REGRESI KUADRAT TERKECIL BANGUNAN UKUR DEBIT

REGRESI KUADRAT TERKECIL U N T U K K A L I B R A S I BANGUNAN UKUR DEBIT

oleh Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Oktober 1992

Penjelasan Cara Regresi Untuk Aplikasi di Lapangan

PRAKATA

Buku kecil yang berjudul “Regresi Kuadrat Terkecil Untuk Kalibrasi Bangunan Ukur Debit” ini berisikan penjelasan singkat mengenai cara regresi untuk bangunan ukur debit. Buku ini tidak menjelaskan secara rinci teori-teori statistik yang mendukung analisis regresi, karena diluar lingkup dari buku ini. Pembaca yang ingin mengetahui analisis regresi diharapkan mencari dari acuan-acuan diluar buku ini. Buku ini lebih merupakan petunjuk praktis bagi mahasiswa S1 maupun praktisi di lapangan. Dalam buku ini prinsip umum regresi dijelaskan secara singkat, kemudian aplikasinya untuk bangunan ukur debit dijelaskan. Walaupun penjelasannya hanya untuk bangunan ukur debit, namun konsep regresi ini dapat digunakan untuk setiap permasalahan di lapangan, asalkan variabel tak bebasnya masih tunggal. Semoga buku kecil ini berguna, kritik membangun sangatlah diharapkan.

Yogyakarta, Oktober 1992

Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D. Penyusun

Regresi Kuadrat Terkecil Untuk Kalibrasi Bangunan Ukur Debit

hal. ii Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.

DAFTAR ISI

halaman

1.

TINJAUAN UMUM REGRESI ..................................................................1 1.1. PENDAHULUAN ................................................................................1 1.2. REGRESI KUADRAT TERKECIL ......................................................2 1.3. REGRESI GARIS LURUS.....................................................................3 1.4. REGRESI PARABOLIS.........................................................................5 1.5. REGRESI POLINOMIAL.....................................................................6 1.6. REGRESI MULTI-VARIABEL ............................................................7 1.7. REGRESI DENGAN BENTUK TENTU ............................................8 1.7.1.

Kurva Exponensial ...................................................................8

1.7.2.

Kurva Geometris.......................................................................9

1.7.3.

Kurva Logaritmis......................................................................9

1.8. KOEFISIEN KORELASI.......................................................................9

2.

1.8.1.

Garis Lurus ..............................................................................10

1.8.2.

Kurva Parabolis.......................................................................11

1.8.3.

Kurva Polinomial dan Multi-Variabel .................................11

REGRESI UNTUK BANGUNAN UKUR AMBANG LEBAR .............12 2.1. UNTUK ALIRAN BEBAS..................................................................12 2.2. UNTUK ALIRAN MENYELAM ......................................................13


hal. iii Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.

DAFTAR GAMBAR

halaman Gambar 1.1. Kurva regresi y = y(x) beserta data yang diwakilinya...............2 Gambar 1.2. Visualisasi konsep koefisien korelasi.........................................10


hal. iv Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.

1. TINJAUAN UMUM REGRESI

1.1. PENDAHULUAN Dalam kalibrasi suatu bangunan ukur debit akan dilakukan pengukuran elevasi muka air dan debit yang melewati bangunan tersebut sebagai data primer. Dari data primer yang terkumpul akan dilakukan suatu analisis korelasi antara debit dengan elevasi muka air. Secara matematis terdapat banyak metode untuk mendapatkan korelasi tersebut, misalnya metode beda terbagi, polinomial interpolasi, polinomial minimum, dan polinomial kuadrat terkecil. Didalam suatu pekerjaan di lapangan, seperti kalibrasi bangunan ukur, pemakaian analisis korelasi seharusnya tidak murni dilakukan secara matematis. Analisis korelasi suatu kejadian dilapangan haruslah memperhatikan hukum-hukum fisika yang berlaku pada kejadian itu sendiri. Pada kasus bangunan ukur debit ambang lebar, secara fisika, hubungan antara debit dengan elevasi muka air mempunyai bentuk korelasi yang sudah tertentu. Analisis korelasi yang akan dilakukan haruslah mengacu pada bentuk tersebut. Dibawah ini akan dijelaskan secara rinci cara analisis korelasi bangunan ukur debit ambang lebar dengan menggunakan polinomial kuadrat terkecil yang sesuai dengan hukum fisika yang mengaturnya. Selanjutnya istilah metoda korelasi menggunakan polinomial kuadrat terkecil akan diganti istilah regresi kuadrat terkecil.


hal. 1 Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.

TINJAUAN UMUM REGRESI

Buku Praktis Regresi

1.2. REGRESI KUADRAT TERKECIL Pada prinsipnya analisis regresi adalah pencarian suatu kurva yang mewakili hubungan satu set data. Regresi kuadrat terkecil adalah suatu regresi dengan konstrainnya adalah jumlah kuadrat jarak vertikal setiap titik dalam data dengan kurva regresi menjadi minimum. Dalam Gambar 1.1 disajikan satu set data hasil pengukuran (xi, yi) untuk i = 1, 2, …, N, dengan N adalah jumlah data atau jumlah pengukuran. Dalam Gambar 1.1 disajikan pula kurva sembarang y = y(x) yang menggambarkan korelasi teoretis antara x dengan y. Dalam kalibrasi bangunan ukur dapat dibayangkan bahwa y mewakili debit dan x mewakili elevasi muka air. xN,yN

y

dN x3,y3 d3 d2 x2,y2

E:\Publikasi\Regresi Utk Kalibrasi\Regresi Untuk Kalibrasi Baru.doc (222 Kb)

d1 x1,y1

y=y(xi)

dN-1 xN-1,yN-1

Jarak: di = y(xi)- yi x

Gambar 1.1. Kurva regresi y = y(x) beserta data yang diwakilinya Definisi: Dari semua kurva pendekatan terhadap satu set data, kurva yang 2 2 2 mempunyai sifat bahwa nilai d1 + d 2 + ... + d N adalah minimum, disebut dengan kurva terbaik yang mewakili data. Kurva yang mempunyai sifat itu disebut dengan kurva kuadrat terkecil. Kurva itu sendiri secara teoretis dapat berupa garis, parabola, atau polinomial berderajad tinggi maupun kurva-kurva jenis yang lain. Jadi analisis regresi tidak memberikan petunjuk kurva jenis yang mana





yang harus dipakai, tetapi analisis ini memberikan untuk satu jenis kurva (misalnya garis lurus) yang terbaik mewakili data.

1.3. REGRESI GARIS LURUS Untuk mengenalkan konsep analisis regresi kuadrat terkecil akan diawali dengan analisis regresi garis lurus. Pada kasus ini diandaikan terdapat satu set data pengukuran (x1,y1), (x2,y2), …, (xN,yN) yang akan diwakili dengan garis lurus y = a + bx

(1.1)

dengan a dan b adalah konstanta yang akan dihitung dengan metode kuadrat terkecil. Pertama kali adalah dihitung jarak vertikal setiap datum dengan garis lurus diatas di = a + bxi – yi

(1.2)

Dalam Pers.(1.2) harus diingat bahwa (xi, yi) telah diketahui dari data pengukuran. Jika disyaratkan agar ∆ = d1 + d 2 + ... + d N harus minimum, maka syarat itu mempunyai makna bahwa 2


(

2

2

)

∂∆ ∂ 2 2 2 = d1 + d 2 + ... + d N = 0 ∂a ∂a = 2(d1 + d 2 + ... + d N ) = 0 N

= 2∑ (a + bxi − y i ) = 0 i =1

atau

N

N

i =1

i =1

aN + b∑ xi = ∑ y i

(1.3a)

(

)

∂∆ ∂ 2 2 2 = d1 + d 2 + ... + d N = 0 ∂b ∂b = 2(d1 x1 + d 2 x 2 + ... + d N x N ) = 0 N

(

)

= 2∑ axi + bxi − xi y i = 0 i =1

2




atau

N

N

i =1

i =1


N

a ∑ xi + b∑ x i = ∑ xi y i 2

(1.3b)

i =1

Dalam bentuk matrik Pers.(1.3a) dan (1.3b) dapat ditulis sebagai berikut ⎤ ⎧ N ⎫ ⎥ ⎧a ⎫ ⎪⎪ ∑ y i ⎪⎪ i =1 ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ Ni =1 ⎬ N 2 ⎥ ⎩b ⎭ ⎪ ⎪ x x y ∑ i i i ⎥⎦ ⎪⎩∑ ⎪⎭ i =1 i =1

⎡ ⎢ N ⎢N ⎢ x i ⎢⎣∑ i =1

N

∑x

i

(1.3c)

Dari Pers.(1.3c) dapat dihitung nilai konstanta a dan b, yang dapat dinyatakan sebagai


⎛ N ⎞⎛ N 2 ⎞ ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ ⎜ ∑ y i ⎟⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ xi y i ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ a = ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 2 N N ⎛ ⎛ ⎞ 2⎞ N ⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ N ⎜ ∑ xi y i ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ b = ⎝ i =1 2 N ⎛ ⎛ N ⎞ 2⎞ N ⎜ ∑ xi ⎟ − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠

(1.4)

Setelah koefisien a dan b dihitung berdasarkan Pers.(1.4), maka persamaan regresi garis lurus seperti tercantum dalam Pers.(1.1) dapat ditentukan. Pers.(1.3) lebih mudah diingat daripada Pers.(1.4), karena Pers.(1.3) dapat diturunkan dengan mudah dari Pers.(1.1) sebagai berikut: N

∑ (Pers.(1.1) × Koefisien dari a ) i =1

N

⇒ ∑ ( y = a + bx ) × 1

(1.5a)

i =1 N

N

i =1

i =1

⇒ ∑ y i = aN + b∑ xi

dan





N

∑ (Pers.(1.1) × Koefisien dari b ) i =1

N

⇒ ∑ ( y = a + bx ) × x

(1.5b)

i =1 N

N

N

i =1

i =1

i =1

⇒ ∑ x i y i = a ∑ xi + b∑ x i

2

Pers.(1.5) tidak lain adalah Pers.(1.3). Untuk memudahkan mengingat-ingat, maka cara untuk mendapatkan Pers.(1.5) sangat dianjurkan dibanding dengan cara untuk mendapatkan Pers.(1.3). Untuk memahami prinsip regresi kuadrat terkecil penjabaran Pers.(1.3) harus dimengerti secara rinci.

1.4. REGRESI PARABOLIS Sejalan dengan regresi garis lurus, maka regresi parabolis dapat pula dijabarkan dengan dua cara pemahaman diatas. Untuk kepentingan praktis maka disini akan dicantumkan hasilnya saja. Persamaan regresi parabola mempunyai bentuk:


y = a + bx + cx2

(1.6)

dengan a, b, dan c adalah konstanta yang nilainya dapat dihitung dengan menyelesaikan tiga sistem persamaan linier yang didapat dari analogi pada regresi garis lurus, Pers.(1.5), sebagai berikut: N

N

N

∑ yi = aN + b∑ xi + c∑ xi i =1

i =1

N

∑x y i =1 N

i

i

2

i =1

N

N

i =1

i =1

N

= a ∑ x i + b ∑ x i + c ∑ xi N

2

i =1

N

N

∑ xi y i = a ∑ x i + b ∑ x i + c ∑ x i i =1

2

i =1

2

(1.7a)

3

i =1

3

4

i =1

jika diselesaikan akan menghasilkan koefisien sebagai berikut:

a=

( Sx 2 y )( D1) − ( Sxy )( D 2) + ( Sy )( D3) D7





b=

( Sx 2)( D 4) − ( Sy )( D 2) + ( N )( D5) D7

c=

( Sy )( D1) − ( Sx)( D 4) − ( N )( D6) D7

(1.7b)

dengan D1 = ( Sx 2) 2 − ( Sx)( Sx3) D 2 = ( Sx 2)( Sx3) − ( Sx)( Sx 4) D3 = ( Sx3) 2 − ( Sx 2)( Sx 4) D 4 = ( Sx 2)( Sxy ) − ( Sx)( Sx 2 y )

(1.7c)

D5 = ( Sx 2 y )( Sx3) − ( Sx 4)( Sxy ) D6 = ( Sx 2)( Sx 2 y ) − ( Sx3)( Sxy ) D7 = ( Sx 2)( D1) − ( Sx)( D 2) + ( N )( D3)

sedangkan N

N

i =1

i =1

N

N

i =1

i =1

Sx = ∑ xi dan Sxm = ∑ xi , m = 2,3,4 m

Sy = ∑ y i dan Sym = ∑ y i , m = 2,3,4

(1.7d)

m

N

N

i =1

i =1

Sxy = ∑ xi y i dan Sx 2 y = ∑ xi y i 2


Dalam bentuk matriks Pers.(1.7a) ⎡ N ⎢ ∑1 ⎢ Ni =1 ⎢ x i ⎢∑ i =1 ⎢N 2 ⎢∑ xi ⎢⎣ i =1

N

∑ xi i =1 N

∑x

i

∑x

i

i =1 N

i =1

2

3

⎧ N ⎫ 2⎤ x ∑ i ⎥ ⎪ ∑ yi ⎪ i =1 ⎥ ⎧a ⎫ ⎪ Ni =1 ⎪ N ⎪ ⎪ 3 ⎥⎪ ⎪ xi ⎨b ⎬ = ⎨ ∑ xi y i ⎬ ∑ ⎥ i =1 i =1 N ⎥ ⎪c ⎪ ⎪ N 2 ⎪ 4 ⎩ ⎭ ⎪ xi ⎥ xi y i ⎪⎪ ∑ ∑ ⎪ ⎥⎦ i =1 ⎩ i =1 ⎭ N

(1.7e)

1.5. REGRESI POLINOMIAL Untuk polinomial derajad tiga atau lebih persamaan kurvanya adalah y = a0 + a1x + … + amxm


(1.8)




dengan m adalah derajad polinomialnya dan ai untuk i = 0 s/d m adalah konstanta yang dapat dihitung dengan cara yang sama seperti dijelaskan di atas. Secara umum ai dapat dihitung dari sistem (m+1) persamaan linier sebagai berikut: N

N

N

a 0 N + a1 ∑ xi + L + a m ∑ xi = ∑ y i i =1

N

N

i =1

i =1

m

i =1

N

a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi + L + a m ∑ xi 2

i =1

m +1

i =1

N

= ∑ xi y i

(1.9)

i =1

M N

N

a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi m

i =1

i =1

m +1

N

+ L + a m ∑ xi

2m

i =1

N

= ∑ xi y i m

i =1

Dalam bentuk matriks Pers.(1.9)


⎡ N ⎢ ∑1 ⎢ Ni =1 ⎢ xi ⎢ ∑ i =1 ⎢ M ⎢ N m −1 ⎢∑ xi ⎢ i =1 ⎢ N m ⎢ ∑ xi ⎣ i =1

N

N

∑ xi

L

∑ xi

∑x

L

∑x

i =1 N

i =1 N

i

M

∑x i =1 N

∑x i =1

2

M m i m +1

i

m −1

i =1 N

i =1

N

M

L

∑x

L

∑x

i =1 N

i =1

m i

2m i 2 m −1

i

⎤ ⎧ N ⎫ ⎥ ⎪ ∑ yi ⎪ i =1 ⎥ ⎧ a 0 ⎫ ⎪ Ni =1 ⎪ N m +1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xi ∑ a1 ⎪ ⎪ ∑ xi y i ⎪ ⎥ ⎪ i =1 i =1 ⎪ ⎥ ⎪⎨ M ⎪⎬ = ⎪⎨ M M ⎬ N ⎥ ⎪ ⎪ N m −1 ⎪ 2 m −1 ⎪a ⎥ ⎪ m −1 ⎪ ⎪∑ xi y i ⎪ xi ∑ ⎥ ⎪ a ⎪ ⎪ i =1 i =1 ⎪ ⎩ m ⎭ N N m 2m ⎥ ⎪ xi ⎥ xi y i ⎪ ∑ ∑ ⎪ ⎪⎭ i =1 ⎦ ⎩ i =1 N

∑ xi

m

(1.9a)

Penyelesaian (m+1) sistem persamaan linier, Pers.(1.9), tidak akan dijelaskan disini, karena diluar lingkup pembahasan buku praktis ini. Cara penyelesaian secara rinci dapat dilihat didalam buku-buku analisis numeris ataupun matrik.

1.6. REGRESI MULTI-VARIABEL Konsep regresi garis lurus dan regresi polinomial dapat dikembangkan untuk mendapatkan regresi multi-variabel. Untuk kemudahan menerangkan konsepnya, maka dipakai contoh regresi dua variabel. Persamaan regresi dua variabel dapat ditulis dalam bentuk:





z = a0 + a1x + a2y

(1.10)

dengan a0, a1, dan a2 adalah konstanta yang dicari. Konstanta ini dapat dihitung seperti metode yang sebelumnya dipakai di atas; yaitu dengan menyelesaikan sistem tiga persamaan linier dibawah ini. N

N

N

a 0 N + a1 ∑ xi + a 2 ∑ y i = ∑ z i i =1

i =1

i =1

N

N

i =1

i =1

N

N

N

i =1

i =1

i =1

N

N

i =1

i =1

a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi y i = ∑ xi z i 2

(1.11)

N

a 0 ∑ y i + a1 ∑ xi y i + a 2 ∑ y i = ∑ y i z i 2

i =1

Dalam bentuk matriks Pers.(1.11) ⎡ N ⎢ ∑1 ⎢ Ni =1 ⎢ x i ⎢∑ i =1 ⎢N ⎢∑ y i ⎢⎣ i =1

N

i =1 N

∑x i =1 N

2 i

∑x y i =1

i

⎤ ⎧ N ⎫ y ∑ i ⎥ ⎪ ∑ zi ⎪ i =1 ⎥ ⎧a 0 ⎫ ⎪ Ni =1 ⎪ N ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ xi y i ⎥ ⎨ a1 ⎬ = ⎨ ∑ xi z i ⎬ ∑ ⎥ i =1 i =1 ⎪ N ⎥ ⎪a 2 ⎪⎭ ⎪ N 2 ⎩ ⎪ yi ⎥ y i z i ⎪⎪ ∑ ∑ ⎪ ⎥⎦ i =1 ⎩ i =1 ⎭ N

∑ xi

i

(1.11a)


Untuk regresi multi-variabel penjabarannya adalah sejalan dengan penjabaran di atas, jadi tidak akan diulangi disini.

1.7. REGRESI DENGAN BENTUK TENTU Ada beberapa bentuk kurva yang bentuknya, jika dialihragamkan akan menjadi bentuk-bentuk yang sudah dijelaskan diatas. Bentuk-bentuk kurva ini akan dijelaskan dibawah ini.

1.7.1. Kurva Exponensial Kurva exponensial mempunyai bentuk y = abx yang dapat diubah menjadi ln(y) = ln(a) + [ln(b)]•x, kemudian dapat ditulis menjadi: Y = A + BX


(1.12)




dengan Y = ln(y), A = ln(a), B = ln(b), dan X = x. Pers.(1.12) jelas merupakan kurva linier.

1.7.2. Kurva Geometris Kurva geometris mempunyai bentuk y = axb yang dapat diubah menjadi ln(y) = ln(a) + b ln(x)], kemudian dapat ditulis menjadi: Y = A + BX

(1.13)

dengan Y = ln(y), A = ln(a), B = b, dan X = ln(x). Pers.(1.13) jelas merupakan kurva linier.

1.7.3. Kurva Logaritmis Kurva logaritmis mempunyai bentuk y = a + b ln(x) yang dapat ditulis menjadi: Y = A + BX

(1.14)


dengan Y = y, A = a, B = b, dan X = ln(x). Pers.(1.13) jelas merupakan kurva linier pula. Untuk kurva-kurva yang lain yang tidak dibahas disini, dapat diusahakan untuk diubah menjadi bentuk-bentuk yang sudah dibahas di atas, sehingga penyelesaiannya dapat dilakukan.

1.8. KOEFISIEN KORELASI Dalam analisis regresi, tanpa mempertimbangkan korelasi fisika yang berlaku pada suatu data, secara matematis dapat dipilih kurva yang mana yang paling sesuai dengan data tersebut. Penentuan kurva yang paling mewakili data tersebut dapat diperoleh dengan menghitung nilai koefisien korelasi untuk setiap kurva regresi yang dicoba. Kurva yang memberikan nilai absolut koefisien korelasi paling tinggi merupakan kurva yang paling mewakili data yang dianalisis. Koefisien korelasi, r, didefinisikan sebagai





N

r=±

2 ∑ ( fi − y) i =1 N

∑ (y i =1

i

− y)

N

, dengan y =

∑y i =1

i

(1.15)

N

2

dengan fi adalah nilai kurva regresi pada titik i, yi adalah nilai data pada titik i. xN,yN y yN − y

x3,y3

fN − y y=f(xi)

x2,y2

xN-1,yN-1 y

x1,y1 x Gambar 1.2. Visualisasi konsep koefisien korelasi


1.8.1. Garis Lurus Untuk kurva regresi garis lurus dengan persamaan y = a + bx, maka koefisien korelasinya dapat ditulis sebagai

r=

N ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ N ∑ ( xi y i ) − ⎜ ∑ xi ⎟⎜ ∑ y i ⎟ i =1 ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠

⎡ N 2 ⎛ N ⎞2 ⎤⎡ N 2 ⎛ N ⎞2 ⎤ ⎢ N ∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ ⎢ N ∑ y i − ⎜ ∑ y i ⎟ ⎥ ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ i =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ i =1


(1.16)




1.8.2. Kurva Parabolis Untuk kurva regresi garis lurus dengan persamaan y = a + bx + cx2, maka koefisien korelasinya dapat ditulis sebagai

r=

A− B− D ( Sy ) 2 − ( N )( Sy 2)

A = [( Sx)(b) + ( Sx 2)(c)] B = ( N )(b)[( Sx 2)(b) + ( Sx3)(c)] C = ( N )(c)[( Sx3)(b) + ( Sx 4)(c)] 2

(1.17)

dengan simbol-simbol sama dengan Pers.(1.7).

1.8.3. Kurva Polinomial dan Multi-Variabel


Untuk kurva polinomial berderajad tiga keatas serta kurva multivariabel koefisien korelasi, r, lebih mudah kalau dihitung langsung dengan Pers.(1.15).



2. REGRESI UNTUK BANGUNAN UKUR AMBANG LEBAR

Untuk bangunan ukur debit dimana formulasi debitnya sudah tertentu, analisis regresi harus dilakukan sesuai dengan formulasi itu. Untuk bentuk formulasi yang telah tentu, analisis regresi dipakai untuk mencari koefisien-koefisien yang diperlukan sehingga formulasi debit mendekati atau sesuai dengan data pengukuran. Dibawah ini akan dijelaskan secara rinci cara analisis regresi untuk bangunan ukur debit ambang lebar baik untuk aliran bebas maupun menyelam.

2.1. UNTUK ALIRAN BEBAS Bentuk umum formulasi debit pada bangunan ukur debit ambang lebar aliran bebas adalah

⎛2 2 ⎞ n Q = ⎜⎜ g ⎟⎟C d Bhu 3 3 ⎝ ⎠

(1.18a)

atau dapat ditulis dalam bentuk yang lebih umum Q = C r hu

n

(1.18b)

dengan Q adalah debit aliran, hu adalah tinggi muka air disebelah hulu mercu bangunan ukur (diukur dari mercu bangunan), dan Cr, n adalah konstanta regresi yang dicari. Pers.(1.18b) sesuai dengan kurva geometris, sehingga dapat diubah sesuai dengan bentuk Pers.(1.13) yaitu



REGRESI UNTUK BANGUNAN UKUR AMBANG LEBAR

atau


ln(Q) = ln(Cr) + (n) ln(hu)

(1.18b)

Y = a + bX

(1.18c)

dengan konstanta a dan b dihitung dengan Pers.(1.4) yang ditulis lagi seperti dibawah ini:

⎛ N ⎞⎛ N ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ 2⎞ ⎜ ∑ Yi ⎟⎜ ∑ X i ⎟ − ⎜ ∑ X i ⎟⎜ ∑ X i Yi ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ a = ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 2 N N ⎛ ⎛ ⎞ 2⎞ N⎜∑ X i ⎟ − ⎜∑ X i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞⎛ N ⎞ N ⎜ ∑ X i Yi ⎟ − ⎜ ∑ X i ⎟⎜ ∑ Yi ⎟ ⎠ ⎝ i =1 ⎠⎝ i =1 ⎠ b = ⎝ i =1 2 ⎛ N ⎛ N ⎞ 2⎞ N⎜∑ X i ⎟ − ⎜∑ X i ⎟ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠

(1.4)

dengan nilai xi diganti dengan ln(hu) dan nilai yi diganti dengan ln(Qi). Setelah nilai a dan b dihitung dari Pers.(1.4), maka nilai n dan Cr dihitung sebagai berikut: n = b dan Cr = Exp(a)

(1.19)


2.2. UNTUK ALIRAN MENYELAM Bentuk umum formulasi debit pada bangunan ukur debit ambang lebar aliran menyelam adalah Q = C d BH i 2 g (hu − hi ) n

(1.20a)

atau dapat ditulis dalam bentuk yang lebih umum Q = Crhi∆hn

(1.20b)

dengan Q adalah debit aliran, hi adalah tinggi muka air di sebelah hilir mercu bangunan ukur (diukur dari mercu bangunan), ∆h adalah selisih muka air dihulu dan dihilir mercu bangunan (hu–hi), dan Cr, n adalah konstanta regresi yang dicari.



REGRESI UNTUK BANGUNAN UKUR AMBANG LEBAR


Pers.(1.20b) dapat diubah menjadi bentuk umum polinomial dengan dua variabel sebagai berikut: atau

ln(Q) = ln(Cr) + ln(hi) + (n) ln(∆h)

(1.20c)

Z=a+X+bY

(1.20d)

dengan a dan b adalah konstanta yang harus dicari dengan analisis regresi sebagai berikut: N

N

N

i =1

i =1

aN + ∑ xi + b∑ y i = ∑ z i i =1

N

N

N

i =1

i =1

i =1

(1.21a)

N

a ∑ y i + ∑ xi y i + b∑ y i = ∑ y i z i 2

i =1

atau N

N

N

i =1

i =1

i =1

aN + b∑ y i = ∑ z i − ∑ xi N

N

i =1

i =1

N

N

i =1

i =1

(1.21b)

a ∑ y i + b∑ y i = ∑ y i z i − ∑ xi y i 2

Jika disimbolkan sebagai sistem dua persamaan linier: p1 = q1 a + r1 b dan p2 = q2 a + r2 b

(1.21c)


maka a dan b dapat dihitung dengan rumus a=

p1 r2 − r1 p 2 q p − p1 q 2 dan b = 1 2 q1 r2 − r1 q 2 q1 r2 − r1 q 2

(1.22a)

dengan N

N

p1 = ∑ ( z i − xi ), qi = N , r1 = q 2 = ∑ y i i =1

i =1

N

N

i =1

i =1

p 2 = ∑ [ y i ( z i − xi )], r2 = ∑ y i

(1.22b)

2

Persamaan kurva regresi yang dipakai adalah Pers.(1.20b) dengan konstanta regresinya dihitung dengan rumus n = b dan Cr = Exp(a)


(1.23)


DAFTAR PUSTAKA

Carnahan, Brice, H.A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969. Spiegel, R. Murray, Theory and Problems of Statistics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill International Book Company, Singapore, 1981. Al-Khafaji, Amir Wahdi, John R.Tooley, Numerical Methods in Engineering Practice, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1986. Anonim, fx–7000G Owner’s Manual, CASIO® Atkinson, Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989. James, M.L., G.M. Smith, J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital Computation with Fortran and CSMP, 2nd Edition, Harper International Edition, New York, 1977.



REGRESI KUADRAT TERKECIL BANGUNAN UKUR DEBIT

Recommend Documents