8. FUNGSI TRANSENDEN
8.1 Fungsi Invers Misalkan f : D f R f dengan
x y f (x) Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika u v maka f (u) f (v)
yx
y x2
y x
u
fungsi y=x satu-satu
fungsi y=-x satu-satu INF228 Kalkulus Dasar
v
fungsi y x 2 tidak satu-satu 2
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik. Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f 1
f 1 : R f D f
y x f 1 y
R Df
R f
x
x f 1 ( y)
f
Berlaku hubungan Rf
f 1 ( f ( x)) x
y=f(x)
f ( f 1 ( y)) y
1
D f 1 R f , INF228 Kalkulus Dasar
R f 1 D f 3
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers f(x)=x
f ' ( x) 1 0, x R f selalu naik
f(x)=-x f ' ( x) 1 0, x R f selalu turun
0, x 0 f ' ( x) 2 x 0, x 0 f naik untuk x>0 turun untuk x <0
f ( x) x
f ( x) x 2
f ( x) x
v
u
f
1
ada
f
1
ada
INF228 Kalkulus Dasar
f
1
tidak ada
4
x 1 Contoh : Diketahui f ( x ) x2 a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya Jawab
3 1.( x 2) 1.( x 1) 0, x Df a. f ' ( x) 2 2 ( x 2) ( x 2) Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers b.
Misal y x 1
x2
xy 2 y x 1 2y 1 f ( y) y 1 1
2y 1 x y x 2 y 1 x y 1 2x 1 f ( x) x 1 1
INF228 Kalkulus Dasar
5
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
f ( x) x 2
f ( x) x 2
u
Untuk x>0 f
1
ada
Untuk x<0 f
1
ada
v
Untuk x R f 1 tidak ada
f ( x) x 2
INF228 Kalkulus Dasar
6
Grafik fungsi invers Titik (x,y) terletak pada grafik f
Titik (y,x) terletak pada grafik f 1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
f
Grafik f dan f f
1
semetri terhadap garis y=x
1
INF228 Kalkulus Dasar
7
Turunan fungsi invers Teorema Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan pada selang I. Jika f 1 ( x) 0, x I maka f 1 dapat diturunkan di y=f(x) dan
1 ( f )' ( y ) f ( x) 1
Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai
dx 1 dy dy / dx Contoh Diketahui f ( x) x 5 2 x 1 tentukan ( f 1 )' (4) Jawab :
f ' ( x) 5x 4 2 ,y=4 jika hanya jika x=1
1 1 ( f )' (4) f ' (1) 7 1
INF228 Kalkulus Dasar
8
Soal Latihan Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1.
1 f (x ) x , x0 x
2.
f ( x ) 3 2x 1
3. f (x ) 5 4x 2
4. f (x )
5 x2 1
, x0
5. f ( x ) x 1 x 1 6.
f ( x)
2x 3 x2 INF228 Kalkulus Dasar
9
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x1
ln x
1
t
dt , x 0
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
x1 1 Dx ln x D x dt 1 t x
.
Secara umum, jika u = u(x) maka
u ( x ) 1 1 du Dx ln u Dx dt 1 t u dx INF228 Kalkulus Dasar
10
f ( x) ln(sin(4 x 2)) 1 f ' ( x ) Dx (sin(4 x 2)) 4 cot(4 x 2) maka sin(4 x 2)
Contoh : Diberikan
Jika
Jadi,
y ln | x | , x 0 ln x , x 0 ln( x) , x 0 d 1 (ln | x |) , x 0. dx x
Dari sini diperoleh :
y ln x y '
1 x
y ln( x) y '
1 1 x x
1 x dx ln | x | C
Sifat-sifat Ln : 1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
4. ln a r r ln a
INF228 Kalkulus Dasar
11
4
Contoh: Hitung
0
x2 dx 3 x 2
jawab Misal u x 2 du 3x dx 3
2
x2 x 2 du x 3 2 dx u 3x 2
1 1 1 du ln | u | c 3 u 3
1 ln | x 3 2 | c 3 sehingga 4
4 x2 1 3 0 x 3 2dx 3 ln | x 2 | 0
1 1 (ln 66 ln 2) ln 33. 3 3
INF228 Kalkulus Dasar
12
Grafik fungsi logaritma asli Diketahui x
a. f ( x) ln x
f(x)=lnx
1 b. f ' ( x) 0 x D f x
f selalu monoton naik pada Df
c. f ' ' ( x) 1
dt 1 t , x 0
1 0 x D f 2 x
Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0
INF228 Kalkulus Dasar
13
8.3 Fungsi Eksponen Asli
1 0 untuk x 0, maka fungsi logaritma asli Karena Dx ln x x
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan
y exp( x) x ln y
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x)) Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
e r exp(ln e r ) exp r ln e exp r INF228 Kalkulus Dasar
exp ( x) e x 14
Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers
Dari hubungan
y ex
x ln y
dy 1 y ex dx dx / dy
dx 1 dy y
Jadi, Dx (e x ) e x Secara umum
Dx (eu ( x ) ) eu .u'
Sehingga x x e dx e C INF228 Kalkulus Dasar
15
Grafik fungsi eksponen asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
y=exp (x)
y=ln x
1 1
Contoh
Dx (e 3 x ln x ) e 3 x ln x .Dx (3x ln x) e 3 x ln x (3 ln x 3). INF228 Kalkulus Dasar
16
Contoh Hitung
e3 / x x 2 dx Jawab : Misalkan u
3 3 1 1 du 2 dx 2 dx du x 3 x x
Sehingga
e3 / x 1 u 1 u 1 3/ x x 2 dx 3 e du 3 e c 3 e c.
INF228 Kalkulus Dasar
17
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli a. Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi h( x) , f ' ( x) ? Diketahui f ( x) ( g ( x))
ln( f ( x)) h( x) ln( g ( x)) Dx (ln( f ( x))) Dx (h( x) ln( g ( x))) f ' ( x) h( x ) h' ( x) ln( g ( x)) g ' ( x) f ( x) g ( x) h( x ) f ' ( x) h' ( x) ln( g ( x)) g ' ( x) f ( x) g ( x)
INF228 Kalkulus Dasar
18
Contoh Tentukan turunan fungsi f ( x) (sin x) 4 x Jawab Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
ln f ( x) ln(sin x) 4 x 4 x ln(sin( x)) Turunkan kedua ruas
Dx (ln f ( x)) Dx (4 x ln(sin( x)))
f ' ( x) 4x 4 ln(sin( x)) cos x 4 ln(sin( x)) 4 x cot x f ( x) sin x f ' ( x) (4 ln(sin( x)) 4 x cot x)(sin x) 4 x
INF228 Kalkulus Dasar
19
b. Menghitung limit fungsi berpangkat fungsi
lim f ( x) g ( x ) ? x a
Untuk kasus (i) lim f ( x) 0, lim g ( x) 0 x a
x a
f ( x) , lim g ( x) 0 (ii) lim x a x a
f ( x) 1, lim g ( x) (iii) lim x a x a Penyelesaian : Tulis lim ( f ( x) x a
g ( x)
) lim[exp ( ln f ( x) g ( x ) )] lim exp g ( x)ln f ( x) x a
xa
Karena fungsi eksponen kontinu, maka
lim exp g ( x) ln ( f ( x) exp lim g ( x) ln f ( x) x a
x a
INF228 Kalkulus Dasar
20
Contoh Hitung a.
lim x x
x 0
b. lim 1 x x 0
1 x
c. lim x 3 1 x
1 / ln x
Jawab
a.
lim ( x x ) exp lim x ln x
x 0
x 0
(bentuk 0. )
Rubah ke bentuk / lalu gunakan dalil L’hopital 1 ln x x exp(0) 1 exp lim 1 exp xlim 0 1 x 0 x 2 x b.
1 ln (1 x) lim ( (1 x)1 / x ) lim exp . . ln(1 x) exp lim x 0 x 0 x x 0 x INF228 Kalkulus Dasar
21
Gunakan dalil L’hopital
1 exp lim exp 1 e x 0 1 x sehingga
lim 1 x e 1 x
x 0
c.
lim x 1 x
3
1 / ln x
1 ln( x 3 1) 3 exp lim ln( x 1) exp lim x ln x x ln x
Gunakan dalil L’hopital
3x 2 3 3x 3 x 3 (3) x 1 exp lim . exp lim 3 exp lim 3 x 1 / x x x (1 1 ) x x 1 x3 (3) 3 exp lim exp 3 e . 1 x (1 ) x3 INF228 Kalkulus Dasar
22
Soal latihan A.Tentukan
y ' dari
1.
y sec e 2 x e 2 sec x
6.
y ln x 2 5x 6
2.
y x 5 e 3 ln x
7.
y ln cos 3x
3.
y tan e
4. y
2 2x
e
x
xy 3 1
5. e y ln( x 3 3 y)
8.
y
ln x x2
9. y ln sin x
10. y sin(ln( 2 x 1))
INF228 Kalkulus Dasar
23
B. Selesaikan integral tak tentu berikut 1.
4 dx 2x 1
2 ln 3x 2. dx x
x3
3. 2 dx x 1 tan(ln x) dx 4. x
5.
2 x ln x
dx 2
6.
4x 2 2
x x5
7.
(x 3) e
8.
e
x
dx
x 2 6x
11. dx
sec2 2 e x dx
9.
(cos x ) e
10.
e
2 ln x
sin x
dx
x e
2 2 x3
dx
e2x 12. e x 3 dx 13.
e3x (1 2e 3x ) 2 dx
dx
INF228 Kalkulus Dasar
24
C. Selesaikan integral tentu berikut ln 2 4 3 3 x dx 1. 6. e dx 1 2x 1 0 4
3
1
2. 1 x 1 x dx ln 3
3.
4.
ex x
ln 3 e 4 ln 5 x
7.
2
dx
8.
1
2x 3 e dx 5.
xe
4 x 2
dx
0
x e 3 4e dx
0
2 e x 2 dx 1 x
e2
9.
dx e x(ln x) 2
0
INF228 Kalkulus Dasar
25
D. Hitung limit berikut :
1.
lim x
1 1 x
1 sin 2 x 2. lim x 0 2 lim cos 3. x x
4.
lim e
x 0
2x
6.
lim ln x
1 x
7.
x2
1
1 ln x
lim 1 x
x 1
1 x
5.
1 2 ln x
x
x
lim 3 x 5 x
1 x x
x 1 8. lim x 2 x
INF228 Kalkulus Dasar
x
26
8.5 Fungsi Eksponen Umum Fungsi
f ( x) a x, a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x R, didefinisikan
a x ex ln a
Turunan dan integral
Dx (a x ) Dx (e x ln a ) e x ln a ln a a x ln a Jika u = u(x), maka
Dx (au ) Dx (eu ln a ) eu ln a ln a.u' au u ' ln a Dari sini diperoleh : :
x a dx
1 x a C ln a INF228 Kalkulus Dasar
27
Sifat–sifat fungsi eksponen umum Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku 1.
a x a y a x y
ax x y a 2. ay 3.
(a x ) y a xy
4.
(ab) x a x b x
5.
ax a x b b
x
INF228 Kalkulus Dasar
28
Contoh 1. Hitung turunan pertama dari
f ( x) 32 x 1 2sin 2 x Jawab :
f ' ( x) 2.32 x1 ln 3 2.2sin 2 x ln 2 2. Hitung
4
x2
.xdx
Jawab : Misal
u x 2 du 2 xdx dx x 4 .xdx 2
u 4
u
1 2x
du
x2
du 1 4 4 C C 2 2 ln 4 2 ln 4
INF228 Kalkulus Dasar
29
Grafik fungsi eksponen umum Diketahui
a. f ( x) a x , a 1
f ( x) a x , a 0 Df (, )
a x ln a 0 , 0 a 1 b. f ' ( x) a ln a x a ln a 0 , a 1 f monoton naik jika a > 1 monoton turun jika 0 < a < 1 x
c. f ( x) a x ,0 a 1
f ' ' ( x) a x (ln a) 2 0 x D f Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1
INF228 Kalkulus Dasar
30
8.6 Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi a log x , sehingga berlaku : y y a log x x a
Dari hubungan ini, didapat
ln x ln x ln a y ln a y ln a y
Sehingga
Dx ( a log x) Dx (
Jika u=u(x), maka
ln x log x ln a a
ln x 1 ) ln a x ln a
ln u u' Dx ( log u ) Dx ( ) ln a u ln a a
INF228 Kalkulus Dasar
31
Contoh Tentukan turunan pertama dari 1. f ( x) 3 log( x 2 1)
x 1 2. f ( x) log( ) x 1 4
Jawab : 1. 2.
ln( x 2 1) f ( x) log( x 1) ln 3 3
2
x 1 ln( x 1 4 x 1 ) f ( x) log( ) x 1 ln 4
2x 1 f ' ( x) 2 x 1 ln 3 f ' ( x)
1 1 x 1 Dx ( ) x 1 ln 4 x 1 x 1
1 x 1 x 1 ( x 1) ln 4 x 1 ( x 1) 2 1 2 ln 4 ( x 1)( x 1)
INF228 Kalkulus Dasar
32
Grafik fungsi logaritma umum Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x
Untuk a > 1
Untuk 0 < a < 1
f ( x) a x ,0 a 1
f ( x) a x , a 1
INF228 Kalkulus Dasar
33
Soal Latihan A. Tentukan
y ' dari 2x 4 4x
1. y 3
10 2 2. y log x 9
3. x 3 log( xy ) y 2 B. Hitung 1. 2.
5x 1
10
dx
x2
x 2 dx INF228 Kalkulus Dasar
34
8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satusatu sehingga mempunyai invers. a. Invers fungsi sinus
Diketahui f(x) = sinx , 2 x 2
2
2
Karena pada 2 x 2 f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau sin 1 ( x) Sehingga berlaku
y sin 1 x x sin y INF228 Kalkulus Dasar
35
Turunan Dari hubungan y sin 1 x x sin y 1 x 1, 2 y 2 dan rumus turunan fungsi invers diperoleh dy 1 1 1 1 , | x | 1 2 2 dx dx / dy cos y 1 sin y 1 x
atau Dx (sin 1 x)
1 1 x2
Jika u=u(x) Dx (sin 1 u )
u' 1 u2
Dari rumus turunan diperoleh
dx 1 x2
sin 1 x C
INF228 Kalkulus Dasar
36
b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx ,0 x
monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos 1 ( x)
f ( x) cos x
Berlaku hubungan
y cos 1 x x cos y Turunan
Dari
y cos 1 x x cos y ,1 x 1, 0 y dy 1 1 dx dx / dy sin y
1 1 cos y 2
INF228 Kalkulus Dasar
1 1 x
2
diperoleh
, | x | 1 37
atau
Dx (cos 1 x)
1 1 x2
u'
Dx (cos 1 u )
Jika u= u(x)
1 u2
Dari rumus turunan diatas diperoleh
dx 1 x2
sin 1 x C
Contoh 1
Dx (sin ( x )) 2
Dx (cos 1 (tan x))
1 1 (x 2 )2
Dx ( x 2 )
1 1 (tan x)
2
2x 1 x4
Dx (tan x)
INF228 Kalkulus Dasar
sec 2 x 1 tan 2 x
38
Contoh Hitung
Gunakan rumus
1 4 x
2
dx
1 1 u2
du sin 1 (u ) C
Jawab :
1 4 x2
dx
Misal u
1 4(1
2
x ) 4
dx
1 2
1 x (1 ( ) 2 2
dx
x du 12 dx dx 2du 2
1
2 1 dx 1 du sin uC 2 2 4 x 2 (1 u
INF228 Kalkulus Dasar
sin 1 ( 2x ) C
39
c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx,
2
x
2
Monoton murni (selalu naik) sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, 1 notasi arc tanx atau tan ( x) Berlaku hubungan 2
f(x)=tanx
y tan1 x x tan y
2
Turunan
Dari y tan 1 x x tan y
, 2 y 2
dan turunan fungsi invers diperoleh
1 1 dy 1 1 1 tan 2 y 1 x 2 dx dx / dy sec 2 y INF228 Kalkulus Dasar
40
atau Dx (tan 1 x) Jika u=u(x)
dx 1 tan xC 1 x2
1 1 x2
Dx (tan 1 u )
u' 1 u2
d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x)= cot x ,0 x selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers Definisi Invers dari fungsi cot x disebut 1 Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot x
f(x)=cotx
Berlaku hubungan
y cot 1 x x cot y
Turunan
1 1 dy 1 1 2 2 1 cot y 1 x 2 dx dx / dy csc y INF228 Kalkulus Dasar
41
atau
Dx (cot 1 x)
Jika u=u(x)
1 1 x2
Dx (cot 1 u )
dx 1 cot xC 1 x2 u' 1 u2
Contoh
2x 1 2 Dx (tan ( x 1) Dx( x 1) 2 2 1 ( x 2 1) 2 1 ( x 1) 1 cos x Dx (cot 1 (sin x) Dx (sin x ) 1 (sin x) 2 1 sin 2 x 1
2
Contoh Hitung
a.
dx 4 x2
b.
dx x 2 2x 4 INF228 Kalkulus Dasar
42
Jawab a.
1 4 x 2 dx
1 x2 4(1 ) 4
dx
1 1 dx 4 1 ( x )2 2
x u du 12 dx dx 2du 2 1 1 2 1 1 dx du tan u C 2 4 x2 4 1 u 2 Gunakan rumus
1 x tan 1 ( ) C 2 2
1 1 du tan (u ) C 1 u2
INF228 Kalkulus Dasar
43
b.
dx 1 x 2 2 x 4 ( x 1) 2 3 dx
Misal
1 3
u
1 ( x 1) 1 3
x 1
Gunakan rumus 1 1 du tan (u ) C 1 u2
3
du
1 dx 2 ( x 1) 3(1 ) 3
dx
2
1 3
dx dx 3du
dx 1 3 1 1 du tan u C x 2 2x 4 3 1 u 2 3
INF228 Kalkulus Dasar
x 1 tan 1 C 3 3
1
44
e. Invers fungsi secan Diberikan f(x) = sec x ,0 x , x 2
f ' ( x) sec x tan x 0,0 x , x
2
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau sec 1 x Sehingga
y sec1 x x sec y
INF228 Kalkulus Dasar
45
Turunan Dari
sec 1 x cos 1 1x
y sec1 x x sec y 1 cos y x
y cos 1 1x
Sehingga
Dx (sec 1 x) Dx (cos 1 1x Jika u = u(x)
x
Dx (sec 1 u )
1 x2 1
1 1 ( 1x ) 2
1 |x| 1 2 x2 x2 x2 1 | x | x 1
u' | u | u 2 1
dx sec 1 | x | c
INF228 Kalkulus Dasar
46
e. Invers fungsi cosecan Diberikan f(x) = csc x , 2 x 2 , x 0
f ' ( x) csc x cot x 0, 2 x 2 , x 0 f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau csc 1 x Sehingga
y csc1 x x csc y
INF228 Kalkulus Dasar
47
Turunan Dari
csc1 x sin 1 1x
y csc1 x x csc y 1 sin y x
y sin 1 1x
Sehingga
Dx (csc1 x) Dx (sin 1 1x Dx (sec 1 u )
Jika u = u(x)
x
1 x2 1
1 1 ( 1x ) 2
1 | x| 1 x2 | x | x2 1 x2 x2 1
u' | u | u 2 1
dx csc 1 | x | c
INF228 Kalkulus Dasar
48
Contoh
A. Hitung turunan pertama dari a. f ( x) sec 1 ( x 2 ) 1
b. f ( x) sec (tan x) Jawab a.
b.
f ' ( x) f ' ( x)
1 | x | (x ) 1 2
2 2
Dx( x )
1 | tan x | (tan x) 1 2
2x
2
2
x
2
x 1
Dx(tan x)
INF228 Kalkulus Dasar
4
2 x x4 1
sec 2 x | tan 2 x | tan 2 x 1
49
B. Hitung
x
1 x 4 2
dx
Jawab
x
1 x 4 2
Misal
x
1
dx
2
x 4(
x 1) 4
dx
1 2
1 2
dx
x x 1 2
x u du 12 dx dx 2du 2
1 x2 4
dx
1 1 1 1 2 du du 2 2 2 2u u 1 2 u u 1
1 1 1 1 x sec | u | C sec | | C 2 2 2 INF228 Kalkulus Dasar
50
Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin
1.
y (sin 1 x) 2
2.
y tan 1 (e x )
3.
y tan 1 x ln x sec1 t
4.
f (t ) e
5.
y x 2 cot 1 (3x)
6.
y tan 1 ( x 1 x 2 )
INF228 Kalkulus Dasar
51
B. Hitung
dx 1. 9 x 2 16 2. 3.
4x
1/ 2
4.
0
ex dx 5. 2 x e 1
dx x 16 2
dx 2 5x 2 sin 1 x 1 x
2
6.
e2x
dx
1 e dx 7. x[4 (ln x) 2 ] 4x
dx
INF228 Kalkulus Dasar
52
8.8 Fungsi Hiperbolik Definisi a. Fungsi kosinus hiperbolik :
e x ex f ( x) cosh x 2
b. Fungsi sinus hiperbolik :
e x ex f ( x) sinh x 2
c. Fungsi tangen hiperbolik :
sinh x e x e x f ( x) tanh x x x cosh x e e
d. Fungsi cotangen hiperbolik :
cosh x e x e x f ( x) coth x x x sinh x e e
e. Fungsi secan hiperbolik :
f ( x) sec h x
f. Fungsi cosecan hiperbolik :
f ( x) csc h x
INF228 Kalkulus Dasar
1 2 x x cosh x e e
1 2 x sinh x e e x 53
Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik 1.
cosh x sinh x e x
2. cosh x sinh x e
3.
x
cosh 2 x sinh 2 x 1
2 2 1 tanh x sec h x 4.
5. coth 2 x 1 csc h 2 x
Turunan e x e x e x e x Dx (cosh x) Dx sinh x 2 2
sinh x dx cosh x C
e x e x e x e x Dx (sinh x) Dx cosh x 2 2
cosh xdx sinh x C
INF228 Kalkulus Dasar
54
2 2 sinh x cosh x sinh x 1 2 Dx (tanh x) Dx ( ) sec h x 2 2 cosh x cosh x cosh x 2 2 2 2 cosh x sinh x cosh x (cosh x sinh x) Dx (coth x) Dx ( ) 2 sinh x sinh x sinh 2 x
1 2 csc h x 2 sinh x 1 sinh x Dx (sec hx) Dx ( ) sec hx tanh x 2 cosh x cosh x Dx (csc hx) Dx (
1 cosh x ) csc hx coth x 2 sinh x sinh x
INF228 Kalkulus Dasar
55
Grafik f(x) = coshx Diketahui (i)
e x e x f ( x) cosh x , xR 2
x x (ii) f ' ( x) e e f ' ( x) 0 , x 0 2 f ' ( x) 0 , x 0
f monoton naik pada x > 0 monoton turun pada x < 0
1 (iii)
e x ex f ' ' ( x) 0 , x R 2
Grafik f selalu cekung keatas (iv) f(0)=1 INF228 Kalkulus Dasar
56
Grafik f(x) = sinhx Diketahui (i)
e x e x f ( x) sinh x , xR 2
e x e x 0 (ii) f ' ( x) 2
f selalu monoton naik (iii)
e x e x 0, x 0 f ' ' ( x) 2 0, x 0
Grafik f cekung keatas pada x>0 cekung kebawah pada x<0 (iv) f(0)= 0 INF228 Kalkulus Dasar
57
Contoh Tentukan y ' dari 2 1. y tanh( x 1)
2. x 2 sinh x y 2 8 Jawab 1.
y ' sec h 2 ( x 2 1) Dx( x 2 1) 2 x sec h 2 ( x 2 1)
2.
Dx( x 2 sinh x y 2 ) Dx(8)
2 x sinh x x 2 cosh x 2 y y ' 0 2 x sinh x x 2 cosh x y' 2y INF228 Kalkulus Dasar
58
Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama dari 1.
f ( x) tanh 4 x
2.
g ( x) sinh 2 x
1 cosh x 3. g ( x) 1 cosh x 4.
h(t ) coth 1 t 2
5.
g (t ) ln(sinh t ))
6.
f ( x) x cosh x 2
INF228 Kalkulus Dasar
59
B. Hitung integral berikut 1. 2.
Sinh(1 4 x)dx 2 sinh x cosh x dx
3.
tanh x dx
4.
sec h 2 x 2 tanh x dx
INF228 Kalkulus Dasar
60
