11/5/2014
TKS 4008 Analisis Struktur I
TM. XVIII :
METODE SLOPE DEFLECTION Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
Pendahuluan
Pada 2 metode sebelumnya, yaitu : 1. Metode “deformasi konsisten” yang menggunakan gaya luar (reaksi perletakan) sebagai variabel, dan 2. Metode “persamaan tiga momen” yang menggunakan gaya dalam (momen batang) sebagai variabel. Kedua metode tersebut yang menggunakan gaya luar ataupun gaya dalam sebagai variabel dikategorikan sebagai metode gaya (force method). Sedangkan metode “slope deflection” yang menggunakan rotasi batang sebagai variabel dikategorikan sebagai metode fleksibilitas (flexibility method).
1
11/5/2014
Pendahuluan
(lanjutan)
Metode “slope deflection”, seperti kedua metode yang lain bisa digunakan untuk analisis struktur balok statis tak tentu dan portal dengan konsep sebagai berikut : 1. Geometri (compatibility) : titik-titik pertemuan antara balok dan kolom pada suatu portal dianggap kaku, sehingga sudut-sudut antara pertemuan elemen tersebut “tidak berubah” pada saat strukur dibebani. 2. Keseimbangan (equilibrium) : jumlah momen-momen akhir pada titik pertemuan tersebut sama dengan nol, M = 0.
Pendahuluan
(lanjutan)
Sehingga dapat dikatakan jumlah variabel yang ada sama dengan jumlah titik simpul (joint) struktur tersebut. Nilai dari variabel-variabel tersebut akan dicari dengan menyusun persamaan-persamaan sejumlah variabel yang ada dengan ketentuan memenuhi kondisi “equilibrium”. Pada tahapan ini diperlukan perumusan dari masing-masing momen batang, karena rumus-rumus momen batang tersebut mengandung variabel yang dicari, yaitu rotasi titik simpul. Setelah nilai variabel yang dicari diperoleh, kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan yang telah disusun untuk mendapatkan nilai dari momen batang-batang tersebut.
2
11/5/2014
Penurunan Rumus
Pada bentangan AB, MA dan MB dinyatakan dalam suku-suku rotasi ujung θA dan θB dengan pembebanan yang diberikan W1 dan W2. Dengan pembebanan yang diberikan pada batang tersebut, diperlukan momen-momen ujung terjepit M0A dan M0B untuk menahan garis-garis singgungnya tetap di ujung.
Penurunan Rumus (lanjutan)
Momen-momen ujung tambahan M’A dan M’B harus sedemikian besarnya, sehingga menyebabkan rotasi θA dan θB. Jika θA merupakan rotasi ujung yang disebabkan oleh MA dan θB merupakan rotasi ujung yang disebabkan oleh MB, maka syaratsyarat bentuk yang diperlukan adalah : Pers. (1) : 𝜽𝑨 = +𝜽𝑨𝟏 − 𝜽𝑨𝟐 𝜽𝑩 = −𝜽𝑩𝟏 + 𝜽𝑩𝟐 (1)
3
11/5/2014
Penurunan Rumus (lanjutan)
Pers. (2) : 𝑴𝑨 = 𝑴𝟎𝑨 + 𝑴′𝑨 𝑴𝑩 = 𝑴𝟎𝑩 + 𝑴′𝑩 Pers. (3) : 𝑴′𝑨 𝑳 𝜽𝑨𝟏 = 𝟑𝑬𝑰 𝑴′ 𝑳
(2) 𝜽𝑨𝟐 =
𝑴′𝑩 𝑳 𝟔𝑬𝑰 𝑴′𝑩 𝑳 𝟑𝑬𝑰
𝑨 𝜽𝑩𝟏 = 𝟔𝑬𝑰 𝜽𝑩𝟐 = Pers. (3) disubstitusikan ke (1), sehingga diperoleh : 𝑴′𝑨 𝑳 𝑴′𝑩 𝑳 𝜽𝑨 = + 𝟑𝑬𝑰 − 𝟔𝑬𝑰
𝜽𝑩 = −
𝑴′ 𝑨 𝑳 𝑴′𝑩 𝑳 + 𝟑𝑬𝑰 𝟔𝑬𝑰
(3)
(4)
Penurunan Rumus (lanjutan)
Pers. (4) diselesaikan secara simultan, sehingga diperoleh : 𝟐𝑬𝑰 𝑴′𝑨 = + 𝑳 𝟐𝜽𝑨 + 𝜽𝑩 𝟐𝑬𝑰
𝑴′𝑩 = + 𝑳 𝟐𝜽𝑩 + 𝜽𝑨 Pers. (5) disubstitusikan ke (2), sehingga diperoleh : 𝟐𝑬𝑰 𝑴𝑨 = 𝑴𝟎𝑨 + 𝑳 𝟐𝜽𝑨 + 𝜽𝑩
𝑴𝑩 = 𝑴𝟎𝑩 + 𝑳 𝟐𝜽𝑩 + 𝜽𝑨 (6) Pers. (6) merupakan persamaan defleksi kemiringan (slope deflection) untuk batang yang mengalami lentur.
(5)
𝟐𝑬𝑰
4
11/5/2014
Prosedur Penggunaan metode slope deflection pada balok statis tak tentu dilakukan dengan tahapan sebagai berikut : 1. Tentukan momen-momen ujung terjepit (momen primer) di ujung-ujung setiap bentangan untuk beban yang diberikan. 2. Semua ujung dinyatakan sebagai suatu fungsi dari momenmomen ujung terjepit dan rotasi sambungannya dengan menggunakan Pers. (6). 3. Tetapkan suatu sistem persamaan simultan dengan menggunakan kondisi keseimbangan, jumlah momen disetiap sambungan harus sama dengan nol.
Prosedur
(lanjutan)
4. Selesaikan persamaan simultan untuk memperoleh rotasi-rotasi sambungan yang tak diketahui. 5. Substitusikan nilai-nilai rotasi yang sudah diketahui ke dalam persamaan slope deflection dan hitung momen ujungnya. 6. Tentukan semua reaksi dengan free body diagram, kemudian gambarkan diagram gaya geser dan momen.
5
11/5/2014
Contoh
Analisis struktur balok menerus berikut :
Contoh
(lanjutan)
a. Momen ujung (fixed end moment) : Bentang AB : 𝑀0𝐴𝐵 = −
24 6 2 12
= −72 kNm
𝑀0𝐵𝐴 = +72 kNm Bentang BC : 𝑀0𝐵𝐶 = −
16 12 2 12
−
80 12 8
= −312 kNm
𝑀0𝐵𝐶 = +312 kNm Bentang CD : 72 2 4 2 62 72 4 2 2 + 62
𝑀0𝐶𝐷 = −
= −64 kNm
𝑀0𝐷𝐶 =
= +32 kNm
6
11/5/2014
Contoh
(lanjutan)
b. Persamaan slope deflection : 2𝐸 3𝐼 6 2𝐸 3𝐼 𝑀𝐵𝐴 = 𝑀0𝐵𝐴 + 6 2𝐸 10𝐼 𝑀𝐵𝐶 = 𝑀0𝐵𝐶 + 12 2𝐸 10𝐼 𝑀𝐶𝐵 = 𝑀0𝐶𝐵 + 12 2𝐸 2𝐼 𝑀𝐶𝐷 = 𝑀0𝐶𝐷 + 6 2𝐸 2𝐼 𝑀𝐷𝐶 = 𝑀0𝐷𝐶 + 6 𝑀𝐴𝐵 = 𝑀0𝐴𝐵 +
Contoh c. Syarat batas : Pertemuan di A : Pertemuan di B : Pertemuan di C : Pertemuan di D :
2𝜃𝐴 + 𝜃𝐵 = −72 + 2𝐸𝐼𝜃𝐴 + 𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝜃𝐵 + 𝜃𝐴 = +72 + 2𝐸𝐼𝜃𝐵 + 𝐸𝐼𝜃𝐴 2𝜃𝐵 + 𝜃𝐶 = −312 + 3,33𝐸𝐼𝜃𝐵 + 1,67𝐸𝐼𝜃𝐶 2𝜃𝐶 + 𝜃𝐵 = +312 + 3,33𝐸𝐼𝜃𝐶 + 1,67𝐸𝐼𝜃𝐵 2𝜃𝐶 + 𝜃𝐷 = −64 + 1,33𝐸𝐼𝜃𝐶 + 0,67𝐸𝐼𝜃𝐷 2𝜃𝐷 + 𝜃𝐶 = +32 + 1,33𝐸𝐼𝜃𝐷 + 0,67𝐸𝐼𝜃𝐶
(lanjutan)
MAB = 0 MBA + MBC = 0 MCB + MCD = 0 MDC – 36 = 0
d. Persamaan slope deflection dengan syarat batas : +2𝐸𝐼𝜃𝐴 + 𝐸𝐼𝜃𝐵 = +72 +𝐸𝐼𝜃𝐴 + 5,33𝐸𝐼𝜃𝐵 + 1,67𝐸𝐼𝜃𝐶 = +240 +1,67𝐸𝐼𝜃𝐵 + 4,67𝐸𝐼𝜃𝐶 + 0,67𝐸𝐼𝜃𝐷 = −248 +0,67𝐸𝐼𝜃𝐶 + 1,33𝐸𝐼𝜃𝐷 = +4
7
11/5/2014
Contoh
(lanjutan)
e. Penyelesaian simultan dengan eliminasi dan substitusi : 𝐸𝐼𝜃𝐴 = +0,20 𝐸𝐼𝜃𝐵 = +71,60 𝐸𝐼𝜃𝐶 = −85,23 𝐸𝐼𝜃𝐷 = +45,62
f. Momen ujung akhir : 𝑀𝐴𝐵 = −72 + 2 +0,20 + +71,60 = 0 𝑀𝐵𝐴 = +72 + 2 +71,60 + +0,20 = +215,4 kNm 𝑀𝐵𝐶 = −312 + 3,33 +71,60 + 1,67 −85,23 = −215,4 kNm 𝑀𝐶𝐵 = +312 + 3,33 −85,23 + 1,67 +71,60 = +147,3 kNm 𝑀𝐶𝐷 = −64 + 1,33 −85,23 + 0,67 +45,62 = −147,2 kNm 𝑀𝐷𝐶 = +32 + 1,33 +45,62 + 0,67 −85,23 = +36 kNm
Contoh
(lanjutan)
g. Reaksi perletakan dengan free body diagram :
8
11/5/2014
Contoh
(lanjutan)
h. Diagram momen lentur (BMD = bending moment diagram) :
Contoh
(lanjutan)
i. Diagram gaya geser (SFD = shear force diagram) :
9
11/5/2014
Terima kasih atas Perhatiannya!
10
