Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Mata Kuliah Kode SKS

: Analisis Struktur : CIV - 209 : 4 SKS

Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection Pertemuan – 12, 13

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship • Kemampuan Akhir yang Diharapkan •

Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur statis tak tentu dengan metode SlopeDeflection

• Sub Pokok Bahasan : • • • •

Persamaan Slope-Deflection Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Analisis Portal Tak Bergoyang Analisis Portal Bergoyang

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom) • Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik • Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik • Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan • Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slopedeflection, distribusi momen dan metode matriks

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection

1 DOF

3 DOF 4 DOF

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • • •

•

•

Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI. Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MAB dan MBA dengan sudut rotasi qA dan qB serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B. Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam. Sedangkan lendutan D dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut y searah jarum jam.

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection

• SMA’ = 0

 1  M AB   L  1  M BA   2 L 0  L     L   2 EI 3 2 EI 3        

• SMB’ = 0  1  M BA   L  1  M AB   2 L q AL  0  L     L   2 EI 3 2 EI 3        

(1)

(2)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection

• SMB’ = 0  1  M   2L  1  M   L     L  D  0    L 2 EI 3      2  EI   3

(3)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara MAB dan MBA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang diakibatkan olehnya, yaitu qA, qB dan D. • Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok. • Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok. • Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap memiliki tumpuan jepit.

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan FixedEnd Moment (FEM) • Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B adalah positif (searah jarum jam)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :  I   D  M AB  2 E   2q A  q B  3   FEM  AB  L   L   I   D  M BA  2 E   2q B  q A  3   FEM BA  L   L 

• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :

M N  2 Ek 2q N  q F  3   (FEM) N

(4)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • Dengan : MN E,k qN, qF y

(FEM)N

adalah momen internal pada ujung dekat adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh, memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Persamaan Slope-Deflection • Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :

M N  3Ek q N     (FEM) N

(5)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.1 Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan FEM BC

wL2 6(6) 2    7,2kN  m 30 30 2

FEM CB  wL

20



6(6) 2  10,8kN  m 20

dari persamaan slope - deflection I M N  2 E  2q N  q F  3y   (FEM) N L EI I M AB  2 E  2(0)  q B  3(0)  0  qB 4 8 EI I M BA  2 E  2q B  0  3(0)  0  qB 2 8

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.1 2 EI I M BC  2 E  2q B  0  3(0)  7,2  q B  7,2 6 3   EI I M CB  2 E  2(0)  q B  3(0)  10,8  q B  10,8 3 6

Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh : SMB = 0 MBA + MBC = 0 Akhirnya didapatkan qB = 6,17/EI Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh : MAB = 1,54 kNm MBA = 3,09 kNm MBC =  3,09 kNm MCB = 12,86 kNm

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.1 Free body diagram :

Ay = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN () ByL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN () ByR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN () Cy = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN ()

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.1 Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur :

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.2 Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan FEM AB

wL2 40(6) 2    120kN  m 12 12 2

FEM BA  wL

12

FEM BC



40(6) 2  120kN  m 12

3PL 3(60)(2)    22,5kN  m 16 16

dari persamaan slope - deflection I M N  2 E  2q N  q F  3y   (FEM) N L I M AB  2 E  2(0)  q B  3(0)  120  0,3333EIq B  120 6 I M BA  2 E  2q B  0  3(0)  120  0,667 EIq B  120 6

Untuk balok AC gunakan persamaan slope - deflection I M N  3E  q N y   (FEM) N L I M BC  3E  q B  0  22,5  1,5 EIq B  22,5 2

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.2 Dari keseimbangan gaya titik B : SMB = 0 MBA + MBC = 0 Dan nilai qB =  144/EI. Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan : MAB =  135 kNm MBA = 90 kNm MBC =  90 kNm

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.3 Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10)6 mm4 y AB  y BA  k AB

0,08m  0,02rad 4

I 5(10) 6 mm 4 (10 12 )m 4 / mm 4    1,25(10) 6 m 3 L 4m





M AB  2(200 10 9 N / m 2 ) 1,25 10 6 2(0)  q B  3(0,02)  0  500.000q B  30.000





M BA  2(200 10 9 N / m 2 ) 1,25 10 6 2q B  0  3(0,02)  0  1.000.000q B  30.000

Dari kesetimbangan titik B : SMB = 0

MBA – 8000N(3m) = 0 qB = 0,054 rad

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.4 Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6 mm4 2

FEM AB   wL

12

FEM BA y BC  k AB



20(7,2) 2  86,4kN  m 12

wL2 20(7,2) 2    86,4kN  m 12 12

0,03  0,005rad 6

y CD  

0,03  0,00667 rad 4,5

600 10 6  10 12   83,33(10 6 )m 3 7,2

k BC 

600 10 6  10 12  100(10 6 )m 3 6

k CD 

600 10 6  10 12  133,33(10 6 )m 3 4,5

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.4 Bentang AB : M AB  2[200 10 6 ][83,33 10 6 ][2(0)  q B  3(0)]  86,4  33.333,3q B  86,4 M BA  2[200 10 6 ][83,33 10 6 ][2q B  0  3(0)]  86,4  66.666,7q B  86,4 Bentang BC : M BC  2[200 10 6 ][100 10 6 ][2q B  q C  3(0,005)]  0  80.000q B  40.000q C  600 M CB  2[200 10 6 ][100 10 6 ][2q C  q B  3(0,005)]  0  80.000q C  40.000q B  600 Bentang CD : M CD  2[200 10 6 ][133,33 10 6 ][2q C  0  3(0,00667)]  0  106.666,7q C  1066,7 M DC  2[200 10 6 ][133,33 10 6 ][20  q C  3(0,00667)]  0  53.333,3q C  1066,7 SM B  0

M BA  M BC  0

SM C  0

M CB  M CD  0

qB = 0,00444 rad

qC = -0,00345 rad

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship

TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.1 s/d 11.12

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection • Suatu portal dikategorikan sebagai portal tak bergoyang apabila : 1. Disediakan tumpuan yang cukup untuk menahan goyangan 2. Memiliki geometri dan pola pembebanan yang simetris

Contoh-contoh Portal Tak Bergoyang (No Sidesway)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.5 Tentukan momen pada tiap titik kumpul, apabila EI konstan

FEM BC

5wL2 5(24)(8) 2    80kN  m 96 96

FEM CB

5wL2 5(24)(8) 2    80kN  m 96 96

qA  qD  0 y AB  y BC  y CD  0 (tak bergoyang)

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.5 M N  2 Ek 2q N  q F  3y   FEM N  I  M AB  2 E  2(0)  q B  3(0)  0  0,1667 EIq B  12  M BA

 I   2 E  2q B  0  3(0)  0  0,333EIq B  12 

M BC

I  2 E  2q B  q C  3(0)  80  0,5 EIq B  0,25 EIq C  80 8

I M CB  2 E  2q C  q B  3(0)  80  0,5 EIq C  0,25 EIq B  80 8  I  M CD  2 E  2q C  0  3(0)  0  0,333EIq C  12   I  M DC  2 E  2(0)  q C  3(0)  0  0,1667 EIq C  12 

M BA  M BC  0 M CB  M CD  0 0,833EIq B  0,25 EIq C  80  137,1 q B  q C  0,25 EIq B  0,833EIq C  80 EI

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.6 Tentukan momen pada tiap titik kumpul, gunakan E = 200 GPa k AB

160(10 6 )(10 12 )   35,56(10 6 )m 3 4,5

k BC

320(10 6 )(10 12 )   66,67(10 6 )m 3 4,8

k CD

80(10 6 )(10 12 )   17,78(10 6 )m 3 4,5

k CE

260(10 6 )(10 12 )   72,23(10 6 )m 3 3,6

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.6 FEMBC



PL 30(4,8)   18kN  m 8 8

FEMCB  PL  30(4,8)  18kN  m 8

FEMCE

8

wL2 50(3,6) 2    81kN  m 8 8

qA  0

M AB  0,444 kN  m

y AB  y BC  y CD  y CE  0 (tak bergoyang)

M BA  0,888 kN  m

M BA  M BC  0

M BC  0,888 kN  m

M CB  M CD  M CE  0

M CB  49,7 kN  m

61.759,3q B  20.138,9q C  12  q B  2,758(10 5 )rad  20.138,9q B  81.059,0q C  42 q C  5,113(10  4 )rad

M CD  6,18 kN  m M CE  55,9 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Bergoyang Metode Slope-Deflection • Suatu struktur portal akan bergoyang ke samping apabila geometri atau pembebanan yang terjadi tidak simetri • Pada portal di samping beban P menimbulkan momen MBC dan MCB pada titik kumpul B dan C • MBC cenderung memindahkan titik B ke kanan, sedangkan MCB cenderung memindahkan titik C ke kiri • Karena MBC lebih besar daripada MCB sebagai hasilnya portal akan timbul simpangan sebesar D ke arah kanan, pada titik B maupun C

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.7 Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan. • •

• • •

•

Struktur termasuk portal bergoyang karena baik geometri dan beban tidak simetri Beban bekerja pada titik B, sehingga tidak ada FEM Titik B dan C mengalami simpangan sama besar yaitu D Sehingga yAB = D/4 dan yDC = D/6 Keduanya positif karena batang AB dan CD berotasi searah jarum jam yAB = (6/4)yDC

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.7  I  6  M AB  2 E   2(0)  q B  3 y DC   0  EI 0,5q B  2,25y DC   4  4   I  6  M BA  2 E   2q B  0  3 y DC   0  EI 1,0q B  2,25y DC   4  4  I M BC  2 E  2q B  q C  3(0)  0  EI 0,8q B  0,4q C  5 M CB

I  2 E  2q C  q B  3(0)  0  EI 0,8q C  0,4q B  4

M CD

I  2 E  2q C  0  3y DC   0  EI 0,667q C  1,0y DC  6

I M DC  2 E  2(0)  q C  3y DC   0  EI 0,333q C  1,0y DC  6

M BA  M BC  0 M CB  M CD  0

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.7

SM B  0

VA  

M AB  M BA 4

SM C  0

VD  

M DC  M CD 6

SFx  0

200  V A  VD  0

 200 

M AB  M BA M DC  M CD  0 4 6

Sehingga diperoleh 3 buah persamaan :

 1,8q B  0,4q C  2,25y DC  0  EIq B  243,78  0,4q B  1,467q C y DC  0   EIq C  75,66 800  EIy DC  208,48 1,5q B  0,667q C  5,833y DC   EI 

M AB  347 kN  m M BA  225 kN  m M BC  225 kN  m

M CB  158 kN  m

M CD  158 kN  m M DC  183 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.8 Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan. A dan D jepit, serta C adalah berupa sendi • •

y  yAB = yDC = D/4 qA = qD = 0 I M AB  2 E  2(0)  q B  3y   0  0,5 EIq B  1,5 EIy 4 I M BA  2 E  2q B  0  3y   0  EIq B  1,5 EIy 4 I M BC  3E  q B  0  0  EIq B 3 I M DC  3E  0 y   0  0,75 EIy 4

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.8 M BA  M BC  0 SM B  0

VA  

M AB  M BA 4

SM C  0

VD  

M DC 4

SFx  0

10  V A  VD  0

 10 

M AB  M BA M DC  0 4 4

Substitusikan nilai MAB, MBA, MBC dan MDC sehingga diperoleh qB 

240 21EI

y 

320 21EI

M AB  17,1 kN  m M BC  11,4 kN  m

M BA  11,4 kN  m M DC  11,4 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.8

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.10 Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.

FEM BC

wL2 30(3,6) 2    32,4kN  m 12 12

FEM CB

wL2 30(3,6) 2    32,4kN  m 12 12

y1 

D1 3

D 2  0,5D1

y2  

D2 3,6

y3 

D3 6

D 3  0,866D1  y 2  0,417y 1

y 3  0,433y 1

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.10 I M AB  2 E  2(0)  q B  3y 1   0 3 I M BA  2 E  2q B  0  3y 1   0 3  I  M BC  2 E  2q B  q C  3(0,417y 1 )  32,4  3,6   I  M CB  2 E  2q C  q B  3(0,417y 1 )  32,4  3,6  I M CD  2 E  2q C  0  3(0,433y 1 )  0 6 I M DC  2 E  2(0)  q C  3(0,433y 1 )  0 6

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.10 Dari kesetimbangan momen di titik B dan C : M BA  M BC  0 M CD  M CB  0

Persamaan ketiga diperoleh dengan mengambil jumlahan momen terhadap O SM O  0  M  M CD   M  M BA  M AB  M DC   AB (12,24)  108(1,8)  0 (10,2)   DC 3 6      2,4 M AB  3,4 M BA  2,04 M CD  1,04 M DC  194,4  0

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection Example 11.10 Diperoleh 3 buah persamaan :

0,733q B  0,167q C  0,392y 1  9,72 EI  EIq B  35,51  0,167q B  0,533q C  0,0784y 1   9,72 EI   EIq C  33,33  1,840q B  0,512q C  3,880y 1  58,32 EI  EIy 1  27,47 substitusi kembali ke persamaan awal sehingga diperoleh : M AB  31,3 kN  m

M BC  7,60 kN  m

M CD  34,2 kN  m

M BA  7,60 kN  m

M CB  34,2 kN  m

M DC  23 kN  m

Integrity, Professionalism, & Entrepreneurship

TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.13 s/d 11.26