Jurnal Gradien Vol. 11 No. 1 Januari 2015 : 1035-1039
Metode Estimasi Kemungkinan Maksimum dan Kuadrat Terkecil Tergeneralisasi pada Analisis Pemodelan Persamaan Struktural Dian Agustina Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Bengkulu, Indonesia Diterima 8 November; Disetujui 10 Desember 2014
Abstrak - Tujuan dari penelitian ini adalah untuk melihat bagaimana fungsi discrepancy metode estimasi kemungkinan maksimum menjadi hampiran dari metode estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi pada model persamaan struktural. Data pertama dari variabel faktor sosial yang mempengaruhi variabel faktor lingkungan dan kepuasan kerja karyawan HBAT, serta data kedua berupa matriks kovarian dari Wheaton, diterapkan pada kedua metode estimasi parameter dalam model. Hasil penelitian menunjukkan bahwa parameter-parameter yang diperoleh dari metode estimasi kemungkinan maksimum menghampiri parameter-parameter yang diperoleh dari metode estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi dengan sangat dekat. Kata Kunci: Model Persamaan Struktural, Metode Kemungkinan Maksimum, Kuadrat Terkecil Tergeneralisasi 1. Pendahuluan Pemodelan Persamaan Struktural atau Stuctural Equation Modeling (SEM) adalah sekumpulan alat atau teknik-teknik statistika yang memungkinkan tidak hanya mendapatkan model hubungan namun juga pengujian sebuah rangkaian hubungan yang simultan [1]. Hubungan tersebut dapat dibangun antara satu atau beberapa variabel dependen dengan satu atau beberapa variabel independen.
Untuk membuat pemodelan yang lengkap beberapa langkah berikut ini perlu dilakukan [1]. 1. Pengembangan model berbasis teori. 2. Pengembangan diagram alur untuk menunjukkan hubungan kausalitas, 3. Konversi diagram alur kedalam serangkaian persamaan struktural dan spesifikasi model pengukuran. 4. Pemilihan matriks input dan teknik estimasi atas model yang dibangun. 5. Menilai problem identifikasi. 6. Evaluasi model (asumsi-asumsi dan uji statistik). 7. Interpretasi dan modifikasi model.
Poin 4 di atas menyiratkan bahwa pemilihan teknik atau metode estimasi merupakan salah satu hal yang penting untuk membangun sebuah model. Beberapa metode estimasi parameter yang dapat digunakan dalam pemodelan ini, diantaranya adalah Maximum Likelihood Estimation (MLE) atau Kemungkinan Maksimum, Generalized Least Square (GLS) atau Kuadrat Terkecil Tergeneralisasi, Unweighted Least Square (ULS), Scale-free Least Square (SLS), dan Asymptotically distribution-free (ADF). Metode estimasi mana yang dipilih salah satunya bergantung pada dipenuhi atau tidaknya asumsi normalitas. Misalnya, ADF dipilih bila asumsi normalitas tidak dipenuhi. Sedangkan MLE dan GLS dipilih bila asumsi normalitas dipenuhi [4]. Dengan asumsi xΣ ~ N p ( µ, mencocokkan matriks
) , pendekatan klasik SEM kovarian sampel S dan Σ (θ )
dengan fungsi discrepancy. Masing-masing teknik estimasi memiliki fungsi discrepancy yang berbeda-beda. Terdapat hubungan antara fungsi discrepancy metode kemungkinan maksimum dan fungsi discrepancy metode kuadrat terkecil tergeneralisasi [4]. Hubungan tersebut yaitu 1035
Dian Agustina / Jurnal Gradien Vol. 11 No. 1 Januari 2015 : 1035-1039
fungsi discrepancy metode kemungkinan maksimum dapat dipandang sebagai sebuah hampiran untuk fungsi discrepancy dari metode generalized least square. Dalam tulisan ini akan dilihat mengenai metode kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi sebagai metode estimasi dalam SEM. Model Persamaan Struktural
Teori-teori substantif dalam bidang pendidikan, kesehatan, ilmu sosial biasanya terdiri dari dua variabel, variabel manifes (terobservasi) dan variabel laten. Variabel manifes adalah variabel yang dapat diukur secara langsung, misalnya pendapatan, nilai tes, tekanan darah sistolik, dan berat. Sering kali terdapat variabel yang tidak bisa diukur secara langsung oleh sebuah variabel manifes. Misalnya kecerdasan, kepribadian, kemampuan kuantitatif, tekanan darah, dan kondisi kesehatan. Karakteristik variabel semacam ini dapat diukur secara parsial oleh kombinasi linier dari beberapa variabel manifes. Misalnya tekanan darah seorang pasien dapat diukur dengan tekanan darah sitolik dan tekanan darah diastolik. Dalam beberapa penelitian dibangun sebuah model untuk mengevaluasi hipotesis mengenai dampak variabel laten dan variabel manifes pada variabel lain, dan juga kesalahan pengukuran. Model Persamaan Struktural (SEM) dikenal baik sebagai metode statistika yang dapat digunakan untuk tujuan di atas. SEM dapat diaplikasikan pada banyak bidang, seperti pada penelitian lingkungan yang mengivestigasi bagaimana polusi air dan udara mempengaruhi kesehatan, atau dalam penelitian pendidikan yang mengukur pertumbuhan kecerdasan serta hubungannya dengan kepribadian dan lingkungan sekolah, atau dalam penelitian di bidang kesehatan yang menganalisis kualitas kesehatan, dan lain sebagainya. SEM terdiri dari dua komponen. Komponen pertama adalah model analisis faktor konfirmatori dari variabel laten ke seluruh variabel manifes (indikator) dan sering dikenal sebagai model pengukuran. Komponen ini
dapat dipandang sebagai model regresi antara variabel manifes dan variabel laten. Komponen kedua juga merupakan regresi tipe model struktural antara variabel laten endogen (bebas) dengan variabel laten eksogen (terikat) [5]. Dalam SEM, matriks kovarian dari vektor random manifes y terdiri dari seluruh parameter yang terdapat dalam model. Oleh karena itu metode klasik dalam analisis SEM fokus pada matriks kovarian S dan bukan vektor random yi. Ini menyebabkan formula matriks kovarian Σ ( θ ) , yang merupakan matriks fungsi dari vektor parameter θ yang tidak diketahui, diestimasi dengan meminimumkan atau menaksimumkan fungsi objektif yang mengukur ketidakcocokan antara S dan Σ ( θ ) . Fungsi ini disebut dengan fungsi discrepancy. Fungsi Discrepancy Metode Kemungkinan Maksimum Metode Kemungkinan Maksimum atau Maximum Likelihood Estimation (MLE) merupakan metode paling populer dalam menghasilkan estimator dan salah satu metode yang sering digunakan untuk mengestimasi nilai parameter. Metode kemungkinan maksimum juga merupakan metode yang paling banyak digunakan dalam praktek dan prosedur SEM. Fungsi discrepancy dari metode ini adalah FML SΣ , (θ ) = logΣ −1 (θ ) +tr SΣ − log S − p.
−1
(θ ) (1)
Dan turunan pertamanya terhadap θi adalah
∂Σ (θ ) ∂FML = tr Σ −1 (θ ) ( Σ (θ ) − S ) Σ −1 (θ ) (2) ∂θi ∂θi Dengan asumsi bahwa S konvergen dalam peluang ke Σ , turunan keduanya terhadap θi adalah
Σ −1 (θ ) ∂Σ (θ ) Σ −1 (θ ) ∂Σ (θ ) ∂ 2 FML = tr ∂θi ∂θ j ∂θ i ∂θ j Fungsi Discrepancy Tergeneralisasi
Metode
Kuadrat
(3)
Terkecil
Fungsi discrepancy metode kuadrat terkecil tergeneralisasi adalah
1036
Dian Agustina / Jurnal Gradien Vol. 11 No. 1 Januari 2015 : 1035-1039
= FGLS
(
1 tr I − S −1Σ (θ ) 2
)
2
(4)
[3]. Turunan pertamanya terhadap θi adalah (5)
dan dengan asumsi yang sama pada metode kemungkinan maksimum, diperoleh S −1∂Σ (θ ) S −1∂Σ (θ ) ∂ 2 FGLS = tr (6) ∂θi ∂θ j ∂θ j ∂θi sebagai turunan keduanya terhadap θi . Prosedur estimasi Estimasi parameter diperoleh dari peminimuman fungsi discrepancy. Fungsi discrepancy metode kemungkinan maksimum dan metode kuadrat terkecil tergeneralisasi, sebut F, diminimumkan dengan iterasi secara numerik dengan metode skoring Fisher. Proses minimisasi dimulai pada sebarang nilai awal θ ( ) dan kemudian menggunakan 1
(
) ( )
2 3 s +1 s titik baru θ ( ) , θ ( ) , .... dimana F θ ( ) < F θ ( )
sampai diperoleh kekonvergenan. s)
Membuat kesimpulan berdasarkan hasil estimasi yang diperoleh. 3. Hasil dan Pembahasan
∂Σ (θ ) ∂FGLS = tr S −1 ( Σ (θ ) − S ) S −1 ∂θi ∂θi
Misalkan g (
4.
adalah vektor gradien ∂F ∂θ
Data 1 mengenai keinginan HBAT untuk melihat pengaruh faktor sosial terhadap faktor lingkungan dan kepuasan kerja pegawainya [2]. Variabel dependennya adalah faktor lingkungan (η1 ) dan kepuasan kerja
(η2 ) ,
sedangkan
variabel independennya adalah bagaimana tanggapan mereka tentang rekan kerja (ξ ) . Ketiga variabel ini dapat didefinisikan sebagai konstruk laten. Masing-masing konstruk laten diukur dengan beberapa variabel indikator, misalnya tanggapan tentang rekan kerja diukur dengan (1) seberapa senang Anda bekerja dengan rekan kerja Anda?, (2) bagaimana kesan Anda terhadap rekan kerja Anda?, (3) seberapa sering Anda berhubungan dengan rekan kerja Anda di luar jam kerja?, dan (4) secara umum, adakah kesamaan antara Anda dengan rekan kerja Anda? Untuk keperluan penelitian ini, dengan menggunakan 400 responden yang keseluruhannya adalah karyawan HBAT, diajukan model hubungan konstruk seperti di bawah ini.
pada
θ = θ( ) . Misalkan pula E( s ) adalah matriks informasi dari s
s (3) dan (6) pada θ = θ( ) . Maka dengan menyelesaikan
( ) Eδ s
(s)
(s)
= g
(7)
metode skoring Fisher akan menghitung sebuah vektor s koreksi δ( ) dan kemudian menghitung sebuah titik baru dengan
) θ( = θ( ) − δ( ) . s +1
s
s
Metode ini membutuhkan E( tiap iterasi [4].
(8) s)
dan penyelesaian (7) pada Gambar 1. Model Hubungan dari Data HBAT.
2. Metode Penelitian Prosedur penelitian yang akan dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Mengumpulkan data contoh dari referensi. 2. Menerapkan masing-masing metode estimasi pada setiap data contoh dengan menggunakan bantuan software AMOS 18. 3. Merekapitulasi hasil etimasi.
Dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum (MLE) dan kuadrat terkecil tergeneralisasi (GLS) diperoleh estimasi parameter dan statistik uji seperti pada tabel berikut ini.
1037
Dian Agustina / Jurnal Gradien Vol. 11 No. 1 Januari 2015 : 1035-1039
MLE
θˆ
GLS SE
θˆ
SE
kuadrat terkecil tergeneralisasi lebih kecil dari pada SE yang dihasilkan dari kemungkinan maksimum. Namun selisih yang ada di antara keduanya tidak begitu besar.
λ1
1
λ2
1,238
0,067
1,242
0,069
λ3
1,037
0,055
1,052
0,057
λ4
1,147
0,063
1,145
0,065
λ5
1
λ6
1,031
0,073
1,043
0,071
λ7
0,834
0,057
0,835
0,060
λ8
0,917
0,063
0,912
0,064
λ9
1
λ10
1,036
0,076
1,029
0,075
λ11
0,903
0,072
0,881
0,070
λ12
0,913
0,071
0,914
0,071
λ13
15,183
1,139
14,948
1,108
θ1
0,622
0,059
0,616
0,059
θ2
0,969
0,092
0,944
0,091
θ3
0,603
0,060
0,559
0,059
θ4
0,885
0,082
0,835
0,080
θ5
1,751
0,142
1,618
0,137
θ6
0,951
0,090
0,873
0,087
θ7
0,470
0,050
0,421
0,049
θ8
0,598
0,063
0,574
0,062
θ9
0,812
0,074
0,763
0,073
θ10
0,822
0,077
0,798
0,075
θ11
0,933
0,079
0,898
0,077
θ12
0,824
0,072
0,797
0,071
θ13 γ
198,057
17,818
179,167
17,082
0,273
0,063
0,273
0,065
β
0,189
0,047
0,184
0,047
φ
1,312
0,136
1,249
0,133
ψ1
1,498
0,202
1,456
0,198
λ1
1
ψ2
0,924
0,116
0,934
0,118
λ2
5,219
λ3
1
λ4
0,979
λ5
1
1
1
1
Dari hasil estimasi parameter di atas dapat dilihat bahwa metode kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi memberikan estimasi nilai yang hampir sama, begitu juga dengan SE. Sebagian besar SE dari estimasi
Tabel 2. Statistik Uji Model Data HBAT MLE 62,155 0,506 0,978 0,968 1,000 0,000
Chi-square Prob GFI AGFI TLI RMSEA
GLS 67,108 0,338 0,974 0,963 0,988 0,013
Metode estimasi kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi memberikan nilai-nilai statistik uji yang juga hanya berbeda sedikit saja. Selanjutnya, data kedua merupakan matriks kovarian dari penelitian Wheaton dan kawan-kawan [6]. Modelnya adalah sebagai berikut.
Gambar 2. Model Hubungan dari Data Wheaton. Dari data 2 diperoleh estimasi parameter dan statistik uji seperti berikut ini. Tabel 3. Estimasi Parameter Model Data Wheaton MLE
θˆ
GLS SE
θˆ
SE
1 0,426
5,220
0,429
1 0,062
0,980
0,063
1
1038
Dian Agustina / Jurnal Gradien Vol. 11 No. 1 Januari 2015 : 1035-1039
λ6
0,922
0,060
0,921
0,060
θ1
2,801
0,512
2,775
0,511
θ2
264,597
18,234
261,895
18,175
θ3
4,731
0,457
4,700
0,455
θ4
2,563
0,406
2,530
0,407
θ5
4,399
0,517
4,374
0,517
θ6
3,070
0,436
3,074
0,435
θ7
1,623
0,316
1,596
0,315
θ8
0,339
0263
0,330
0,262
γ1
-0,575
0,058
-0,573
0,058
γ2
-0,227
0,053
-0,226
0,052
β
0,607
0,051
0,608
0,051
φ
6,798
0,653
6,819
0,655
ψ1
4,841
0,462
4,861
0,464
ψ2
4,083
0,404
4,085
0,405
Serupa halnya dengan Tabel 1, Tabel 4 juga memberikan nilai yang hampir sama untuk kedua estimasi kemungkinan maksimum dan kuadrat terkecil tergeneralisasi, begitu juga dengan SE. Sebagian besar SE dari estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi terlihat lebih kecil dibandingkan SE yang dihasilkan dari metode kemungkinan maksimum kemungkinan maksimum, tetapi selisihnya tidak besar. Dapat dilihat pula bahwa statistik uji yang dihasilkan untuk data ini pada tabel berikut cenderung sama dengan perbedaan di perseribuan saja. Tabel 4. Statistik Uji Model Data Wheaton Chi-square Prob GFI AGFI TLI RMSEA
[3] 4. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan di atas dapat dilihat bahwa metode kemungkinan maksimum dan metode kuadrat terkecil tergeneralisai memberikan estimasi parameter dengan nilai yang hampir sama. Begitupun standar error (SE) yang dihasilkan kedua metode estimasi tersebut, juga menunjukkan nilai yang cenderung sama. Demikian pula yang dihasilkan untuk kedua statistik uji masing-masing metode estimasi, hanya berbeda sedikit saja. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa fungsi discrepancy dari metode estimasi kemungkinan maksimum memberikan hampiran yang sangat baik bagi metode estimasi kuadrat terkecil tergeneralisasi.
[4]
[5] [6]
MLE 4,730 0,316 0,998 0991 0,999 0,014
GLS 4,701 0,319 0,998 0,991 0,996 0,014
Joreskog, Karl G., dan Goldberger, Arthur S. 1972. Factor Analysis by Generalized Least Square. Psychometrika, Vol.37, No.3. Joreskog, Karl G. 1978. Structural Analysis of Covariance and Correlation Matrices. Psychometrika, Vol.43, No.4. Lee, Sik-Yum. 2007. Structural Equation Modeling: A Bayesian Approach. Amerika Serikat: Wiley. SAS Institute Inc. 2011. SAS/STAT 9.3 User’s Guide. Cary, NC: SAS Institute Inc.
Daftar Pustaka [1]
[2]
Ferdinand, A. 2002. Structural Equation Modeling Dalam Penelitian Manajemen. Semarang: BP UNDIP. Hair, Joseph F., Black, William C., Babin, Barry J., Anderson, Rolph E. 2010. Multiariate Data Analysis. Amerika Serikat: Prentice Hall.
1039
