π ; π), dengan π(π₯π ; π) adalah notasi fungsi probabilitas dari π₯π dengan parameter π.
Definisi 2.25 Bila fungsi kemungkinan πΏ (π) bergantung pada π buah parameter yaitu π1 , π2 , . . . , ππ maka tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah menentukan
penduga
dari
π
yang
memaksimumkan
πΏ (π₯|π) =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 37
πΏ (π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π |π1 , π2 , . . . , ππ ) atau ekuivalen dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood π(π₯|π) dengan π = ln πΏ (π₯|π). Nilai parameter π dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE πΜ merupakan penyelesaian persamaan
ππΏ ππ
= π. Misalkan terdapat π parameter yang
tidak diketahui, maka pendugaan ππ dengan Metode Kemungkinan Maksimum ππΏ πππ
= 0 dengan π = ln(π1 , π2 , . . . , ππ ) dan π = 1,2,3, β¦ , π.
Contoh 2.11 Misalkan π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π adalah sampel random berdistribusi Normal dengan rataΜ2 dengan menggunakan Metode rata π dan variansi π 2 . Tentukan πΜ dan π Kemungkinan Maksimum. Jawab: π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan ratarata π dan variansi π 2 maka fungsi probabilitas densitasnya didefinisikan sebagai berikut π(π₯) =
1
1 exp [β ( 2 ) ((π₯π β π)2 )] , 2π π β2π
Berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh π
πΏ
(π|π 2 )
= β π(π₯π ; π, π 2 ) = π(π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π ; π, π 2 ) π=1
= π(π₯1 |π, π
2)
Γ π(π₯2 |π, π 2 ) Γ β¦ Γ π(π₯π |π, π 2 )
1 1 =[ exp (β ( 2 ) ((π₯1 β π)2 ))] Γ β¦ 2π π β2π Γ
1 π β2π
exp (β (
1 ) ((π₯π β π)2 )) 2π 2
ββ<π₯ <β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 38
π
π
1 2 1 = ( 2 ) exp [β ( 2 ) β(π₯π β π)2 ] π 2π 2π π=1
Fungsi log-likelihood dari persamaan di atas adalah π
π
1 2 1 ln[πΏ (π|π 2 )] = ln {( 2 ) exp [β ( 2 ) β(π₯π β π)2 ]} π 2π 2π π=1
π
=
π 1 1 [ln ( 2 )] β 2 β(π₯π β π)2 2 π 2π 2π π=1
π
π π 1 = ln π 2 β ln 2π β 2 β(π₯π β π)2 2 2 2π π=1
Penduga Kemungkinan Maksimum dari π dan π 2 adalah penduga yang memaksimumkan ln[πΏ (π|π 2 )], dengan mencari nilai turunan parsial terhadap π dan π 2 , maka diperoleh π
βln[πΏ (π|π 2 )] 1 = 2 β(π₯π β π) ππ π
(2.6)
π=1
π
βln[πΏ (π|π 2 )] π 1 = β + β(π₯π β π)2 2 2 4 ππ 2π 2π π=1
Jika persamaan (2.6) diselesaikan maka akan diperoleh π
1 β(π₯π β π) = 0 π2 π=1
π
β(π₯π β π) = 0 π=1 π
β π₯π β ππ = 0 π=1
πΜ =
βππ=1 π₯π = π₯Μ
π
(2.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 39
dan jika persamaan (2.7) diselesaikan maka akan diperoleh π
π 1 β + 4 β(π₯π β π)2 = 0 2 2π 2π π=1
π
1 π 2 β(π₯ β π) = π 2π 4 2π 2 π=1
π
1 β(π₯π β π)2 = π π2 π=1
π
Μ2 = 1 β(π₯π β π)2 π π π=1
Dengan substitusi hasil dari persamaan (2.6) yaitu π = π₯Μ
maka hasil dari 1
persamaan (2.7) menjadi π 2 = π βππ=1(π₯π β π₯Μ
)2 . Jadi, penduga kemungkinan Μ2 adalah πΜ = π₯Μ
dan π Μ2 = 1 βπ (π₯π β π₯Μ
)2 . maksimum untuk πΜ dan π π π=1
I.
Uji Kolmogorov-Smirnov Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data. Uji kecocokan (goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Pada dasarnya uji ini mencakup perhitungan distribusi frekuensi kumulatif yang akan terjadi dibawah distribusi teoritisnya. Misalkan variabel random π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π berasal dari distribusi yang tidak diketahui πΉ(π₯), dan dimisalkan π₯(1) < π₯(2) < . . < π₯(π) adalah statistik terurut, akan diuji hipotesis bahwa πΉ(π₯) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu πΉπ (π₯).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 40
Definisi 2.26 Misalkan π₯1 , π₯2 , β¦ , π₯π adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris πΉπ (π₯) didefinisikan sebagai π
1 πΉπ (π₯) = β 1(π₯π β€ π₯) π π=1
Contoh 2.12 Diberikan 10 sampel random yang memuat π₯1 = 0.621, π₯2 = 0.503, π₯3 = 0.203, π₯4 = 0.477, π₯5 = 0.710, π₯6 = 0.581, π₯7 = 0.329, π₯8 = 0.480, π₯9 = 0.554, π₯10 = 0.382. Berdasarkan definisi 2.26 fungsi distribusi empirisnya adalah π
1 πΉπ (π₯(π) ) = β 1(π₯π β€ π₯(π) ) π π=1
Dengan π₯(π) adalah statistik terurut dari π₯π , π=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Maka akan diperoleh π₯(π)
0.203 0.329 0.382 0.477 0.480 0.503 0.554 0.581 0.621 0.71
πΉπ (π₯(π) ) 0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
Definisi 2.27 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov π·π didefinisikan sebagai π·π = ππππ (π·+ , π·β ) π·+ = ππππ (πΉπ (π₯) β πΉ0 (π₯(π) )) π·β = ππππ (πΉ0 (π₯(π) ) β πΉπβ1 (π₯π )) Dengan π = 1,2, β¦ , π. Hipotesis uji Kolmogorov-Smirnov adalah π»0 : πΉ(π₯) = πΉ0 (π₯)
0.80
0.90 1.00
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 41
Untuk setiap π₯ dengan πΉ0 (π₯) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan π»1 : πΉ(π₯) β πΉ0 (π₯) Jika π·π β₯ π·πΌ (π) yang diberikan oleh tabel Kolmogorov-Smirnov, maka π»0 ditolak pada tingkat signifikansi πΌ. π·πΌ (π) adalah nilai kritis Kolmogorov-Smirnov pada tingkat πΌ dan ukuran sampel π. Tabel π·πΌ (π) dapat dilihat pada lampiran A.4.
J.
Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov Uji Kolmogorov-Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji apakah data berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dengan KolmogorovSmirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Rayleigh. Langkah-langkah uji Kolmogorov-Smirnov untuk distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut 1. π»0 = data berdistribusi Rayleigh 2. π»1 = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tentukan tingkat signifikansi πΌ 4. Statistik Uji: π·π = max(π·+ , π·β ) 5. Wilayah kritis π»0 ditolak jika π·π β₯ π·πΌ (π) 6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b) Hitunglah πΉ0 (π₯) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh c) Berdasarkan definisi 2.26 hitunglah fungsi distribusi empiris πΉπ (π₯) d) Berdasarkan definisi 2.27 hitunglah nilai π·+ dan π·β dan tentukan maksimum dari π·π = max(π·+ , π·β ) 7. Kesimpulan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 42
Contoh 2.13 Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala π = 2 Tabel 2.2 Data Contoh 2.13 No π₯π
1 2
No 11 4.2 π₯π Jawab:
2 0.2
3 1
4 1.8
5 2.7
6 5
7 3.6
8 1.4
9 4.7
10 1.5
12 3
13 2.1
14 2.4
15 3.1
16 4
17 2.8
18 3.2
19 4.1
20 2.6
1. π»0 = data berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala π = 2 2. π»1 = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tingkat signifikansi πΌ = 0.05 4. Statistik Uji: π·π = max(π·+ , π·β ) 5. Wilayah kritis π»0 ditolak jika π·π β₯ π·πΌ (π) = 0.29408 6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b) Akan dihitung πΉ0 (π₯) berdasarkan definisi fungsi distribusi kumulatif dari π₯2
distribusi Rayleigh, yaitu πΉ(π₯) = 1 β exp (β (2π2)) c) Akan dihitung fungsi distribusi empiris πΉπ (π₯) berdasarkan definisi 2.26 d) Akan dihitung nilai π·+ dan π·β berdasarkan definisi 2.27 dan menentukan maksimum dari π·π = max(π·+ , π·β ) Tabel 2.3 Perhitungan Uji Kolmogorov Contoh 2.13 π 1 2 3 4 5 6 7
π₯(π) 0.20 1.00 1.40 1.50 1.80 2.00 2.10
πΉ0 (π₯(π) ) πΉπ (π₯(π) ) πΉπβ1 (π₯(π) ) 0.0050 0.0500 0.0000 0.1175 0.1000 0.0500 0.2173 0.1500 0.1000 0.2452 0.2000 0.1500 0.3330 0.2500 0.2000 0.3935 0.3000 0.2500 0.4238 0.3500 0.3000
π·+ 0.0450 -0.0175 -0.0673 -0.0452 -0.0830 -0.0935 -.0.0738
π·β 0.0050 0.0675 0.1173 0.0952 0.1330 0.1435 0.1238
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 43
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.5132 0.4000 0.5704 0.4500 0.5980 0.5000 0.6247 0.5500 0.6753 0.6000 0.6992 0.6500 0.7220 0.7000 0.8021 0.7500 0.8647 0.8000 0.8777 0.8500 0.8897 0.9000 0.9368 0.9500 0.9561 1.000 Maksimum
2.40 2.60 2.70 2.80 3.00 3.10 3.20 3.60 4.00 4.10 4.20 4.70 5.00
0.3500 0.4000 0.4500 0.5000 0.5500 0.6000 0.6500 0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500
-0.1132 -0.1204 -0.0980 -0.0747 -0.0753 -0.0492 -0.0220 -0.0521 -0.0647 -0.0277 0.0103 0.0132 0.0439 0.0450
0.1632 0.1704 0.1480 0.1247 0.1253 0.0992 0.0720 0.1021 0.1147 0.0777 0.397 0.0368 0.0061 0.1704
π·π = max(π·+ , π·β ) = 0.1704
0.0
0.2
0.4
F
0.6
0.8
F0(xi) Fn(xi)
1
2
3
4
5
Xi
Gambar 2.5 Grafik πΉ0 (π₯(π) ) dan πΉπ (π₯(π) ) Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.5. 7. Kesimpulan π»0 diterima sebab π·π = 0.0.18949 β€ π·πΌ (π) = 0.29408, maka data di atas berdistribusi Rayleigh dengan parameter skala π = 2.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh Definisi 3.1 Variabel random π dikatakan mempunyai distribusi Rayleigh dengan satu parameter bila fungsi probabilitasnya 2
π₯ (βπ₯2 ) 2π , π(π₯; π)= {π 2 π 0,
π₯ β₯ 0,
π>0
selainnya
dengan π adalah parameter skala (scale parameter). Berdasarkan definisi 2.4, akan ditunjukkan bahwa fungsi probabilitas distribusi Rayleigh merupakan fungsi densitas. 1) π(π₯, π) β₯ 0,untuk setiap π₯ β π
Jelas bahwa π(π₯) β₯ 0 untuk setiap π₯ β π
. β
2) β«ββ π(π₯, π) ππ₯ = 1 β
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa β«ββ π(π₯) ππ₯ = 1 π₯2
1
Misalkan π’ = (2π2 ) maka ππ’ = π2 π₯ ππ₯ β
β
β« π(π₯) ππ₯ = β« 0
0
2
π₯ β( π₯ 2 ) π 2π ππ₯ π2 π
= lim β« π βπ’ ππ’ = lim βπ βπ’ |π0 πββ 0
πββ
= lim β π βπ + π 0 = 1. πββ
Terbukti bahwa π(π₯) adalah fungsi densitas.
44
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 45
Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut
1.4
b=0.5 b=0.8 b=1 b=1.5 b=2 b=3
1.2 1.0
f(x)
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0
2
4
6
8
x
Gambar 3.1 Grafik fungsi distribusi Rayleigh dengan nilai π = 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 3. Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.6
Definisi 3.3 Jika diketahui bahwa fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yang diberikan pada definisi 3.2, maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka diperoleh π₯
πΉ (π₯) = β« π(π‘) ππ‘ 0 2
π₯
π‘ β( π‘ ) = β« 2 π 2π2 ππ‘ 0 π π‘2
1
Misalkan π’ = (2π2 ) maka ππ’ = π2 π‘ ππ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 46
2
π₯
π‘ β( π‘ ) πΉ (π₯) = β« 2 π 2π2 ππ‘ 0 π π₯
= β« π βπ’ ππ’ 0 π₯
= β« exp(βπ’) ππ’ 0
= βexp(βπ’)|0π₯ π₯
π₯2
= βexp (β (2π2 ))|
0
π₯2
= 1 β exp (β (2π2 )). π₯2
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah 1 β exp (β (2π2)).
1.0
F(x)
0.8
0.6
0.4 b=0.5 b=0.8 b=1 b=1.5 b=2 b=3
0.2
0.0 0
2
4
6
8
x
Gambar 3.2 Grafik fungsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.7
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 47
B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter Karakteristik distribusi Rayleigh dicirikan dengan adanya konstanta rata-rata (mean) dan variansi. a. Rata-rata (Mean) Berdasarkan definisi 2.6, β
πΈ(π) = β« π₯ . π(π₯) ππ₯ ββ 2
π
π₯ β( π₯ ) = lim β« π₯ 2 π 2π2 ππ₯ πββ 0 π 2
π π₯ 1 ) β( = 2 lim β« π₯. π₯ π 2π2 ππ₯ π πββ 0 2
π
π₯ 1 ) β( = 2 [π₯ β« π₯ π 2π2 ππ₯ π
] β lim β« 2 πββ 0
π₯2 β( 2 ) 2π π
ππ₯
2
π π₯ 1 ) β( = 2 [0 β (βπ 2 lim β« π 2π2 ππ₯] πββ 0 π π
= 0 β lim β«
πββ 0
= Dengan β β« π β2π ββ 1
β2ππ 2 β2ππ 2
lim β«
πββ 0
1 π₯βπ 2 ) 2 π
β (
penyelesaian =
π
mengingat π
β2ππ 2 2
β2ππ 2 β2ππ 2
=π
β2π 2
π₯2 β( 2 ) π 2π
.
ππ₯
π₯2 β( 2 ) π 2π
contoh
ππ₯ = π
1 β2π
, sehingga
β2ππ 2 2
ππ₯
2.2
bahwa
β 1 β«ββ π β2π
π
1 π₯βπ 2 ) 2 π
β (
ππ₯ = 1,
atau
π₯2
(π β2π) = 1, maka
) β β( β«0 π 2π2
ππ₯ akan memiliki
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 48
π = πβ . 2 π
Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah πΈ(π) = πβ 2 , dengan π = 3,14.
b. Variansi Berdasarkan teorema 2.1, π (π) = πΈ(π 2 ) β [πΈ(π)]2 , π
diketahui πΈ(π) = πβ 2 , maka untuk mencari π (π) akan dihitung terlebih dahulu β
πΈ(π
2)
= β« π₯ 2 . π(π₯) ππ₯ ββ 2
π
π₯ β( π₯ ) = lim β« π₯ 2 π 2π2 ππ₯ πββ 0 π 2
2
π
2
π π₯ β( π₯ 2 ) π₯ β( π₯ ) 2π = π₯ lim β« 2 π ππ₯ β lim β« 2π₯ 2 π 2π2 ππ₯ πββ 0 π πββ 0 π 2
β
2
= π₯
2
π
= 0 β (β2 lim β« π₯ πββ 0
2
=2
2
π π₯ π₯ 1 11 ) ) β( β( ( 2 (2π 2 ) π 2π2 | ) β lim β« 2π₯ 2 (2π 2 )π 2π2 ππ₯ πββ 0 2π π 2 0
(β2π 2 )
π₯2 β( 2 ) 2π π
ππ₯)
β
1 β( π₯ 2 ) π 2π | 2 0
= 0 β (β2π 2 ) = 2π 2 sehingga diperoleh 2
π (π) = πΈ(π
2)
β
[πΈ(π)]2
π π π = 2π β (πβ ) = 2π 2 β π 2 = π 2 (2 β ). 2 2 2 2
Jadi, variansi distribusi Rayleigh adalah π (π) = π 2 (2 β
π 2
), dengan π = 3,14.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 49
C. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil Pendugaan parameter distribusi Rayleigh yaitu menduga parameter skala π, pendugaan parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode untuk menduga parameter dari sebuah model linear. Diketahui fungsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah π₯2 πΉ(π₯) = 1 β exp (β ( 2 )). 2π Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupakan fungsi nonlinear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat digunakan untuk menduga parameter distribusi Rayleigh maka persamaan tersebut harus diubah menjadi persamaan linear dengan menggunakan transformasi logaritma sebagai berikut π₯2 πΉ(π₯π ) = 1 β exp (β ( 2 )) 2π π₯2 exp (β ( 2 )) = 1 β πΉ(π₯π ) 2π π₯2 ln (exp (β ( 2 ))) = ln(1 β πΉ(π₯π )) 2π π₯2 β ( 2 ) = ln(1 β πΉ(π₯π )) 2π π₯ 2 = β2π 2 β ln(1 β πΉ(π₯π )) π₯π = πββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))
(3.1).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 50
Persamaan 3.1 tersebut dapat diubah menjadi persamaan ππ = π½0 + π½1 ππ dengan ππ = π₯π , π½0 = 0, π½1 = π, dan ππ = ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π )), dengan π = 1,2, β¦ , π. Dalam skripsi ini penulis hanya menduga satu parameter saja maka berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 yaitu π
π
Μ0 + π½ Μ1 β π₯π β π¦π = ππ½ π=1
π=1
π
π
π
Μ0 β π₯π + π½ Μ1 β π₯π 2 β π₯π π¦π = π½ π=1
π=1
π=1
Μ0 yang merupakan penduga dari Ξ²0 = 0 maka Ξ² Μ0 tidak akan dan diketahui untuk Ξ² dihitung, sehingga diperoleh persamaan berikut π
π
π
Μ1 β π₯π 2 β π₯π π¦π = 0 β π₯π + π½ π=1
π=1
π=1
π
π
Μ1 β π₯π 2 β π₯π π¦π = 0 + π½ π=1
π=1
Μ1 = π½
βππ=1 π₯π π¦π βππ=1 π₯π 2
(3.2)
Μ1 merupakan penduga dari π½1 = π, maka π½ Μ1 = πΜ kemudian nilai ππ = π₯π , Karena π½ π½0 = 0, π½1 = π, dan ππ = ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π )) disubstitusikan ke persamaan (3.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 51
βππ=1 (ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))) π₯π πΜ =
2
βππ=1 (ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))) π₯π =
βππ=1 (ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π )))
βππ=1(β2 β ln(1 β πΉ(π₯π )))
(3.3)
πΉ(π₯π ) pada persamaan (3.3) tidak diketahui maka akan diduga dengan πΉΜ (π₯π ). Karena 1 β πΉ(π₯π ) > 0 maka πΉ(π₯π ) < 1 dengan demikian πΉ(π₯π ) diduga dengan π 1 πΉΜ (π₯π ) = π+1, bukan dengan π βππ=1 1(π₯π β€ π₯) sebagaimana definisi 2.26.
D. Pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum Metode Kemungkinan Maksimum merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menduga paramater. Prinsip dasar metode ini adalah menentukan penduga parameter πΜ, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh adalah menduga parameter skala π. Menurut definisi 3.2, fungsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah 2
π₯ (βπ₯2 ) 2π , π(π₯; π)= {π 2 π 0,
π₯ β₯ 0,
π>0
selainnya
Menurut definisi 2.24, fungsi likelihood adalah π
πΏ (π₯|π) = β π(π₯π ; π) π=1
Oleh karena itu, fungsi likelihood untuk distribusi Rayleigh adalah π
πΏ (π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π |π 2 ) = β π (π₯π ; π 2 ) π=1
Untuk selanjutnya πΏ (π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π |π
2)
akan ditulis dengan πΏ. Misalkan
π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π merupakan sampel random dari π observasi dari populasi Rayleigh, maka fungsi kemungkinan maksimum untuk sampel tersebut yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 52
π
2
βππ=1 π₯π β β π₯2π 2 π₯π (βπ₯π2 ) 2π πΏ=β 2 π = π 2π π π 2π π=1
π 1 β β π₯2π 2 = 2π π 2π β π₯π π π=1
(3.3)
Penduga parameter πΜ dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi loglikelihood-nya. Untuk menduga π akan dilakukan pendugaan terhadap π 2 terlebih dahulu, yaitu πΜ2 . Hal tersebut dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya. Sebelum dicari turunan parsial pertamanya, gunakan logaritma pada kedua ruas agar persamaan (3.3) tersebut menjadi persamaan linear ln πΏ = ln (
π 1 β β π₯2π 2 2π π β π₯π ) π 2π π=1
ln πΏ = βln(π
2π )
+
β β π₯π 2 ln (π 2π2 )
π
+ ln (β
π₯π )
π=1 π
β β π₯π 2 ln πΏ = βπ ln π 2 + + β ππ π₯π 2π 2 π=1
π
ln πΏ = βπ ln π 2 β
β π₯π 2 + β ππ π₯π 2π 2
(3.4)
π=1
Setelah diperoleh persamaan linearnya, kemudian persamaan 3.4 akan dicari turunan parsial pertamanya terhadap π 2 dan nilai dari turunannya disama dengankan nol, maka akan diperoleh π
β π₯π 2 π(ln πΏ) π 2 = 2 (βπ ln π β + β ππ π₯π ) = 0 ππ 2 ππ 2π 2 π=1
π
β π₯π 2 π π π = 2 (βπ ln π 2 ) + 2 (β ) + 2 (β ππ π₯π ) = 0 2 ππ ππ 2π ππ π=1
=β
π β π₯π 2 + =0 π2 2π 4
Persamaan 3.5 tersebut mempunyai penyelesaian
(3.5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 53
β
π β π₯π 2 + =0 π2 2π 4 β π₯π 2 π = π2 2π 4 β π₯π 2 1 = π 2 2π 4 π πΜ2 =
β π₯π 2 2π
Karena πΜ2 merupakan penduga dari πΜ2 =
(3.6) β π₯π 2 2π
, maka penduga bagi π adalah
β π₯π 2 πΜ = β . 2π
E. Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Rayleigh Akan dicari fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh karena akan berguna untuk mencari fungsi densitas dari πΜ2 . Berdasarkan definisi 2.13, maka diperoleh β
2
ππ₯ 2 (π‘) = β« π π‘π₯ π(π₯)ππ₯ ββ β
= β« π
π‘π₯ 2
ββ π
= lim β«
πββ 0
=
π₯ βπ₯22 π 2π ππ₯ π2
βπ₯ 2 1 π‘π₯ 2 2π 2 π₯ π π ππ₯ π2
π π₯2 1 π‘π₯ 2 β 2 2π ππ₯ lim β« π₯ π π 2 πββ 0
π π₯2 1 β 2 +π‘π₯ 2 = 2 lim β« π₯ π 2π ππ₯ π πββ 0 π 1 1 βπ₯ 2 ( 2 β π‘) 2π = 2 lim β« π₯ π ππ₯ π πββ 0 1
Misalkan π€ =
1 2π 2
βπ‘
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 54
π 1 2 1 = 2 lim β« π₯ π βπ₯ (π€) ππ₯ π πββ 0
Misalkan π’ = π₯ 2 , π₯ = βπ’, ππ’ = 2π₯ππ₯, ππ₯ = =
ππ’ 2π₯
ππ’
=2
βπ’
π 1 1 βπ’( ) ππ’ lim β« βπ’ π π€ 2 π πββ 0 2βπ’
π 1 1 βπ’( ) π€ ππ’ = lim β« π 2π 2 πββ 0
1 π(1)π€ 2π 2 π€ = 2π 2 =
1
Ingat π€ =
1
βπ‘ = 2π 2
1β 2π 2 π‘ 2π 2
2π 2
, sehingga, π€ = 1β 2π2 π‘.
2π 2 π€ 2π 2 1 1 1 β 2π 2 π‘ = = β = = (1 β 2π 2 π‘)β1 2 2 2 2 2π 2π 1 β 2π π‘ 2π 1 β 2π 2 π‘ Jadi, fungsi pembangkit momen dari distribusi Rayleigh adalah ππ₯ 2 (π‘) = (1 β 2π 2 π‘)β1
(3.7)
Teorema 3.1 Distribusi probabilitas atau fungsi densitas dari πΜ2 adalah sebagai berikut βππΜ2
πβ1 (πΜ2 ) π πΜ2 π π(πΜ2 ) = πΜ2 ( π ) (π β 1)! {0
π2 β₯ 0
π2 < 0
Bukti: 2
βπ₯ Akan dicari fungsi pembangkit moment dari πΜ2 = 2ππ . Terlebih dahulu akan
dicari fungsi pembangkit momen dari βππ=1 ππ 2 , dengan ππ merupakan sampel random dari distribusi Rayleigh. Jika ππ diasumsikan independen, maka πβ ππ 2 (π‘) dapat dicari berdasarkan teorema 2.4 yaitu fungsi pembangkit momen dari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 55
jumlahan variabel random yang independen sama dengan perkalian fungsi pembangit momen dari masing-masing suku jumlah, ππ (π‘) = ππ1 (π‘) Γ ππ2 (π‘) Γ β¦ Γ πππ (π‘). Dari persamaan (3.7) diketahui fungsi pembangkit momen dari ππ yang merupakan sampel random distribusi Rayleigh yaitu ππ₯ 2 (π‘) = (1 β 2π 2 π‘)β1 maka πβ ππ 2 (π‘) = ππ1 (π‘) Γ ππ2 (π‘) Γ β¦ Γ πππ (π‘) = (1 β 2π 2 π‘)β1 Γ (1 β 2π 2 π‘)β1 Γ β¦ Γ (1 β 2π 2 π‘)β1 = (1 β 2π 2 π)βπ Dengan menggunakan teorema 2.3 sifat 1 dari fungsi pembangkit momen, yaitu πππ(π₯) (π‘) = ππ(π₯) (ππ‘) dengan π(π₯) merupakan fungsi dari π₯ dan π adalah sebuah konstanta, akhirnya diperoleh fungsi pembangkit momen dari πΜ2 =
β π₯π 2
sebagai berikut
2π
ππΜ2 (π‘) = πβ π₯π 2 (π‘) 2π
= π β π₯π 2 (
π‘ ) 2π βπ
1 β π2π‘ =( ) π
Berdasarkan fungsi pembangkit momen dari πΜ2 di atas dapat diidentifikasi bahwa itu adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai tertentu. Akan dicari nilai tertentu dari distribusi Gamma yang akan menghasilkan fungsi pembangkit momen yang identik dengan fungsi pembangkit momen dari πΜ2 . Pertama berdasarkan definisi 2.9 fungsi densitas dari distribusi Gamma adalah πΌβ1
βπ₯ ππ½
π₯ π½ πΌ π€(πΌ) 0
π(π₯) = {
π₯β₯0 π₯ <0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 56
Pada parameter πΌ dan π½ akan dikenakan suatu nilai, misal πΌ = π dan π½ =
π2 π
dengan π adalah ukuran sampel dan π 2 adalah parameter distribusi Rayleigh. Sehingga, distribusi Gamma akan menjadi βπ₯ π2 π₯ πβ1 π π
π(π₯) =
π₯β₯0
π
π2 ( π ) π€(π) { 0
π₯ <0
Berdasarkan teorema 2.2 sifat ke-2 bahwa fungsi Gamma memiliki sifat π€(π) = π€(π) = (π β 1)! dengan π selalu bilangan bulat positif, maka diperoleh π₯ πβ1 π π(π₯) =
βππ₯ π2
π₯β₯0
π
π2 ( π ) (π β 1)! 0 {
π₯ <0
Kemudian akan dicari fungsi pembangkit momen dari π(π₯) sebagai berikut βππ₯
β
π π‘π₯ π₯ πβ1 π π2 ππ (π‘) = β« 2π βπ ππ₯ 0 π π (π β 1)! βππ₯
β
π₯ πβ1 π π‘π₯ π π2 = β« 2π βπ ππ₯ 0 π π (π β 1)! β
π‘π₯β
ππ₯
π₯ πβ1 π π2 = β« 2π βπ ππ₯ 0 π π (π β 1)! β
βπ₯(
π
βπ‘)
π₯ πβ1 π π2 = β« 2π βπ ππ₯ 0 π π (π β 1)! dengan memisalkan
1 π€
=(
π π2
β π‘), maka diperoleh 1
π₯ πβ1 π βπ₯(π€) = β« 2π βπ ππ₯ 0 π π (π β 1)! β
=
π€(π)π€ π π 2π πβπ π€(π)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 57
π€π = 2π βπ π π (π€π)π = π 2π 1
π
Ingat bahwa π€ = (π2 β π‘) =
πβπ 2 π‘ π2
π2
maka π€ = πβπ2π‘
π
π2 ( π) π (π€π) π β π2π‘ = π 2π π 2π
π
π π2π 1 π 2π ππ 1 π =( ) β = β = ( ) π β π2π‘ π 2π (π β π 2 π‘)π π 2π π β π2π‘
π
βπ
1 π2π‘ =( ) = (1 β ) π2π‘ π 1β π Jadi, (π€π)π π2π‘ ππ (π‘) = = (1 β ) π 2π π
βπ
(3.6)
Telah ditujukkan bahwa persamaan 3.6 yang merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma dengan nilai πΌ = π dan π½ =
π2 π
identik dengan
fungsi pembangkit momen dari πΜ2 . Oleh karena itu, menurut Teorema 2.3 (Teorema Ketunggalan) dapat disimpulkan bahwa fungsi densitas dari πΜ2 adalah fungsi densitas Gamma dengan π = π dan π =
π2 π
. Jadi, fungsi densitas dari πΜ2
adalah βππΜ2
πβ1 (πΜ2 ) π πΜ2 π π(πΜ2 ) = πΜ2 ( π ) (π β 1)! {0
π2 β₯ 0
π2 < 0
β
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 58
Pendugaan Selang Distribusi Rayleigh Pendugaan selang atau selang kepercayaan distribusi Rayleigh adalah menduga selang kepercayaan terhadap parameter π, menduga selang kepercayaan rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh. Metode yang sering digunakan untuk mencari selang kepercayaan adalah Metode Pivot. Metode Pivot bergantung pada suatu nilai yang disebut kuantitas Pivot. Kuantitas Pivot memiliki 2 ciri: 1. Merupakan fungsi dari pengukuran sampel dan parameter π, dengan π adalah kuantitas yang tidak diketahui. 2. Distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot tidak bergantung pada parameter π. Karena Metode Pivot bergantung pada kuantitas Pivot maka dipilih variabel πΜ2
random π’ = π2 π dengan π = 2π sebagai kuantitas Pivot. Untuk memenuhi ciri kuantitas Pivot yang kedua maka akan dicari terlebih dahulu distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot. Berdasarkan teorema 3.1 diketahui bahwa fungsi densitas dari πΜ2 adalah sebagai berikut (πΜ2 ) π(πΜ2 ) =
πβ1
βππΜ2 π πΜ2
π πΜ2 ( π ) (π β 1)!
{0
π2 β₯ 0
π2 < 0 πΜ2
Telah dipilih variabel random π’ = (π2 ) π, dengan π = 2π. π
π’
(π’)2β1 π 2 π π(π’) = { (π’)π 2 π€( ) 2 0
π’β₯0 π’ <0
Fungsi diatas berdasarkan definisi 2.10 dikenal sebagai distribusi π 2 (Chi-Square) πΜ2
dengan derajat bebas π. Oleh karena itu, π(π’) = π [(π2) π] = π 2 (π’; π), dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 59
πΜ2
π adalah derajat bebas. Karena variabel random π’ = π2 π merupakan kuantitas Pivot akan ditunjukan bahwa π’ memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot yaitu 1. π’ merupakan fungsi dari pengukuran sampel (melalui πΜ2 ) dan parameter π yang tidak diketahui. 2. fπ’ (π’) tidak bergantung pada π Jadi, π’ memenuhi 2 syarat kuantitas Pivot. Kemudian akan diproses untuk memperoleh selang kepercayaan. Selang Kepercayaan terhadap parameter π Untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter π, terlebih dahulu akan dibentuk selang kepercayaan terhadap parameter π 2 . Karena distribusi probabilitas dari kuantitas Pivot diketahui yaitu distribusi π 2 (Chi-Square) dengan derajat bebas π, maka selang kepercayaan π 2 (Chi-Square) dapat digunakan untuk membentuk selang kepercayaan terhadap parameter π 2 . Misalkan tingkat signifikansi sebesar 1 β πΌ = 0.95, maka selang kepercayaan bagi π 2 akan ditentukan sebagai berikut Pr [π 2 (0.025; π) <
πΜ2 π < π 2 (0.975; π) ] = 0.95 π2
πΜ2 π πΜ2 π 2 Pr [ 2 < π < 2 ] = 0.95 π (0.975; π) π (0.025; π) Karena πΜ2 =
β π₯π 2 2π
=
β π₯π 2 π
, kemudian diperoleh
β π₯π 2 β π₯π 2 2 Pr [ 2 < π < 2 ] = 0.95 π (0.975; π) π (0.025; π) Untuk bentuk umum dari setiap tingkat signifikansi πΌ diperoleh β π₯π 2
Pr
(1 + (1 β πΌ)) ; 2π) 2
[
π2 (
β π₯π 2
2
< π <
(1 β (1 β πΌ)) ; 2π) 2 ]
π2 (
=1βπΌ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 60
Jadi, selang kepercayaan terhadap parameter π untuk bentuk umum dari setiap signifikansi πΌ adalah β π₯π 2 β π₯π 2 Pr β( ) < π < β( ) = 1 β πΌ. (2 + πΌ) (πΌ) 2 2 π ( 2 ; 2π) π ( 2 ; π) [ ] Selang Kepercayaan terhadap rata-rata dan variansi distribusi Rayleigh π
Diketahui bahwa rata-rata distribusi Rayleigh misalkan adalah π = πβ2 dan variansi adalah π 2 = π 2 (2 β
π 2
). Dengan menggunakan selang kepercayaan
terhadap parameter π 2 untuk bentuk umum dari setiap signifikansi πΌ, hal ini π
memungkinkan untuk mendapatkan selang kepercayaan bagi rata-rata π = πβ 2 , yaitu 1β 2
π β π₯π 2 Pr ( ) (2 + πΌ) 2π 2 [ 2 ; 2π] [ dan variansi π 2 = π 2 (2 β
π 2
1β 2
π β π₯π 2 < π<( ) (πΌ) 2π 2 [ 2 ; 2π]
=1βπΌ ]
)
π (2 β 2) β π₯π 2
π (2 β 2 ) β π₯π 2
Pr [ < π2 < ]=1βπΌ (2 + πΌ) (πΌ) 2 π ( 2 ; 2π) π 2 ( 2 ; 2π) Jadi diperoleh selang kepercayaan bagi π, rata-rata (π), dan variansi (π 2 ), yang merupakan parameter dasar dari distribusi Rayleigh.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH Pada Bab IV ini akan dibahas pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada kasus data tinggi gelombang laut. Data yang digunakan dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh adalah data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang dikutip dari βPengolahan Data Angin dan Pasang Surutβ Laporan Tugas Akhir (Kl-4020) Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan.
A. Penerapan pendugaan Parameter Distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan. Tabel 4.1 di bawah ini berupa data sebaran gelombang laut di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang menyajikan informasi mengenai jumlah kejadian satu-tahunan variasi tinggi gelombang laut. Data yang digunakan adalah data tinggi gelombang laut terbesar berdasarkan arah angin dalam periode 14 tahun (1991-2004) dengan jumlah sampel π = 14. Tujuan dari subbab ini adalah menduga parameter π dari data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan.
61
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 62
Tabel 4.1 Tinggi gelombang signifikan maksimum per arah per tahun di laut dalam (m) Gelombang Terbesar Tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang (Diramal Berdasarkan Data Angin dari Stasiun Makassar)
No
Tahun
Utara
Selatan
Barat Daya
Barat
Barat Laut
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
0.56 1.61 0.69 1.38 1.2 1.13 1.09 0.94 3.49 1.16 2.1 2.36 1.48 1.29
0.23 0.67 0.94 1.27 0.56 0.41 0.41 0.55 0.59 0.4 0.59 0.76 1.28 0.65
0.34 0.49 1.09 1.94 0.76 0.56 0.58 0.50 0.93 0.44 0.95 1.09 1.47 1.19
1.27 1.49 2.47 1.00 1.45 1.80 1.16 1.00 1.29 1.00 1.06 2.15 2.33 2.75
1.13 0.94 1.03 1.68 1.27 2.00 4.04 1.68 1.48 1.38 2.24 1.34 3.15 3.54
Tinggi Gelombang Terbesar (π₯π ) 1.27 1.61 2.47 1.94 1.45 2.00 4.04 1.68 3.49 1.38 2.24 2.36 3.15 3.54
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Rayleigh Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah fungsi nonlinear. Oleh karena itu, dilakukan transformasi ke fungsi linear dengan menggunakan transformasi logaritma. Berdasarkan persamaan 3.1 transformasi logaritma dari distribusi Rayleigh adalah π₯ = πββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π )) Data tinggi gelombang yang mengikuti distribusi Rayleigh akan ditransformasikan dalam bentuk regresi linear sederhana yang diberikan oleh ππ = π½1 + π½1 π₯π
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 63
dengan ππ = π₯π , π½0 = 0, π½1 = π, dan
ππ = ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π )), dengan π =
1,2, β¦ , π, π₯π = tinggi gelombang laut terbesar. Misalkan untuk π = 1 π₯1 = ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯1 )) π1 = π₯1 Dengan langkah yang sama, maka akan di dapatkan π₯2 dan π2 sampai π₯14 dan π14 . 2. Pendugaan Parameter Berdasarkan persamaan 3.2 penduga dari π adalah βππ=1 (ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))) π₯π πΜ =
βππ=1(β2 β ln(1 β πΉ(π₯π )))
karena 1 β πΉ(π₯π ) > 0 maka πΉ(π₯π ) < 1 dengan demikian πΉ(π₯π ) diduga dengan yaitu πΉΜ (π₯π ) =
π
1
, bukan dengan βππ=1 1(π₯π β€ π₯) sebagaimana definisi 2.26.
π+1
π
Jadi pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan yang diduga dengan πΜ, sehingga diperoleh hasil βππ=1 (ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))) π₯π πΜ = =
βππ=1(β2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))) 43.65052 25.44296
= 1.715623 sehingga fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh diperoleh sebagai berikut 2
βπ₯ π₯ ( 2) 2(1.715623) π(π₯) = π . (1.715623)2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 64
Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P.Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.8. Arti π(π₯) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu 2.3
2.3
2
βπ₯ βπ₯ 2 π₯ 1 ( 2) 2(1.715623) π(π₯) = β« π ππ₯ = β« π₯π 5.88672 ππ₯ (1.715623)2 1.715623 2
2
βπ₯ 2
β2π₯
Misal π’ = 5.88672 maka ππ’ = 5.88672 ππ₯ ,
5.88672 β2π₯
ππ’ = ππ₯, lalu akan dihitung
terlebih dahulu βπ₯ 2
β« π₯ π 5.88672 ππ₯ = β« π₯ π π’
5.88672 5.88672 ππ’ = β« π π’ ππ’ = β2.94336 π π’ + π β2π₯ β2 βπ₯ 2
= β2.94336 π 5.88672 + π sehingga 2.3
2.3
βπ₯ 2 βπ₯ 2 1 2.94336 18.99 5.88672 π(π₯) = β« π₯π ππ₯ = β (π )| 1.715623 1.715623 2 2
β2.32
β22
= β1.715623 (π 5.88672 β (π 5.88672 )) = β1.715623(π β0.8986 β (π β0.6794 )) = β1.715623(0.40713 β 0.50692) = β1.715623(β0.09979) = 0.171202 Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah 0.171202.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
0.35
65
0.10
0.15
0.20
f
0.25
0.30
dist Rayleigh data asli
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Xi
Gambar 4. 1 Grafik distribusi Rayleigh dengan parameter skala π = 1.715623 Grafik diatas diproduksi dengan program R pada lampiran A.9.
B.
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum Pendugaan parameter distribusi Rayleigh juga dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. Prinsip dasar Metode Kemungkinan
Maksimum
adalah
menduga
parameter
distribusi
yang
memaksimumkan fungsi likelihood. Berdasarkan persamaan 3.3 fungsi likelihood dari distribusi Rayleigh adalah π
πΏ (π₯1 , π₯2 , . . . , π₯π ; π
2)
= β π (π₯π , π 2 ) = π=1
π 1 β β π₯2π 2 2π π β π₯π π 2π π=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 66
Berdasarkan persamaan 3.6 penduga dari π yaitu β π₯π 2 Μ β π = 2π Pendugaan parameter data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan Metode Kemungkinan Maksimum dilakukan dengan Ms. Excel, berikut ini adalah hasil pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum β π₯π 2 86.4418 πΜ = β =β = 1.757045. 2π 2 β 14 Jadi fungsi probabilitas dari distribusi Rayleigh adalah 2
βπ₯ π₯ ( ) 2(1.757045)2 π(π₯)= π (1.757045)2
Penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.10. Arti π(π₯) yang merupakan penyelesaian pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kemungkinan Maksimum menyatakan distribusi peluang dari tinggi gelombang terbesar. Sebagai contoh dapat dihitung peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] yaitu 2.3
2.3
2
βπ₯ βπ₯ 2 π₯ 1 ( 2) 2(1.757045) 6.174414 π(π₯) = β« π ππ₯ = β« π₯π ππ₯ (1.757045)2 1.757045 2
2
βπ₯ 2
β2π₯
Misal π’ = 6.174414 maka ππ’ = 6.174414 ππ₯ , dihitung terlebih dahulu
6.174414 β2π₯
ππ’ = ππ₯, lalu akan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 67
β«π₯
βπ₯ 2 6.174414 π ππ₯
= β« π₯ ππ’
6.174414 6.174414 ππ’ = β« π π’ ππ’ = β3.0872 π π’ + π β2π₯ β2
= β3.0872 β
βπ₯ 2 π 6.174414
+π
sehingga 2.3
2.3
βπ₯ 2 βπ₯ 2 1 3.0872 π(π₯) = β« π₯π 6.174414 ππ₯ = β (π 6.174414 )| 1.757045 1.757045 2 2
=
β2.32 6.174414 β1.757045 (π
β
β22 6.174414 (π ))
= β1.757045(π β0.85676 β (π β0.64783 )) = β1.757045(0.424535 β 0.523179) = β1.757045(β0.098644) = 0.17332194 Jadi, peluang terjadinya tinggi gelombang terbesar dalam interval [2, 2.3] adalah
0.35
0.17332194.
0.10
0.15
0.20
f
0.25
0.30
dist Rayleigh data asli
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Xi
Gambar 4. 2 Grafik fungsi probabilitas distribusi Rayeligh dengan π = 1.757045 Grafik diatas diproduksi dengan program R yang dilampirkan pada lampiran A.11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 68
Selang Kepercayaan terhadap parameter π Dalam skripsi ini juga akan dibahas selang kepercayaan terhadap parameter π untuk bentuk umum dari setiap signifikansi πΌ = 0.05 dan tingkat kepercayaan 1 β πΌ = 0.95 pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan adalah β π₯π 2
Pr [β(
(1 + (1 β πΌ)) π2 ( ; 2π) 2
< π< )
86.4418
Pr
(2 π2 ( [β(
β 0.05) ; 2(14)) 2
Pr [β(
86.4418 π 2 (0.975; 28)
β π₯π 2 (1 β (1 β πΌ)) π2 ( ; π) 2 β( )] 86.4418
< π< )
(0.05) π2 ( ; 2(14)) β(
2
= 0.95
= 0.95
)]
86.4418 ) < π < β( 2 ) ] = 0.95 π (0.025; 28)
Dengan melihat tabel Chi-Square (π 2 ) pada lampiran A.12 maka diperoleh Pr [β(
86.4418 86.4418 ) < π < β( ) ] = 0.95. 44.461 15.308
Pr[ β1.9442π < β5.6468 ] = 0.95. Pr[1.39434 < π < 2.37629 ] = 0.95. Berarti kita percaya bahwa 95% bahwa nilai π pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan diantara 1.39434 < π < 2.37629.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 69
C. Uji Distribusi Rayleigh menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov Pengujian ini dilakukan untuk mengecek bahwa model yang telah diduga berdistribusi Rayleigh. Data tinggi gelombang laut pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang, Sulawesi Selatan akan diperiksa apakah data tersebut merupakan data yang berdistribusi Rayleigh dengan menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov. Dengan langkah-langkah sebagai berikut 1. π»0 = data berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter π = 1.757045 2. π»1 = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tingkat signifikansi πΌ = 0.05 4. Statistik Uji: π·π = max(π·+ , π·β ) 5. Wilayah kritis π»0 ditolak jika π·π β₯ π·π‘ππππ = 0.34890 6. a) Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar b) Akan dihitung πΉ0 (π₯) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari π₯2
distribusi Rayleigh, yaitu πΉ(π₯) = 1 β exp (β (2π2 )) c) Berdasarkan definisi 2.26 akan dihitung fungsi distribusi empiris πΉπ (π₯) d) Berdasarkan definisi 2.27 akan dihitung nilai π·+ dan π·β dan menentukan maksimum dari π·π = max(π·+ , π·β ) Tabel 4.2 Perhitungan Uji Kolmogorov-Smirnov pada data tinggi gelombang laut
1 2 3 4 5 6 7
1.27 1.38 1.45 1.61 1.68 1.94 2.00
0.2299 0.2654 0.2886 0.3428 0.3669 0.4564 0.4768
0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000
0.0000 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286
-0.1585 -0.1225 -0.0743 -0.0571 -0.0097 -0.0278 0.0232
0.2299 0.1940 0.1457 0.1285 0.0812 0.0993 0.0483
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 70
0.5563 0.5943 0.6277 0.7995 0.8609 0.8686 0.9289 Maksimum
2.24 2.36 2.47 3.15 3.49 3.54 4.04
0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 08571 0.9286 1.0000
0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286
0.0151 0.0486 0.0866 -0.0138 -0.0038 0.0600 0.0711 0.0866
0.0563 0.0228 -0.0151 0.0852 0.0752 0.0115 0.0003 0.2299
Grafik F0(xi) Grafik Fn(xi)
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
π·π = max(π·+ , π·β ) = 0.2299
f0
8 9 10 11 12 13 14
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
xi
Gambar 4. 3 Grafik πΉ0 (π₯(π) ) dan πΉπ (π₯(π) ) Grafik tersebut diproduksi dengan program R pada lampiran A.13 7. Kesimpulan π»0 diterima sebab π·π = 0.2299 β€ π·π‘ππππ = 0.34890, maka data diatas berdistribusi Rayleigh dengan skala parameter π = 1.757045.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 71
D.
Perbandingan
Pendugaan
parameter
distribusi
Rayleigh
dengan
menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Dalam skripsi ini penulis akan membandingan pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum dengan menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error).
Dalam Jurnal Comparation of Estimation of Parameters for The
Rayleigh Distribution, menyatakan bahwa Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dapat dihitung sebagai berikut π
1 2 πππΈ = β[πΉΜ (π₯π ) β πΉ(π₯π )] π
(4.1)
π=1
2
π π₯ dengan πΉ(π₯π ) = π+1 dan πΉΜ (π₯π ) = 1 β exp (β (2π2 )).
Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang minimum. Berdasarkan pendugaan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menggunakan Metode Kuadrat Terkecil diperoleh πΜ = 1.715623 dan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum diperoleh πΜ = 1.757045. Akan dilakukan perbandingan metode yang terbaik dengan menggunakan hasil MSE yang akan dihitung berdasarkan persamaan (4.1). Berdasarkan persamaan (4.1), MSE dari Metode Kuadrat Terkecil adalah π
1 2 πππΈ = β[πΉΜ (π₯π ) β πΉ(π₯π )] = 0.062033 π π=1
sedangkan MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah π
1 2 πππΈ = β[πΉΜ (π₯π ) β πΉ(π₯π )] = 0.060726. π π=1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 72
Perhitungan MSE dengan Program R dilampirkan pada lampiran A.14 Berdasarkan hasil perhitungan MSE di atas maka dapat dilihat bahwa MSE yang paling minimum adalah MSE dari Metode Kemungkinan Maksimum. Maka metode yang terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang adalah Metode Kemungkinan Maksimum.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan Distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu yang diperkenalkan oleh Lord Rayleigh pada tahun 1880. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Dalam skripsi ini pendugaan parameter distribusi Rayleigh menggunakan dua metode, yakni Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Konsep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah mengestimasi parameter dengan memilih garis regresi yang terdekat dengan semua data yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedangkan, konsep dari Metode Kemungkinan Maksimum adalah mengestimasi parameter distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Pendugaan parameter π dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga dengan πΜ dapat dirumuskan sebagai βππ=1 (ββ2 β ln(1 β πΉ(π₯π ))) π₯π πΜ =
βππ=1(β2 β ln(1 β πΉ(π₯π )))
.
Sedangkan pendugaan parameter π dengan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) untuk distribusi Rayleigh yang diduga dengan πΜ dapat dirumuskan sebagai πΜ = β
β π₯π 2 . 2π
Pendugaan parameter distribusi Rayleigh diterapkan pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang. Pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil
73
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 74
(Least Square Method) diperoleh πΜ = 1.715623 yang berarti tinggi gelombang 1.715623 meter memiliki nilai peluang terbesar, sedangkan pendugaan parameter dengan menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) diperoleh πΜ = 1.757045. Untuk menentukan metode yang terbaik dalam pendugaan parameter distribusi Rayleigh penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) sebagai kriteria pembanding. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang paling minimum. Dari hasil penerapan pendugaan parameter distribusi Rayleigh pada data tinggi gelombang terbesar tahunan di Lepas Pantai P. Kalukalukuang menunjukkan bahwa Metode Kemungkinan Maksimum lebih baik dalam menduga parameter distribusi Rayleigh, karena memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) yang minimum.
B. Saran 1. Dalam skripsi ini hanya dibahas distribusi Rayleigh dengan parameter tunggal, bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk membahas lebih lanjut tentang distribusi Rayleigh, misalnya distribusi Rayleigh dengan dua parameter. 2. Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah pendugaan parameter distribusi Rayleigh dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method), bagi pembaca yang ingin melanjutkan dapat menggunakan metode lain dalam menduga parameter distribusi Rayleigh. 3. Dalam penulisan skripsi ini hanya menggunakan satu data, bagi pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini penulis menyarankan untuk menggunakan lebih dari satu data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 75
DAFTAR PUSTAKA Al Mayali, Dr. Yahya Mahdi. & Al Shaibani, Irtifaa Abul Kadhum. (2013). A Comparison for Some of the Estimators of Rayleigh Distribution with Simulation. Journal of Kerbala University, 11 (4). Bain, Lee J., Engelhardt, Max. (1992). Introduction To Probability and Mathematical Statistics. Duxbury Press: Brooks/Cole. Best, D.J., Rayner, J.C.W & Thas, O. (2008). Easily applied tests of fit for the Rayleigh distribution. The Indian Journal of Statistics, 72 (2) :254-263. Evans, M., et al. Statistical Distributions. Third edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Fall, Prof. D. Joyce. (2014). Moments and the moment generating function. Math 217 Probability and Statistics. Lecture note. Hoffman, Dan., Karst, Otto J. (1975). The Theory of the Rayleigh Distribution and Some of Its Application. Journal of Ship Research, 9(3): 172-191. Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi. Mahdi, Smail. & Cenac, Myrtene. (2006). Estimating and Assessing the Parameters of The Logistic and Rayleigh Distributions from Three Methods of Estimation. Carrib J Math Comput Sci, 13: 25-34. Mkolesia, A.C., et al. (2016). Estimation of the Rayleigh Distribution Parameter. Transylvanian Review Journal, 24(8) 1158-1163. Ullah, Ehsan., Shahzad, Mirza N. (2016). βTransmutation of the two parameters Rayleigh distributionβ. International Journal of Advanced Statistics and Probability, 4(2): 95-101. Wackerley, D. D., Mendenhall, W. & Scheaffer, R. L. (2008). Mathematical Statistics with Applications. Duxbury: Thomson Brooks/Cole. Walck, Christian. (2007). Hand-book on Statistical Distributions for Experimentalists. Stockholm: University of Stockholm. W. J. Conover. (1999). Practical Nonparametric Statistical. 3rd Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. pp. 428-433. Wooldrige, Jeffrey M. (2009). Introduction Econometrics (4th Edition). SouthWestern: Cengage Learning. Kartikasari, Yualita. (2008). Desain Dermaga General Cargo dan Trestle Tipe Deck On Pile di Pulau Kalukalukuang Provinsi Sulawesi Selatan. Skripsi. Program Studi Teknik Kelautan. Fakultas Teknik Sipil dan Lingkungan. Institut Teknologi Bandung.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 76
LAMPIRAN
Lampiran A.1 : Grafik Distribusi Gamma dengan program R > library(VGAM) Loading required package: stats4 Loading required package: splines > x<-seq(0,15,length.out=1000) > plot(x, dgamma(x,shape=1,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="red") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=2,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="orange") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=3,scale = 2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="yellow") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=9,scale=0.5), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=7.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x, dgamma(x,shape=0.5,scale=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="violet") > legend("topright",c("Ξ²=1,Ξ±=2","Ξ²=2,Ξ±=2","Ξ²=3,Ξ±=2","Ξ²=5,Ξ±=1","Ξ²=9,Ξ±=0.5", "Ξ²=7.5,Ξ±=1","Ξ²=0.5,Ξ±=1"),col=c("red","orange","yellow","green","black","blue","vi olet"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 77
Lampiran A.2: Grafik Distribusi Chi-Square dengan program R > library(VGAM) > x<-seq(0,10,length.out=1000) > plot(x, dchisq(x,df=1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="brown") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=2), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=3), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=4), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="violet") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=6), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x, dchisq(x,df=9, ncp = 1), type = "l", ylim = c(0,0.5),las = 1, ylab = "f(x)", col="red") > legend("topright",c("v=1","v=2","v=3","v=4","v=6","v=9"),col=c("brown","green", "blue","violet","black","red"),lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 78
Lampiran A.3: Penyelesaian contoh 2.10 dengan program R > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data X Y 1 3 5 2 7 11 3 11 21 4 15 16 5 18 16 6 27 28 7 29 27 8 30 25 9 30 35 10 31 30 11 31 40 12 32 32 13 33 34 14 33 32 15 34 34 16 36 37 17 36 38 18 36 34 19 37 36 20 38 38 21 39 37 22 39 36 23 39 45 24 40 39 25 41 41 26 42 40 27 42 44 28 43 37 29 44 44 30 45 46 31 46 46 32 47 49 33 50 51 > x=data[,1] > y=data[,2] > plot(x,y, xlab="X", ylab="Y", ylim=c(0,60), xlim=c(0,60), pch=15, col="blue")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 79
> g=myline.fit <- lm(y ~ x) >g Call: lm(formula = y ~ x) Coefficients: (Intercept) 3.8296 > abline(g)
x 0.9036
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 80
Lampiran A.4: Tabel Kolmogorov-Smirnov n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Ξ±=0.20 0,900 0,684 0,565 0,493 0,447 0,410 0,381 0,359 0,339 0,323 0,308 0,296 0,285 0,275 0,266 0,258 0,250 0,244 0,237 0,232 0,226 0,221 0,216 0,212 0,208 0,204 0,200 0,197 0,193 0,190 0,177 0,165 0,156 0,148 0,142 0,136 0,131 0,126
Ξ±=0.10 0,950 0,776 0,636 0,565 0,509 0,468 0,436 0,410 0,387 0,369 0,352 0,338 0,325 0,314 0,304 0,295 0,286 0,279 0,271 0,265 0,259 0,253 0,247 0,242 0,238 0,233 0,229 0,225 0,221 0,218 0,202 0,189 0,179 0,170 0,162 0,155 0,149 0,144
Ξ±=0.05 0,975 0,842 0,708 0,624 0,563 0,519 0,483 0,454 0,430 0,409 0,391 0,375 0,361 0,349 0,338 0,327 0,318 0,309 0,301 0,294 0,287 0,281 0,275 0,269 0,264 0,259 0,254 0,250 0,246 0,242 0,224 0,210 0,198 0,188 0,180 0,172 0,166 0,160
Ξ±=0.02 0,990 0,900 0,785 0,689 0,627 0,577 0,538 0,507 0,480 0,457 0,437 0,419 0,404 0,390 0,377 0,366 0,355 0,346 0,337 0,329 0,321 0,314 0,307 0,301 0,295 0,290 0,284 0,279 0,275 0,270 0,251 0,235 0,222 0,211 0,201 0,193 0,185 0,179
Ξ±=0.01 0,995 0,929 0,829 0,734 0,669 0,617 0,576 0,542 0,513 0,486 0,468 0,449 0,432 0,418 0,404 0,392 0,381 0,371 0,361 0,352 0,344 0,337 0,330 0,323 0,317 0,311 0,305 0,300 0,295 0,290 0,269 0,252 0,238 0,226 0,216 0,207 0,199 0,192
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 81
75 80 85 90 95 100
0,122 0,118 0,114 0,111 0,108 0,106
Pendekatan n > 100
0,139 0,135 0,131 0,127 0,124 0,121
0,154 0,150 0,145 0,141 0,137 0,134
0,173 0,167 0,162 0,158 0,154 0,150
0,185 0,179 0,174 0,169 0,165 0,161
1.07
1.22
1.36
1.52
1.63
βπ
βπ
βπ
βπ
βπ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 82
Lampiran A.5 : Program R untuk Gambar 2.5 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data i Xi 1 1 0.2 2 2 1.0 3 3 1.4 4 4 1.5 5 5 1.8 6 6 2.0 7 7 2.1 8 8 2.4 9 9 2.6 10 10 2.7 11 11 2.8 12 12 3.0 13 13 3.1 14 14 3.2 15 15 3.6 16 16 4.0 17 17 4.1 18 18 4.2 19 19 4.7 20 20 5.0 > xi=data[ ,2]
Fxi 0.004987521 0.117503097 0.217295462 0.245160398 0.333023189 0.393469340 0.423770926 0.513247744 0.570442642 0.597978617 0.624688901 0.675347533 0.699182046 0.721962700 0.802101301 0.864664717 0.877696547 0.889749475 0.936787297 0.956063066
Fn 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00
Fn.1 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95
D. 0.04501248 -0.01750310 -0.06729546 -0.04516040 -0.08302319 -0.09346934 -0.07377093 -0.11324774 -0.12044264 -0.09797862 -0.07468890 -0.07534753 -0.04918205 -0.02196270 -0.05210130 -0.06466472 -0.02769655 0.01025052 0.01321270 0.04393693
D..1 0.004987521 0.067503097 0.117295462 0.095160398 0.133023189 0.143469340 0.123770926 0.163247744 0.170442642 0.147978617 0.124688901 0.125347533 0.099182046 0.071962700 0.102101301 0.114664717 0.077696547 0.039749475 0.036787297 0.006063066
> f0=data[ ,3] > fn=data[ ,4] > plot(xi,f0, xlab="Xi", ylab="F",type="l",col="blue") > lines(xi,fn,col="red") > legend("topleft",c("F0(xi)","Fn(xi)"),col=c("blue","red"),pch=21:22,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 83
Lampiran A.6: Program untuk Gambar 3.1 > library(VGAM) Loading required package: stats4 Loading required package: splines > x<-seq(0,8,length.out=1000) > plot(x, drayleigh(x, scale = 0.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 0.8), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",col="magenta") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 1), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)",col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 1.5), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 2), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="red") > par(new=TRUE) > plot(x, drayleigh(x, scale = 3), type = "l", ylim = c(0,1.4),las = 1, ylab = "f(x)", col="yellow") > legend("topright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black","ma genta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 84
Lampiran A.7 : Program untuk Gambar 3.2 > x<-seq(0,8,length.out=1000) > f <- function(x,b){ 1-exp(-(x^2)/2*b^2)} > plot(x,f(x,0.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="black") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,0.8), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="magenta") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,1), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="blue") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,1.5), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="green") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,2), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="red") > par(new=TRUE) > plot(x,f(x,3), type = "l", ylim = c(0,1.1),las = 1, ylab = "F(x)", col="yellow") >legend("bottomright",c("b=0.5","b=0.8","b=1","b=1.5","b=2","b=3"),col=c("black", "magenta","blue", "green","red","yellow"),pch=21:22,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 85
Lampiran A.8 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode Kuadrat Terkecil > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang
F.xi.
1
1.27
0.06666667
2
1.61
0.13333333
3
2.47
0.20000000
4
1.94
0.26666667
5
1.45
0.33333333
6
2.00
0.40000000
7
4.04
0.46666667
8
1.68
0.53333333
9
3.49
0.60000000
10
1.38
0.66666667
11
2.24
0.73333333
12
2.36
0.80000000
13
3.15
0.86666667
14
3.54
0.93333333
> xi=data[,1] > Fxi=data[,2] > atas=(sqrt((-2)*log(1-Fxi)))*xi > bawah=((-2)*log(1-Fxi)) > b=(sum(atas))/(sum(bawah)) >b [1] 1.715623
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 86
Lampiran A.9 : Program untuk Gambar 4.1 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang 1
1.27
2
1.38
3
1.45
4
1.61
5
1.68
6
1.94
7
2.00
8
2.24
9
2.36
10
2.47
11
3.15
12
3.49
13
3.54
14
4.04
> b=1.715623 > xi=data[,1] > fMKT=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2))) > plot(xi,fMKT, xlab="Xi", ylab="f",col="blue",type="o") > x=seq(0,4.04,length.out=14) > f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2))) > lines(x,f,col="red",type="l") > legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("red", "blue"),pch=22:21,lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 87
Lampiran A.10 : Program untuk penyelesaian pendugaan dengan Metode Kemungkinan Maksimum > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang
F.xi.
1
1.27
0.06666667
2
1.61
0.13333333
3
2.47
0.20000000
4
1.94
0.26666667
5
1.45
0.33333333
6
2.00
0.40000000
7
4.04
0.46666667
8
1.68
0.53333333
9
3.49
0.60000000
10
1.38
0.66666667
11
2.24
0.73333333
12
2.36
0.80000000
13
3.15
0.86666667
14
3.54
0.93333333
> xi=data[,1] > Fxi=data[,2] > xi_kuadrat=xi^2 > n=14 > b=sqrt((sum(xi_kuadrat))/(2*n)) >b [1] 1.757045
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 88
Lampiran A.11 : Program untuk Gambar 4.2 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang 1
1.27
2
1.38
3
1.45
4
1.61
5
1.68
6
1.94
7
2.00
8
2.24
9
2.36
10
2.47
11
3.15
12
3.49
13
3.54
14
4.04
> b=1.757045 > xi=data[,1] > fMKM=xi/(b^2)*(exp((-xi^2)/(2*b^2))) > plot(xi,fMKM, xlab="Xi", ylab="f",col="green",type="o") > x=seq(0,4.04,length.out=14) > f=x/(b^2)*(exp((-x^2)/(2*b^2))) > lines(x,f,col="black",type="l") >legend("topright",c("dist Rayleigh","data asli"),col=c("green", "black"),pch=22:21, lty=1:1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 89
Lampiran A.12 : Tabel Chi-Square
d.f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 22 24 26 28 30 32 34 38 42 46 50 55
0.995 0 0.01 0.07 0.21 0.41 0.68 0.99 1.34 1.73 2.16 2.6 3.07 3.57 4.07 4.6 5.14 5.7 6.26 6.84 7.43 8.64 9.89 11.16 12.46 13.79 15.13 16.5 19.29 22.14 25.04 27.99 31.73
0.99 0 0.02 0.11 0.3 0.55 0.87 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 9.54 10.86 12.2 13.56 14.95 16.36 17.79 20.69 23.65 26.66 29.71 33.57
0.975 0 0.05 0.22 0.48 0.83 1.24 1.69 2.18 2.7 3.25 3.82 4.4 5.01 5.63 6.26 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 10.98 12.4 13.84 15.31 16.79 18.29 19.81 22.88 26 29.16 32.36 36.4
0.95 0 0.1 0.35 0.71 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 8.67 9.39 10.12 10.85 12.34 13.85 15.38 16.93 18.49 20.07 21.66 24.88 28.14 31.44 34.76 38.96
0.9 0.02 0.21 0.58 1.06 1.61 2.2 2.83 3.49 4.17 4.87 5.58 6.3 7.04 7.79 8.55 9.31 10.09 10.86 11.65 12.44 14.04 15.66 17.29 18.94 20.6 22.27 23.95 27.34 30.77 34.22 37.69 42.06
0.1 2.71 4.61 6.25 7.78 9.24 10.64 12.02 13.36 14.68 15.99 17.28 18.55 19.81 21.06 22.31 23.54 24.77 25.99 27.2 28.41 30.81 33.2 35.56 37.92 40.26 42.58 44.9 49.51 54.09 58.64 63.17 68.8
0.05 3.84 5.99 7.81 9.49 11.07 12.59 14.07 15.51 16.92 18.31 19.68 21.03 22.36 23.68 25 26.3 27.59 28.87 30.14 31.41 33.92 36.42 38.89 41.34 43.77 46.19 48.6 53.38 58.12 62.83 67.5 73.31
0.025 5.02 7.38 9.35 11.14 12.83 14.45 16.01 17.53 19.02 20.48 21.92 23.34 24.74 26.12 27.49 28.85 30.19 31.53 32.85 34.17 36.78 39.36 41.92 44.46 46.98 49.48 51.97 56.9 61.78 66.62 71.42 77.38
0.01 6.63 9.21 11.34 13.28 15.09 16.81 18.48 20.09 21.67 23.21 24.72 26.22 27.69 29.14 30.58 32 33.41 34.81 36.19 37.57 40.29 42.98 45.64 48.28 50.89 53.49 56.06 61.16 66.21 71.2 76.15 82.29
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 90
60 65 70 75 80 85 90 95 100
35.53 39.38 43.28 47.21 51.17 55.17 59.2 63.25 67.33
37.48 41.44 45.44 49.48 53.54 57.63 61.75 65.9 70.06
40.48 44.6 48.76 52.94 57.15 61.39 65.65 69.92 74.22
43.19 47.45 51.74 56.05 60.39 64.75 69.13 73.52 77.93
46.46 50.88 55.33 59.79 64.28 68.78 73.29 77.82 82.36
74.4 79.97 85.53 91.06 96.58 102.08 107.57 113.04 118.5
79.08 84.82 90.53 96.22 101.88 107.52 113.15 118.75 124.34
83.3 89.18 95.02 100.84 106.63 112.39 118.14 123.86 129.56
88.38 94.42 100.43 106.39 112.33 118.24 124.12 129.97 135.81
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 91
Lampiran A.13 : Program untuk Gambar 4.3 > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data i Xi f0 1 1 1.27 0.2299 2 2 1.38 0.2654 3 3 1.45 0.2886 4 4 1.61 0.3428 5 5 1.68 0.3669 6 6 1.94 0.4564 7 7 2.00 0.4768 8 8 2.24 0.5563 9 9 2.36 0.5943 10 10 2.47 0.6277 11 11 3.15 0.7995 12 12 3.49 0.8609 13 13 3.54 0.8686 14 14 4.04 0.9289 > f0=data[,3]
Fn 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286 1.0000
Fn.1 0.0000 0.0714 0.1429 0.2143 0.2857 0.3571 0.4286 0.5000 0.5714 0.6429 0.7143 0.7857 0.8571 0.9286
D. -0.1585 -0.1225 -0.0743 -0.0571 -0.0097 -0.0278 0.0232 0.0151 0.0486 0.0866 -0.0138 -0.0038 0.0600 0.0711
D..1 0.2299 0.1940 0.1457 0.1285 0.0812 0.0993 0.0483 0.0563 0.0228 -0.0151 0.0852 0.0752 0.0115 0.0003
> fn=data[ ,4] > xi=data[,2] > plot(xi,f0,type="l",col="blue") > lines(xi,fn,col="red") >legend("topleft",c("Grafik F0(xi)","Grafik Fn(xi)"), cex=0.8,col=c("blue","red"), pch=21:22, lty=1:2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 92
Lampiran A.14 : Perhitungan MSE untuk data tinggi gelombang terbesar di Pantai P. Kalukalukuang > data=read.csv(file.choose(),header=T) > data gelombang 1 1.27 2 1.61 3 2.47 4 1.94 5 1.45 6 2.00 7 4.04 8 1.68 9 3.49 10 1.38 11 2.24 12 2.36 13 3.15 14 3.54 > xi=data[,1]
F.xi. 0.06666667 0.13333333 0.20000000 0.26666667 0.33333333 0.40000000 0.46666667 0.53333333 0.60000000 0.66666667 0.73333333 0.80000000 0.86666667 0.93333333
> Fxi=data[,2] > b=1.715623 > FMKT=1-exp(-((xi^2)/(2*b^2))) > n=14 > MSE=(1/n)*sum((Fxi-FMKT)^2) > MSE [1] 0.06203295 > bMLE=1.757045
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI 93
> FMLE=1-exp(-((xi^2)/(2*bMLE^2))) > MSE2=(1/n)*sum((Fxi-FMLE)^2) > MSE2 [1] 0.06072646