MENENTUKAN KOEFISIEN REGRESI EKSPONENSIAL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA DAN METODE KUADRAT TERKECIL BERBOBOT

MENENTUKAN KOEFISIEN REGRESI EKSPONENSIAL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA DAN METODE KUADRAT TERKECIL BERBOBOT Riza Pahlevi1, Arisman Adnan2, Sigit Sugiarto2 1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia [email protected] ABSTRACT Relation between two variables x and y are not always linear, but also non-linear. Scatter diagram from non-linear relationship will show a pattern of data points that can be approximated by an exponential curve. The process of determining an exponential curve that best fits a data set called an exponential regression. In order to get the best an exponential regression curve was used a standard least square method with logarithm transformation. However, using this logarithm causes error change from error in the variable y to the error in the variable ln y. To overcome this problem, Glaister Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech.. 38 (2007): 422-427 proposes a least square method that is based on applying a weighting in the standard least square method that is based on the error in the logarithm of a variable. This method is called a weighted least square method that we discuss in this article. By comparing these two methods in the case of an exponential data, the performance of the weighted least square method is better than that of the standard least square method. Key words : exponential regression, standard least square method, weighted least square method. ABSTRAK Hubungan antara dua variabel x dan y tidak selalu bersifat linear, tetapi bisa juga non linear. Diagram pencar dari hubungan non linear akan menunjukkan suatu pola dari sebaran data yang dapat didekati dengan kurva eksponensial. Proses penentuan suatu kurva eksponensial yang paling sesuai dengan sekumpulan data disebut dengan regresi eksponensial. Untuk mendapatkan kurva regresi eksponensial yang sesuai, dapat digunakan metode kuadrat terkecil sederhana dengan menggunakan transformasi logaritma. Namun, dengan penggunaan logaritma ini mengakibatkan terjadi perubahan error yaitu error di variabel y menjadi error di variabel ln y. Untuk mengatasi ini, Glaister Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech.. 38 (2007): 422-427 menyarankan metode kuadrat terkecil yang didasarkan pada penerapan bobot dalam metode kuadrat terkecil sederhana yang didasarkan pada error dalam logaritma variabel. Metode inilah yang

1

didiskusikan disini yang dikenal dengan metode kuadrat terkecil berbobot. Dengan membandingkan hasil yang didapat oleh kedua metode tersebut pada kasus data eksponensial terlihat bahwa metode kuadrat terkecil berbobot lebih baik dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil sederhana. Kata kunci : metode kuadrat terkecil sederhana, metode kuadrat terkecil berbobot, regresi eksponensial. 1. PENDAHULUAN Hubungan antara dua variabel x dan y tidak selalu bersifat linear, akan tetapi bisa juga non linear. Diagram pencar dari hubungan yang linear akan menunjukkan suatu pola atau trend dari sebaran data yang dapat didekati dengan garis lurus, sedangkan yang non linear dapat didekati dengan kurva lengkung. Regresi dapat dibagi dua yaitu regresi linear dan regresi non linear. Regresi non linear dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu model linear intrinsik dan model non linear intrinsik [3,h.438]. Model linear intrinsik dapat diubah bentuknya menjadi linear yaitu dengan cara mentransformasikan variabelvariabelnya, salah satu contohnya adalah model eksponensial, sedangkan model non linear intrinsik tidak dapat dilinearkan melalui transformasi. Apabila terdapat sebaran data yang tidak tepat didekati dengan kurva linear atau garis lurus, maka dapat didekati dengan kurva non linear. Salah satu kurva non linear adalah kurva regresi eksponensial. Regresi eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan sekumpulan data. Regresi eksponensial ini merupakan pengembangan dari regresi linear dengan memanfaatkan fungsi logaritma. Salah satu bentuk fungsi eksponensial adalah y  ae bx . Untuk menentukan kurva regresi eksponensial, terlebih dahulu ditentukan koefisien regresinya dengan menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana. Untuk dapat menggunakan metode ini pada regresi eksponensial, maka fungsi eksponensial y  ae bx diubah ke bentuk linear dengan menggunakan logaritma natural, sehingga menghasilkan suatu persamaan linear yaitu ln y  ln a  bx. Namun, dengan penggunaan logaritma tersebut mengakibatkan terjadi perubahan error yaitu error di variabel y menjadi error di variabel ln y, sehingga perlu dipertimbangkan metode kuadrat terkecil yang didasarkan pada penerapan bobot dalam kuadrat terkecil sederhana. Metode ini disebut dengan metode kuadrat terkecil berbobot. Dengan diperoleh koefisien regresi eksponensial menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana dan metode kuadrat terkecil berbobot, maka diperoleh persamaan regresi eksponensial dan dapat dibandingkan residunya pada kasus data eksponensial.

2. FUNGSI EKSPONENSIAL Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabel bebasnya (x) merupakan pangkat dari suatu konstanta. Fungsi eksponensial biasanya digunakan untuk menggambarkan pertumbuhan atau peluruhan yang berlangsung secara kontinu dengan persentase perubahan konstan.

2

Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial, yaitu y  f ( x)  b x ,

b  0.

Fungsi eksponensial ini mempunyai dua basis, yaitu basis konstanta b dan basis bilangan e. Jika basis e digunakan dalam fungsi eksponensial, maka ia disebut sebagai fungsi eksponensial asli. Nilai taksiran dari e adalah 2,71828 yang dapat dibuktikan dengan mencari deret Maclaurin dari fungsi f (x) = ex [2,h.255].

Definisi 1 [6,h.387] Invers ln disebut fungsi eksponen asli dan ditulis sebagai exp yaitu x  exp y  y  ln x.

Definisi 2 [6,h.387] Bilangan e adalah bilangan real positif yang bersifat ln e  1. Fungsi eksponensial asli dapat diubah kebentuk linear dengan menggunakan logaritma asli. Sifat-sifat fungsi logaritma asli dapat dilihat pada Definisi 3 dan Teorema 1. Definisi 3 [6,h.372] Fungsi logaritma asli, ditulis sebagai ln didefinisikan dengan x

1 ln x   dt , t 1

x  0.

Teorema 1 [6,h.375] Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan rasional, maka : (i).

ln 1  0

(ii). ln ab  ln a  ln b (iii). ln

a  ln a  ln b b

(iv). ln a r  r ln a 3. METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA Regresi yang paling sederhana yaitu berupa garis lurus atau linear, dengan mengasumsikan hanya variabel y yang memiliki error, sedangkan untuk setiap x bernilai tetap. Untuk menentukan kurva linear atau garis lurus yang dapat mewakili sebaran data, dapat digunakan suatu metode pendekatan yang meminimumkan jumlah kuadrat error dari titik data pengamatan ke garis regresi. Metode pendekatan ini disebut dengan metode kuadrat terkecil sederhana. Metode ini digunakan untuk mendapatkan persamaan garis lurus pada sebaran data yang diamati, dengan harapan diperoleh jumlah

3

kuadrat error sekecil mungkin. Dalam menggunakan metode ini pada regresi, harus dipenuhi asumsi-asumsi dasarnya [5,h.79]. Bentuk model regresi linier sederhana dinyatakan dalam persamaan

Yi  mX i  c  ui .

(1)

Dari persamaan (1), maka error ke-i ditulis

ui  Yi  mX i  c. Dengan demikian, jumlah kuadrat error data terhadap garis regresi ditulis n

n

 ui2   Yi  mX i  c  . i 1

2

(2)

i 1

Sebagai nilai taksiran, dipilih mˆ dan cˆ. Untuk mendapatkan nilai mˆ dan cˆ didasarkan pada meminimumkan fungsi persamaan (2) dengan cara mendifferensialkan fungsi tersebut terhadap m dan c, lalu disamakan dengan nol.

 n 2  n 2 u   i m  ui  0. c i 1 i 1 4. METODE KUADRAT TERKECIL SEDERHANA UNTUK REGRESI EKSPONENSIAL Diagram pencar dari hubungan yang linear akan menunjukkan suatu pola dari sebaran data yang dapat didekati dengan garis lurus, sedangkan yang non linear dapat didekati dengan kurva lengkung. Regresi eksponensial digunakan untuk menentukan fungsi eksponensial yang paling sesuai dengan sekumpulan data. Untuk dapat menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana pada regresi eksponensial, maka fungsi eksponensial y  ae bx diubah ke bentuk linear dengan menggunakan logaritma asli yaitu menjadi ln y  ln a  bx. Dengan mengasumsikan hanya variabel ln y yang memiliki error sedangkan variabel x memiliki nilai tetap, maka model regresi linearnya adalah

ln yi  ln a  bxi   i .

(3)

Berdasarkan persamaan (3), maka error ke-i ditulis

 i  ln yi  ln a  bxi , untuk i  1,2,..., n , sehingga jumlah kuadrat errornya adalah n

n

S    i    ln yi  ln a  bxi  . i 1

2

2

i 1

4

(4)

Sebagai nilai taksiran, dipilih bˆ dan ln aˆ. Untuk mendapatkan nilai bˆ dan ln aˆ didasarkan pada meminimumkan fungsi S pada persamaan (4) dengan cara mendifferensialkan fungsi tersebut terhadap b dan ln a , lalu disamakan dengan nol.

 n 2  n 2   i  b   i  0.  ln a i 1 i 1 Dengan demikian, diperoleh nilai bˆ untuk kemiringan garis regresi dan nilai ln aˆ untuk perpotongan garis regresi terhadap sumbu y, berturut-turut yaitu n

bˆ 

n

n

n xi ln yi   xi  ln yi i 1

i 1

i 1

  n xi 2    xi  i 1  i 1  n

n

n

n

n

i 1

i 1

,

2

dan

ln aˆ 

n

 xi 2  ln yi  xi ln yi  xi i 1

  n xi 2    xi  i 1  i 1  n

n

i 1

2

.

5. METODE KUADRAT TERKECIL BERBOBOT UNTUK REGRESI EKSPONENSIAL Dengan penggunaan logaritma tersebut mengakibatkan perubahan error yaitu variabel y menjadi error di variabel ln y, sehingga perlu dipertimbangkan kuadrat terkecil yang didasarkan pada penerapan bobot dalam kuadrat sederhana [4]. Metode ini disebut dengan metode kuadrat terkecil berbobot. menggunakan teorema Taylor [1,h.216], diperoleh error di variabel ln y, yaitu    2 3  ln  y     ln y  ln 1     2  3    . y 3y  y  y 2y Artinya, error di ln y yaitu sekitar  y atau error di variabel y yaitu sekitar error di variabel ln y, sehingga error di variabel y dapat ditulis

error di metode terkecil Dengan

y dikali

 i  yi  i , atau

 i  yi ln yi  ln a  bxi .

5

(5)

Selain itu, karena kurva regresi eksponensial y atas x yang diinginkan daripada kurva linear ln y atas x dan error dalam y yang ingin diminimalkan serta berdasarkan persamaan (5), maka fungsi yang lebih tepat diminimalkan adalah : n

H   yi ln yi  ln a  bxi  , 2

i 1

atau n

H    yi ln yi  yi ln a  bxi yi  . 2

(6)

i 1

Sebagai nilai taksiran, dipilih qˆ dan ln pˆ . Untuk mendapatkan nilai qˆ dan ln pˆ didasarkan pada meminimumkan fungsi H pada persamaan (6) dengan cara mendifferensialkan fungsi tersebut terhadap b dan ln a , kemudian disamakan dengan nol. H H   0. b  ln a Dengan demikian, diperoleh nilai qˆ untuk kemiringan garis regresi dan nilai ln pˆ untuk perpotongan garis regresi terhadap sumbu y, berturut-turut yaitu

 n  n   n  n    xi yi2 ln yi   yi2     yi2 ln yi   xi yi2   i 1   i 1  i 1 , qˆ   i 1 2  n 2 2  n 2   n    xi yi   yi     xi yi2   i 1  i 1   i 1  dan

 n 2  n   n  n    yi ln yi   xi2 yi2     xi yi2 ln yi   xi yi2   i 1   i 1  i 1 . ln pˆ   i 1 2  n 2 2  n 2   n    xi yi   yi     xi yi2   i 1  i 1   i 1  6. SIMULASI DATA EKSPONENSIAL Untuk membandingkan metode kuadrat terkecil sederhana dengan metode kuadrat terkecil berbobot dalam regresi eksponensial, dilakukan simulasi dengan cara membentuk data eksponensial. Dengan fungsi eksponensial y  e 0,15x dan memilih x1  5 dengan xi memiliki jarak yang sama yaitu 2, maka dapat dibentuk data eksponensial dengan mempertimbangkan 2 tipe data :

6

1.

Errornya seragam yaitu   1,2 tetapi tanda ± dipilih secara acak, sehingga persamaannya menjadi y  e 0,15x   .

2.

Errornya berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan varians bernilai 0,2 sehingga persamaanya menjadi y  e 0,15x   .

Pada Tabel 1 dan 2 disajikan rata-rata residu dan jumlah kuadrat residu berturut-turut untuk tipe data ke-1 dan tipe data ke-2 dengan jumlah data 9, 10, 11, 12 dan 13. Tabel 1: Rata-rata Residu dan Jumlah Kuadrat Residu untuk Tipe Data ke-1

Jumlah Data 9 10 11 12 13

Metode Kuadrat Terkecil Sederhana Rata-rata Jumlah Kuadrat Residu Residu 1,32 28,36 1,21 27,82 1,46 56,90 1,53 58,80 1,63 81,83

Metode Kuadrat Terkecil Berbobot Rata-rata Jumlah Kuadrat Residu Residu 1,05 12,41 1,04 13,21 1,03 13,83 1,04 15,30 1,10 17,31

Tabel 2: Rata-rata Residu dan Jumlah Kuadrat Residu untuk Tipe Data ke-2

Jumlah Data 9 10 11 12 13

Metode Kuadrat Terkecil Sederhana Rata-rata Jumlah Kuadrat Residu Residu 0,37 2,57 0,44 4,42 0,47 4,55 0,49 5,59 0,50 8,37

Metode Kuadrat Terkecil Berbobot Rata-rata Jumlah Kuadrat Residu Residu 0,31 1,40 0,32 1,63 0,33 1,95 0,39 2,63 0,35 2,53

Pada Tabel 1 dan 2 dapat dilihat bahwa rata-rata residu dan jumlah kuadrat residu dari metode kuadrat terkecil berbobot untuk tipe data ke-1 dan tipe data ke-2 dengan melakukan 10 kali pembentukan data untuk setiap jumlah data lebih kecil dari rata-rata residu dan jumlah kuadrat residu dengan menggunakan metode kuadrat terkecil sederhana.

7

DAFTAR PUSTAKA [1]

Bartle, R.G. & D.R. Sherbert. 1994. Introduction to Real Analysis, Second Edition. John Wiley & Sons, New York.

[2]

Chiang, A.C. 1990. Dasar-dasar Matematika Ekonomi Edisi Ketiga. Terj. dari Fundamental Methods Of Mathematical Economics, 3rd Edition, oleh Sudigno, S. & Nartanto. Penerbit Erlangga, Jakarta.

[3]

Draper, N.R. & H. Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua. Terj. dari Applied Regression Analysis, Second Edition, oleh Sumantri, B. Penerbit Gramedia, Jakarta.

[4]

Glaister, P. 2007. Exponential curve fitting with Least Squares, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 38 (3) : 422-427.

[5]

Gujarati, D.N. & D.C. Porter. 2010. Dasar-dasar Ekonometrika Edisi Kelima. Terj. dari Basic Econometrics, Fifth Edition, oleh Mardanugraha, E., S. Wardhani & C. Mangunsong. Penerbit Salemba Empat, Jakarta.

[6]

Purcell, E.J. & D. Varberg. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis Edisi Kelima: Jilid 1. Terj. dari Calculus with Analytic Geometry, Fifth Edition, oleh Susila, I.N., B. Kartasasmita & Rawuh. Penerbit Erlangga, Jakarta.

8