BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR 1. Fungsi Komposisi Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah: (g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g (f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f Contoh Soal 1: Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ... Jawab: (f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x (f o g)(x) = 3(2x)-4 (f o g)(x) = 6x - 4 (g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x (g o f)(x) = 2(3x-4) (g o f)(x) = 6x-8 A.Syarat Fungsi Komposisi Contoh Soal 2 Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut : f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)} g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)} Tentukan : a. f o g b. g o f c. (f o g) (4) d. (f o g) (2) e. (g o f) (1) Jawab : Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)} b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)} c. (f o g) (4) = 5 d. (f o g) (2) tidak didefinisikan e. (g o f) (1) = -1
Edited by Agustina
Page 1
B.
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya: Tidak Komutatif (g o f)(x)
(f o g)(x)
Asosiatif (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)] Fungsi Identitas I(x) = x (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x) Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya. Contoh Soal 3 Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g (x). Jawab : (f o g) (x)
= -4x + 4
f (g (x))
= -4x + 4
2 (g (x)) + 2
= -4x + 4
2 g (x)
= -4x + 2
g (x)
= -4x + 2 2
g (x)
= -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
Edited by Agustina
Page 2
2. Fungsi Linear
3. Fungsi Kuadrat Bentuk Umum dari fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c atau y = ax2 + bx + c Selain penulisan fungsi kuadrat seperti di atas, ada penulisan lain dalam bentuk
Bentuk Pemetaan F : R –> R x –> ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R ,a ≠ 0
b. Bentuk Himpunanf {(x,y)I y = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ real a ≠ 0
Edited by Agustina
Page 3
Grafik Fungsi Kuadrat
A.
1. Hubungan dengan sumbu y (jika x=0) Jika dari persamaan y = ax2 + bx + c kita masukkan x = 0 maka akan ketemu y = c. Jadi titik potong parabola dengan sumbu y adalah titik dengan koordinat (0,c). 2. Hubungan dengan sumbu x (y=0) Dari bentuk ax2 + bx + c jika y = 0 maka akan menghasilkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dari persamaan ini di dapat nilai D (diskriminan) D = 1. Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda. 2. Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak) 3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah sumbu x)
dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu positif (melayang di atas sumbu x)
dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)
B.
Harga Ekstrem dan Titik Puncak
Rumus menentukan harga ekstrem (xp,yp) = (
)
untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum. Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah titik yang diperoleh dengan mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi kuadrat adalah titik P (
) . Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik
minimum jika a < 0. C.
Sumbu Simetri Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan
sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar. Persamaan untuk sumbu simetris adalah x =
Edited by Agustina
Page 4
D.
Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya
1. Jika fungsi y = ax2 + 6x + (a+1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai ekstrimnya ! jawab :
2. Jika parabola f(x) = x2-bx+7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya adalah?
3. Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif sembarang, maka lukislah f (x) = -ax2-bx+c
Edited by Agustina
Page 5
4. Fungsi Invers Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui: Pertama Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y Kedua Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y) Ketiga Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)] Contoh Soal:
5. Fungsi Rasional (Fungsi Pecah) A. Suku Banyak Sebelum membicarakan fungsi rasional ada baiknya kita ketahui terlebih dahulu mengenai apa yang disebut dengan suku banyak. Suku banyak disebut pula polinomial. Pada paket ini hanya dibicarakan suku banyak dalam satu peubah.
Edited by Agustina
Page 6
Bentuk umum dari suku banyak adalah sebagai berikut:
a n x n a n1 x n 1 a n2 x n 2 ... a1 x a0 dengan an 0 Bilangan n disebut derajat suku banyak. Bilangan-bilangan an , an1 , an2 ,..., a1 , ao disebut koefisien suku banyak. Jika koefisien-koefisien suku banyak merupakan bilanganbilangan nyata, maka suku banyaknya disebut suku banyak nyata (real polynomials). Jika koefisien-koefisien suku banyak merupakan bilangan-bilangan rasional, maka suku banyaknya disebut suku banyak rasional (rational polynomials). Dalam paket ini yang dibicarakan adalah suku banyak rasional. Mirip dengan fungsi, suku banyak sering dinyatakan dengan P(x), Q(x), dan sebagainya. B. Definisi Fungsi Rasional Fungsi adalah relasi yang menghubungkan elemen himpunan pertama (domain) secara tunggal pada elemen himpunan yang lain (kodomain). Artinya fungsi tidak akan pernah memiliki dua pasangan yang terdiri dari elemen pertama yang sama. Penulisan fungsi dilambangkan dengan dibaca “ f adalah fungsi dari x ke y”. Anggota y yang menjadi pasangan x oleh f disebut bayangan x dan ditulis ( ) dibaca “ f dari x”.sedangkan ekspresi rasional adalah ekspresi yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan
a ,b 0. b
Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi rasional kadang-kadang juga disebut sebagai fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh f ( x)
P( x) , P( x), Q( x) merupakan Q( x)
polinomial dalam x dan Q ( x ) 0 pada domainnya. Contoh-contoh fungsi pecah adalah sebagai berikut
5 2x 3 x 2 4x 3 x 2 4x 3 f ( x) , f ( x) , f ( x) , f ( x) 2 x x2 x5 x 3x 5
C. Mengevaluasi Fungsi Rasional Konsep fungsi dalam matematika umumnya diartikan sebagai pemetaan yang menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yaitu daerah asal (domain) dan daerah hasil (range). Persamaan atau kesamaan akan terjadi apabila jumlah anggota himpunan yang berhubungan adalah sama, sehingga satu anggota daerah asal berhubungan hanya dengan satu anggota daerah hasil.
Edited by Agustina
Page 7
Mengevaluasi fungsi rasional dapat dilakukan dengan cara subtitusi suatu nilai x atau suatu nilai y yang diinginkan untuk mendapatkan hubungan, dimana x merupakan domain dan y adalah range. Contoh 1 :
x 2 2 x 24 , untuk x = -5 Evaluasi fungsi rasional r ( x) 2 x 7 x 12 Untuk menjawab soal seperti ini, cukup dengan mengganti atau subtitusi nilai 5 untuk setiap x pada fungsi lalu disederhanakan.
r (5)
(5) 2 2(5) 24 25 10 24 9 1 2 8 (5) 7(5) 12 25 35 12 72
D. Operasi Pada Fungsi Rasional Mengoperasikan fungsi rasional tidak jauh berbeda dengan cara mengoperasikan pecahan, yang membedakan fungsi ini menggunakan polinomial pada pembilang dan penyebutnya, sehingga dibutuhkan banyak ketelitian. Untuk mempermudah pengoperasiannya, akan lebih baik jika polinomialnya di sederhanakan terlebih dahulu dengan menggunakan faktor (jika bisa), namun ketika polinomialnya tidak bisa difaktorkan denga cara yang biasa, maka tak perlu memaksakan untuk menggunakan metode lain karena akan terlihat lebih rumit, cukup mengerjakan tanpa mengubahnya. Bentuk umum beberapa pengoperasian fungsi rasional, jika diketahui g ( x)
h( x )
P( x) dan Q( x)
R( x) S ( x)
1. (h g )( x) 2. (h g )( x) 3. (h g )( x)
R( x) P( x) R( x)Q( x) P( x) S ( x) S ( x) Q( x) S ( x)Q( x)
R( x) P( x) R( x) P( x) S ( x) Q( x) S ( x) Q( x)
R ( x) P ( x) R ( x ) Q( x) R( x) Q( x) S ( x) Q( x) S ( x) P( x) S ( x) P( x)
Edited by Agustina
Page 8
E. Nilai Nol Fungsi Rasional Jika diketahui fungsi f ( x)
P( x) , maka nilai (nilai-nilai) x yang menyebabkan f(x) = 0 Q( x)
disebut nilai nol dari fungsi f(x). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat dibuktikan bahwa jika f(x) = 0, maka juga P(x) = 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi
f ( x)
P( x) , cukup dengan mencari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P(x) = 0. Q( x)
Namun perlu diingat bahwa nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 belum tentu merupakan nilai nol fungsi f(x). Ini terjadi kalau nilai x tersebut ternyata juga membuat Q(x) = 0. Untuk x yang bersama-sama membuat P(x) dan Q(x) bernilai nol menyebabkan f(x) mempunyai nilai tak tentu. Misalnya, pada f ( x)
x2 x 2 , nilai x = 1 bukan nilai nol (pembuat nol) dari x 2 2x 3
2 fungsi f(x) sekalipun untuk P( x) x x 2 berlaku P(1) = 0. Ini karena juga berlaku Q(1) =
0, sehingga f(1) bernilai tak tentu. Tidak setiap fungsi pecah mempunyai nilai nol. Ini terjadi kalau P(x) tidak mungkin bernilai nol.
Edited by Agustina
Page 9
