Modul 3: Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil

Seri Matematika Terapan untuk S2

Modul 3: Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil

A. Pendahuluan Metode Kuadrat Terkecil Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah salah satu metode ‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titiktitik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b). analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model). Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metodemetode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan karakterisik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problem-problem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti dalam sesatan-sesatan percobaan. Namun demikian, hal-hal yang berhubungan dengan teori statistik tidak akan dibahas secara khusus dalam modul ini.

Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI

Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (1/1)


B. Persamaan dan Model sebagai obyek regresi Seperti telah dijelaskan di atas, dalam dunia keteknikan metode kuadrat terkecil ini digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaanpersamaan matematis tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah: (a). Persamaan ‘garis lurus’ (linier):

= ax + b

y

(b). Persamaan parabolis (kuadratis):

y

=

p x2 + q x + r

(c). Persamaan polinomial (secara umum): y

= c1 + c2 x + c3 x 2 + L + ck x k −1 + L + c n x n −1 ∞

∑ ck x k −1

=

k =1

(d). Persamaan eksponensial: (e). Persamaan asimptotis:

y

2

+cx+ d

y

= a eb x

=

a x2 + b x cx + d

C. Regresi Sederhana untuk Persamaan Linier Bentuk umum dari persamaan linier, dapat dituliskan sebagai berikut:

y

= ax + b

dengan: a = kelandaian (slope) kurva garis lurus b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’ atau sumbu tegak Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga tetapan a dan b berdasarkan deretan data yang ada (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah). Sebagai contoh, di bawah ini diberikan 1 set data (x-y) sebanyak 7 buah: Tabel 1. Set data regresi linier.

x

y

-3

-0.22

-2

0.67

-1

1.55

0

1.99

1

2.55

2

3.25

3

4.11

Hasil pengaluran kurva (plotting) titik-titik tersebut di atas dapat dilihat pada Gb. 1 di bawah ini. 5 y = 0.6841x + 1.9850

4.11

4

3.25

3

2.55

intercept

2

1.99 1.55

slope

1

0.67

0

-0.22

-1 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Gambar 1. Kurva regresi linier, dengan N = 7.

Persamaan sebaran (S atau distribusi) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai: Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



= ∑ ( y − a x − b )2

S

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung a dan b adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan a dan b (dalam hal ini, a dan b dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaanpersamaan berikut: (a ).

dS da

= 0; dan

(b).

dS db

= 0.

Untuk lebih jelasnya, kronologis penurunan kedua persamaan di atas adalah sebagai berikut: (a).

[

d 2 ∑ ( y − a x − b) da persamaan berikut:

]

= 0 , sehingga akan terbentuk

∑ ( y − a x − b ) (− x) = 0 , atau a ∑ x2 + b ∑ x = ∑ x y (b).

[

(A)

]

d 2 = 0, ∑ ( y − a x − b) db terbentuk persamaan berikut:

sehingga

kemudian

∑ ( y − a x − b ) (−1) = 0 , atau a∑x + N b = ∑ y

(B)

Kedua persamaan (A) dan (B) seperti di atas adalah suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL), bila disusun-ulang Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



sebagai berikut: ∑ x 2 ∑ x  a   ⋅   ∑ x N  b 

=

∑ x y   y  ∑ 

(C)

yang identik dengan persamaan matriks [ A] ⋅ [x] = [b]. Solusi SPAL tersebut relatif sangat mudah dilakukan dengan metode analitis. Dengan menggunakan aturan Cramer, solusi konstantakonstanta a dan b adalah:

=

∑ x y det  ∑ y ∑ x 2 det  ∑ x

∑ x N  ; dan  ∑x  N 

b =

∑ x 2 det  ∑ x ∑ x 2 det  ∑ x

∑ x y  y ∑  ∑ x  N 

a

Karena hanya membentuk persamaan matriks berorder 2, maka determinan-determinan matriks di atas dapat langsung dihitung, dengan rincian sebagai berikut: ∑ x 2 ∑ x  det   ∑ x N 

=

[∑ x

∑ x y ∑ x  det   y N ∑  

=

[∑ xy⋅ N


2

⋅ N − (∑ x )2

]

− ∑ x⋅∑ y ]



dan ∑ x 2 ∑ x y  det   ∑ x ∑ y 

=

[∑ x

2

⋅∑ y − ∑ x⋅∑ xy

]

sehingga, diperoleh solusi harga-harga a dan b: a

=

b =

[∑ xy⋅ N

[

− ∑ x⋅∑ y ] = 0,684143; dan 2 2 ∑ x ⋅ N − (∑ x )

]

[∑ x ⋅ ∑ y − ∑ x ⋅ ∑ x y ] [ ∑ x ⋅ N − (∑ x ) ] 2

2

2

= 1,985000

Tugas di rumah: Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari hargaharga a dan b dari satu set data berikut: No. 1 2 3 4 5 6 7

x -1.0 1.0 3.0 5.0 7.0 9.0 11.0

y 5.00 9.00 13.00 17.00 21.00 25.00 29.00

D. Regresi Persamaan Parabola Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut: y

=

p x2 + q x + r

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga tetapan p, q dan r berdasarkan set data yang diberikan (ingat: jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah !). Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

(

= ∑ y − p x2 − q x − r

S

)2

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung p, q dan r adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan p q dan r (dalam hal ini, p, q dan r dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaanpersamaan minimisasi berikut: dS dp dS (b). dq (a ).

(c).

dS dr

= 0; = 0; dan = 0.

Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap p, q, dan r adalah sebagai berikut: (a).

(

)

2 d  y − p x2 − q x − r  ∑  d p  persamaan berikut:

(

= 0 , yang membentuk

)

2 2 ∑ y − p x − q x − r (− x ) = 0 , atau

p ∑ x 4 + q ∑ x3 + r ∑ x 2 (b).

(

= ∑ x2 y

)

2 d  y − p x2 − q x − r  ∑  d q 

(

(E)

= 0 , yang membentuk:

)

2 ∑ y − p x − q x − r (− x) = 0 , atau




p ∑ x3 + q ∑ x 2 + r ∑ x = ∑ x y (c).

(

)

2 d  2 y p x q x r − − − ∑  d r 

(

(F)

= 0 , dan dihasilkan

)

2 ∑ y − p x − q x − r (− 1) = 0 , atau

p ∑ x2 + q ∑ x + r N

= ∑y

(G)

Seperti halnya pada regresi persamaan linier, ketiga persamaan (E), (F), dan (G) di atas juga membentuk suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL) dengan oreder 3, bila disusun-ulang sebagai berikut: ∑ x 4 ∑ x 3 ∑ x 2   p   3    2 ∑ x ∑ x ∑ x  ⋅  q   2    x x N ∑ ∑    r 

∑ x 2 y    = ∑ x y    y ∑  

(H)

Solusi SPAL di atas dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu: (a). analitis (aljabar) dan (b). numeris. Berbagai solusi SPAL (dengan menggunakan metode numeris) telah dijelaskan pada modul-modul pelajaran terdahulu. Sebagai catatan, determinan dari matriks bujur-sangkar dengan rank 3 dapat dihitung sebagai berikut:  a11 a12 a13  det a21 a22 a23   a31 a32 a33 

=

a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 − a31 ⋅ a22 ⋅ a13 − a32 ⋅ a23 ⋅ a11 − a33 ⋅ a21 ⋅ a12

Dengan menggunakan metode analitis, sebenarnya SPAL di atas masih relatif mudah diselesaikan, yaitu dengan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi konstanta atau parameter-parameter p, q dan r.




p

q

r

=

∑ x 2 y  det ∑ x y ∑ y  ∑ x 4  det ∑ x 3 ∑ x 2 

3 2 ∑x ∑x   2 x x ∑ ∑  ∑ x N  ; 3 2 ∑x ∑x  2 ∑x ∑x  ∑ x N 

=

∑ x 4  det ∑ x 3 ∑ x 2  ∑ x 4  det ∑ x 3 ∑ x 2 

2 2 ∑x y ∑x   x y x ∑ ∑  N  ∑y  ; dan 3 2 ∑x ∑x  2 ∑x ∑x  ∑ x N 

=

∑ x 4  det ∑ x 3 ∑ x 2  ∑ x 4  det ∑ x 3 ∑ x 2 

3 2 ∑ x ∑ x y  2 x x y ∑ ∑  ∑ x ∑ y  3 2 ∑x ∑x   2 ∑x ∑x  ∑ x N 

Berdasarkan catatan tentang determinan matriks berorder 3 seperti di atas, maka determinan-determinan matriks di atas berturut-turut adalah sebagai berikut: ∑ x 4 ∑ x3 ∑ x 2    det ∑ x 3 ∑ x 2 ∑ x   x2  ∑x N  ∑ 

4 2 3 2 ∑ x ⋅∑ x ⋅ N + ∑ x ⋅∑ x⋅∑ x +

( )3 − (∑ x2 )⋅ ∑ x4 − N ⋅ (∑ x3 )2

= ∑ x 2 ⋅ ∑ x3 ⋅ ∑ x − ∑ x 2




2 2 3 ∑ x 2 y ∑ x 3 ∑ x 2  ∑x y⋅∑x ⋅ N + ∑x ⋅∑x⋅∑ y +   2 det ∑ x y ∑ x 2 ∑ x  = ∑ x 2 ⋅ ∑ x y ⋅ ∑ x − ∑ x 2 ⋅ ∑ y − 2  y  2 3 ( ∑x N  ∑ x) ⋅ ∑ x y − N ⋅ ∑ x y ⋅ ∑ x ∑ 

( )

∑ x 4 ∑ x 2 y ∑ x 2    det ∑ x 3 ∑ x y ∑ x   x2 N  ∑y ∑ 

4 2 2 ∑ x ⋅∑ xy⋅ N + ∑ x y⋅∑ x⋅∑ x +

( )2

= ∑ x 2 ⋅ ∑ x3 ⋅ ∑ y − ∑ x 2 ⋅ ∑ x y − 4 3 2 ∑ x⋅∑ x ⋅∑ y − N ⋅∑ x ⋅∑ x y

dan ∑ x 4 ∑ x3 ∑ x 2 y    det ∑ x 3 ∑ x 2 ∑ x y   x2  ∑x ∑y  ∑ 

4 2 2 3 ∑ x ⋅∑ x ⋅∑ y + ∑ x ⋅∑ x ⋅∑ xy +

( )2 ⋅ ∑ x2 y − 4 32 ∑ x ⋅ ∑ x ⋅ ∑ x y − (∑ x ) ⋅ ∑ y

= ∑ x ⋅ ∑ x3 ⋅ ∑ x 2 y − ∑ x 2

Tugas di rumah: Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari hargaharga p, q dan r berdasarkan kurva di bawah ini: 6.00 4.00 2.00 0.00 -2.00 -4.00 -6.00 -4.0

-2.0

0.0

2.0

4.0

Pasangan data (x-y) dari kurva di atas dapat diberikan seperti pada tabel berikut: Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



No. 1 2 3 4 5 6

x -3.0 -2.2 -0.9 -0.1 1.2 2.5

y 4.00 -0.16 -4.19 -4.99 -3.56 1.25

E. Regresi Persamaan Kubus (polinomial order 3) Persamaan Kubus atau Persamaan polinomial order 3 mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut: y

= c3 x 3 + c2 x 2 + c1 x + c0

Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian hargaharga parameter c0 sampai dengan c3 berdasarkan set data yang diberikan (ingat: pasangan data x-y selalu berjumlah N buah !). Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:

S

(

= ∑ y − c3 x 3 − c2 x 2 − c1 x − c0

)2

Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung parameter-parameter c0 sampai dengan c3 adalah minimisasi turunan persamaan di atas, masing-masing terhadap setiap parameter (dalam hal ini, c0 sampai dengan c3 dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan minimisasi berikut:




(a ).

dS d c0

= 0;

(b).

dS d c1

= 0;

(c).

dS d c2

= 0; dan

(d).

dS d c3

= 0

Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap c0 sampai dengan c3 adalah sebagai berikut: (a).

(

)

2 d  3 2 y c x c x c x c − − − − ∑ 3 2 1 0  d c3  

= 0,

membentuk persamaan berikut:

(

)

3 2 3 ∑ y − c3 x − c2 x − c1 x − c0 (− x ) = 0 , atau

c3 ∑ x 6 + c2 ∑ x 5 + c1 ∑ x 4 + c0 ∑ x 3 (b).

d d c2

(

= ∑ x3 y

)

 y − c x3 − c x 2 − c x − c 2  3 2 1 0  ∑ 

(I)

= 0,

membentuk:

(

)

3 2 2 ∑ y − c3 x − c2 x − c1 x − c0 (− x ) = 0 , atau

c3 ∑ x 5 + c2 ∑ x 4 + c1 ∑ x 3 + c0 ∑ x 2 (c).

(

= ∑ x2 y

)

2 d  y − c3 x 3 − c2 x 2 − c1 x − c0  ∑  d c1 

(J)

= 0,

dihasilkan: Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



(

)

3 2 ∑ y − c3 x − c2 x − c1 x − c0 (− x) = 0 , atau

c3 ∑ x 4 + c2 ∑ x 3 + c1 ∑ x 2 + c0 ∑ x = ∑ x y d d c0

(d).

(

)

 y − c x3 − c x 2 − c x − c 2  3 2 1 0  ∑ 

(K)

= 0,

dihasilkan:

(

)

3 2 ∑ y − c3 x − c2 x − c1 x − c0 (−1) = 0 , atau

c3 ∑ x 3 + c2 ∑ x 2 + c1 ∑ x + c0 N

= ∑y

(L)

Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (I), (J), (K), dan (L) adalah sebagai berikut: ∑ x 6  5 ∑ x ∑ x 4  3  ∑ x

5 4 3 ∑ x ∑ x ∑ x   c3  4 3 2   ∑ x ∑ x ∑ x  c2  ⋅ 3 2 ∑ x ∑ x ∑ x   c1     2 x x N ∑ ∑  c0 

∑ x 3 y   2  ∑ x y =  ∑ x y    y ∑ 

(M)

Tugas Kelompok: Buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga konstanta dari c0 sampai cn dari suatu persamaan polinomial, dari order 3 (n = 3) sampai dengan order 7 (n = 7). Artinya, program tersebut dapat menangani sembarang polinomial dari order 3 sampai 7 bahkan lebih tinggi lagi. Gunakan subroutine EGAUSS untuk solusi SPAL yang terbentuk, dan buat program yang membaca data dari file ASCII (text file, dengan ekstensi *.dta). Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



F. Regresi Multilinier Beberapa persamaan aljabar dapat membentuk suatu ‘relasi linier’ atau yang sejenisnya, antara beberapa variabel bebas (independent variables) dengan sebuah variabel terikat (dependent variable). Relasi tersebut seringkali dijumpai dalam dunia keteknikan, termasuk hasil logaritmik dari persamaanpersamaan analisis adimensional ataupun relasi analogi bilangan-bilangan tak berdimensi. Bentuk umum dari persamaan multilinier seperti di atas dapat disederhanakan dalam relasi fungsi matematis berikut:

y (u , v , w )

=

c1 u + k 2 v + k3 w

Bila persamaan multilinier tersebut memiliki jumlah variabel bebas yang lebih besar lagi, maka secara sistematis dapat dituliskan sebagai berikut: y ( x1 , x2 ,L , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + L + cn xn Persamaan sebaran (S) yang menyatakan ‘sesatan terdistribusi’ dari persamaan multilinier tersebut dapat dinyatakan sebagai: S

= ∑ ( y − c1 x1 − c2 x2 − c3 x3 − L − cn xn )2

Menarik untuk dicatat, bahwa jumlah konstanta atau parameter (c1 sampai dengan cn) yang dimiliki suatu persamaan multilinier sekurang-kurangnya sama dengan jumlah variabel bebasnya. Seperti biasanya, persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung konstanta-konstanta c1 sampai dengan cn, adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap masing-masing konstanta (dalam hal ini, semua konstanta dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaanpersamaan berikut: Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



(a ).

dS d c1

= 0;

(b).

dS d c2

= 0;

(c).

dS d c3

= 0;

dS d cn

= 0

M (d).

Tahapan diferensiasi persamaan-persamaan di atas terhadap masing-masing parameternya (dari c1 sampai dengan cn) dapat disajikan sebagai berikut: (a).

[

d 2 ∑ ( y − c1 x1 − c2 x2 − c3 x3 − L − cn xn ) d c1

]

= 0,

membentuk persamaan berikut: ∑ ( y − c1 x1 − c2 x2 − c3 x3 − L − cn xn ) ⋅ ( x1 ) = 0

dan, setelah disusun-ulang menjadi: c1 ∑ x12 + c2 ∑ x1 x2 + c3 ∑ x1 x3 + L + cn ∑ x1 xn

(b).

[


= ∑ x1 y

]

(O)

= 0,


dan, setelah disusun-ulang menjadi: c1 ∑ x1 x2 + c2 ∑ x22 + c3 ∑ x2 x3 + L + cn ∑ x2 xn


= ∑ x2 y

(P)



(c).

[


]

= 0,


dan, setelah disusun-ulang menjadi: c1 ∑ x1 x3 + c2 ∑ x2 x3 + c3 ∑ x32 + L + cn ∑ x3 xn

M (d).

[

d 2 ∑ ( y − c1 x1 − c2 x2 − c3 x3 − L − cn xn ) d cn

= ∑ x3 y

]

(Q)

= 0,

membentuk persamaan berikut: ∑ ( y − c1 x1 − c2 x2 − c3 x3 − L − cn xn ) ⋅ ( xn ) = 0

dan, setelah disusun-ulang menjadi: c1 ∑ x1 xn + c2 ∑ x2 xn + c3 ∑ x3 xn + L + cn ∑ xn2

= ∑ xn y

(R)

Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (O), (P), (Q), dan (R) adalah sebagai berikut: ∑ x 2  1 ∑ x1 x2 ∑ x x  1 3 M  ∑ x1 xn

 ∑ x1 y  ∑ x1 x2 ∑ x1 x3 L ∑ x1 xn   c1      x y 2 ∑ x2 ∑ x2 x3 L ∑ x2 xn  c2  ∑ 2  2 L ∑ x3 xn  ⋅  c3  =  ∑ x3 y  ∑ x2 x3 ∑ x3      M  M M M O M   2  c    ∑ x2 xn ∑ x3 xn L ∑ xn   n  ∑ xn y 

(S)

G. Soal-soal Latihan 1. Vargaftik (1975) memperkenalkan suatu data kapasitas Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



panas untuk metilsikloheksana, sebagai berikut (T adalah suhu absolut dalam K; dan Cp adalah kapasitas panas zat yang dinyatakan dalam kJ/kg·K): T

Cp

150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

1,426 1,447 1,469 1,492 1,516 1,541 1,567 1,596 1,627 1,661 1,696 1,732 1,770 1,808 1,848 1,888

Lakukanlah pencocokan kurva (curve fitting), bila diinginkan persamaan Cp(T) sebagai fungsi dari temperatur dalam persamaan kuadrat: C p (T ) = a + bT + cT 2 ! 2. Suatu model yang paling umum untuk pengungkapan laju reaksi kimia order satu tak-berdimensi adalah dC dt = − k C dengan C (t = 0) = 1 . Bentuk terintegrasi dari model tersebut adalah C = exp(−k t ) , yang sebenarnya ‘nonlinier’ pada parameter k. Dengan data yang diberikan di bawah ini, tentukan nilai terbaik untuk k. Kembangkan juga prosedur hitungan saudara untuk ‘nilai nonlinier’ dari k.! t (detik) C (mol/L.detik)

0,2 0,75

0,5 0,55

1,0 0,21

1,5 0,13

2,0 0,04

Data tentang laju reaksi pada berbagai konsentrasi (C) dan Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



suhu reaksi (T) diberikan pada tabel di bawah ini: Laju reaksi 0,0360 1,01 7,45 0,0231 0,649 4,79 0,0135 0,378 2,80

C

T

0,8 0,8 0,8 0,4 0,4 0,4 0,2 0,2 0,2

300 400 500 300 400 500 300 400 500

3. Dari tabel data laju reaksi seperti disajikan di atas, diinginkan untuk melakukan validasi data menjadi persamaan model nonlinier: Laju reaksi = K

C e−a / T 1 + 0,3 C

dengan cara menghitung harga-harga parameter K dan a. Coba Anda fikirkan dengan baik, kemudian berikan pendapat Anda tentang bagaimana caranya melakukan pencocokan data seperti di atas ? 4. Gilliland dan Sherwood (1934) mendapatkan data tentang perpindahan massa untuk berbagai cairan yang jatuh bebas pada dinding kolom terbasahi (wetted-wall column). Data tersebut dapat dilihat pada tabel data yang diberikan di bawah ini sehingga dapat digunakan untuk melakukan validasi model nonlinier berikut: Sh = B1 Re B2 Sc B3

Dari persamaan yang ‘nonlinier’ seperti di atas, fikirkanlah dengan baik dan kemudian carilah cara yang paling mudah untuk melakukan pencocokan data seperti di atas (maksudnya: menghitung parameter-parameter B1 sampai B3 sedemikian rupa sehingga didapat korelasi yang sesuai)? Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI



Jika dari hasil-hasil penelitian Gilliland dan Sherwood di atas diperoleh suatu korelasi empiris berikut: Sh = 0,0336 Re 0,789 Sc 0,436

Cobalah lakukan suatu perbandingan, mana yang terbaik antara hasil penelitian (experiment) dan hasil perhitungan (prediction) jika deviasi baku didefinisikan seperti di bawah ? n 2  ∑ [Shexp − Sh pred ]i  std. dev. =  i =1  N −3    

1

2

Tabel Data Perpindahan Massa dari Gilliland dan Sherwood. Sh 43,7 21,5 24,2 88,0 51,6 50,7 32,3 56,0 26,1 41,3 92,8 54,2 65,5 38,2 93,0 70,6 42,9 19,8


Re 10,800 5,290 3,120 14,400 6,620 8,700 4,250 8,570 2,900 4,950 14,800 7,480 9,170 4,720 16,300 13,000 7,700 2,330

Sc 0,60 0,60 1,80 1,80 1,875 1,875 1,86 1,86 2,16 2,16 2,17 2,17 2,26 2,26 1,83 1,83 1,61 1,61



H. Daftar Pustaka Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John Wiley & Sons, Toronto, pp. 44-48, 1978. Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 49-51, 1983. Hanna, O.T., Sandall, O.C., “Computational Methods in Chemical Engineering”, Prentice-Hall International Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, pp. 121-149, 1995. Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., dan Vetterling, W.T., “Numerical Recipes”, Cambridge Univ. Press, 1986.




Contoh: Regresi Linier suatu Garis Lurus dari Pasangan Data x-y Diketahui bahwa pasangan data (antara variabel bebas x dengan variabel terikat y ) seperti di bawah ini:

Membentuk “model” korelasi kurva berbentuk garis lurus, yaitu dengan model sebagai berikut:

y  Ax  B Dengan menggunakan analisis regresi linier yang telah saudara pelajari, tentukanlah harga-harga koefisien A dan B dari korelasi model di atas! Jawab: Untuk memudahkan penyelesaiannya, dapat digunakan worksheet MSEXCEL yang penyusunan kolom-kolomnya disesuaikan dengan bentuk SPAL dari regresi linier tersebut. Bentuk tampilan tabel dalam worksheet MS-EXCEL yang dimaksudkan, adalah sebagai berikut:

Intellectual Property Right of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. @2015, DTK-FTUI Modul #3 - Regresi Linier untuk Persamaan Garis Lurus dan Kuadratis (21/22)


Dari uraian pada halaman 4 seperti di atas, diketahui bahwa untuk koefisienkoefisien A dan B dapat dihitung sebagai “vektor jawab” dari SPAL berikut:

  x2   x

 x  A

 x y        N  B   y 

Jika menggunakan acuan pada worksheet MS-EXCEL seperti di atas, maka bentuk SPAL yang dimaksud dapat disusun sebagai worksheet berikut:

 F11 C11     C11 B10 

A  E11      B   D11

diperoleh

 60 12   A   120         12 8   B   4  Maka, jika kita gunakan Aturan Cramer atau pun Metode Eliiminasi Gauss, Intellectual Property Right of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. @2015, DTK-FTUI Modul #3 - Regresi Linier untuk Persamaan Garis Lurus dan Kuadratis (22/22)


akan diperoh harga-harga koefisien berikut:

A = -3 B = 5 Sehingga, Persamaan Model yang dimaksud adalah:

y  -3x  5 Kurva korelasinya dapat digambarkan sebagai berikut:

Intellectual Property Right of Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. @2015, DTK-FTUI Modul #3 - Regresi Linier untuk Persamaan Garis Lurus dan Kuadratis (23/22)

Modul 3: Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil

Recommend Documents