BAB VI. FUNGSI TRANSENDEN 6.1. FUNGSI LOGARITMA NATURAL (ASLI) 6.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA 6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURAL 6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUM 6.5. PENGGUNAAN FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONEN 6.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI 6.7. FUNGSI HIPERBOLIK 6.8. FUNGSI INVERS HIPERBOLIK
6.1. FUNGSI LOGARITMA ASLI Definisi: Fungsi logaritma asli, dinotasikan dengan f(x) = ln x, didefinisikan sebagai x
ln x =
∫
dt , t
x>0
1
d d (ln x ) = dx dx
x
∫ 1
dt 1 = , t x
x>0 1
Untuk x < 0 maka x = − x > 0 sehingga
d (ln x ) = d (ln( − x ) ) dx dx du = −1 dx d (ln( − x ) ) = d (ln( u ) ) du = − 1 = − 1 = 1 dx du dx u x − x
Misalkan
u = − x maka
∴
d 1 ln x = dx x
dx Akibatnya ∫ = ln x + c x Sifat-sifat fungsi logaritma asli:
Jika a > 0, b > 0, dan r bilangan rasional , maka i) ln 1 = 0 ii) ln( ab ) = ln a + ln b ⎛a⎞ iii) ln ⎜ ⎟ = ln a − ln b ⎝b⎠ iv) ln( a r ) = r ln a Dengan memeriksa titik potong dengan sumbu koordinat, kemonotonan, kecekungan dan informasi lainnya, 2 sketsalah grafik fungsi lograitma asli
6.2. FUNGSI INVERS DAN TURUNANNYA Misalkan diberikan fungsi f ( x ). Fungsi invers dari f(x) adalah fungsi f
−1
( x ) yang bersifat ( f o f
Contoh: Jika f(x) = 2x, maka
(f o f dan ( f
−1
(
)( x ) = f f
−1
−1
o f )( x ) = f
−1
)( x ) = ( f
f
−1
−1
(x) =
o f )( x ) = x. 1 2
x
sebab
)
( x ) = f ( 12 x ) = 2( 12 x ) = x −1
( f ( x)) =
f
−1
(2 x ) = 12 (2 x ) = x.
Agar f(x) mempunyai invers, disyaratkan agar f(x) bersifat satu-satu. Untuk memeriksa apakah f(x) bersifat satu-satu dapat dilakukan dengan memeriksa apakah f(x) monoton murni. Jadi jika f(x) monoton murni maka f(x) memiliki invers. Grafik fungsi invers dari f(x) dapat diperoleh dari grafik f(x) dengan mencerminkannya terhadap garis y = x. Jika f ′( x) ada, f ′( x) ≠ 0, dan f ( x) monoton murni, ′ 1 maka f −1 ( y ) = f ′( x)
( )
6.3. FUNGSI EKSPONEN NATURAL Karena fungsi logaritma asli
f ( x) = ln x
monoton naik murni, dan
f ′( x) ≠ 0 maka f(x) mempunyai balikan. 3
Definisi:
Jika f ( x) = ln x maka f −1 ( x) = exp( x), dibaca eksponen x. x
Ingat kembali bahwa
ln x =
∫
dt , t
x>0
1
Berapakah nilai x agar ln x = 1? Menurut Euler, x = 2,718281828459045 = e. Jadi ln e = 1
x = exp( y ) ⇔ y = ln x. Jika y = 1 maka x = e. Berarti e = exp(1). y = ln x r ⇔ x r = exp( y ). Jika x = e maka e r = exp(ln e r ) = exp( r ln e ) = exp( r ) ∴ exp( r ) = e r
Jadi y = ln x ⇔ x = exp( y ) = e y . Sifat-sifat:
i) e a e b = e a +b ea ii) b = e a −b e
Turunan fungsi eksponen natural:
d x e = ex dx
4
6.4. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA UMUM Definisi: Fungsi eksponen umum didefinisikan melalui fungsi eksponen dan logaritma asli sebagai
a x = e x ln a , a > 0 Akibatnya diperoleh:
(
)
ln a x = ln e x ln a = x ln a
Sifat-sifat fungsi eksponen umum:
Jika a > 0, b > 0 dan x , y ∈ ℜ , maka i) a x a y = a x + y ax ii) y = a x-y a
( )
iii) a
x y
= a xy
iv) ( ab ) x = a x b x x
ax ⎛a⎞ v) ⎜ ⎟ = x b ⎝b⎠ Turunan dan integral fungsi eksponen umum:
y = a x = e x ln a ⇒ y′ = ln a e x ln a = a x ln a Jadi
1 x a +C ∫ a dx = ln a x
5
y = a x = e x ln a y′ = ln a e x ln a = a x ln a ⎧< 0, jika 0 < a < 1 ⎪ a x > 0, dan ln a ⎨ ⎪> 0, jika a > 1 ⎩ Jadi y monoton turun bila 0 < a < 1 dan monoton naik bila a > 1. Akibatnya fungsi eksponen umum mempunyai fungsi invers, yang disebut fungsi logaritma terhadap basis a. Definisi:
Jika a > 0 dan a ≠ 1 maka y =a log x ⇔ x = a y . Khususnya jika a = e maka elog x = ln x.
¾ Hubungan antara fungsi eksponen dan logaritma umum dengan fungsi eksponen dan logaritma asli
Jika y = a log x maka x = a y . Akibatnya ln x = ln a = y ln a y
a x = e x ln a
( ) ( )
ln a
x ln x = e dan . atau y= ln a x c = e . ln x a Jadi log x = = c ln x. ln a a x Karena log x dan a selalu dapat dinyatakan dalam ln x x x dan e maka semua sifat yang dimiliki oleh ln x dan e 6 a x juga berlaku pada log x dan a
Turunan fungsi logaritma umum:
d dx
(
a
)
log x =
d ⎛ ln x ⎞ 1 d (ln x ) = 1 1 = 1 . ⎟= ⎜ dx ⎝ ln a ⎠ ln a dx ln a x x ln a
Contoh-contoh: tentukanlah
( )
1)
2 d 3x dx
3)
∫x
5)
∫ (1 0
5
1
2)
x
2
dx
4)
)
1
0
7) 9)
3x
+ 1 0 − 3 x dx
( (
d sin 2 x + 2 sin dx d 3 log( e x ) dx
x
6)
)
)
8) 10)
(
d ⎛ 4 ⎜ x +2 dx ⎝
∫
)
5
x +2
+5
⎞ ⎟ ⎠
1 0 5 x −1 dx d dx
( )
⎛ 10 x 2 + x 2 ⎜ ⎝
(
10
⎞ ⎟ ⎠
)
d 10 log( x 3 + 9 ) dx d ⎛ 10 x2 − x ⎞ log( 3 )⎟ ⎜ dx ⎝ ⎠
6.5. PENGGUNAAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA ¾ Turunan fungsi berpangkat fungsi Yang sudah dipelajari:
y = x a ⇒ y ′ = ax x −1 y = a x ⇒ y ′ = a x ln a
Pertanyaan:
y = x ⇒ y ′ = ??? x
7
Jawab: Cara 1:
y = x x = e x ln x dy d = e x ln x ( x ln x ) = e x ln x (ln x + x 1x ) dx dx y ′ = x x (ln x + 1) = x x + x x ln x .
Cara 2:
y = x x ⇒ ln y = ln x x = x ln x d d ln y = ( x ln x ) dx dx y′ = ln x + 1 y ⇒ y ′ = y (ln x + 1) = x x (ln x + 1) = x x + x x ln x . Contoh soal: sin 1) Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x
(1,1)
(
x
di titik
)
2) Tentukan y ′ bila y = x 2 + 1
ln x
8
¾ Pertumbuhan dan peluruhan eksponensial Contoh 1) Misalkan dari data sensus penduduk tahun 2000 diketahui bahwa jumlah penduduk di suatu daerah adalah 10 juta jiwa, perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2015 Penyelesaian: Misalkan y = f(t) menyatakan jumlah penduduk pada tahun ke – t, maka kecepatan pertumbuhan penduduk bergantung pada jumlah penduduk saat itu dengan konstanta kecepatan pertumbuhan k. Situasi tersebut dapat dirumuskan sebagai
dy = ky dt
dan diketahui
∫
y (t = 2000) = 10 7
∫
dy dy = kdt ⇒ = kdt y y ⇒ ln y = kt + c ⇒ y = e kt + c = e kt e c = Ce kt y (2000) = Ce k 2000 = 10 7 ⇒C = ∴y =
107 e 2000 k 107
e 2000 k
e kt = 10 7 e kt − 2000 k = 10 7 e k (t − 2000)9
Pada tahun 2015 jumlah penduduk adalah
y = 10 7 e k ( 2015− 2000) = 10 7 e15k Biasanya k diberikan. Berdasarkan sejarah, k = 0,019, sehingga pada tahun 2015 jumlah penduduk adalah
y = 10 7 e15.0,019 ≈ 1,33.10 7 = 13,3 juta. Pada tahun berapa jumlah penduduk akan menjadi 2 kali lipat jumlah penduduk tahun 2000?
y = 2.107 ⇒ t = ? 10 7 e k (t − 2000) = 2.10 7 ⇒ e k (t − 2000) = 2 ⇒ k (t − 2000) = ln 2 ln 2 ∴ t = 2000 + ≈ 2036 k Jadi dalam waktu 36 tahun jumlah penduduk telah berlipat dua. Perhatikan bahwa
36 = 2036-2000 =
ln 2 =T k
disebut waktu pengganda. 10
Contoh 2) Misalkan jumlah bakteri dalam suatu kultur yang tumbuh dengan cepat kira-kira 10.000 pada tengah hari. Jika dalam waktu 2 jam jumlah bakteri menjadi 40.000, perkirakan banyaknya bakteri dalam kultur tersebut pada pukul 17.00.
Contoh 3) Karbon 14 meluruh dengan laju yang sebanding dengan banyaknya karbon 14 yang ada. Setengah umurnya adalah 5730. Apabila pada awalnya terdapat 10 gram karbon 14, berapakah zat yang tersisa setelah 2000 tahun? ¾ Menghitung limit berbentuk 0 ∞ , ∞ 0 , dan 1∞ Contoh: Tentukan nilai limit-limit berikut
1. lim+ x
x→∞
x→0
⎛ 3 5 ⎞ 3. lim ⎜1 + + 2 ⎟ x→∞⎝ x x ⎠ 5. lim+ xsin x x→0
7. lim x x→∞
ln 2
(
2. lim e + x
x
(1+ln x )
x
x
)
1
x
⎛ 2x − 3 ⎞ 4. lim ⎜ ⎟ x→∞⎝ 2 x + 5 ⎠
2 x +1
6. lim+ sin x tan x x→0
8. lim+ (− ln x) x x→0
11
6.6. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI
f ( x) = sin x
Agar fungsi sin x memiliki invers, daerah asalnya dibatasi, yaitu
f ( x) = sin x, − π2 ≤ x ≤ π2
y = sin −1 x
12
= arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1
f ( x) = cos x
Agar fungsi cos x memiliki invers, daerah asalnya dibatasi, yaitu
f ( x) = cos x, 0 ≤ x ≤ π y = arccos x
13
