METODE CLAPEYRON Pustaka: SOEMADIONO. Mekanika Teknik: Konstruksi Statis Tak Tentu. Jilid 1. UGM.
Pemakaian Dalil 3 Momen Clapeyron
A
αa
αb
B
Jika suatu batang datar sendi-rol diberi muatan/beban di atasnya, maka batang tersebut akan melendut ke bawah. Sehingga pada tumpuan sendi A akan terbentuk sudut sebesar αa terhadap horisontal sedangkan pada tumpuan rol B terbentuk sudut αb. Sudut αa dan αb disebut sudut belahan akibat beban luar.
MA
A
MB
B
MC C
D
Jika pada suatu konstruksi statis tak tertentu yang mempunyai banyak tumpuan menerima beban-beban luar di atasnya, maka sudut belahan akibat beban tsb (α) akan ditutup/ditiadakan oleh momen-momen yang timbul pada tumpuan-tumpuan tsb karena kekuatan batang tsb, sehingga batang akan kembali pada kedudukan semula. Arah momen dibuat sedemikian rupa sehingga menutup sudut belahan α. Sudut belahan akibat momen disebut sudut β. Prinsip: Sudut belahan akibat beban luar = sudut belahan akibat momen α= β
Berapa nilai α ….???? Berapa nilai β ….????
Penentuan rumus sudut belahan akibat beban luar (α ) Contoh:
Ingat kembali materi Defleksi dan Rotasi balok statis tertentu di MR II. Sudut belahan α adalah sudut rotasi Θ di MR II. Bisa dicari dengan MBS atau MLM.
P A
B /2
/2
L
L
L P P 1 1 ( x)(1 − x) ( x )( x) 2 Mm L dx + 2 L dx θA = ∫ dx = ∫ 2 ∫0 EI EI EI 0 L 2
PL2 θA = ⇒ αa 16 EI PL2 θB = ⇒ αb 16 EI
Analog dengan ΘA didapat :
Rumus-rumus Sudut Belahan Akibat Beban Luar (α )
Analog dengan cara di atas, Diperoleh:
Penentuan rumus sudut belahan akibat momen (β ) MA
A
MB EI1 L1
MC EI2
B
EI3 C
L2
L3
D
Di tumpuan jepit A, timbul sudut belahan akibat momen yang bekerja, disebut βa. βa = sudut belahan akibat momen primer + akibat momen induksi M .L M .L βa = A 1 + B 1 3EI1 6 EI1 Di tumpuan B, timbul sudut belahan βb1 dan βb2.
β b1 =
M B .L1 M A .L1 + 3EI1 6 EI1
β b2 =
M B .L2 M C .L2 + 3EI 2 6 EI 2
Di tumpuan C ……………bagaimana ?
Pemakaian M. Clapeyron : Konstruksi Batang Datar Prinsip: Sudut belahan akibat beban luar = sudut belahan akibat momen, (α = β)
Tahapan
:Tentukan arah putaran momen sedemikian rupa sehingga arahnya dapat meniadakan sudut belahan akibat beban luar (α). Dari arah putaran momen yang telah kita buat itu harus dipenuhi hukum statika : ΣM = 0 pada setiap titik buhul. Pada tiap titik buhul, buat persamaan sudut belahan: α = β Dari persamaan yang ada, dapat diperoleh nilai momen pada masingmasing tumpuan (MA, MB, dll) Penggambaran bidang momen: merupakan superposisi dari•Bidang M dengan asumsi beban yang ada terletak di atas batang sendi-rol biasa. •Momen dari persamaan belahan, digambar dengan tanda yang berlawanan dengan hasil perhitungan.
Catatan: Pada konst. Statis tak tertentu, tumpuan rol yang terletak di bagian dalam berfungsi sebagai jepit, sehingga timbul momen: MA
A
MB
B
MC C
D
Tumpuan rol B dan C berfungsi sebagai jepit punya momen Tumpuan rol D tetap sebagai rol tidak punya momen Tumpuan jepit A punya momen
Contoh 1 & 2:
Pengaruh Zetting (perubahan tempat vertikal)
Jika suatu konstruksi statis tak tertentu, ada tumpuannya yang mengalami zetting, maka pada tumpuan yang mengalami zetting serta tumpuan (jepit) di sebelahnya akan terjadi sudut belahan. Akibat adanya sudut belahan akibat zetting tsb menimbulkan momen reaksi untuk menghilangkan/menutup sudut belahan tsb, sehingga timbul momen tambahan pada tumpuan yang mengalami zetting dan tumpuan (jepit) di sebelahnya.
B
(a) A
EI1
EI2 γb1
EI3 C γc1
γb2
D
z
(b) A’
EI1 L1
B’
EI2 L2
EI3 C’
L3
D’
Misal. Tumpuan B mengalami zetting ke atas sebesar z. Akibatnya sudut di B bertambah besar dengan (γ1 + γ2) B’ , sementara sudut di C bertambah kecil dengan γ3 C’ Di B’ terjadi sudut belahan positif = (zB/L1 + ZB/L2) Di C terjadi sudut belahan negatif = - zB/L2 Di A (sendi) ; tidak terjadi sudut belahan. Zetting (perubahan tempat vertikal), selain berakibat pada tumpuan itu sendiri juga berpengaruh pada tumpuan jepit di sebelahnya.
Persamaan : Sudut belahan akibat zetting = Sudut belahan akibat momen Di tumpuan B:
γ b1 + γ b 2 = β b1 + β b 2 z z M B L1 M B L2 M C L2 + = + + L1 L2 3.EI 1 3.EI 2 6.EI 2
Di tumpuan C:
γ c1 = β c1 + β c 2 −
z M B L2 M C L2 M C L3 = + + L2 6.EI 2 3.EI 2 3.EI 3
Bagaimana jika tumpuan B mengalami zetting ke bawah sebesar z ? Bagaimana dengan persamaannya ….??
Jika ada beban luar yang bekerja, persamaan menjadi: Sudut belahan akibat beban luar + zetting = Sudut belahan akibat momen
Contoh 3:
Pemakaian Dalil 3 Momen Clapeyron pada
Portal Statis Tak Tertentu
Ada 2 macam portal statis tak tertentu, yaitu 1. Portal Tak Bergoyang 2. Portal Bergoyang
Portal Tak Bergoyang Setelah portal dibebani, titik-titik buhulnya tetap pada tempatnya (tidak bergerak). Sendi A menyebabkan konstruksi tsb tidak bisa dipengaruhi penggoyangan. Misalnya. Titik C. Perputaran sudut sedemikian sehingga sudut antara batang datar dan tiang tetap 90o.
Portal Bergoyang
Setelah portal dibebani, titik-titik buhulnya bergrak ke arah horisontal pada batang datarnya (Misal. B B’). Titik buhul pada batang datarnya merupakan suatu jepitan yang dapat berputar dan dapat bergerak mendatar karena pengaruh penggoyangan.
Portal Statis Tak Tertentu Tidak Bergoyang Sendi A menyebabkan konstruksi tsb tidak bisa dipengaruhi penggoyangan.
Asumsi: Karena adanya beban luar, zetting, atau pengaruh suhu pada portal, maka titiktitik buhul batang datar akan timbul sudut belahan. Dengan adanya sudut belahan tsb berarti batang datar diputar pada titik buhulnya. Untuk mempertahankan sudut antara batang datar dan tiang tetap 90o maka tiang-tiangnya akan melengkung. Batang-batang pada portal mempunyai kekuatan tarik / tekan , maka akibatnya timbul momen yang tugasnya menutup sudut belahan (akibat beban, zetting, dan suhu).
Langkah pengerjaannya: 2
Menentukan arah momen pada konstruksi portal: Pada batang datar : arah momen menutup sudut belahan Pada tiang bag. atas : arah momen menyebabkan kelengkungan batang Pada tiang bag. Bawah : arah momen berkejaran dengan arah momen pada tiang bagian atas. Pers.kesetimbangan : ΣM di titik buhul = 0 Contoh. Titik buhul B : M1 – M2 + M3 = 0 Titik buhul C : M4 – M5 = 0 Memenuhi persamaan belahan: Sudut belahan akibat beban luar + zetting +suhu = Sudut belahan akibat momen Perjanjian tanda sudut belahan karena momen: Jika arah putaran momen memperbesar sudut tanda (+) Jika arah putaran momen memperkecil sudut tanda (-) Perjanjian tanda penggambaran Bidang Momen: Pada batang datar : tanda penggambarannya berlawanan tanda dengan hasil perhitungan. Pada tiang atas : (s.d.a) Pada tiang bawah : tanda penggambarannya sesuai dengan tanda hasil perhitungan.
Contoh 4 & 5:
Portal Statis Tak Tertentu Bergoyang δ A A’
δ B B’
h
Setelah beban bekerja, titik buhul A berpindah ke A’, dan titik buhul B berpindah ke B’.
Ada 2 cara untuk menyelesaikan konstruksi portal bergoyang, yaitu: Cara A: Anggap portal bergoyang/bergeser sebesar δ. Maka dengan persamaan belahan biasa kita bisa mencari besarnya momen-momen dan δ . Cara B: Mula-mula anggap δ=0, kemudian kita lakukan perhitungan dengan persamaan belahan biasa, sehingga didapat: M1’, M2’, dst. Kemudian dicari gaya horisontal P1=M1’/h, dst. Maka gaya horisontal P1 dikerjakan pada portal (tanpa beban lainnya) sehingga didapat M1”, M2”, dst. Maka momen yang sebenarnya adalah : M1 = M1’ + M1” , M2 = M2’ + M2”, dst.
CARA A Jika tinggi tiang = h, dan pergeseran sebesar = δ , maka sudut belahan yang terjadi adalah = δ / h. Perjanjian tanda: Jika δ memperbesar sudut, maka δ / h bertanda (+) Jika δ memperkecil sudut, maka δ / h bertanda (-) Persamaan belahan: Sudut belahan akibat beban + zetting + suhu = sudut belahan akibat momen + pergeseran. Pers.kesetimbangan : ΣM di titik buhul = 0 ΣH = 0 Penentuan arah momen sama dengan portal tak bergoyang Penggambaran bidang momen sama dengan portal tak bergoyang
Contoh 6:
