XI. BALOK ELASTIS STATIS TAK TENTU

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

XI. BALOK ELASTIS STATIS TAK TENTU

11.1. Balok Statis Tak Tentu Dalam

semua

persoalan

statis

tak

tentu

persamaan-persamaan

keseimbangan statika masih tetap berlaku. Persamaan-persamaan ini adalah penting, tetapi tidak cukup untuk memecahkan persoalan tak tentu. Berbagai persamaan tambahan dibuat berdasarkan pertimbangan geometri dari deformasi. Dalam sistem struktur dari kebutuhan fisis, unsur-unsur atau bagian-bagian tertentu haruslah berdefleksi bersama, memelintir bersama, memuai bersama, dan seterusnya atau sama-sama tetap stasioner. Dengan merumuskan pengamatanpengamatan

demikian

secara

kuantitatif

memberikan

persamaan-persamaan

tambahan yang diperlukan. Suatu balok dikatakan statis tak tentu bila jumlah reaksi-reaksi pada balok yang tidak diketahui melebihi jumlah persamaan kesetimbangan yang digunakan

145

[Balok Elastis Statis Tak Tentu] pada sistem. Sehingga persamaan kesetimbangan perlu dilengkapi dengan menambahkan persamaan dari deformasi balok. Pada sistem statis tertentu (statically determinate) hanya terdapat pembebanan secara aksial pada struktur sederhana.

11.2. Tipe-tipe Balok Statis Tak Tentu Beberapa tipe umum dari balok statis tak tentu seperti terlihat pada Gambar 11.1. Walaupun perubahan luas susunan yang terdapat di lapangan, empat diagram berikut akan menggambarkan secara alamiah sebagai sistem tak tentu. Pada balok di bawah ini reaksi dari setiap bentuk adalah sebuah sistem gaya pararel dan oleh karena itu terdapat dua persamaan keseimbangan statis. Demikian penentuan reaksi di setiap kasus yang memerlukan penggunaan persamaan tambahan yang berasal dari deformasi dari balok.

(a)

(c)

(b)

(d) Gambar 11.1.Tipe-tipe balok statis tak tentu

146

[Balok Elastis Statis Tak Tentu] Persamaan pelengkap pada tipe balok gambar a dan c, dapat dicari dengan menggunakan teorema momen-area. Tipe balok b lebih baik dengan menggunakan metode fungsi singularitas. Sedangkan pada tipe-balok d biasanya menggunakan teorema tiga-momen. Sebagai contoh perhatikan gambar berikut:

M A L1  2M B L1  L2   M C L2  

6 A1 a1 6 A2 b2  L1 L2

Dimana, MA,MB,MC = momen pada titik A, B dan C L1, L2 = panjang spin A1,A2 = luas diagram momen

a1 , b2 = jarak centroid pada masing-masing diagram momen dari A sampai C

147

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya

1. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah ini.

Jawab:

F

v

1 2

 2R1  wL  0  R1  wL

2

.......................(1)

 wL2  L   L  L    0 LR1L    L M1    13 L  3 2  2  4 

Substitusi R1 dari persamaan (1), diperoleh: 2

M1  wL

12

2. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok yang ditunjukkan oleh gambar dibawah.

Jawab:

wx   M1 x   R1 x   Px  a   R2 x  L  M 2 x  L 2

1

1

1

2

vx   M1 x   R1 x   Px  a   R2 x  L  M 2 x  L 1

148

0

0

0

1

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

d2y M x   M1 x   R1 x   Px  a   R2 x  L   M 2 x  L   EI 2 dx 0

EI

1

1

1

0

dy R P R 1 2 2 2 1  M1 x   1 x   x  a   2 x  L   M 2 x  L   C1 .. (a) dx 2 2 2

EIy  

M1 2 R1 3 P x   x   x  a 3  M 2 x  L2  C2 ....................... (b) 2 6 6 2

Substitusi x = L ke persamaan (a) dan (b)

R1L2 Pb 2 ........................................ (c) 0   M1L   2 2

0

M1L2 R1L3 Pb 3 ....................................... (d)   2 6 6

Dari (c) dan (d) diperoleh

M1 

Pab 2 Pb 2 2 Pab 2 R   1 L2 L2 L3 Pb 2 2 Pab 2   R2  P  0 L2 L3

R2 

Pa 2 2 Pa 2b  L2 L3

3. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.

149

[Balok Elastis Statis Tak Tentu] Jawab: w1=w2=w, L=L2=L, MA=MC=0 3

wL wL M A L1  2M B L1  L2   M C L2   1 1  2 2 4 4

3

wL3 wL3 0  2M B 2 L   0    4 4 MB  

wL2 8

R1L  wL

L wL2   R1  83 wL 2 8

283 wL   R2  2wL  0  R2  54 wL 4. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.

Jawab: P1=P2=P, L1=L2=L, a1=b2=L/2, MA=MC=0

M A L1  2M B L1  L2   M C L2    0  2M B 2 L   0   MB  

150

3 PL 16

 2L  L 4 L

2P L

2

2







P1a1 2 Pb 2 2 2 L1  a1   2 2 L2  b2 L1 L2



[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

R1L 

PL 3PL 5   R1  P 2 16 16

11  5P  2   R2  2 P  0  R2  P 8  16  5. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.

Jawab:

0  2M 2 4  8  M 3 8  

302 2 4  22  158 4 4





3

3M 2  M 3  240  22.5 kN m...................................................(a) M 28   2M 3 8  5  0  

158 252.5 2 5  2.52  4 55

M 2  3.25M 3  240  29.3

3





kN m...............................................(b)

Dari persamaan (a) dan (b) diperoleh M2= -66.72 kNm dan M3= -62.34 kNm

4R1  302  66.72  R1  1.68 kN

121.68  8R2  3010  1584  62.34  R2  87.2 kN 5R4  252.5  62.34  R4  0 8R3  1584  2510.5  66.72  R3  84.5 kN

151

[Balok Elastis Statis Tak Tentu] 6. Tentukan reaksi gaya pada ujung-ujung balok berikut

Jawab:

R1  R1 

Pb 2 2 L  a  2 L3 2 20  10 3 3 26

3

2  6  3  6.25kN









Pa 3L2  a 2 2 L2 20  10 3 3 3  36  9  13.75kN R2  2 26 R2 

Pa 2 L  a2 2 2L 20  10 3 3 36  9  22.5kN M1  2 26 M1 

7. Sebuah batang baja yang luas penampangnya 1000 mm2 dan panjangnya 400.06 mm dengan longgar dimasukkan ke dalam sebuah tabung tembaga seperti yang terlihat dalam gambar. Tabung tembaga mempunyai luas penampang 1500 mm2 dan panjang 400 mm. Bila suatu gaya aksial P = 125 kN diberikan pada tutup yang kaku, berapakah tegangan-tegangan yang akan terbentuk dalam kedua bahan? Anggaplah bahwa modulus elastis baja dan tembaga masing-masing adalah Es = 200 GPa dan Ecu = 120 GPa.

152

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

Jawab:

Ps  Pcu  125kN

Dari statika:

Dari geometri: u s  u cu  0.06

u

PL AE

Ps Ls P L  cu cu  0.06 As E s Acu Ecu 400.06 400 P  P  0.06 ................(1) 3 s 100020010 1500120103 cu

Ps  1.111Pcu  30.000 N ..................................................(2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

Pcu  45000 N Jadi,

 cu 

s 

dan

Ps  80000 N

Pcu 45000   30MPa A 1500

Ps 80000   80MPa A 1000

8. Sebuah poros melingkar padat kuningan dipasang tetap pada kedua ujungnya dan dua momen puntir, T1 = 31.4 Nm dan T2 = 62.8 Nm bekerja padanya seperti yang terlihat pada gambar. Anggaplah bahwa bahan bersifat elastis linier dengan G = 40 GPa. Diameter d1 = 80 mm dan d2 = 67.3 mm. Tentukanlah

153

[Balok Elastis Statis Tak Tentu] momen puntir pada A dan plot diagram-diagram momen puntir dan sudut puntir.

Jawab: Statika:

TA  T2  T1  TB  0

 0

Geometri:

T A 500  T2  TB 250 TB 250    0 2J 2G J 2G J 2G

TB  31.4  628  TB   TB

0

TB  31.4 Nm TA  0

T (Nm)

31.4

+

0

-

0 31.4

 (rad) 0

+

0

9. Sebuah baut baja yang mempunyai luas penampang A1 = 1000 mm2 dipergunakan untuk menjepit dua buah cincin baja dengan tebal total L, masingmasing mempunyai luas penampang A2 = 900 mm2. Bila baut tersebut dalam susunan ini semula dieratkan agar tegangannya menjadi 150 MPa, berapakah tegangan akhir dalam baut ini setelah suatu gaya P = 100 kN dikenakan kepada susunan tersebut?

154

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

Jawab: Dari statika: Atau karena

P  I c  Y   I t  X 

Ic  It X Y  P

Dari geometri:  baut   cincin

A XL YL  Y  2 X A1 E A2 E A1 Tegangan akhir dalam baut:

X 

P P   0.1P  10kN 1   A2 / A1  1  9

10. Tentukan reaksi-reaksi yang terjadi pada balok di bawah.

Jawab:

VB P

302.7  0.9  302.7  287.86   0.9  VD  6 EI 8EI EI 3

4

155

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

Latihan Soal 1. Dengan menggunakan persamaan tiga momen, carilah momen MB yang tak diketahui di tumpuan B dari balok dua bentangan seperti terlihat pada gambar di bawah ini! Abaikan berat balok.

2. Hitunglah momen di tumpuan B dan C dari balok kontinu seperti terlihat pada gambar berikut ini! Abaikan berat balok.

3. Dengan menggunakan persaman tiga momen, hitunglah momen MB di tumpuan jepitan ujung B dari balok yang terlihat pada Gambar di bawah ini. Berat balok tidak diperhitungkan.

156

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

4. Carilah semua momen lentur yang tak diketahui di tumpuannya pada Gambar di bawah ini!

5. Sebuah poros melingkar padat kuningan dipasang tetap pada kedua ujungnya dan dua momen puntir, T1 = 45 Nm dan T2 = 70 Nm bekerja padanya seperti yang terlihat pada gambar. Anggaplah bahwa bahan bersifat elastis linier dengan G = 50 GPa. Diameter d1 = 90 mm dan d2 = 70 mm. Tentukanlah momen puntir pada A dan plot diagram-diagram momen puntir dan sudut puntir.

157

[Balok Elastis Statis Tak Tentu]

Berakit-rakit ke hulu, berenang-renang ke tepian. Bersakit-sakit dahulu, bersenang-senang kemudian. (Peribahasa) 158