1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons 3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4

*

1. Model Regresi Linear dan Penaksir Kuadrat Terkecil 2. Prediksi Nilai Respons 3. Inferensi Untuk Parameter-parameter Regresi 4. Kecocokan Model Regresi 5. Korelasi Utriweni Mukhaiyar MA 2081 Statistika Dasar 14 April 2014

1.

Menentukan/menaksir parameterparameter yang terlibat dalam suatu model matematik yang linear terhadap parameter-parameter tersebut. 2. Melakukan prediksi terhadap nilai suatu variabel, misalkan Y, berdasarkan nilai variabel yang lain , misalkan X, dengan menggunakan model regresi linier (interpolasi).

*

2

ILUSTRASI f(x)

Gula yang Dihasilkan (Y)

Suhu (X)

X menentukan Y respons

prediktor peubah acak bukan peubah acak

3

Memiliki distribusi

Observasi

1

2

3

…

n

X

X1

X2

X3

…

Xn

Y

Y1

Y2

Y3

…

Yn

1 Variabel yang nilainya mempengaruhi

variabel yang lainnya. 2

Mana yang merupakan prediktor ?? 3

Variabel yang kejadiannya lebih dahulu terjadi.

Variabel yang variansinya terkecil 4

MODEL REGRESI LINEAR SEDERHANA Yi  0  1 X i  ei - 1 dan 0 merupakan parameter-parameter model yang akan ditaksir - ei adalah galat pada observasi ke-i (acak)

5

1.

Ketidakmampuan model regresi dalam memodelkan hubungan prediktor dan respons dengan tepat

2.

Ketidakmampuan peneliti dalam melakukan pengukuran dengan tepat

3.

Ketidakmampuan model untuk melibatkan semua variabel prediktor

* 6

* - 1 dan 0 ditaksir dengan metode kuadrat terkecil (least square) - Asumsi-asumsi : 1. Ada pengaruh X terhadap Y

2. Yi  0  1 Xi  ei

untuk i  1,2,..., n

3. Nilai harapan dari ei adalah 0, atau E[ ei ] = 0 4. Variansi dari ei, sama untuk semua i = 1, 2,…, n 5. ei berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n 6. e1,e2,...,en saling bebas (independen) 7

Misalkan b1 adalah taksiran bagi 1 dan b0 adalah taksiran bagi 0. Maka taksiran bagi model regresi adalah

Yi  b0  b1 X i Kriteria penaksiran kuadrat terkecil adalah meminimumkan n

2 e i i 1

terhadap b0 dan b1, dengan ei  Yi  Yi  Yi  b0  b1 X i

8

Diperoleh

 X n

JK XY b1   JK XX

i 1

i

 X Yi  Y 

 X n

i 1

i

X

2

b0  Y  b1 X Sedangkan taksiran untuk variansi galat acak adalah

JKG  yi  yˆi  JKYY  b1 JK XY ˆ  s    n2 n2 n2 2

2

2

9

Suhu (X)

1

Logam yg dihasilkan (Y)

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

1.7

1.8 1.9

8.1 7.8 8.5 9.8 9.5 8.9 8.6 10.2 9.3 9.2 10.5

11 Berat logam yang dihasilkan (y)

10.5 10

9.5

ei

9 8.5 8 7.5 7 6.5 6 0.8

2

1

1.2

1.4

1.6 Suhu (x) 10

1.8

2

2.2

n = 11 1 11 X   X i  1,5 n i 1

1 11 Y   Yi  9,13 n i 1

 X 11

b1 

i 1

i

 X Yi  Y 

 X 11

i 1

i

X

 1,8091

2

b0  Y  b1 X  6, 4136

Yi  6, 4136  1,8091X i

Model persamaan regresi

11

* yˆ i

ei  yi  yˆi

Suhu (xi)

Logam yg dihasilkan (yi)

1

8.1

8.22

-0.12

1.1

7.8

8.40

-0.60

1.2

8.5

8.58

-0.08

1.3

9.8

8.77

1.03

1.4

9.5

8.95

0.55

1.5

8.9

9.13

-0.23

1.6

8.6

9.31

-0.71

1.7

10.2

9.49

0.71

1.8

9.3

9.67

-0.37

1.9

9.2

9.85

-0.65

2

10.5

10.03

0.47

Prediksi model

JKG Taksiran variansi galat acak s   12 n  2 2

 yi  yˆi  9

2

 0, 4

Prediksi Nilai Respons Misalkan suhu proses (X) adalah 1.55 satuan suhu. Maka prediksi berat logam yang dihasilkan pada suhu tersebut adalah

Y  6, 4136  1,8091X  6, 4136  1,80911,55   9, 2177

13

ASUMSI KENORMALAN 1

• Asumsi ei berdistribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n

2

• Yi beristribusi normal untuk semua i = 1, 2,…, n

3

• b0 dan b1 berdistribusi normal

14

INFERENSI

UNTUK PARAMETER

0

b0   0

T0 

n

s

2 x  i nJK XX i 1

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang kepercayaan (1-α) untuk 0 :

b0  t 2

n

,n2

s

2 x  i nJK XX  0  b0  t i 1

2

n

,n2

s

2 x  i nJK XX i 1

t/2;n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2 15

INFERENSI

UNTUK PARAMETER

1

b1  1 T1  s JK XX berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang kepercayaan (1-α) untuk 1 :

b1 

t 2;n 2 s JK XX

 1  b1 

t 2;n 2 s JK XX

t/2 ; n-2 adalah nilai distribusi t dengan derajat kebebasan n-2 16

PENGUJIAN PARAMETER REGRESI Tujuan : menentukan apakah parameter-parameter tersebut dapat diabaikan atau tidak. Rumusan Hipotesis H0 : β0 = 0 H1 : β0 ≠ 0

H0 : β1 = 0 H1 : β1 ≠ 0

b0

t0  ˆ

17

t1 

n

2 x  i i 1

nJK XX

ˆ

b1 JK XX

SELANG PREDIKSI Misalkan nilai respons Y untuk X = X0 adalah Y0, dan misalkan adalah prediksi model regresi bagi Y0. Maka T

ˆ -Y Y 0 0 ˆ 1+(1/n)+[(x 0  x) 2 / JK XX ]

berdistribusi t dengan derajat kebebasan n-2. Selang prediksi (1 – α) bagi y0 adalah 1 (x 0  x) 2 1 (x 0  x) 2 yˆ 0  t  /2 ˆ 1+ +  y 0  yˆ 0  t  /2 ˆ 1+ + n JK XX n JK XX 18

CONTOH 1 SELANG KEPERCAYAAN 1- TINJAU CONTOH SEBELUMNYA

(2.26)(0.4) (2.26)(0.4) 1.8091   1  1.8091  1.1 1.1 β

b1=1,8091

b0=6,4136

6.4136  (2.26)(0.4)

β

25.85 25.85  190  6.4136  (2.26)(0.4) (11)(1.1) (11)(1.1)

CONTOH 2 UJI HIPOTESIS

derajat kebebasan n – 2 = 9, nilai kritis t0.025 = 2.26

H0 : β0 = 0 H1 : β0 ≠ 0

t0 > t0.025 & t1 > t0.025 maka masingmasing H0 ditolak

Kesimpulan

H0 : β1 = 0 H1 : β1 ≠ 0

β0 dan β1 tidak dapat diabaikan 20

* Salah satu alat ukur untuk melihat apakah model regresi yang diperoleh sudah memadai adalah koefisien determinasi yaitu n

JK R 2 R   JKT

  yˆ  y  i 1 n

i

i

 y  y  i 1

i

2

,

dengan

0  R2  1

2

i

Besaran R2 menunjukkan proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh 21

UJI KEBAIKAN MODEL H0 : Model regresi yang diperoleh tidak memadai H1 : Model memadai Statistik uji n

JK R f   s

  yˆi  yi 

2

i 1

s

Tolak H0 pada tingkat keberartian α jika f > f,(1,n-2), dimana f,(1,n-2) adalah nilai distribusi F dengan derajat kebebasan 1 dan n – 2. 22

CONTOH 3 Untuk contoh sebelumnya diperoleh R2 = 0,499. Artinya proporsi variasi total dalam respons Y yang diterangkan oleh model regresi yang diperoleh adalah 49.9% Uji kebaikan model

JK R f   s

11

  yˆi  yi  i 1

s

2

 8,99

Untuk α = 5%, titik kritis f0.05,(1,9) = 5,12 f > f0.05,(1,9), model memadai. 23

* *Mengukur hubungan linear dua peubah acak *Misalkan X dan Y adalah dua peubah acak, maka korelasi antara X dan Y dinyatakan dengan  XY 

E  X   X Y  Y   2 2    E  X   X  E Y  Y      

24



Cov  X , Y 

 XY

Jika nilai korelasi mendekati 1 maka hubungan kedua peubah “sangat erat” dan searah sedangkan jika nilai korelasi mendekati –1 maka hubungan kedua peubah “sangat erat” dan berlawanan arah. Jika nilai korelasi sama dengan nol berarti tidak terdapat hubungan linear antara kedua peubah acak. 25

Gambar 1 Korelasi positif

Gambar 2 Korelasi negatif

Gambar 3 Korelasi nol

Gambar 4 Korelasi nol 26

KORELASI SAMPEL Korelasi dapat ditaksir dengan koefisien korelasi sampel, yaitu

r

JK XY JK XX JKYY

 X n



i 1

i

 X Yi  Y 

n 2  2  n    X i  X    Yi  Y    i 1  i 1 

27

CONTOH 4 Data berikut menggambarkan kenaikan harga minyak dan nilai tukar mata uang di 12 negara terhadap US dollar pada suatu tahun. Negara

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Kenaikan harga minyak (x) 65 50 55 65 55 70 65 70 55 70 50 55

Nilai tukar mata uang terhadap US dollar (y) 85 74 76 90 85 87 94 98 81 91 76 74

Rata-rata kenaikan harga minyak = 60,42 , 28 Rata-rata nilai tukar mata uang terhadap US dollar = 84,25

Nilai tukar mata uang (y)

110 100

90 80 70 60 50 40 40

45

50

55 60 65 Kenaikan harga minyak (x)

 X 12

r

JK XY  JK XX JKYY

i 1

 X 12

i 1

i

i

75

 X Yi  Y 

X

29

70

2

 Y  Y  12

i 1

i

 0,863 2

TUGAS B Lanjutan Tugas A (Kelompok)  Terapkan minimal satu topik berikut, yang sudah dipelajari dalam perkuliahan Statdas, ke dalam data kelompok Anda seperti pada Tugas A.  Topik Bahasan :  Uji Hipotesis  ANOVA  Regresi Linier dan Korelasi  Analisis Deret Waktu  Analisis Spasial (Geostatistik)  Tugas diketik rapi dan lengkap (data dan analisisnya) dalam bentuk laporan (style masing-masing) dalam format Mic. Word. Dengan penamaan file : “Tugas B - Statdas02 - II.2014 – Kelompok <nomor kelompok>”  Tugas dikumpulkan via email ke [email protected] paling lambat 30 Senin, 5 Mei 2014.

Referensi  Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.  Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.  Walpole, Ronald E., et.al, Statistic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.

31