V. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE-LUAS MOMEN

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen]

V. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE-LUAS MOMEN Defleksi balok diperoleh dengan memanfaatkan sifat diagram luas momen lentur. Cara ini cocok untuk lendutan dan putaran sudut pada suatu titik sudut saja, karena kita dapat memperoleh besaran-besaran tersebut tanpa terlebih dahulu mencari

persamaan selengkapnya

dari

garis

lentur.

Metode luas

momen

diperkenalkan oleh Saint – Venant dan dikembangkan oleh Mohr dan Greene.

Gambar 5.1. Prinsip Metoda Momen Area

65


5.1. Teori Momen Luas Pertama



Sudut

antara tangen A dan tangen B sama dengan luasan diagram M

antara kedua titik dibagi EI.

Mdx B EI

 

A

Keterangan:

 = sudut kemiringan M = momen lentur dengan jarak x dari titik B E = modulus elastisitasbalok I = momen-area kedua

Teori ini dipergunakan untuk:  Menghitung lendutan  Menghubungkan putaran sudut antara titik-titik yang dipilih sepanjang sumbu balok

5.2. Teori Momen Luas Kedua Jarak vertikal B pada kurva defleksi dan tangen A sama dengan momen dikali jarak (centroid area) dibagi EI.

Mxdx B EI



A

 = defleksi

Teori momen luasan kedua berguna untuk mendapatkan lendutan, karena memberikan posisi dari suatu titik pada balok terhadap garis singgung disuatu titik lainnya.

5.3. Defleksi Balok Kantilever Defleksi vertical dari sebarang titik pada balok kantilever dapat dihitung dengan menggunakan prinsip luas momen kedua, seperti digambarkan pada gambar berikut ini. Apabila dijelaskan dan diperlihatkan secara khusus maka semua balok kantilever dianggap mendatar pada titik jepitan. Garis singgung ke kurva elastik

66

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen] pada titik jepitan juga mendatar sehingga menyederhanakan penyelesaian tipe soal ini.

Gambar 5.2. Defleksi Balok Kantilever dengan Diagram Luas Momen

67


Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya 1.

Tentukan defleksi yang terjadi pada balok dan sudut kemiringannya ().

Jawab: a) EI = (L/2)(-PL)(2L/3) = -PL3/3 b) EI = (L/2)(-PL) 2.

 = -PL3/3EI  = -PL2/2EI

Tentukan defleksi yang terjadi pada balok.

Jawab:

EI 

3.

1  wL2  3L  wL4 wL4     L   3  2  4  8 8EI

Tentukan defleksi maksimum yang terjadi pada balok.

68

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen] Jawab:

EI 

1  L  PL  2 L  1  L  2a    PL 2  L  2a      Pa  a             2  2  2  3 2  2  2    2 3  2   

PL2 a Pa 3   8 6

PL3  3a 4a 3    3   24 EI  L L  4.

Tentukan defleksi pada titik tengah balok.

Jawab:

EI 



5.

1  L  w0 L2  2 L  1  L  w0 L2  4 L            2  2  8  3 2  4  2  24  5 2 

w0 L4 120 EI

Tentukan defleksi pusat yang disebabkan oleh gaya P.

69

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen] Jawab: 3  L  PL  3  1  L  PL  L 2  L  7 PL      L            4  8EI  8  2  4  8EI  4 3  4  384 EI

6. Tentukan putaran sudut dan lendutan pada ujung bebas B dari sebuah balok kantilever AB dengan beban terpusat P.

Jawab: Luas diagram: 2 1 L  PL  1    PL 2 2 EI  EI  PL2   b   a   A1  2 EI

A1 

 ba

Garis singgung pada kurva lendutan di A adalah horizontal (a= 0) Maka,

b 

PL2 2 EI

Lendutan b pada ujung bebas dapat diperoleh dari teori luas momen kedua.Momen pertama dari luas diagram M/EI terhadap titik B adalah:

PL2  2 L  PL3  2L  Q1  A1       2 EI  3  3EI  3  Dari teori luas momen kedua

 b  Q1

atau

b 

PL3 3EI

7. Tentukan putaran sudut dan lendutan pada ujung bebas B dari sebuah balok kantilever AB dengan beban merata q pada setengah panjang bagian kanan.

70


Jawab: Diagram momen lentur berbentuk kelengkungan parabolik dari B ke C dan garis lurus dari C ke A. Diagram M/EI mempunyai bentuk sama, karena EI konstan. Diagram dibagi menjadi 3 bagian dengan luas A1, A2, A3.

1  L  qL2  qL3    A1     3  2  8EI  48EI A2 

L  qL2  2  8EI

 qL3    16 EI 

A3 

1  L  qL2  qL3       2  2  4 EI  16 EI

Putaran sudutb = - luas diagram M/EI

7qL3  b   A1  A2  A3   48EI Lendutan b = - momen pertama diagram M/EI terhadap B

 b  ( A1 x1   A2 x2   A3 x3 ) x1 ; x2 ; x3 ) : jarak dari b ke titik berat dari masing-masing luas.

71


qL3  3L  qL3  3L  qL3  5L  41qL4 Jadi  b        48EI  8  16 EI  4  16 EI  6  384 EI

8. Tentukan putaran sudut dan lendutan pada ujung bebas B dari sebuah balok kantilever AB dengan beban merata q yang bekerja pada sebagian panjangnya.

Jawab: Luas diagram M/EI: A1 

3 1  qa 2  1  a       qa 3  2  EI  6 EI

Dari teori luas momen pertama:

 b   A1 b 

qa 3 6 EI

Titik berat diagram berjarak 3a/4 dari titik akhir pembebanan, atau sejauh b + 3a/4 dari B. Jadi momen pertama adalah:

3a   qa 3  3a  qa 3    4L  a  Q1  A1  b      b     4   6 EI  4 24 EI  Karena b = L – a Lendutan di ujung adalah

72

 b  Q1 

qa 3 4L  a  24 EI

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen] 9. Sebuah balok yang panjangnya 5 m diletakkan di atas dua tumpuan seperti pada gambar. Beban terpusat sebesar 50 kN bekerja pad ajarak 1 m dari titik A dan beban sebesar 5 kN dikenakan pada ujung balok. Balok tersebut terbuat dari baja dengan elastisitas 200 GPa dan momen inersia 15 x 10 6 mm4. Hitung lendutan pada ujung beban D.

Jawab:

R A  RB  55kN 3R A  100  10  0 3R A  90  R A  30kN RB  25kN

3  90  135m 2 2 2  100 A2   100m 2 2 2  10 A3   10m 2 2 A1 

EI  AA'  A1  23 3  A2 1  23  2  36.7 EI D' D' '  23 (36.7)  24.5 EI D' ' D   A3  23 2  13.3

EI DD' '  EID  EI D' D' '  EI D' ' D   24.5  13.3  11.2kNm3

D 

11.2  10 3  3.7  10 3 m  3.7mm 9 6 200  10 15  10







73

[Defleksi Balok Elastis: Metode Luas Momen] 10. Sebuah logam berpenampang segiempat mempunyai modulus elastisitas E = 100 GN/m2dikenai pembebanan dan momen seperti pada gambar. Tentukan defleksi di tengah balok.

Jawab:

F M

y

 0  R A  RB  10  4  40kN A

 0  RB  4  10  4  2  20

4RB  100  RB  25kN RA  40  25  15kN

20 kNm

2m

80 kNm 60 kNm 20 kNm 2m

I  121 bh 3  121  12  1000  1000cm 4  10 5 m 4 Defleksi di tengah balok: 2

EI   Mxdx 0

EI  30  2 23  2  13  20  2 34  2  80  20  60kNm3  74

60  10 3 60  10 3   0.06m  6cm EI 100  10 9 10 5






Latihan Soal 1. Tentukan defleksi pada titik tengah balok dengan metoda Luas Momen.

2. Balok yang diperlihatkan pada Gambar di bawah ini terbuat dari penampang baja berukuran 20 × 30 mm. Hitunglah sudut 𝜃𝐴𝐵 antara garis singgung ke kurva elastik balok ini pada titik A dan B (ujung kiri dan pusat).

3. Suatu balok pipa baja standar dengan diameter 70 mm dan E = 300 GN/m2. Dengan menggunakan metode Luas Momen, hitunglah defleksi maksimum di ujung kanan.

75


4. Balok kantilever berikut ini terbuat dari papan kayu kasar berukuran 50 × 400 mm diletakkan mendatar dan dijepit kaku di B. Hitunglah defleksi maksimum δ di A apabila E = 200 GN/m2 dan I = 4.2 × 106 mm4. Gunakan Metode Luas Momen Kedua.

5. Apabila balok pada soal nomor 2 dibebani secara simetris. Hitunglah : a) Defleksi maksimum δ di tengah balok b) Lendutan di titik acak D, 1 m dari ujung kiri

Jika Anda tanam jagung, Anda akan panen jagung. Jika Anda menanam waktu, Anda akan panen waktu. (Doug Wead)

76

V. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE-LUAS MOMEN

Recommend Documents