PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION PADA STRUKTUR PORTAL BERGOYANG STATIS TAK TENTU DENGAN KEKAKUAN YANG TIDAK MERATA DALAM SATU BALOK DAN KOLOM Jemy Wijaya dan Fanywati Itang Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Tarumanagara e-mail:
[email protected]
ABSTRACT Various method which can be used to analyze the statically indeterminate beam with beam's difference stiffness EI is a Slope Deflection method, Consistent Deformation method, Clayperon method, Cross method and Matrix. In this paper the Slope Deflection method will be discussed in the completion of statically indeterminate swaying portal with a difference of the beam's stiffness EI in beam and column. In the application of the Slope Deflection method, there are somethings that should be known in advance which is round the corner at a point and moment magnitude of the primary (fixed end moment) at the ends of the beam due to external loads and sway movement. Keywords: slope , fixed end moment, portal. ABSTRAK Berbagai metode yang dapat dipakai dalam menganalisis struktur statis tak tentu antara lain metode Slope Deflection, metode Consistent Deformation, Metode Clayperon, Metode Cross dan Matriks. Dalam tulisan ini akan dibahas penggunaan metode Slope Deflection dalam penyelesaian struktur portal bergoyang statis tak tentu dengan kekakuan yang tidak merata dalam satu balok dan kolom. Pada penggunaan metode Slope Deflection, ada beberapa hal yang harus diketahui terlebih dahulu yaitu putaran sudut (slope) pada suatu titik akibat momen yang bekerja dan besaran momen primer (fixed end moment) pada ujung-ujung balok akibat beban-beban luar yang bekerja dan akibat pergoyangan. Kata kunci: putaran sudut, momen primer, portal.
PENDAHULUAN
harus dipenuhi yaitu [2]:
Pada tahun 1914, George A. Maney [1] memperkenalkan Metode Slope Deflection yang merupakan suatu metode dalam penyelesaian analisis struktur balok kontinu dan kerangka kaku statis tak tentu.
a. Titik hubungan kaku (tidak berubah sudut). b. Deformasi/perputaran sudut/ perpindahan titik hubungan terjadi secara keseluruhan (sudut-sudut antara batang-batang tetap besarnya setelah mengalami deformasi). c. Deformasi axial/normal diabaikan. d. Bahan dianggap linier elastis sehingga berlaku hukum Hooke dan hukum superposisi. e. Dalam perencanaan perhitungan, mulamula semua perletakan dianggap sebagai jepit walaupun perletakan itu sendi atau rol.
Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persamaan-persamaan serempak didalam metode defleksi (displacement method) dengan ketelitian yang cukup baik. Metode ini bisa juga dipakai untuk menyelesaikan struktur statis tak tentu pada balok atau kolom yang mempunyai kekakuan yang tidak merata. ANALISIS STRUKTUR SLOPE DEFLECTION
METODE
Dalam perhitungan dengan metode Slope Deflection harus dipatuhi perjanjian tanda yaitu sebagai berikut [3] [4]:
Pada metode Slope Deflection ini ada beberapa anggapan-anggapan yang JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20151
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
a. Momen ujung (FEM) positif (+), bila searah jarum jam (momen ujung pada keadaan freebody). b. Rotasi/Perputaran sudut positif bila searah jarum jam. c. Displacement/perpindahan positif bila searah jarum jam (sudut yang terbentuk oleh perpindahan terukur dari sumbu batang mula-mula ke sumbu batang baru setelah deformasi), kasus ini terjadi pada perletakan yang dapat turun seperti perletakan pegas atau untuk portal yang bisa bergoyang.
M
θA1
θB1 E I
2E I
1/2 L
1/2 L
Gambar 1. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A
θ A1 =
3M A L ( +) 16EI
θ B1 =
θB2
θA2
Analisis Freebody dan gambar bidangMomen, Lintang dan Normal Analisis freebody dilakukan untuk menghitung besar reaksi perletakan akibat beban luar dan momen ujung pada setiap balok. Langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut: a. Nyatakan struktur dalam bentuk batangbatang yang bebas. b. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar dan momen ujung yang telah diperoleh. c. Jumlahkan semua hasil perhitungan langkah b. untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan total. d. Dengan data-data pada langkah b, hitung Momen maksimum yang terjadi pada setiap balok. e. Gambar bidang Momen, Lintang dan Normal. Penurunan rumus Penurunan rumus metode Slope Deflection perlu dilakukan untuk balok/kolom dengan kekakuan tidak merata [5], [6], [7].
MB
EI 1/2 L
2EI 1/2 L
HASIL DAN PEMBAHASAN
MAL ( -) 8EI
Gambar 2. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B
θ A2 =
M BL (-) 8EI
θ B2 =
5M B L ( +) 16 EI
Akibat pergoyangan, didapat hasil sebagai berikut: ∆
B
MB
1/2 L EI L 1/2 L 2EI RAB = ∆/L A MA Gambar 3. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI akibat pergoyangan sebesar ∆
JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20152
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
c).
1. θ A = θ AB = 0 3 M A L M BL Δ + + =0 16EI 8EI L
MAB A
+
2. θ B = θ BA = 0
Dari kedua hubungan:
MA =
d).
persamaan
ini
P
2
11L
(-)
MB = q
B EI
2EI
80EIΔ 2
11L
( -) ∆
EI C
2EI RAB =∆/L 1/4L
2EI 1/2L
1/4L D
Tinjauan bagian kolom AB MAB
2EI RAB =∆/L
q
B EI
1/2L
∆ MBA
1/2L L
a).
θA1 EI + 2EI
EI
3M A L ( +) 16EI
θ B1 =
MAL ( -) 8EI
Dari kondisi b) didapat hubungan: θ A2 =
M BL (-) 8EI
θ B2 =
5M B L ( +) 16 EI
Dari persamaan (i) dan (ii) didapat hasil sebagai berikut: MA =
80EI 32 EI θA + θ 11L 11L B
MB =
32 EI 48EI θA + θ 11L 11L B
Besaran momen akibat pergoyangan lihat kondisi c) didapat hubungan:
112 EIΔ
(-) 11L2
M BA =
80 EIΔ 11L2
(-)
Rumus slope deflection untuk balok dengan kekakuan tidak merata dalam satu balok adalah:
θB2
θA2
θ A1 =
M AB =
θB1 2EI
b).
MFBA 1/2L
Besaran momen akibat putaran sudut
Gambar 4. Struktur Portal dengan kekakuan balok 2EI dan EI dengan beban q
MA
EI
2EI
3M A L - 2M B L ......(i ) 16EI - 2 M A L + 5M B L θ Btotal = θ B1 + θ B2 = ....(ii) 16EI
L
A
B
θ A total = θ A1 + θ A2 =
EI
1/2L EI
A
MBA
Dari kondisi a) didapat hubungan:
∆
1/2L
1/2L
1/2L
7 M 5 B
112 EIΔ
A
∆
+ q
MFAB
didapat
Bila angka ini disubstitusi kedalam persamaan didapat hasil sebagai berikut: MA =
EI
RAB 1/2L
M A L 5M B L Δ + =0 8EI 16EI L
B
2EI
MB
JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20153
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
M AB =
=
80EI 32EI 112EIΔ θ + θ + M FAB 11L A 11L B 11L2
8EI Δ (10 θ A + 4θ B - 14 ) + M FAB 11L L
M AB =
8EI (10 θ A + 4θ B - 14 R AB ) + M FAB 11L
M BA =
32 EI 48EI 80EIΔ θA + θB + M FBA 11L 11L 11L2
=
8EI Δ ( 4 θ A + 6 θ B - 10 ) + M FBA 11L L
8EI ( 4 θ A + 6 θ B - 10 R BA ) + M FBA 11 L Δ R AB = R BA = R = L M BA =
θ B2 =
7M C L ( -) 64 EI +
c). EI B 1/4 L
θB =
B
EI 1/4 L
2EI 1/2 L L
EI 1/4 L
C
B
θ B1 =
MB
EI 2EI
1/4L
1/2L
17 M B L ( +) 64 EI +
b). B
θB EI 1/4
2E 1/2L
θ C1 =
(i)
dan
(ii)
Mencari Fixed and Moment Lihat kondisi a), b) dan c)
C
EI
θB1
persamaan
4 EI (17θ B + 7θ C ) 15L 4 EI MC = (7θ B + 17θ C ) 15L
q
MB a).
7 qL3 256 EI
17M BL - 7MC L ......( i) 64EI - 7 M BL + 17M C L θC total = θC1 + θC2 = ....( ii) 64 EI
MB = MC
θC = -
θ Btotal = θ B1 + θ B2 =
Tinjauan bagian balok BC q
EI 1/4 L C
Besaran momen akibat putaran sudut
Dari kedua diperoleh:
MB
q 2EI 1/2L L
7 qL3 256 EI
8EI (10 θ A + 4θ B - 14 R ) + M FAB 11 L 8EI M BA = ( 4 θ A + 6 θ B - 10 R ) + M FBA 11 L M AB =
17 M C L (+) 64 EI
θ C2 =
B
θC1 1/4L
7M B L ( -) 64 EI MC θC2 C
E 1/4L
EI 1/4 L
2EI 1/2 L
MC EI 1/4 L
C
L θ BTotal = 0
-
17 M B L 7 M C L 7 qL3 + =0 64 EI 64 EI 256 EI
- 68 MB - 28 MC + 7qL2 = 0 θ CTotal = 0 17 M C L 7 M B L 7 qL3 + =0 64 EI 64 EI 256 EI
JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20154
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
68 MC + 28 MB - 7qL2 = 0
M CD = 0.56667 EI θC + 0.23333 EI θ D - 280
Dari kedua persamaan di atas didapat hasil sebagai berikut: 7 M B = M C = qL2 96
M DC =
4 EI (7 θC + 17 θ D ) + M FDC 15 L
M DC =
4 EI 7 (7 θC + 17 θ D ) + (60)(8) 2 15 (8) 96
Rumus slope deflection untuk balok dengan kekakuan tidak merata dalam satu balok adalah 4 EI 7 (17θ B + 7θ C ) - qL2 15L 96 4 EI 7 MC = (7θ B + 17θC ) + qL2 15L 96 MB =
M DC = 0.23333 EI θC + 0.56667 EI θ D + 280 M DB =
8EI ( 4 θ B + 6 θ D - 10 R DB ) + M FDB 11 L
M DB =
8EI Δ (0 + 6 θ D - 10 ) + 0 11 (6) 6
M DB = 0.727273 EI θ D - 0.20202 EI Δ Contoh perhitungan ∆ P =100 kN C EI
∆
q=60 kN/m 2EI
EI D
M BD = 0.484848 EI θ D - 0.282828 EI Δ
EI
EI
3m
8EI (10 θ B + 4θ D - 14 R BD ) + M FBD 11 L 8EI Δ M BD = (0 + 4θ D - 14 ) + 0 11 (6) 6 M BD =
Syarat batas: 3m
2EI
2EI A 2m
4m
2m
1. MCA + MCD = 0 B
8EI (10 θ A + 4θC - 14 R AC ) + M FAC 11 L 8EI Δ M AC = ( 0 + 4θC - 14 ) + 0 11 (6) 6 M AC = 0.484848 EI θC - 0.282828 EI Δ M AC =
8EI M CA = ( 4 θ A + 6 θC - 10 R CA ) + M FCA 11 L
M CA =
8EI Δ (0 + 6 θ C - 10 ) + 0 11 (6) 6
M CA = 0.727273 EI θC - 0.20202 EI Δ M CD =
4 EI (17 θC + 7 θ D ) + M FCD 15 L
M CD =
4 EI 7 (17 θ C + 7 θ D ) - (60)(8) 2 15(8) 96
EI = 1
1.29394 EI θC + 0.2333 EI θ D - 0.20202 EI Δ - 280 = 0 θC + 0.180327 θ D - 0.156128 Δ = 216.393341.....(i) 2. MDC + MDB = 0
EI = 1
0.2333 EI θC + 1.29394 EI θ D - 0.20202 EI Δ + 280 = 0 θC + 5.54546 θ D - 0.865801 Δ = -1200.001714 ....(ii) 3.
MCA C
MDB D
6m
6m
A HA MAC
B HB MBD
JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20155
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
M AC + M CA 6 1.212121 EI θ C - 0.484848 EI Δ HA = 6
Balok CD
M BD + M DB 6 1.212121 EI θ D - 0.484848 EI Δ HB = 6
1 289.8254 - 94.1746 VD = (60)(8) + 2 8 VD = 264.45635 kN
HA =
HB =
∑
1 94.1746 - 289.8254 VC = (60)(8) + 2 8 VC = 215.54365 kN
Kolom AC
H=0
HA + HB + P = 0 1.2121 EI θ C + 1.2121 EIθ D - 0.9696 EI Δ = - 600 θC + θ D - 0.8 Δ = - 495.000087 .......(iii) Dari persamaan (i), (ii) dan (iii) didapat:
924.454511 EI 141.717768 θD = EI 386.281290 θC = EI
HA =
94.1746 - 74.1739 = 3.3333 kN 6
330.1732 + 289.8258 = 103.3332 kN 6 VA = VC = 215.54365 kN HB =
VB = VD = 264.45635 kN
Δ=
Gaya dalam Lx = VC - q x = 215.54365 - 60 x = 0 x = 3.5924 m Mx = VC x - 1/2 q x2 - MCD
Nilai-nilai ∆, θC dan θD disubstitusikan kembali ke persamaan diperoleh: MAC = - 74.1739 kNm MCA = 94.1736 kNm MCD = - 94.1746 kNm MDC = 289.8254 kNm MDB = - 289.8258 kNm MBD = - 330.1732 kNm
= 215.54365 (3.5924) - 30 (3.5924)2 94.1746 Mmaks = 292.9843 kNm
Reaksi perletakan x C
289.8254
q =60 kN/m
94.1746 VC VC
VD
94.1736 6m
HB
HA
VA
VD 289.8258 6m
74.1739 A
D
330.1732 B VB
8m JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20156
PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION ... (JEMMY WIJAYA, DKK)
Diagram gaya dalam
94.1746
94.1746
289.8254
292.9843 74.1739
289.8254
M
Besaran putaran sudut pada titik ujung pertemuan harus dicari terlebih dahulu untuk mendapatkan besar momen primer/Fixed End Moment, begitu juga besaran momen akibat pengaruh pergoyangan. 4. Penyelesaian perhitungan dapat menggunakan ilmu matematika yaitu teori Gauss, cara eliminasi atau bisa menggunakan kalkulator program.
330.1732 DAFTAR PUSTAKA
215.54365 103.3332
264.45635
L
3.3333
[2] A.Ghali, A.M. Neville (1978), Structural Analysis, A Unified Classical and Matrix Approach, London Chapman and Hall,. [3] Anthony E. Armenakas (1988), Classical Structural Analysis, A Modern Approach, McGraw Hill International Editions.
103.3333 264.45635
215.54365
[1] Slope Deflection http://en.wikipedia.org/wiki/slope_defl ection_method
[4] C.K.Wang (1985), Intermediate Structural Analysis, Mc Graw Hill International Book Company,. [5] Fanywati Itang (2013), Penggunaan Metode Clapeyron Pada Balok dengan Kekakuan yang berbeda" Jurnal Teknik Universitas Pancasila Volume 26 Nomor 1.
N
KESIMPULAN 1. Hasil yang didapat dengan metode Slope Deflection inisangat akurat. 2. Penurunan rumus metode Slope Deflection untuk portal bergoyang perlu dilakukan terlebih dahulu jika setiap ada perubahan kekakuan dalam satu balok dan kolom.
[6] Jemy Wijaya, Fanywati Itang (2013), Penggunaan Metode Cross Pada Balok dengan Kekakuan Tidak Merata" Jurnal Kajian Teknologi Volume 9 Nomor 3. [7] Jemy Wijaya, Fanywati Itang (2014), Penggunaan Metode Slope Deflection Pada Struktur Statis Tak Tentu dengan Kekakuan yang Tidak Merata dalam Satu Balok" Jurnal Kajian Teknologi Volume 10 Nomor 2.
3. Metode Slope Deflection bisa digunakan pada struktur portal bergoyang dengan kekakuan yang berbeda dalam satu balok dan kolom. JURNAL KAJIAN TEKNOLOGI VOL. 11 NO. 1 MARET 20157
