VI. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE FUNGSI SINGULARITAS

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas]

VI. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE FUNGSI SINGULARITAS 6.1. Metode Fungsi Singularitas Metode fungsi singularitas merupakan metode yang paling sederhana untuk perhitungan defleksi. Metode ini diperkenalkan oleh Clebsch (1883) dan Macaulay (1919). Metode ini didasari atas fungsi singularitas yaitu dengan menghitung sekaligus seluruh gaya-gaya yang bekerja pada batang (M,V dan w) dengan memperhatikan F x   x  a 

n

Fungsi singularitas disebut juga fungsi tak menerus (discontinuous function). Fungsi singularitasnya bernilai pada argument positif.

Hal penting adalah definisi dari fungsi singularitas

77

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] dipangkatkan sesuai beban

w(x)  Beban * (x - a)

wn x   F x  a 

n

Untuk: Beban terpusat: wx   F x  a 

1

Beban momen:

wx   M 0 x  a 

Beban merata:

wx   w0 x  a 

2

0

Beban segitiga: wx  

dw x  a 1 dt

Perhitungan dengan metode ini dilakukan dengan membuat persamaan momen untuk seluruh gaya yang bekerja pada batang.

Persamaan defleksi

didapatkan dengan cara mengintegrasikan 2 kali persamaan fungsi singularitas tersebut. Pada metoda ini hanya dua konstanta yang dicari nilainya. Konstanta dicari dengan memanfaatkan kondisi-kondisi tertentu: y = 0 pada tumpuan batang.

6.2. Hubungan Antara Intensitas Gaya w(x), Gaya Geser V(x) dan Momen Lentur M(x)

w

78

dV dx

V

dM dx

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] Penurunan Rumus: ΣFv = 0 wdx + V – (V+dV) = 0

W

dv dx

ΣM0 = 0 M - (M + dM) + Vdx + Wdx (dx/2) =0 dM = Vdx + 1/2 W (dx)2 Untuk dx yang kecil (dx)2 ≈ 0 dM = Vdx

V

dM dx

Persamaan momen pada batang:

d2y dx 2 d3y V   3 dx d4y W   4 dx M  

79


Contoh-Contoh Soal dan Pembahasannya 1.

Tentukan persamaan defleksi yang terjadi pada balok menggunakan fungsi singularitas.

Jawab:

M

B

0

Pb L Pa R A  RB  P  RB  L R A L  Pb  0  R A 

wx  

Pb 1 x   Px  a 1  Pa x  L 1 L L Pb 0 Pa x   Px  a 0  x  L 0 V x   L L Pb 1 Pa x   Px  a 1  x  L 1 ...........................................1 M x   L L

EI

d2y Pb 1 x   Px  a 1  Pa x  L1 ..............................2 M  2 L L dx

EI

dy Pb 2 P x   x  a 2  Pa x  L2  C1 ...............................3  dx 2 L 2 2L

EIy 

Pb 3 P x   x  a 3  Pa x  L3  C1 x  C2 .........................4 6L 6 6L

y = 0, x = L

PbL Pb 3  Dari persamaan (4) diperoleh C1   6 6L 80

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] y = 0, x = 0

C2 = 0

Persamaan defleksinya adalah

EIy 

2.

3   Pb 3 P x   x  a 3  Pa x  L3    PbL  Pb  x 6L 6 6L 6 6L  


Jawab:

R1  Pb a

R2  P1  b a  wx    R1 x   R2 x  a   Px  L …………………………… (1) 1

1

1

V x    R1 x   R2 x  a   Px  L ………………………………. (2) 0

0

0

M x    R1 x   R2 x  a   Px  L ………………….…………… (3) 1

1

1

d2y 1 1 1 EI 2  M   R1 x   R2 x  a   Px  L  ……………………. (4) dx EI

dy R R P 2 2 2   1 x   2 x  a   x  L   C1 …………………… (5) dx 3 2 2

EIy  

R1 3 R2 x   x  a 3  P x  L3  C1x  C2 ……………… (6) 6 6 6

y = 0 pada saat x = 0 dan x = a C1 dan C2 diperoleh dari persamaan (6)

81


C1 

Pab 6

C2 = 0

Persamaan defleksinya adalah

EIy  

3.

Pb 3 P  b  x   1  x  a 3  Pabx ………………………..(7) 6a 6  a 6


Jawab: Dari persamaan (2) diperoleh R1  w0 a



Dari persamaan (3) diperoleh M1  w0 2 L  b 2

2



wx   w0 x   w0 x  a   R1 x  L  M1 x  L …………………… (1) 0

0

1

2

V x   w0 x   w0 x  a   R1 x  L  M1 x  L …………………….. (2) 1

M x   

1

1

0

w0 2 w0 x   x  a 2  R1 x  L1  M1 x  L0 ………………….. (3) 2 2

d2y w w 2 2 1 0 EI 2  M   0 x   0 x  a   R1 x  L   M1 x  L  ...……. (4) dx 2 2 EI

dy w w R 3 3 2 1   0 x   0 x  a   1 x  L   M1 x  L   C1 ..…….…. (5) dx 6 6 2

dy  0 pada saat x = L dx Dari persamaan (5) diperoleh

82





C1  w0 L3  b3 / 6


EIy  





w0 4 w0 x  x  a 4  R1 x  L3  M1 x  L2  w0 L3  b3 x  C2 .. (6) 24 24 6 2 6

y = 0 pada saat x = L Dari persamaan (6) diperoleh

C2 







w0 4 wL L  b4  0 L3  b3 24 6



Persamaan defleksinya adalah:

EIy  

4.











w0 4 w0 x  x  a 4  w0 L3  b3 x  w0 L4  b4 2  w0 L L3  b3 24 24 6 24 6



(7)


Jawab: R1 = 225 N

R2 = 525 N

wx  225x  100x  1  100x  2  100x  4  525x  4 1

2

0

1

0

 200x  7 ………………………………………………………...(1) 1

V x  225x   100x  1  100x  2  100x  4  525x  4 0

1

1

1

0

 200x  7 ……………………………………………………….. .(2) 0

M x   225x   100x  1  1

0

100 x  22  100 x  42  525x  41 2 2

 200x  7 ………………………….…………………… (3) 1

83


d2y 1 0 2 2 1 EI 2  M  225x   100x  1  50x  2  50x  4  525x  4 dx  200x  7 ……………………………………………….. (4) 1

EI 

dy 225 2 x  100x  11  50 x  23  50 x  43  525 x  42  dx 2 3 3 2

200 x  72 C1 ……………………………………….. (5) 2

EIy  



225 3 100 x  x  12  50 x  24  50 x  44  525 x  43 6 2 12 12 6

200 x  73 C1x  C2 ………………………………. (6) 6

y = 0 pada saat x = 0 dan x = 7 Dari persamaan (6) diperoleh C1 = 504 dan C2 = 0 Persamaan defleksi balok adalah

EIy   

5.

225 3 100 x  x  12  50 x  24  50 x  44  525 x  43 6 2 12 12 6

200 x  73  504 x …………………………………… (7) 6

Tentukan persamaan defleksi yang terjadi pada balok menggunakan fungsi singularitas dan tentukan juga pusat defleksinya.

84

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] Jawab: 1

w L 1 2w L w L  2w  1 1 wx   0 x   0 x   2 0  x    0 x  L  ……… (1) 4 L L 2 4    2

V x  

w0 L 0 w0 2  2w0  x   x     x  L   w0 L x  L0 …………… (2) 4 L 2 4  L 

M x  

w0 L 1 w0 3  2w0  x   x     x  L   w0 L x  L1 …………… (3) 4 3L 2 4  3L 

3

3

d2y wL 1 w L w L  2w  3 1 EI 2  M  0 x   0 x    0  x    0 x  L  .. (4) dx 4 3L 2 4  3L  3

dy w0 L 2 w0 x   x 4   w0  x  L   w0 L x  L2  C1 …. (5) EI  dx 8 12 L 2 8  6 L  dy/dx = 0 pada x = L/2 Dari persamaan (5) diperoleh

C1   5w0 L3 192

Persamaan defleksi pada balok adalah 5

wL 3 w wL L  w  5 3 EIy  0 x   0 x    0  x    0 x  L   w0 L3 x  C 2 24 60 L 2 24  24 L  w L4 y 0 Pusat defleksi 120 EI

6. Tentukan persamaan defleksi pada balok berikut.

M1

a

b L 85

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] Jawab:

M

B

0

RA L  M 1  0  RA   R A  RB  0  RB 

M1 L

M1 L

M 1 1 x   M 1 x  a 2  M 1 x  L 1 L L M1 0 M x   M 1 x  a 1  1 x  L 0 V x    L L M M 1 0 1 M x    1 x   M 1 x  a   1 x  L  L L 2 M M d y 1 0 1 EI 2  M x    1 x   M 1 x  a   1 x  L  ...............1 L L dx M M dy 1 1 2 EI   1 x   M 1 x  a   1  x  L   C1..........................2 dx 2L 2L M1 3 M1 M x   x  a 2  1 x  L 3  C1  C 2 ...............3 EIy   6L 2 6L wx   

Dari persamaan (3) x = 0, y = 0  C2 = 0 x = L, y = 0  C1 =

M 1 L M 1b 2  6 2L

Jadi persamaan defleksinya

 M 1 L M 1b 2  M1 3 M1 M1 2 3 x x   x  a   x  L   EIy    6L 2 6L 2 L   6 7. Carilah persamaan defleksi pada balok dengan pembebanan seperti pada gambar berikut ini.

86


Jawab:





wo 2 L  b2 2L w R2  wo a  0 L2  b 2 2L w w 1 2 2 M  R1 x   o x   o x  a  ............................................1 2 2 R1 





w w d2y 1 2 2  M  R1 x   o  x   o  x  a  ...........................2 2 2 2 dx w dy R1 2 wo x   x 3  o x  a 3  C1 .............................3 EI  dx 2 6 6 w R1 3 wo x   x 4  o x  a 4  C1 x  C 2 ......................4 EIy  6 24 24 EI

x = 0, y = 0  C2 = 0

x = L, y = 0



wo L3 wo b 3 wo L 2  C1    L  b2 24 24 L 12



Jadi persamaan defleksinya

 wo L3 wo b 3 wo L 2  wo 2 wo wo 3 4 4 2 x   x  a    EIy  L  b x     L  b2 x 12 L 24 24 24 L 12  24 







87



[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] 8. Tentukan persamaan defleksi pada balok di bawah ini.

Jawab:

M F

y

A

 M A  M1 

M1 2  0  M A  M1 3 3

 RA  0 0

0

M  2 L 3L   0 M   M 1 x   M 1  x    1  x   .......................................1 3 4 3  4   0

0

M  d2y 2 L 3L   0 EI 2  M   M 1  x   M 1  x    1  x   ......................2 3 4 3  4  dx  1

EI

1

dy 2 L M  3L   1   M 1 x   M 1  x    1  x    C1 ...........................3 dx 3 4 3  4  

x = 0,

dy  0  C1  0 dx

x  2  M 1  x  L   M 1  x  3L   C ........................4 2 EIy   M 1     2..... 3 L 2  4 6  4  2

2

x = 0, y = 0  C2 = 0

M x  M  M  L 3L  EIy   1  1 x    1 x   3 2  4 6  4  2

88

2

2

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] 9. Cari persamaan defleksi pada balok berikut.

P1

P2

L/2

L/2

Jawab:

M x    P1  x   P2 x  L / 2  Rx  L  1

1

1

d2y 1 1 1 EI 2  M  x    P1  x   P2 x  L / 2  Rx  L  dx P P dy R 2 2 2 EI   1 x   2  x  L / 2  x  L   C1 dx 2 2 2 P P R 3 3 3 EIy   1 x   2 x  L / 2  x  L   C1 x  C 2 6 6 6 P1 L2 P2 L2 dy x = L,   0  C1  2 8 dx 3 P L 5P2 L3 x = 0, y = 0  C 2   1  3 48

EIy  

2 3  2   3  P1 3 P2 x   x  L / 23  R x  L3   P1 L  P2 L  x   P1 L  5P2 L  6 6 6 8  48   2  3

10. Sebuah balok yang diletakkan di atas tumpuan A dan B, dikenakan pembebanan seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Carilah persamaan kurva lendutannya, jika diketahui modulus elastisitas bahan E = 200 GPa dan momen inersia I = 12 x 10-6 mm4, tentukan: a. Lendutan pada titik B b. Lendutan pada titik D

89

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] Jawab:

F M

 0  R A RB  165  20  100

V B

 0  10R A  1652.5  204  0

10RA  120  RA  12kN RB  88kN wx   12x   16 x  5  16 x  10  88x  10 1

0

0

1

V x   12x   16 x  5  16 x  10  88 x  10 0

1

1

0

M x   12x   16 x  5  16x  10  88x  10 1

2

2

1

d2y  M ( x) dx 2 dy 2 3 3 2 EI  6x   83 x  5  83  x  10  44 x  10  C1 dx 3 4 4 3 EIy  2 x   23  x  5  23  x  10  443 x  10   C1 x  C 2 EI

Syarat-syarat batas lendutan:

y = 0 pada x = 0 y = 0 pada x = 10

y = 0, x = 0  diperoleh C2 = 0 y = 0, x = 10 

0  210  23 5  10C1  C1  158.3 3

4

EIy  2x   23 x  5  23 x  10  443 x  10  158.3x 3

4

4

3

a. Lendutan pada titik B (x = 5)

EIy  25  158.35  541.5kNm3 3

 541.5  10 3 y  225.6  10 3 m  225.6mm 9 6 200  10 12  10





b. Lendutan pada titik D (x = 14)

EIy  214  23 9  3

y

90

4

2 3

44  44 43  118.314  7.13kNm3 3

7.13  10  2.97  10 3 m  2.97mm 9 6 200  10 12  10 3






Latihan Soal 1. Tentukan persamaan defleksi yang terjadi pada balok berikut ini dengan menggunakan fungsi singularitas dan tentukan juga pusat defleksinya.

2. Hitunglah besar defleksi dan pusat defleksi pada pembebanan balok di bawah ini dengan menggunakan metoda fungsi singularitas!

3. Hitunglah defleksi dan pusatnya pada pembebanan balok di bawah ini dengan menggunakan metoda fungsi singularitas!

91

[Defleksi Balok Elastis: Metode Fungsi Singularitas] 4. Hitunglah defleksi dan pusatnya pada pembebanan balok di bawah ini dengan menggunakan metoda fungsi singularitas!

5. Sebuah balok yang diletakkan di atas tumpuan A dan B, dikenakan pembebanan seperti terlihat pada gambar di bawah ini. Carilah persamaan kurva lendutannya, jika diketahui modulus elastisitas bahan E = 250 GPa dan momen inersia I = 15 x 10-6 mm4, tentukan: a. Lendutan pada titik B b. Lendutan pada titik D

Impian berperan seperti obat bius dalam operasi, ia membuat kita tidak merasakan sakitnya proses pencapaian kesuksesan. (Anonim) 92

VI. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE FUNGSI SINGULARITAS

Recommend Documents