Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
Pertemuan XIII
VIII. Balok Elastis Statis Tak Tentu
8.1 Definisi Balok Statis Tak Tentu Balok dengan banyaknya reaksi melebihi banyaknya persamaan kesetimbangan, sehingga reaksi pada balok tidak dapat ditentukan hanya dengan menggunakan persamaan statika. Dalam hal ini diperlukan tambahan persamaan kesetimbangan, yaitu persamaan deformasi balok. Pada kasuskasus demikian balok dikatakan sebagai statis tak tentu.
8.2 Tipe-Tipe Balok Statis Tak Tentu Beberapa tipe balok statis tak tentu dapat diperlihatkan, meskipun dalam praktek variasinya sangat banyak, bentuk-bentuk balok statis tak tentu berikut ini dapat mewakili sistem tak tentu. 1. Balok kantilever yang ditopang.
Gambar 8.1 Balok kantilever yang ditopang Reaksi pada balok terdiri atas gaya horisontal,
gaya vertikal, dan
momen di ujung A, serta gaya vertikal di ujung B. Ada empat persamaan pada balok, sedangkan persamaan kesetimbangan yang tersedia hanya ada tiga, yaitu ΣV = 0, ΣH = 0, dan ΣM = 0. Dengan demikian pada balok kelebihan satu persamaan, maka disebut balok statis tak tentu berderajat satu. 2. Balok kantilever yang ditopang dengan beban vertikal saja. Semua beban bekerja dalam arah vertikal, maka reaksi horisontal di tumpuan A tidak ada. Reaksi pada balok adalah gaya vertikal, dan momen di
VIII‐1
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
ujung A, serta gaya vertikal di ujung B Ada tiga persamaan pada balok, namun persamaan kesetimbangan yang tersedia hanya ada dua, yaitu ΣV = 0,dan ΣM = 0. Dalam hal ini pada balok kelebihan satu persamaan, maka disebut balok statis tak tentu berderajat satu.
Gambar 8.2 Balok kantilever yang ditopang dengan beban vertikal saja. 3. Balok berujung jepit
Gambar 8.3 Balok berujung jepit Pada balok ada enam reaksi, yaitu masing-masing di ujung A dan B ada gaya vertikal, gaya horisontal dan momen. Ada enam persamaan pada balok, sedangkan persamaan kesetimbangan yang tersedia hanya ada tiga, yaitu ΣV = 0, ΣH = 0, dan ΣM = 0. Dengan demikian pada balok kelebihan tiga persamaan, maka disebut balok statis tak tentu berderajat tiga. 4. Balok berujung jepit dengan beban vertikal saja.
Gambar 8.4 Balok berujung jepit dengan beban vertikal
VIII‐2
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
Pada balok ada empat reaksi, dengan satu gaya vertikal dan momen di setiap tumpuan. Ada empat persamaan pada balok, sedangkan persamaan kesetimbangan yang tersedia hanya ada dua yaitu ΣV = 0, dan ΣM = 0 Dengan demikian pada balok kelebihan dua persamaan, maka disebut balok statis tak tentu berderajat dua. 5. Balok menerus.
Gambar 8.5 Balok menerus Balok mempunyai lebih dari satu bentangan dan menerus di atas tumpuan dalam. Pada balok ada empat reaksi, dengan gaya vertikal di masing-masing tumpuan, dan gaya horisontal di tumpuan A. Ada empat persamaan pada balok, sedangkan persamaan kesetimbangan yang tersedia hanya ada tiga, yaitu ΣV = 0, ΣH = 0, dan ΣM = 0. Dengan demikian pada balok kelebihan satu persamaan, maka disebut balok statis tak tentu berderajat satu 8.3 Contoh Soal dan Pembahasan Soal. Suatu balok kantilever yang ditopang dengan beban merata. Tentukan reaksi, gaya geser, dan momen lentur. q
L
VIII‐3
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
Penyelesaian : •
Balok mempunyai tiga reaksi (RVA, RVB, dan MA).
Hanya dua
persamaaan keseimbangan yang tersedia untuk menentukan reaksi, yaitu ΣV = 0, dan ΣM = 0, maka disebut balok statis tak tentu berderajat satu. •
Reaksi dalam RVB :
RVA = q.L − RVB ........................a ) MA = •
q.L2 − RVB .L...................b) 2
Momen lentur, pada jarak x dari tumpuan jepit :
q.x 2 M = RVA .x − M A − ...............c) 2 Sustitusikan persamaan a) dan b) ke dalam persamaan c), maka diperoleh :
⎛ q.L2 ⎞ q.x 2 M = (q.L − RVB )x − ⎜⎜ − RVB .L ⎟⎟ = 2 ⎝ 2 ⎠ qL2 qx 2 M = qLx − RVB x − + RVB L − ..........d ) 2 2 •
Persamaan differensial :
d2y qL2 qx 2 EI 2 = qLx − RVB x − + RVB L − ........e) 2 2 dx •
Integrasi pertama menghasilkan kemiringan :
EI •
dy qLx 2 RVB x 2 qL2 x qx 3 = − − + RVB Lx − + C1 ........ f ) dx 2 2 2 6
Integrasi kedua menghasilkan defleksi :
qLx 3 RVB x 3 qL2 x 2 RVB Lx 2 qx 4 EIy = − − + − + C1 + C 2 ........g ) 6 6 4 2 24 VIII‐4
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
•
Syarat batas : -
Defleksi di tumpun jepit adalah nol
-
Kemiringan di tumpuan jeit adalah nol
-
Defleksi di tumpuan sederhana adalah nol
Pada x = 0, dy/dx = 0, sehingga C1 = 0, dan pada x = 0, y = 0, sehingga C2 = 0, dan pada x = L, y = 0, maka diperoleh :
qLL3 RVB L3 qL2 L2 RVB LL2 qL4 − − + − =0 6 6 4 2 24 qL4 RVB L3 qL4 RVB L3 qL4 − − + − =0 y= 6 6 4 2 24 y=
RVB L3 3RVB L3 4qL4 6qL4 qL4 − = − − 6 6 24 24 24 3 4 − 2 RVB L − 3qL = 6 24 3qL RVB = 8 Jadi reaksi :
3qL 5qL = 8 8 2 q.L 3qL qL2 .L = − MA = 2 8 8 RVA = qL −
Gaya geser :
V = RVA − qx =
5qL − qx 8
Momen Lentur :
qx 2 5qLx qL2 qx 2 M = RVA x − M A − = − − 2 8 8 8 VIII‐5
Bahan Ajar – Mekanika Bahan – Mulyati, ST., MT
q
qL2 MA = 8
L
RVA =
5qL 8
RVB =
3qL 8
5qL 8
− =
3qL 8
− qL2 8
9qL2 128 2
M max
9qL2 5qL 5L qL2 q ⎛ 5L ⎞ = − ⎜ ⎟ = . − 8 8 8 2⎝ 8 ⎠ 128
VIII‐6
