RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA. Haposan Sirait 1, Usman Malik 2 ABSTRAK

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood

RELATIF EFISIENSI PENAKSIR MOMEN TERHADAP PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD UNTUK PARAMATER BERDISTRIBUSI SEGITIGA Haposan Sirait1, Usman Malik2 ABSTRAK Makalah ini membahas dua metode yaitu metode momen dan metode maksimum likelihood untuk memperoleh penaksir titik parameter dari suatu distribusi segitiga kanan dengan parameter p, selanjutnya, variansi estimator yang diperoleh dari kedua metode tersebut akan dibandingkan untuk mendapatkan penaksir yang relatif lebih efisien. Kata kunci: metode momen, maksimum likelihood,distribusi segitiga, efisiensi relatif. ABSTRACT This paper discusses two methods, namely the method of moments and the method of maximum likelihood to obtain a point estimator of a Triangular distribution with parameter p. Furthermore, the variance estimator obtained from both method will be compared to obtain a relatively more efficient estimator. Keywords: moments, maximum likelihood, Triangular distribution, relative efficiency.

PENDAHULUAN Latar Belakang Sebagian besar orang pasti sudah lumayan familiar bila mendengar kata statistika. Sebelum berbicara lebih lanjut tentang statistika, perlu mencari tahu apa sebenarnya statistika itu. Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Atau statistika adalah ilmu yang berusaha untuk mencoba mengolah data untuk mendapatkan manfaat berupa keputusan dalam kehidupan. Kebanyakan model probabilitas, terutama yang cukup luas nilai penggunaanya, tergantung pada beberapa konstan yang dikenal dengan nama parameter. Biasanya Staf Pengajar FMIPA Universitas Riau

digunakan lambang μ dan σ untuk parameter mean dan deviasi standar distribusi normal, sedangkan untuk distribusi binomial, digunakan lambang n dan p masing-masing untuk parameter banyak kali usaha (trial) dan peluang sukses dalam tiap usaha. Dalam banyak masalah, keluarga model probabilitas yang menggambarkan suatu fenomena biasanya dianggap diketahui. Tetapi anggota tertentu dari keluarga itu yang dipandang paling tepat menggambarkan fenomena tersebut mungkin sekali tidak diketahui. Dalam hal ini perlu ditaksir berdasarkan data yang diambil dari fenomena itu. Namun, untuk membicarakan masalah penaksir parameter pada umumnya di gunakan huruf Yunani θ (theta) sebagai lambang f (x;1 , 2 ,..., n ) parameter. Jadi, akan menunjukkan fungsi probabilitas dengan k parameter (diketahui ataupun tidak) Page 39

1,2 ,...,n . Kebanyakan masalah yang dihadapi biasanya hanya memuat satu parameter, sehingga fungsi probabilitasnya dapat ditulis f ( x; ) saja. Jika dalam masalah, parameter θ tidak diketahui, harus ditaksir dengan menggunakan data sampel. Ini dilakukan melalui suatu fungsi yang dinamakan statistik. Ada berbagai macam jenis penaksir untuk suatu parameter θ yaitu penaksir titik dan penaksir interval. Penaksir titik dapat diperoleh dengan metode Momen ataupun metode Maksimum likelihood serta metode Bayes. Distribusi segitiga merupakan salah satu distribusi peluang kontinu dengan tiga buah parameter yaitu nilai minimum a dengan a   , , nilai maksimum b dengan b > a dan nilai yang paling mungkin m dengan a  m  b . Lambang dari distribusi ini adalah Tr m, a, b. Misalkan X adalah suatu peubah acak yang berdistribusi Triangular dengan parameter a , b, dan m, maka X dapat ditulis dengan lambang X~Tr m, a, b. Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk menentukan penaksir titik terbaik dari parameter suatu populasi yang memiliki distribusi segitiga kanan. Tinjauan Pustaka Seringkali seseorang dituntut untuk membuat dugaan yang rasional dalam kondisi yang penuh ketidakpastian tanpa informasi yang lengkap. Agar dugaan yang dilakukan dapat menghasilkan suatu dugaan yang baik, maka kita harus menguasai konsep pendugaan secara statistik estimasi titik dari sebuah parameter populasi adalah sebuah nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai penaksir dari parameter yang nilainya tidak diketahui.

Page 40

Misalkan

X1 , X 2 ,, X n

merupakan

sampel random (acak) yang berasal dari popoulasi X dengan fungsi densitas probabilitas yang tergantung pada . yaitu f ( x; ) . Dikarenakan bahwa X1 , X 2 ,, X n merupakan sampel random maka fungsi f ( x; ) juga merupakan variabel acak. Suatu fungsi yang diamati misalnya tn X1 , X 2 ,, X n  disebut sebagai statistik, dan disebut juga suatu penaksir dari yang dinotasikan dengan [3] . Akan tetapi menghadapi persoalan mencari penaksir titik ada tiga metode yang populer, yaitu metode momen, metode maksimum likelihood dan metode Bayes [2]. METODOLOGI PENELITIAN Penelitian ini akan dilakukan melalui kajian literatur untuk menentukan penaksir titik dari parameter suatu populasi yang memiliki distribusi segitiga kanan. Definisi 1. Suatu variabel random X dikatakan berdistribusi segitiga kanan dengan parameter p  (0,1) dengan fungsi densitas probabilitas  2x , 0 x p f ( x : p)   p2 (1)  0, untuklainnya Dua metode penaksir yang akan digunakan adalah metode Momen dan metode maksimum likelihood. Selanjutnya dari kedua penaksir yang diperoleh akan dibandingkan Relatif Efisiensinya berdasarakan variansinya untuk mendapatkan penaksir terbaik.

HASIL DAN PEMBAHASAN Penaksir Momen Suatu metode yang paling paling sedehana untuk menemukan dari suatu parameter adalah metode Metode momen didasarkan

tua dan penaksir momen. dengan

JURNAL APTEK Vol. 7 No. 1 Januari 2015

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood

menselaraskan momen sampel dengan momen populasi. Misalkan X adalah peubah acak kontinu (diskrit) dengan fungsi kepadatan probabilitas (fkp) berbentuk f ( x; ) , dengan θ parameter yang tidak diketahui. Misalkan k buah momen sekitar pusat populasi pertama t'  E X t . (2)

 

Selanjutnya misalkan X1 , X 2 ,, X n merupakan sampel acak berukuran dan didefinisikan k buah momen sekitar pusat sampel pertama mt' 

1 n



n

xt , i 1 i

t  1,2,, k

(3)

Kemudian dengan memyelesaikan persamaan t'  mt' akan diperoleh suatu penaksir yang disebut sebagai penaksir momen. Untuk menentukan penaksir momen parameter p persamaan (1), terlebih dahulu ditentukan momen pertama disekitar pusat yaitu 

2x E( X )  x 2 dx p 0



atau E( X )  23 p.

(4)

(5)

Kemudian, momen kedua disekitar pusat p



E( X )  x 2 2

0

2x dx p2

atau E( X 2 )  12 p 2 .

(6)

(7)

Dengan demikian dari persamaan (5) dan (7) diperoleh Var( X )  181 p 2 . (8) Berdasarkan metode menentukan penaksir momen dari parameter p yang dinotasikan dengan pˆ mn dapat diperoleh dengan memanfaatkan persamaan (2) dan (3) yaitu pˆ mn  32 x. (9) Selanjutnya karena pˆ mn merupakan penaksir tak bias maka ketelitiannya diberikan oleh Var( pˆ mn )  81n p 2 . (10)

Staf Pengajar FMIPA Universitas Riau

Penaksir Maksimum Likelihood Metode maksimum likelihood adalah metode penaksir parameter suatu distribusi yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode maksimum likelihood merupakan salah satu metode paling baik untuk memperoleh taksiran tunggal. Metode ini tidak dapat digunakan apabila distribusi tidak diketahui. Berikut ini diberikan definisi fungsi likelihood seperti yang dikemukakan oleh Bain [1]. Definisi 2 Fungsi densitas bersama dari n variabel random X1 , X 2 ,..., X n yang dievaluasi pada titik

x1 , x2 ,..., xn dengan notasi f (x1 , x2 ,..., xn ; ) disebut sebagai fungsi likelihood. Untuk x1 , x2 ,..., xn tetap, maka fungsi likelihood adalah sebuah fungsi dari  yang dinotasikan dengan L( ; x1 , x2 ,..., xn ) . Jika X1 , X 2 ,..., X n adalah sampel random

dari fungsi densitas f x;  , dengan    , maka fungsi likelihood dari parameter  adalah L ; x1 , x2 ,, xn  

n

 f ( x ; ) i 1

i

(11)

Setelah fungsi likelihood pada persamaan di atas diperoleh, selanjutnya ditentukan penaksir metode maksimum likelihood seperti yang diberikan oleh definisi berikut. Definisi 3 Penaksir ˆ  u( x1 , x2 ,..., xn ) disebut penaksir maksimum likelihood jika, L ˆ; x1 , x2 ,, xn  max L ; x1 , x2 ,, xn  (12) Dalam menentukan penaksir maksimum likelihood biasanya digunakan logaritma natural fungsi likelihood. ˆ  f X 1 , X 2 ,..., X n  disebut penaksir maksimum likelihood.





Berdasarkan Definisi 2, maka fungsi likelihood distribusi segitiga kanan sebagai berikut Page 41

L( p) 

2x1 2x2 2xn  2 p2 p2 p

p

E pˆ Ml   y.2n.

 0

atau    xi . (13)   i 1  Sehubungan fungsi di atas merupakan fungsi monoton turun, maka harga p yang membuat fungsi maksimum tak dapat ditentukan dengan cara differensial. Sehingga perlu dianalisa yaitu fungsi maksimum akan dicapai dengan memilih p sekecil mungkin. n

2 L( p)  2n p



Diketahui bahwa p  maxX i  , maka p yang 1in

membuat fungsi maksimum yang dinotasikan dengan pˆ Ml adalah pˆ Ml  maxX i 

(14)

1in

Selanjutnya akan ditentukan apakah pˆ Ml memiliki sifat tak bias, untuk keperluan ini terlebih dahulu dimisalkan Y  maxX i  . 1in

Untuk mengetahui fungsi densitas dari variabel random Y , terlebih dahulu ditentukan fungsi distribusi dari Y sebagai berikut F ( y)  P(Y  y)  P max X i   y





1i n

 P X  y n

y



P( X  y)  x 2 0

n

 y2  F ( y)   2  p  Jadi fungsi densitas dari Y adalah :

dy

0

atau E pˆ Ml  

2n (16) p. 2n  1 Hal ini berarti penaksir maksimum likelihood merupakan penaksir tak bias. Meskipun demikian penaksir maksimum likelihood merupakan penaksir konsisten.

Untuk melihat ketelitiannya ditentukan Mean Square Error (MSE) dari pˆ Ml yaitu dengan menentukan y Epˆ    y .2n. p

2n1

p

2 Ml

2

2n

dy

0

p



atau

2n. y 2n1dy p 2n 0



 

2n p2 2n  2 Jadi MSE dari adalah 2 E pˆ Ml 

MSE pˆ Ml  

2n  2n  p2   p 2n  2  2n  1 

(17)

2

Definisi 3. [3]. Misalkan ˆ1 dan ˆ2 adalah dua penaksir dari  , dan misalkan MSE (1 ) dan MSE ( ) adalah MSE dari ˆ1 dan ˆ2 , maka

n1

2

relative efisiensi dari ˆ2 ke ˆ1 dinotasikan

.2 y

atau

Page 42

2n

Relatif Efisiensi Penaksir

Dengan demikian maka diperoleh

y 2n1 . p 2n Dengan demikian maka

y

2  2n  2n   2 MSE pˆ Ml       p (18)  2n  2  2n  1  

y2 2x dx  . p2 p2

 y2  f ( y)  dF( y)  n 2  p 

p

atau

Sedangkan

f ( y)  2n

2n.  2n p

n

y 2n1 dy p 2n

(15)

dengan RE (1 , 2 ) didefinisikan sebagai MSE(1 ) (19) RE(1 , 2 )  MSE( 2 ) Jika RE (1,2 )  1 , maka dapat disimpulkan bahwa ˆ1 lebih efisien dari pada ˆ2 , dengan

JURNAL APTEK Vol. 7 No. 1 Januari 2015

Relatif Efisiensi Penaksir Momen Terhadap Penaksir Maksimum Likelihood

kata lain yaitu MSE (1 ) lebih kecil dari MSE ( 2 ) . Dengan demikian terhadap pˆ Ml

Relatif efisiensi dinotasikan

pˆ mn

dengan

RE ( pˆ mn , pˆ Ml ) didefinisikan sebagai Var ( pˆ mn) RE( pˆ mn , pˆ Ml )  MSE( pˆ Ml ) 

atau RE( pˆ mn , pˆ Ml ) 



2n 2n  2

1 8n

p2



 22nn1  p2 2

2n  22n  12

(20) 16n 2 Karena persamaan (20) lebih besar dari satu untuk setiap harga n , maka pˆ mn lebih efisien dari pˆ Ml .

KESIMPULAN Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan penaksir titik dari distribusi segitiga kanan dapat digunakan penaksir metode Momen dan metode maksimum likelihood. Akan tetapi ternyata penaksir momen lebih efisien dari pada penaksir maksimum likelihood.

DAFTAR PUSTAKA Bain. L. J, Engelhard. M. 1991. Introduction to Probability Mathematical Statistics. Second Edition. Duxbury Press, California. Hasan Iqbal. M. 2002. Pokok-pokok Materi Statistik 1. Edisi kedua. Bumi Aksara. Jakarta. Montgomery , D.C & G.C. Runger. 1999. Applied Statistics And Probability For Engineers, Second Edition. John Wiley & Sons Inc, New York.

Staf Pengajar FMIPA Universitas Riau

Page 43

.

Page 44

JURNAL APTEK Vol. 7 No. 1 Januari 2015