PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD

PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO DENGAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Mayang Novhita Sari1*, Bustami2, Sigit Sugiarto2 1

2

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika FMIPA Universitas Riau Dosen Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia *

[email protected] ABSTRACT

This articlediscusses the parameter estimator of exponential Pareto distribution. Parameters p are estimated by constans  and  , using the method of moments and method of maximum likelihood. Method of moments estimator is unbiased estimator and themethod of maximum likelihood estimator is unbiased estimator for   1 andbiasfor   1. Variance of method of moments and mean square error of method of maximum likelihood are obtained using numerical simulation. The simulation results show that the method of maximum likelihood estimator better than the method of moments estimator. Keywords: Exponential distribution, Paretodistribution, method of moments, method of maximum likelihood, mean square error ABSTRAK Artikel ini membahas tentang penaksir parameter distribusi eksponensial Pareto. Parameter yang ditaksir adalah parameter p dengan  dan  konstan, menggunakan metode momen dan metode maksimum likelihood. Penaksir dari metode momen merupakan penaksir tak bias dan penaksir dari metode maksimum likelihood merupakan penaksir tak bias untuk   1 dan bias untuk   1 . Variansi dari metode momen dan Mean Square Error dari metode maksimum likelihood dicari menggunakan simulasi numerik. Hasil simulasi menunjukkan penaksir dari metode maksimum likelihood lebih baik dibanding penaksir dari metode momen. Kata Kunci: distribusi eksponensial, distribusi Pareto, metode momen, metode maksimum likelihood, mean square error 1. PENDAHULUAN Probabilitas adalah ukuran kemungkinan terjadi atau tidaknya suatu peristiwa. Untuk menyatakan suatu probabilitas diperlukan model matematis yang secara teoritis dinyatakan dengan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas pada umumnya dibedakan menjadi dua yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu. Distribusi probabilitas diskrit adalah distribusi yang mempunyai nilai variabel random berupa titik-titik atau banyaknya terhitung. Distribusi probabilitas kontinu Repository FMIPA

1

adalah distribusi yang mempunyai nilai variabel random berupa interval dan banyaknya tak terhitung. Dalam suatu distribusi terdapat parameter yang nilainya belum diketahui. Oleh karena itu perlu ditaksir melalui informasi yang ada dalam statistik sampel. Penaksiran suatu parameter dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya yaitu metode momen dan metode maksimum likelihood. Penaksir yang diperoleh dari diharapkan mempunyai nilai tidak terlalu jauh dengan nilai parameter yang ditaksir. Penaksiran suatu parameter distribusi telah banyak dilakukan sebelumnya. Al-Athari [2] membahas tentang penaksiran parameter distribusi Pareto ganda dengan menggunakan metode maksimum likelihood dan metode momen. Aulia et al [3] membahas penaksir parameter distribusi eksponensial dengan menggunakan parameter metode momen, metode likelihood dan metode Bayesian. Rytgaard [7] membahas tentang penaksiran parameter distribusi eksponensial dengan menggunakan metode momen dan metode maksimum likelihood. Penelitian ini membahas tentang penaksiran parameter distribusi eksponensial Pareto yang merupakan rujukan dari jurnal Exponential Pareto Distribution yang diperkenalkan oleh Al-Kadim dan Boshi [1]. 2. DISTRIBUSI EKSPONENSIAL PARETO Distribusi eksponensial Pareto mempunyai tiga perameter, yaitu satu parameter bentuk yang merupakan parameter bentuk dari distribusi Pareto dan dua parameter skala dan yang masing-masing merupakan parameter skala dari distribusi Pareto dan parameter skala dari distribusi eksponensial. Parameter yang akan ditaksir adalah parameter dengan dan dianggap konstan. Distribusi eksponensial Pareto merupakan distribusi yang bergantung pada distribusi eksponential dan distribusi Pareto. Berikut diberikan fungsi kumulatif distribusi dan fungsi kepadatan peluang (fkp) dari distribusi eksponensial Pareto 

F  X ; p,  ,    1  e

x      p

,

x  0,

dan f  X ; p,  ,   

  x 



 1

  p  p 

e

x      p

,

x  0.

(1)

Distribusi eksponensial Pareto mempunyai ekspektasi, variansi dan momen keberturut-turut sebagai berikut

EX   

1    1 .   

p

 p Var X      

 

EX

Repository FMIPA

r

  

2

  2    1 2     1     1   .           

r

 p  r        1 ,     

r  1,2,...

2

Selanjutnya akan dibahas penaksir parameter dengan dan konstan menggunakan metode momen dan metode maksimum likelihood disertai sifat dan MSE kedua metode. 3. PENAKSIR DARI METODE MOMEN Misalkan X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n merupakan sampel random dari distribusi eksponensial Pareto dengan fkp pada persamaan (1), kemudian akan ditentukan penaksir parameter p dengan menggunakan metode momen. n Momen sampel pertama adalah m1   xi n . Penaksir momen didapatkan dari i 1

penyelesaian persamaan berikut [5]

Asumsikan

dan

1  m1 

konstan,maka penaksir parameter pˆ m 

metode momen adalah

x  . 1    1  

(2)

4. PENAKSIR DARI METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Misalkan X 1 , X 2 , X 3 ,..., X n merupakan sampel random berukuran fkp pada persamaan (1), maka fungsi likelihood menjadi  n xi  n n   i 1 L x; p,  ,    pn  pn  

     

 1

yang berasal dari

n



e

 xi i 1

p

.

Untuk mendapatkan penaksir maksimum likelihood dari parameter digunakan ln fungsi likelihood yang disebut log-likelihood dan dinotasikan dengan ln L pˆ   Loglikelihood merupakan fungsi naik. Maksimum dari ln L pˆ  merupakan maksimum likelihood dari p adalahsolusi dari persamaan berikut         n n  ln p   p n     

Asumsikan dan likelihood adalah

 n   xi  i 1  pn  

     

 1

n   xi   i 1    e p   0     

konstan, maka penaksir parameter

metode maksimum

n

pˆ mle 

Repository FMIPA



  xi i 1

n

.

(3)

3

Untuk menentukan penaksir terbaik antara penaksir dari metode momen dan penaksir dari metode maksimum likelihood dilakukan perbandingan MSE dari kedua metode. Berdasarkan persamaan (2) yang merupakan penaksir dari metode momen dan persamaan (3) yang merupakan penaksir dari metode Maksimum likelihood. Untuk   1 nilai penaksir dari metode momen dan penaksir dari metode maksimum likelihood bernilai sama. Oleh karena itu MSE yang dibandingkan adalah MSE penaksir parameter untuk   1 . 5. MEAN SQUARE ERROR (MSE) MSE yang diperoleh dari metode momen dan MSE yang diperoleh dari metode maksimum likelihood didapatkan setelah sifat dari penaksir tersebut diketahui. Sifat penaksir yang digunakan adalah penaksir bias dan penaksir tak bias. jika penaksir merupakan penaksir tak bias maka dicari variansi, namun jika penaksir adalah penaksir bias, maka dicari MSE penaksir tersebut. Berikut diberikan teroema MSE. Teorema 1 [4, h. 309]Jika ˆ adalah penaksir dari  maka



    

2 MSE ˆ  Var ˆ  b ˆ .

Bukti: Pembuktian Teorema 1 dapat dilihat pada buku Bain [4, h. 310]. ∎ MSE Penaksir dari Metode Momen Penaksir parameter p dari metode momen pada persamaan (2) merupakan penaksir takbias. Berdasarkan Teorema 1 nilai MSE sama dengan nilai variansi. Variansi penaksir dari metode momen adalah       x   Var pˆ m   Var  1     1    

  n     xi   i 1  Var  1   n   1     2

       nVar X     1   n  1      2   1  p 2    1   2   1      Var pˆ m    2  1  n   1   

Repository FMIPA

4

MSE PenaksirdariMetode Maksimum Likelihood Penaksir pada persamaan (3) merupakan penaksir bias maka perlu dicari MSE penaksir metode maksimum likelihood. Untuk mendapatkan nilai MSE berdasarkan Teorema 1, perlu dicari Var  pˆ mle  dan b pˆ mle  . Berikut diberikan nilai dari Var  pˆ mle  n     xi  i 1 Var pˆ mle   Var  n  

     

2

 n    Var  pˆ mle     Var    xi n  i 1

  

(4)

Untuk mendapatkan Var   xi  digunakan Teorema dan Akibat berikut n



i 1



Teorema 2 [5, h. 309] Misalkan adalah variabel random yang memiliki Momen ke- , 2 dengan   EX  dan Var  X   E X  E  X  . Bila g suatu fungsi yang memiliki turunan ke- , maka Eg  X  menjadi Var  X  3 4 3  4  E g  X   g    g    g    g    ...  2 6 24  1 r g r 1   r 1  E g r    X    . r  1! r ! 2 





Bukti: Pembuktian Teorema 2 dapat dilihat pada buku Dudewicz [5, h. 309]. ∎ Akibat 3 [5, h. 310] Jika diambil berikut

di Teorema 2, maka diperoleh hampiran sebagai

Var X  . 2 Bukti: Pembuktian Akibat 3 dapat dilihat pada buku Dudewicz [5, h. 310]. ∎ Eg  X   g    g 2   

Akibat 4 [5, h. 310] Variansi dari g  X  adalah





Varg  X   g 1   Var X  . 2

Bukti: Pembuktian Akibat 4 dapat dilihat pada buku Dudewicz [5, h. 310]. ∎ 1

n 1 1 Misalkan Y   x i , g Y    Y maka g 1 Y   Y  , dengan menggunakan Akibat  i 1

 n  2 Var   xi  menjadi  i 1  2  n  Var   xi   g 1 E Y  VarY .  i 1 



Repository FMIPA



(5)

5

Untuk mendapatkan nilai E Y  dan Var Y  maka perlu diketahui distribusi dari X  menggunakan teorema berikut adalah variabel random dengan fkp f X  X  ,

Teorema 5 [4, h. 198] Misalkan

asumsikan Y  g  X  merupakan transformasi satu-satu dari A  x f X x  0 ke

B  y fY  y   0 , dengan invers transformasi X  g 1 Y  . Jika diferensial dari g kontinu dan bernilai tidak nol pada B , maka fkp dari adalah

 y g  y ,



f Y  y   f x g 1  y 

1

y  B.

Bukti: Pembuktian Teorema 5 dapat dilihat pada buku Bain[4, h. 198]. ∎ 1 1 1  1 Misalkan Z  X  maka g 1  z    z dan g z   z  , dengan menggunakan z  persamaan pada Teorema 3 dan fkp pada persamaan (1) dengan > 0,   0 dan > 0. Fkp dari Z adalah f Y z  

 p





e

z p

,

z  0.

(6)

Berdasarkan persamaan (6)diketahui Z berdistribusi eksponensial dengan parameter     , sehingga fungsi pembangkit momen dari adalah p

M Y t  

1  p  1  t   

, t

p



.

n

Setelah distribusi

diketahui maka dapat dicari distribusi Y   Z i dengan i 1

menggunakan metode fungsi pembangkit momen sebagai berikut Teorema 6 [4, h. 212] Jika X 1 , X 2 ,..., X n variabel random independen dengan fungsi n

pembangkit momen M xi t  maka fungsi pembangkit momen dari Y   Z i adalah i 1

M Yi t   M z1 t   M z2 t     M zn t 

Bukti: Pembuktian Teorema 6 dapat dilihat pada buku Bain [4, h. 212].∎

M Yi t  

Repository FMIPA

1 1

 p 1  1  1 

 t  



1 2

  p 1  2 t   2  



1   p n 1  n  n 

 t   6

Asumsikan Z1 , Z 2 , Z 3 ,..., Z n merupakan sampel random berdistribusi eksponensial n dengan parameter    , maka fungsi pembangkit momen dari Y   Z i menjadi

p

i 1

M Y t  

1

. (7) n  p  1  t    Fungsi pembangkit momen pada persamaan (7) menunjukkan Z berdistribusi  gamma dengan parameter   n dan    , sehingga ekspektasi dan variansi dari p adalah E Y   n

p





(8) 2

 p    VarY   n   

(9)

Substitusikan persamaan (8) dan persamaan (9) pada persamaan (5) maka  n  Var   xi  menjadi  i 1  2     n    1  n 2  p      . (10) Var  xi    2 n      i 1      Selanjutnya subtitusikan persaman (10) ke persamaan (4) maka Var  pˆ mle  menjadi

Var  pˆ mle  

p2 .  2n

(11)

Setelah Var  pˆ mle  selanjutnya akan dicari b pˆ mle  . Untuk mendapatkan b pˆ mle  perlu dicari E  pˆ mle  sebagai berikut n     x i  E  pˆ mle   E  i 1  n  

E  pˆ mle   

     

 

n  E  xi  , n  i 1 

dengan menggunakan Akibat 1 maka E  pˆ mle  menjadi

 1  E  pˆ mle   p1  2  .  2 n  Repository FMIPA

7

Nilai b pˆ mle  adalah

b pˆ mle   p

1 , 2 2 n

(12)

Selanjutnya substitusikan persamaan (11) dan persamaan (12) ke persamaan pada Teorema 1 maka MSE  pˆ mle  menjadi MSE  pˆ mle  





p2  2 4n  1  2  1 . 4 2 4 n

Setelah variansi dari metode momen dan MSEdari metode maksimum likelihood diketahui. Selanjutnya akan dilakukan perbandingan dari variansi momen dan MSE maksimum likelihood untuk mendapatkan penaksir parameter terbaik. Karena pada nilai variansi metode momen terdapat fungsi gamma maka perlu dilakukan simulasi untuk mendapatkan perbandingan dari variansi dari metode momen dan MSE dari metode maksimum likelihood. SIMULASI Untuk memperoleh nilai sampel random suatu dapat dilakukan dengan metode transformasi invers fungsi komulatif distribusi [6], dengan menggunakan fungsi kumulatif distribusi dari distribusi eksponensial Pareto pada persamaan (1) dan U adalah variabel random distribusi Uniform 0,1 maka nilai sampel random distribusi eksponensial Pareto menjadi 1

  ln 1  U    X  p  ,   

Ui  0 .

Simulasi dilakukan dengan menggunakan ukuran sampel n = 10, 20, 30 dan 40. Nilai parameter p  0.5, 1, 1.25, 2,   1.25 dan   2 serta pengulangan sebanyak R  100. Nilai dari variansi metode momen dan MSE metode maksimum likelihood dijelaskan pada Tabel 1. TABEL 1. Nilai Variansi Metode Momen dan MSE Metode Maksimum Likelihood dengan p  0.5, 1, 1.25, 2,   1.25 dan   2 n

10 20 30 40

p  0.5

Var  pˆ m 

MSE  pˆ mle 

0.0002091 0.0000293 0.0000032 0.0000025

0.0001393 0.0000145 0.0000006 0.0000000

Repository FMIPA

p 1

Selisih Nilai 0.0000769 0.0000145 0.0000026 0.0000025

Var  pˆ m 

MSE  pˆ mle 

0.0008364 0.0001171 0.0000127 0.0000101

0.0005573 0.0000578 0.0000022 0.0000000

Selisih Nilai 0.0002791 0.0000593 0.0000105 0.0000101

8

p  1.25 n

Var  pˆ m 

MSE  pˆ mle 

10 20 30 40

0.0013000 0.0001830 0.0000198 0.0000157

0.0008708 0.0000905 0.0000034 0.0000000

p2

Selisih Nilai 0.0004292 0.0000925 0.0000164 0.0000157

Var  pˆ m 

MSE  pˆ mle 

0.0033000 0.0004686 0.0000507 0.0000404

0.0022000 0.0002318 0.0000089 0.0000000

Selisih Nilai 0.0011000 0.0002368 0.0000418 0.0000404

Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa penaksir parameter dari metode maksimum likelihood memiliki nilai MSE lebih kecil dari nilai variansi penaksir dari metode momen. Untuk setiap nilai berbeda, semakin besar ukuran sampel maka selisih dari nilai Var  pˆ m  dan MSE  pˆ mle  akan mendekati nol. Hal ini menunjukan bahwa nilai

Var  pˆ m  akan mendekati nilai MSE  pˆ mle  untuk ukuran sampel yang semakin besar. KESIMPULAN

Penaksir parameter dari metode momen adalah penaksir tak bias dan penaksir parameter dari metode maksimum likelihood penaksir bersifat tak bias untuk   1 dan bias untuk   1 dengan parameter dan konstan. Untuk   1 nilai penaksir dari momen dan penaksir dari maksimum likelihood bernilai sama. Hasil simulasi juga menunjukkan bahwa nilai MSE dari metode maksimum likelihood lebih kecil dibanding nilai variansi dari metode momen, sehingga dapat disimpulkan metode maksimum likelihood lebih baik dari metode momen untuk   1 dalam menaksir parameter dari distribusi eksponensial Pareto. DAFTAR PUSTAKA [1] Al-Kadim, K. A. & M. A. Boshi. 2013. Exponential Pareto Distribution. Mathematical Theory and Modeling, 5: 135-146. [2] Al-Athari, F. M. 2011. Parameter Estimation for Double Pareto Distribution. Journal of Mathematics and Statistics, 7: 289-294. [3] Aulia, R., Noor, F & Nur, S. 2011. Estimasi Parameter Pada Distribusi Eksponensial.Jurnal Matematika Murni dan Terapan, 5: 40-52. [4] Bain, L.J. 1993. Introduction to Probability and Mathematical Statistics, 2nd ed. Duxbury Press. Belmont, California. [5] Dudewicz, E.J.& S.N. Mishra., 1995. Statistika Matematika Modern, Terj. dari Modern Matematical Statistics, oleh Sembiring, RK. Penerbit ITB, Bandung. [6] Ross, M. S. 2010. Introduction to Probability Models, 10th ed. Elsevier Academic Press. Los Angeles, California. [7] Rytgaard, M. 1990. Estimation in The Pareto Distribution. Astin Bulletin, 20: 202216. Repository FMIPA

9