11/24/2014
TKS 4008 Analisis Struktur I
TM. XXII :
METODE CROSS Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Outline Metode Distribusi Momen Momen Primer (M’ij) Faktor Kekakuan (Kij) Faktor Distribusi (FDij) Tabel Distribusi Momen (Cross)
1
11/24/2014
Pendahuluan • Pertama kali diperkenalkan oleh Hardy Cross (1993) dalam bukunya yang berjudul Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed End Moments. • Sebagai penghargaan, metode distribusi momen juga dikenal dengan metode Cross. • Salah satu metode yang digunakan dalam analisis struktur balok dan portal statis tak tentu.
Pendahuluan (lanjutan) Metode distribusi momen didasarkan pada asumsi sebagai berikut : 1. Perubahan bentuk (deformasi) akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, sehingga panjang batangbatangnya tidak berubah (konstan). 2. Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempurna.
2
11/24/2014
Pendahuluan (lanjutan) • Proses analisis dilakukan dengan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (fixed end moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) sehingga diperoleh keseimbangan di setiap titik simpul. • Hal ini dilakukan karena momen primer yang bekerja di setiap simpul suatu struktur tidak sama besar nilainya, sehingga simpul dalam keadaan tidak seimbang.
Pendahuluan (lanjutan) • Untuk mencapai kondisi seimbang, simpul melakukan perputaran sehingga momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol. • Proses distribusi dan induksi secara manual biasanya dilakukan sebanyak 4 putaran (iterasi), sehingga semua simpul dianggap sudah dalam keadaan seimbang atau mendekati nol.
3
11/24/2014
Definisi Ada beberapa definisi yang digunakan dalam metode distribusi momen, yaitu : 1. Momen Primer (M’ij) 2. Faktor Kekakuan (Kij) dan Momen Induksi (MIij) 3. Faktor Distribusi (FDij)
M’ij 1. Momen Primer • Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. • Besarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang berlawanan (dengan kata lain, momen jepit atau momen rekasi merupakan kebalikan dari momen primer dan disebut juga dengan momen perlawanan).
4
11/24/2014
M’ij (lanjutan) • Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan. • Arah momen primer didasarkan pada kecenderungan melenturnya batang (seolah-olah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang), untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 1.
M’ij (lanjutan)
Gambar 1. Momen Primer dan Momen Reaksi
5
11/24/2014
Kij 2. Faktor Kekakuan dan Momen Induksi • Untuk mengetahui faktor kekakuan dan momen induksi, dapat diuraikan berdasarkan persamaan slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada masing-masing jenis batang seperti ditunjukkan pada Gambar 2 untuk kondisi jepit-jepit dan Gambar 3 untuk kondisi jepit-sendi.
Kij (lanjutan)
Gambar 2. Batang Jepit-Jepit
6
11/24/2014
Kij (lanjutan) • Gambar 2, batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit. • Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar MAC dengan sudut kemiringan lendutan sebesar A. • Sedangkan ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama. • Sehingga diperoleh persamaan : A2 - A1 = A dan C2 - C1 = 0
Kij (lanjutan) • Akibat pengaruh momen distribusi MAC akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : 𝛉𝐀𝟏 =
𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂 𝟑𝐄𝐈
dan
𝛉𝐂𝟏 =
𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂 𝟔𝐄𝐈
• Selanjutnya pengaruh momen induksi MCA akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar : 𝛉𝐀𝟐 =
𝐌𝐂𝐀 𝐋𝐀𝐂 𝟔𝐄𝐈
dan
𝛉𝐂𝟐 =
𝐌𝐂𝐀 𝐋𝐀𝐂 𝟑𝐄𝐈
7
11/24/2014
Kij (lanjutan) • Dengan demikian : C2 - C1 = 0 𝐌𝐂𝐀 𝐋𝐀𝐂 𝟑𝐄𝐈
−
𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂 𝟔𝐄𝐈
𝟏
= 𝟎 → 𝐌𝐂𝐀 = 𝐌𝐀𝐂 𝟐
A1 - A2 = A 𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂 𝟑𝐄𝐈 𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂
− −
𝟑𝐄𝐈 𝟑𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂 𝟏𝟐𝐄𝐈
𝐌𝐂𝐀 𝐋𝐀𝐂 𝟔𝐄𝐈 𝐌𝐀𝐂 𝐋𝐀𝐂 𝟏𝟐𝐄𝐈
= 𝛉𝐀 = 𝛉𝐀
= 𝛉𝐀 → 𝐌𝐀𝐂 =
𝟒𝐄𝐈 𝐋𝐀𝐂
𝛉𝐀
Kij (lanjutan) • Jika A = 1 rad, maka : 𝐌𝐀𝐂 =
𝟒𝐄𝐈 𝐋𝐀𝐂
• Nilai momen ini disebut kekakuan batang AC yang diberi notasi KAC. • Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan jeit-jepit dapat dihitung dengan rumus :
𝐊 𝐢𝐣 =
𝟒𝐄𝐈 𝐋𝐢𝐣
8
11/24/2014
Kij (lanjutan)
Gambar 3. Batang Jepit-Sendi
Kij (lanjutan) • Gambar 3, batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi. • Di ujung A (simpul) bekerja momen distribusi momen sebesar MAD dengan sudut kemiringan lendutan sebesar A. • Sedangkan ujung D tidak berhak menerima momen induksi karena tumpuan sendi atau MDA = 0. • Sehingga diperoleh persamaan : A2 - A1 = A
9
11/24/2014
Kij (lanjutan) • Akibat pengaruh momen distribusi MAD akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada ujung batang A sebesar : 𝛉𝐀 =
𝐌𝐀𝐃 𝐋𝐀𝐃 𝟑𝐄𝐈
• Jika A = 1 rad, maka : 𝐌𝐀𝐃 =
𝟑𝐄𝐈 𝐋𝐀𝐃
• Nilai momen ini disebut kekakuan batang AD yang diberi notasi KAD.
Kij (lanjutan) • Dengan demikian kekakuan batang untuk tumpuan jepit-sendi dapat dihitung dengan rumus : 𝐊 𝐢𝐣 =
𝟑𝐄𝐈 𝐋𝐢𝐣
Sehingga dapat disimpulkan bahwa : 1. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit adalah : 𝟒𝐄𝐈 𝐊= . 𝐋
2. Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi adalah : 𝟑𝐄𝐈 𝐊= . 𝐋
10
11/24/2014
FDij 3. Faktor Distribusi • Jika pada struktur portal bekerja momen primer sebesar M’ di simpul A (lihat Gambar 4), maka masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD dengan arah berlawanan dengan momen primer M’. • Hal ini akibat simpul A dianggap kaku sempurna (perfect rigid), sehingga batang-batang berputar menurut garis elastisnya untuk mendapatkan kondisi keseimbangan (equilibrium).
FDij • Untuk mencari besarnya faktor distribusi dan momen distribusi dapat dihitung berdasarkan Gambar 4.
Gambar 4. Distribusi Momen
11
11/24/2014
FDij (lanjutan) Dari Gambar 4 : • Pada batang AB terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh MAB. • Pada batang AC terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh MAC. • Pada batang AD terjadi rotasi sebesar A akibat pengaruh MAD. • Jadi keseimbangan simpul A adalah : M’ = MAB + MAC + MAD
FDij (lanjutan) Jika KAB, KAC, dan KAD merupakan faktor kekakuan masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka : MAB = KABA ; MAC = KACA ; MAD = KADA Jadi : 𝐌 ′ = 𝐊 𝐀𝐁 + 𝐊 𝐀𝐂 + 𝐊 𝐀𝐃 𝛉𝐀 𝐌 ′ = 𝐊 𝐀 𝛉𝐀 𝛉𝐀 =
𝐌′ 𝐊𝐀
12
11/24/2014
FDij (lanjutan) Dengan demikian akan diperoleh : 𝐌𝐀𝐁 =
𝐌𝐀𝐂 = 𝐌𝐀𝐃 =
𝐊 𝐀𝐁 𝐊𝐀
𝐊 𝐀𝐂 𝐊𝐀 𝐊 𝐀𝐃
𝐌′
𝐌′
𝐊𝐀
𝐌′
FDij (lanjutan) Sehingga dapat disimpulkan bahwa : 1. Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan batang (K) dengan kekakuan batang total di titik simpul (K). 𝐅𝐃 =
𝐊 𝐊
2. Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor distribusi (FD) dengan momen primer (M’). MD = M’FD
13
11/24/2014
Prosedur Langkah-langkah analisis struktur dengan metode Cross : 1. Carilah momen primer, M’ untuk masing-masing bagian batang. 2. Tentukan faktor kekakuan, K (stiffness factor). 3. Tentukan faktor distribusi, FD (distribution factor). 4. Buat tabel Cross. 5. Sebagai kontrol, momen pada satu titik berlawanan tanda atau jumlahnya sama dengan 0.
Prosedur (lanjutan) 6. Pada penggambaran bidang momen, tanda penggambaran berlawanan dengan hasil perhitungan momen untuk sebelah kiri titik dukung. 7. Sedangkan untuk daerah momen sebelah kanan titik dukung , pada gambar selalu bertanda sama dengan hasil perhitungannya.
14
11/24/2014
Contoh Diketahui struktur balok menerus 3 bentang seperti pada gambar berikut :
Contoh
(lanjutan)
1. Momen Primer : 𝐌𝐀𝐁 = −𝐌𝐁𝐀 =
𝟏 𝟏𝟐
𝟏
𝐪𝐋𝟐 =
𝟏𝟐
𝟒. 𝟔𝟐 = 𝟏𝟐 kNm
𝐌𝐁𝐂 = −𝐌𝐂𝐁 = = 𝐌𝐂𝐃 =
𝐏𝐚𝐛𝟐
+
𝐋𝟐 𝟒.𝟑.𝟗𝟐
𝟏 𝟏𝟐 𝟏
+
𝐪𝐋𝟐 +
𝐏𝐚𝟐 𝐛 𝐋𝟐
𝟏. 𝟏𝟐𝟐 +
𝟒.𝟑𝟐 .𝟗
𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝐏𝐚 𝐋 −𝐚 𝟏𝟎.𝟔 𝟗 −𝟔 𝟐𝐋𝟐
=
𝟐.𝟗𝟐
= 𝟐𝟏 kNm
= 𝟏𝟑, 𝟑𝟑 kNm
15
11/24/2014
Contoh
(lanjutan)
2. Faktor Kekakuan dan Faktor Distribusi : Simpul B • Kekakuan batang :
𝐊 𝐁𝐀 = 𝐊 𝐁𝐂 =
𝟒𝐄𝐈 𝐋 𝟒𝐄𝐈 𝐋
= =
𝟒𝐄𝐈 𝟔 𝟒𝐄𝐈 𝟏𝟐
= 𝟎, 𝟔𝟕𝐄𝐈 = 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈
𝐊 𝐁 = 𝟏𝐄𝐈
Faktor distribusi : 𝐊 𝟎,𝟔𝟕𝐄𝐈 𝐅𝐃𝐁𝐀 = 𝐁𝐀 = 𝟏,𝟎𝟎𝐄𝐈 = 𝟎, 𝟔𝟕 𝐊 𝐁
𝐅𝐃𝐁𝐂 =
𝐊 𝐁𝐂 𝐊𝐁
𝐅𝐃𝐁 = 𝟏
𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈
= 𝟏,𝟎𝟎𝐄𝐈 = 𝟎, 𝟑𝟑
Contoh
(lanjutan)
Simpul C • Kekakuan batang : 𝐊 𝐂𝐁 = 𝐊 𝐂𝐃 =
𝟒𝐄𝐈 𝐋 𝟑𝐄𝐈 𝐋
= =
𝟒𝐄𝐈 𝟏𝟐 𝟑𝐄𝐈 𝟗
= 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈 = 𝟎, 𝟑𝟑𝐄𝐈
• Faktor distribusi : 𝐊 𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈 𝐅𝐃𝐂𝐁 = 𝐂𝐁 = 𝟎,𝟔𝟔𝐄𝐈 = 𝟎, 𝟓 𝐊 𝐂
𝐅𝐃𝐂𝐃 =
𝐊 𝐂𝐃 𝐊𝐂
=
𝟎,𝟑𝟑𝐄𝐈 𝟎,𝟔𝟔𝐄𝐈
= 𝟎, 𝟓
𝐊 𝐂 = 𝟎, 𝟔𝟔𝐄𝐈
𝐅𝐃𝐂 = 𝟏
16
11/24/2014
Contoh
(lanjutan)
3. Distribusi Momen • Untuk mendapatkan kondisi seimbang, dilakukan distribusi momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel (Tabel Cross). • Diusahakan Tabel Cross dibuat sedemikian rupa sesuai kebutuhan (penempatan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel), sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen. • Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar tidak menyulitkan proses induksi. • Dalam hal ini, proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga 4 kali iterasi dengan hasil mendekati nol.
Contoh
(lanjutan)
4. Tabel Cross
17
11/24/2014
Contoh
(lanjutan)
5. Bidang M, D, dan N Untuk mendapatkan gambar bidang M, D, dan N, maka perlu dibuat diagram badan bebas (free body diagram) dari momen reaksi yang sudah didapat.
Terima kasih atas Perhatiannya!
18
