8. FUNGSI TRANSENDEN
1
8.1 Fungsi Invers Misalkan f : D f R f dengan
x y f (x) Definisi 8.1 Fungsi y = f(x) disebut satu-satu jika f(u) = f(v) maka u = v atau jika u v maka f (u) f (v)
yx
y x2
y x
u fungsi y=x satu-satu
fungsi y=-x satu-satu
v
fungsi y x 2 tidak satu-satu 2
Secara geometri grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajar dengan sumbu x berpotongan di satu titik.
Teorema : Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers notasi f 1
f 1 : R f D f
y x f 1 y
R
Df x f
1
R f
x ( y)
f
Berlaku hubungan Rf
f 1 ( f ( x)) x
y=f(x)
f ( f 1 ( y)) y
1
D f 1 R f ,
R f 1 D f 3
Teorema : jika f monoton murni(selalu naik/selalu turun) maka f mempunyai invers f(x)=x
f ' ( x) 1 0, x R f selalu naik
f(x)=-x f ' ( x) 1 0, x R
f selalu turun
0, x 0 f ' ( x) 2 x 0, x 0 f naik untuk x>0 turun untuk x <0
f ( x) x
f ( x) x 2
f ( x) x
v
u
f
1
ada
f
1
ada
f
1
tidak ada
4
x 1 Contoh : Diketahui f ( x ) x2 a. Periksa apakah f mempunyai invers b. Jika ada, tentukan inversnya
Jawab:
3 1.( x 2) 1.( x 1) 0, x Df a. f ' ( x) 2 2 ( x 2) ( x 2) Karena f selalu naik(monoton murni) maka f mempunyai invers
b.
Misal y x 1
x2
xy 2 y x 1 2y 1 f ( y) y 1 1
2y 1 x y x 2 y 1 x y 1 2x 1 f ( x) x 1 1
5
Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerah asalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan cara membatasi daerah asalnya.
f ( x) x 2
f ( x) x 2
u
Untuk x>0 f
1
ada
Untuk x<0 f
1
ada
v
Untuk x R f 1 tidak ada
f ( x) x 2
6
Grafik fungsi invers Titik (x,y) terletak pada grafik f
Titik (y,x) terletak pada grafik f 1
Titik (x,y) dan (y,x) simetri terhadap garis y=x
f
Grafik f dan f f
1
semetri terhadap garis y=x
1
7
Soal Latihan Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari 1.
x 1 f (x ) x 1
2.
f ( x)
2x 3 x2
8
8.2 Fungsi Logaritma Asli
Fungsi Logaritma asli ( ln ) didefinisikan sebagai :
x1
ln x
1
t
dt , x 0
Dengan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh :
x1 1 D x ln x D x dt 1 t x
.
Secara umum, jika u = u(x) maka
u ( x ) 1 1 du Dx ln u Dx dt u dx t 1 9
Contoh : Diberikan maka Jika
Jadi,
f ( x) ln(4 x 2) 1 4 f ' ( x) Dx (4 x 2) (4 x 2) 4x 2
y ln | x | , x 0 ln x , x 0 ln( x) , x 0 d 1 (ln | x |) , x 0. dx x
Dari sini diperoleh :
y ln x y '
1 x
y ln( x) y '
1 1 x x
1 x dx ln | x | C
Sifat-sifat Ln : 1. ln 1 = 0 2. ln(ab) = ln a + ln b 3. ln(a/b)=ln(a) – ln(b)
4. ln a r r ln a
10
4
Contoh: Hitung
0
x dx 2 x 2
Jawab:
du Misal u x 2 du 2 xdx dx 2x x x du 1 1 1 dx du ln | u | c 2 2 x 2 u 2x 2 u 2
1 ln | x 2 2 | c 2 sehingga 4
4 x 1 2 0 x 2 2dx 2 ln | x 2 | 0
1 1 (ln 18 ln 2) ln 9. 2 2 11
Grafik fungsi logaritma asli Diketahui x
a. f ( x) ln x
f(x)=lnx
1 b. f ' ( x) 0 x D f x
f selalu monoton naik pada Df
c. f ' ' ( x) 1
dt 1 t , x 0
1 0 x D f 2 x
Grafik selalu cekung kebawah d. f(1) = 0
12
8.3 Fungsi Eksponen Asli
1 0 untuk x 0, maka fungsi logaritma asli Karena Dx ln x x
monoton murni, sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma asli disebut fungsi eksponen asli, notasi exp. Jadi berlaku hubungan
y exp( x) x ln y
Dari sini didapat : y = exp(ln y) dan x =ln(exp(x)) Definisi 8.2 Bilangan e adalah bilangan Real positif yang bersifat ln e = 1. Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh
e r exp(ln e r ) exp r ln e exp r MA1114 KALKULUS I
exp ( x) e x 13
Turunan dan integral fungsi eksponen asli Dengan menggunakan turunan fungsi invers Dari hubungan
y ex
x ln y
dy 1 y ex dx dx / dy
dx 1 dy y
Jadi, Dx (e x ) e x Secara umum
Dx (eu ( x ) ) eu .u'
Sehingga x x e dx e C 14
Grafik fungsi eksponen asli Karena fungsi ekponen asli merupakan invers dari fungsi logaritma asli maka grafik fungsi eksponen asli diperoleh dengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asli terhadap garis y=x
y=exp (x)
y=ln x
1 1
Contoh:
Dx (e
3x2 2
)e
3x2 2
.Dx (3x 2 2) 6 xe 3 x
2
2
. 15
Contoh :Hitung 4x e dx
Jawab :
Misalkan
u 4 x du 4dx dx
du 4
Sehingga 4x u e dx e
du 1 u 1 e C e 4 x C. 4 4 4
16
Penggunaan fungsi logaritma dan eksponen asli Menghitung turunan fungsi berpangkat fungsi h( x) , f ' ( x) ? Diketahui f ( x) ( g ( x))
ln( f ( x)) h( x) ln( g ( x)) Dx (ln( f ( x))) Dx (h( x) ln( g ( x))) f ' ( x) h( x ) h' ( x) ln( g ( x)) g ' ( x) f ( x) g ( x) h( x ) f ' ( x) h' ( x) ln( g ( x)) g ' ( x) f ( x) g ( x)
17
Contoh : Tentukan turunan fungsi
f ( x) ( x) 4 x
Jawab: Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsi dengan menggunakan fungsi logaritma asli
ln f ( x) ln( x) 4 x 4 x ln( x) Turunkan kedua ruas
Dx (ln f ( x)) Dx (4 x ln( x))
f ' ( x) 1 4 ln( x) 4 x f ( x) x
f ' ( x) 4 ln( x) 4 f ( x) f ' ( x) 4 ln( x) 4( x) 4 x 18
Soal latihan A.Tentukan
y ' dari
1.
y e 2 x e 2sin x
6.
y ln x 2 5x 6
2.
y x 5e3 x
7.
y ln cos 3x
3.
y tan(e ) e
4.
ye 2 x xy 3 1
5.
y (sin x) 2 x
2x
tan x
8.
y
ln x x
2
9. y ln sin x
10. y sin(ln(2 x 1))
19
B. Selesaikan integral tak tentu berikut 4 1. dx 2x 1
2.
x2 x3 1dx
3. (x 3) e
2
x 6x
dx
6.
x e
7.
sin x cos x dx
8.
cos x sin x dx
2 x3
dx
2 2x 4. x e dx 3
5.
sin x
(cos x ) e
dx
20
C. Selesaikan integral tentu berikut 4 3 dx 1. 1 2 x 1 1
2. e2 x 3dx 0 2
3.
xe
4 x 2
dx
0 ln 2
4.
3 x e dx 0
21
8.5 Fungsi Eksponen Umum x f ( x ) a Fungsi , a > 0 disebut fungsi eksponen umum
Untuk a > 0 dan x R, definisikan
x
x ln a
a e
Turunan dan integral
Dx (a x ) Dx (e x ln a ) e x ln a ln a a x ln a Jika u = u(x), maka
Dx (au ) Dx (eu ln a ) eu ln a ln a.u' au u ' ln a Dari sini diperoleh : :
x a dx
1 x a C ln a 22
Sifat–sifat fungsi eksponen umum Untuk a > 0, b > 0, x, y bilangan riil berlaku 1.
a x a y a x y
ax x y a 2. ay 3.
(a x ) y a xy
4.
(ab) x a x b x
5.
ax a x b b
x
23
Contoh: Hitung turunan pertama dari
f ( x) 32 x 1 2sin 2 x Jawab :
f ' ( x) 2.32 x1 ln 3 2.2sin 2 x cos 2 x ln 2 2. Hitung
4
x2
.xdx
Jawab : Misal
u x 2 du 2 xdx dx x 4 .xdx 2
u 4
u
1 2x
du
x2
du 1 4 4 C C 2 2 ln 4 2 ln 4 24
Grafik fungsi eksponen umum Diketahui a. f ( x) a x , a 1
f ( x) a x , a 0 Df (, )
a x ln a 0 , 0 a 1 b. f ' ( x) a ln a x a ln a 0 , a 1 f monoton naik jika a > 1 monoton turun jika 0 < a < 1 x
c. f ( x) a x ,0 a 1
f ' ' ( x) a x (ln a) 2 0 x D f Grafik f selalu cekung keatas
d. f(0) = 1
25
8.6 Fungsi Logaritma Umum Karena fungsi eksponen umum monoton murni maka ada Inversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut fungsi Logaritma Umum ( logaritma dengan bilangan pokok a ), notasi a log x , sehingga berlaku : y y a log x x a
Dari hubungan ini, didapat
ln x ln x ln a y ln a y ln a y
Sehingga
Dx ( a log x) Dx (
Jika u=u(x), maka
ln x log x ln a a
ln x 1 ) ln a x ln a
ln u u' Dx ( log u ) Dx ( ) ln a u ln a a
26
Contoh: Tentukan turunan pertama dari
f ( x) 3 log( x 2 1)
Jawab :
ln( x 2 1) f ( x) log( x 1) ln 3 3
2
2x 1 f ' ( x) 2 x 1 ln 3
27
Grafik fungsi logaritma umum Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkan grafik fungsi eksponen umum terhadap garis y=x Untuk a > 1
Untuk 0 < a < 1
f ( x) a x
f ( x) a x f ( x)a log x
f ( x)a log x
28
Soal Latihan A. Tentukan
y ' dari 2x 4 4x
1. y 3
10 2 2. y log x 9
29
8.7 Fungsi Invers Trigonometri Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidak satu-satu, jika daerah asalnya dibatasi, fungsi trigonometri bisa dibuat menjadi satusatu sehingga mempunyai invers.
a. Invers fungsi sinus Diketahui f(x) = sinx , 2 x 2
2
2
Karena pada 2 x 2 f(x)=sinx monoton murni maka inversnya ada. Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus, notasi arcsin(x),atau sin 1 ( x) Sehingga berlaku
y sin 1 x x sin y 30
Turunan Dari hubungan y sin 1 x x sin y 1 x 1, 2 y 2 dan rumus turunan fungsi invers diperoleh dy 1 1 1 1 , | x | 1 2 2 dx dx / dy cos y 1 sin y 1 x
atau Dx (sin 1 x)
1 1 x2
Jika u=u(x) Dx (sin 1 u )
u' 1 u2
Dari rumus turunan diperoleh
dx 1 x2
sin 1 x C
31
b. Invers fungsi cosinus Fungsi f(x) = cosx ,0 x
monoton murni(selalu monoton turun), sehingga mempunyai invers Definisi : Invers fungsi cosx disebut arcuscosx, notasi arc cosx atau cos 1 ( x)
f ( x) cos x
Berlaku hubungan
y cos 1 x x cos y Turunan
Dari
y cos 1 x x cos y ,1 x 1, 0 y dy 1 1 dx dx / dy sin y
1 1 cos y 2
1 1 x
2
diperoleh
, | x | 1 32
atau
Dx (cos 1 x)
1 1 x2
u'
Dx (cos 1 u )
Jika u= u(x)
1 u2
Dari rumus turunan diatas diperoleh
dx 1 x2
cos 1 x C
Contoh: 1
Dx (sin ( x )) 2
1 1 (x2 )2
Dx ( x 2 )
2x 1 x4
33
Contoh: Hitung
Gunakan rumus
1 4 x
2
dx
1 1 u2
du sin 1 (u ) C
Jawab :
1 4 x2
dx
Misal u
1
1 4(1
2
x ) 4
dx
1 2
1 x (1 ( ) 2 2
dx
x du 12 dx dx 2du 2
2 1 dx 1 du sin u C 2 2 4 x 2 (1 u
sin 1 ( 2x ) C
34
c. Invers fungsi tangen Fungsi f(x) = tanx,
2
x 2 Monoton murni (selalu naik)
sehingga mempunyai invers.
Definisi Invers dari tan x disebut fungsi arcus tanx, 1 notasi arc tanx atau tan ( x) Berlaku hubungan 2
f(x)=tanx
y tan 1 x x tan y
2
Turunan Dari y tan 1 x x tan y
, 2 y 2
dan turunan fungsi invers diperoleh
1 1 dy 1 1 1 tan 2 y 1 x 2 dx dx / dy sec 2 y 35
atau Dx (tan 1 x) Jika u=u(x)
dx 1 tan xC 1 x2
1 1 x2
Dx (tan 1 u )
u' 1 u2
d. Invers fungsi cotangen Fungsi f(x)= cot x ,0 x selalu monoton turun(monoton murni) sehingga mempunyai invers
Definisi Invers dari fungsi cot x disebut 1 Arcus cotx, notasi arc cotx atau cot x
f(x)=cotx
Berlaku hubungan
y cot 1 x x cot y
Turunan
1 1 dy 1 1 2 2 1 cot y 1 x 2 dx dx / dy csc y 36
atau
Dx (cot 1 x)
Jika u=u(x)
1 1 x2
Dx (cot 1 u )
dx 1 cot xC 1 x2 u' 1 u2
Contoh :
1 2 Dx (tan ( x 1) Dx ( x 1) 2 2 1 ( x 1) 1
2
2x 1 ( x 2 1) 2
Contoh: Hitung
dx 4 x2
37
Jawab : 1 4 x 2 dx
1 x2 4(1 ) 4
dx
1 1 dx 4 1 ( x )2 2
x u du 12 dx dx 2du 2 1 1 2 1 1 dx du tan u C 2 4 x2 4 1 u 2 Gunakan rumus
1 x tan 1 ( ) C 2 2
1 1 du tan (u ) C 1 u2
38
e. Invers fungsi secan Diberikan f(x) = sec x ,0 x , x 2
f ' ( x) sec x tan x 0,0 x , x
2
f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi sec x disebut arcus secx, notasi arc secx atau sec 1 x Sehingga
y sec1 x x sec y
39
Turunan Dari
sec 1 x cos 1 1x
y sec1 x x sec y 1 cos y x
y cos 1 1x
Sehingga
Dx (sec 1 x) Dx (cos 1 1x Jika u = u(x)
x
Dx (sec 1 u )
1 x2 1
1 1 ( 1x ) 2
1 |x| 1 2 x2 x2 x2 1 | x | x 1
u' | u | u 2 1
dx sec 1 | x | c
40
e. Invers fungsi cosecan Diberikan f(x) = csc x , 2 x 2 , x 0
f ' ( x) csc x cot x 0, 2 x 2 , x 0 f(x) = sec x monoton murni Ada inversnya Definisi Invers dari fungsi csc x disebut arcus csc x, notasi arc cscx atau csc 1 x Sehingga
y csc1 x x csc y
41
Turunan Dari
csc1 x sin 1 1x
y csc1 x x csc y 1 sin y x
y sin 1 1x
Sehingga
Dx (csc1 x) Dx (sin 1 1x Dx (sec 1 u )
Jika u = u(x)
x
1 x2 1
1 1 ( 1x ) 2
1 | x| 1 x2 | x | x2 1 x2 x2 1
u' | u | u 2 1
dx csc 1 | x | c
42
Contoh:
A. Hitung turunan pertama dari
f ( x) sec 1 ( x 2 )
Jawab:
f ' ( x)
1 | x 2 | (x2 )2 1
Dx( x ) 2
2x x2 x4 1
2 x x4 1
43
B. Hitung
x
1 x 4 2
dx
Jawab:
x
1 x 4 2
Misal
x
1
dx
2
x 4(
x 1) 4
dx
1 2
1 2
dx
x x 1 2
x u du 12 dx dx 2du 2
1 x2 4
dx
1 1 1 1 2 du du 2 2 2 2u u 1 2 u u 1
1 1 1 1 x sec | u | C sec | | C 2 2 2 44
Soal Latihan A. Tentukan turunan pertama fungsi berikut, sederhanakan jika mungkin 1.
y (sin 1 x) 2
2.
y tan 1 (e x )
3.
y x 2 tan 1 x
45
B. Hitung
dx 1. 9 x 2 16 2.
4x 1/ 2
3.
0
dx x 2 16
sin 1 x 1 x
2
dx
46
