Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Calculus 1

Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc Department of Mathematics FMIPA UNS

Lecture 3. Function (B) A. Macam-macam Fungsi Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden Fungsi aljabar dibedakan menjadi (1) Fungsi rasional (a) Fungsi konstan (b) Polinomial (c) Fungsi pecah (2) Fungsi irasional Fungsi transenden dibedakan menjadi (1) Fungsi eksponensial (2) Fungsi logaritma (3) Fungsi trigonometri (4) Fungsi siklometri B. Polynomial Fungsi merupakan fungsi Polinomial (polynomial) jika ( )= + +⋯+ + + , dengan bilangan bulat nonnegatif dan , = 0,1, … , konstan, yang disebut koefisien-koefisien dari polinomial tersebut. Domain dari sebarang polinomial adalah = ℝ = (−∞, ∞). Jika koefisi-en ≠ 0, maka dikatakan polinomial tersebut mempunyai derajat (degree) n. Sebagai contoh, fungsi ( ) = 2 −4 +3 Merupakan polinomial dengan derajat 5. Fungsi Linear. Polinomial dengan derajat 1 mempunyai bentuk ( )= + , yaitu merupakan fungsi linear (linear function). Grafik fungsi linear merupakan garis lurus, dengan : koefisien garis : jarak titik potong garis dengan sumbu-y dari titik (0,0). Fungsi Kuadrat. Polinomial derajat 2 yang berbentuk ( )= + +

Calculus 1


merupakan fungsi kuadrat (quadratic function). Grafik fungsi P adalah suatu parabola, dengan =

Persamaan sumbu simetri: Koordinat titik puncak:

,

, determinan

=

−4

.

Grafik fungsi kuadrat merupakan parabola yang terbuka ke atas jika > 0 dan terbuka ke bawah jika < 0. Perhatikan gambar berikut

(a) Gambar 2.25 Grafik (a) ( ) =

(b) + + 1 dan ( ) = −2

+ 3 + 1.

Fungsi Kubik. Polinomial dengan derajat 3 mempunyai bentuk ( )= + + x+d dan disebut fungsi kubik (cubic function). Gambar berikut berturutturut merupakan grafik fungsi kubik dan poliomial berderajat 4 dan 5.

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.26 Grafik polinomial berderajat (a) 3, (b) 4, dan (c) 5.

C. Power Function Fungsi ( ) = , dengan konstan disebut power function. Berikut diberikan beberapa kasus dengan nilai berbeda.

Calculus 1

(1)


= , dengan n suatu bilangan bulat positif Grafik ( ) = , dengan = 1,2,3,4, dan 5 ditunjukkan pada Gambar 2.27. Pada kasus ini diperoleh polinomial dengan 1 suku.

Gambar 2.27 Grafik ( ) =

, dengan

= 1, 2, 3, 4, dan 5

Perhatikan bahwa bentuk grafik ( ) = bergantung pada nilai , apakah genap atau ganjil. Jika genap, maka ( ) = merupakan fungsi genap, yang mempunyai bentuk mirip dengan parabola = . Jika ganjil, maka ( ) = merupakan fungsi ganjil, yang mempunyai bentuk mirip dengan grafik ( ) = .

Gambar 2.28 Keluarga power function

Catatan. Gambar 2.28 menunjukkan bahwa jika nilai semakin besar, maka grafik semakin datar di sekitar 0 dan semakin curam untuk | | ≥ 1.

Calculus 1

(2)


= , dengan n suatu bilangan bulat positif Fungsi ( ) = = √ merupakan fungsi akar (root function). Untuk = 2 diperoleh fungsi akar pangkat dua (square root function) ( ) = √ , yang mempunyai domain [0, ∞), range [0, ∞), dan grafik berupa setengah parabola = . Untuk nilai genap, > 2, grafik ( ) = √ mirip dengan grafik ( ) = √ . Untuk = 3 diperoleh fungsi akar pangkat tiga (cube root function) ( ) = √ , yang mempunyai domain ℝ (ingat bahwa semua bilangan real mempunyai cube root). Untuk nilai ganjil, > 3, grafik ( ) = √ mirip dengan grafik ( ) = √ .

Gambar 2.29 Grafik fungsi akar

(3)

=− Fungsi ( ) =

=

disebut reciprocal function. Grafik tersebut

mempunyai persamaan

= , atau

= 1, yaitu suatu parabola

dengan sumbu-sumbu koordinat sebagai asimtot-asimtotnya.

(a) Gambar 2.30 Grafik (a)

(b) = dan (b)

= .

Fungsi seperti ini sering muncul di Fisika dan Kimia. Sebagai contoh, Hukum Boyle yang mengatakan bahwa suhu (temperatur) konstan, maka volume suatu gas berbanding terbalik terhadap tekanan, yang dirumuskan dengan:

= , dengan C konstan.

Calculus 1


D. Rational Function Fungsi rasional (rational fungtion) merupakan rasio antara dua polinomial, yang dirumuskan sebagai berikut. ( )=

( )

,

( )

Dengan P dan Q merupakan polinomial. Domain dari f adalah semua nilai sedemikian sehingga ( ) ≠ 0. Contoh fungsi rasional sederhana adalah

( ) = , dengan domain

{ | ≠ 0}. Berikut diberikan grafik fungsi rasional

( )=

yang

memiliki domain { | ≠ ±2}.

Gambar 2.31 Grafik ( ) =

E. Algebraic Function Fungsi disebut fungsi aljabar (algebraic function) jika fungsi tersebut dapat dikonstruksi menggunakan operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan penarikan akar). Sebarang fungsi rasional merupakan fungsi aljabar. Contoh. (1) ( ) = √ (2)

( )=

+1 √

+ ( − 2) √ + 1

Gambar 2.32 Grafik fungsi aljabar

Calculus 1


Contoh fungsi aljabar muncul pada teori relativitas, yaitu massa dari suatu partikel yang bergerak dengan kecepatan adalah = ( )= /

dengan adalah massa diam partikel dan kecepatan cahaya di ruang hampa.

= 3 × 10 km/dtk adalah

F. Trigonometric Function Perhatikan gambar lingkaran berjari-jari satu di bawah. Posisi titik = ( , ). Sudut t-positif dihitung berdasarkan arah yang berlawanan jarum jam dengan satuan radian. 1 =

rad.

Gambar 2.33 Lingkaran

Berikut adalah contoh fungsi trigonometri (1) ( ) = dan ( ) =

Gambar 2.34 Grafik fungsi sinus dan cosinus

Perhatikan bahwa baik fungsi sinus dan cosinus mempunyai domain (−∞, ∞) dan range [−1,1], yaitu −1 ≤ sin ≤ 1 dan −1 ≤ cos ≤ 1 atau dalam bentuk nilai mutlak |sin | ≤ 1 dan |cos | ≤ 1. Fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi periodik dengan periode 2 . Artinya, untuk setiap nilai x sin( + 2 ) = sin dan cos( + 2 ) = cos

Calculus 1

(2)


( )= Fungsi tangen dihubungkan dengan fungsi sinus dan cosinus melalui persamaan berikut: tan =

.

Sehingga, fungsi yaitu untuk

( ) = tan

= ± ,±

tidak terdefinisi untuk jika cos

= 0,

, …. Range fungsi tangen adalah (−∞, ∞).

Fungsi ( ) = tan merupakan fungsi periodik dengan periode yaitu untuk setiap x, berlaku tan( + ) = tan

,

Gambar 2.35 Grafik fungsi tangen

G. Exponential Function Fungsi eksponensial (exponential function) mempunyai bentuk ( )= , dengan konstan dan positif. Berikut diberikan contoh grafik fungsi eksponensial, yaitu ( ) = 2 dan ( ) = (0.5) . Domain kedua fungsi tersebut adalah (−∞, ∞), sedangkan rangenya adalah (0, ∞).

Gambar 2.36 Grafik fungsi eksponensial

Calculus 1


Gambar 2.37 Grafik fungsi eksponensial dengan variase nilai Fungsi eksponensial banyak digunakan untuk memodelkan fenomena alam, seperti pertumbuhan populasi ( > 1) dan penurunan radioaktif (0 < < 1).

H. Logarithmic Function Fungsi logaritma (logarithmic function) mempunyai bentuk ( ) = log , dengan konstan dan positif. Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponensial. Domain fungsi logaritma adalah (0, ∞), sedangkan rangenya adalah (−∞, ∞).

Gambar 2.38 Grafik fungsi logaritma dengan variase nilai

Menurut jenisnya, fungsi dapat dibedakan menjadi (1) Fungsi aljabar (2) Fungsi transenden

Recommend Documents