PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Erpan Gusnawan1∗ , Arisman Adnan2 , Haposan Sirait2 1

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru 28293, Indonesia ∗ ragus

[email protected]

ABSTRACT This paper is a review of Kadilar and Chingi [Journal of Modern Applied Statistical Method, 35 (2006), 111–115] which discusses three estimators of ratio population 2 2 2 of the population of variables Y using known auxand SˆKC3 , SˆKC2 variances SˆKC1 2 2 iliary variables X on simple random sampling. The three estimators SˆKC1 , SˆKC2 2 and SˆKC3 are the modified of ratio variances estimator using coefficien of variation and kurtosis. Bias and mean square error (M SE) of the three estimators are obtained by MacLaurin series approximation. Furthermore, the M SE of each estimator is compared. This comparison shows that the estimator having the smallest M SE is the most efficient estimator. Keywords: Simple random sampling, ratio estimator, coef f icien of variation, kurtosis ABSTRAK Artikel ini merupakan tinjauan ulang artikel Kadilar dan Chingi [Journal of Modern Applied Statistical Method, 35 (2006), 111–115] yang membahas tiga pe2 2 2 dari populasi naksir untuk rasio variansi populasi yaitu SˆKC1 , SˆKC2 dan SˆKC3 yang mempunyai variabel Y dengan variabel bantu X yang diketahui pada 2 2 2 , SˆKC2 dan SˆKC3 merupakan sampling acak sederhana. Ketiga penaksir SˆKC1 2 ˆ modifikasi dari penaksir rasio variansi SR menggunakan koefisien variasi dan kurtosis. Bias dan mean square error (M SE) dari ketiga penaksir ditunjukkan melalui pendekatan deret MacLaurin. Selanjutnya, masing-masing penaksir akan dibandingkan M SE. Perbandingan ini dapat menunjukkan bahwa penaksir yang memiliki M SE paling kecil adalah penaksir yang efisien. Kata kunci: Sampling acak sederhana, penaksir rasio, koef isien variasi, kurtosis

1

1. PENDAHULUAN Sampling probabilitas merupakan pengambilan sampel dari populasi dimana setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terambil menjadi anggota sampel. Pengambilan sampel berguna untuk menaksir nilai parameter dari populasi, yang dikenal dengan penaksir parameter populasi. Penaksir dari parameter populasi ada yang dikenal dengan penaksir bias dan penaksir tak bias. Variansi pada populasi Y akan ditaksir dengan menggunakan informasi tambahan populasi X yang telah diketahui. Pemanfaatan informasi tambahan populasi X tersebut dilakukan dengan metode rasio. Tujuan dari metode rasio adalah untuk meningkatkan ketelitian dengan mengambil manfaat hubungan antara yi dan xi , dimana yi adalah unit dari populasi Y dan xi adalah unit dari populasi X. Pada tahun 1983 Isaki [3] mengajukan penaksir untuk variansi populasi yaitu 2 ˆ SR , Kadilar dan Cingi [4] memodifikasi penaksir yang diajukan oleh Isaki dengan menggunakan koefisien variasi dan kurtosis. Pada skripsi ini, dibahas ketiga 2 2 2 . Selanjutnya, ditunjukkan bahwa dan SˆKC3 , SˆKC2 penaksir tersebut yaitu SˆKC1 ketiga penaksir tersebut bersifat takbias sehingga dibandingkan rata-rata kesalahan kuadrat atau (M SE). Semakin kecil MSE yang diperoleh maka penaksir semakin efisien. Hal inilah yang mendasari untuk menggunakan penaksir rasio yang diajukan guna memilih M SE terkecil. 2. PENAKSIR PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Pada bagian ini dibahas beberapa penaksir untuk variansi populasi pada sampling acak sederhana serta beberapa definisi dan teorema yang merupakan teori pendukung untuk menyelesaikan permasalahan. Penarikan sampel acak sederhana adalah suatu metode untuk mengambil unit dari populasi berukuran N , dimana setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi anggota sampel. Pemilihan sampel dapat dilakukan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian. Dalam analisis data, terdapat ukuran untuk menjelaskan suatu distribusi data, diantaranya ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran. Ukuran pemusatan merupakan ukuran yang menyatakan pusat dari sebaran data, beberapa diantaranya adalah rata-rata dan modus. Terdapat beberapa ukuran penyebaran diantaranya variansi, simpangan baku dan koefisien variasi. Koefisien variasi merupakan rasio dari standar deviasi terhadap nilai rata-ratanya, dinotasikan dengan Cx didefinisikan sebagai [7, h. 101] Cx =

S . X

Terdapat ukuran lain yang bisa diturunkan dari momen, diantaranya adalah koefisien kurtosis. Koefisien kurtosis dinotasikan dengan β2 dan didefinisikan

2

dengan [7, h. 109] β2 =

µrs r 2

r

.

2 µ20 µ02

Definisi 1 [5, h. 223] Penaksir θˆ dikatakan penaksir takbias untuk parameter θ jika ˆ = θ. E (θ) Jika penaksir tersebut bias, maka selisih dari ˆ − θ, E (θ) ˆ 6= θ. dikatakan bias untuk penaksir θ untuk E (θ) Definisi 2 [5, h. 18] Misalkan θˆ adalah penaksir bias untuk θ, untuk setiap θ ∈ Ω, Ω ruang parameter. Rata-rata kesalahan kuadrat dari penaksir θ yang dinotasikan dengan ˆ = E(θˆ − θ)2 . M SE(θ) Definisi 3 [5, h. 184] Misalkan θˆ1 dan θˆ2 adalah penaksir bias untuk θ, selanjutnya misalkan M SE(θˆ1 ) dan M SE(θˆ1 ) adalah M SE dari θˆ1 dan θˆ2 , maka efisiensi relatif θˆ1 terhadap θˆ2 dinotasikan dengan RE(θˆ1 , θˆ2 ) dan didefinisikan dengan ˆ ˆ = M SE(θ1 ) . RE(θˆ1 , θ) M SE(θˆ2 ) Jika RE(θˆ1 , θˆ2 ) < 1, artinya M SE(θˆ1 ) lebih kecil dari M SE(θˆ2 ). Sehingga dapat disimpulkan bahwa penaksir θˆ1 lebih efisien dari penaksir θˆ2 . Berdasarkan Definisi (3) dapat ditulis sebagai berikut: M SE(θˆ1 ) < 1, M SE(θˆ2 ) dapat juga ditulis M SE(θˆ1 ) − M SE(θˆ2 ) < 0, sehingga penaksir yang efisien antara penaksir θˆ1 dan penaksir θˆ2 dapat ditentukan berdasarkan selisih M SE(θˆ1 ) dengan M SE(θˆ2 ). Teorema 4 (Deret Taylor) [1, h. 189] Misalkan k ∈ A dan I = [a, b], misalkan f : I → R dan f, f 0 , f 00 , · · · , f (k) adalah kontinu pada I dan f k+1 ada pada (a, b). Jika x0 ∈ I maka untuk sembarang x ∈ I terdapat suatu titik c ∈ (x, x0 ) sehingga f (x) =f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ) + +

(x − x0 )2 00 (x − x0 )k k f (x0 ) + · · · + f (x0 ) 2! k!

(x − x0 )k+1 k+1 f (c). k + 1! 3

Bukti. lihat [1, h. 189].

Teorema 5 [2] Jika s2y merupakan variansi sampel yang diperoleh dari sampel acak sederhana, maka variansi s2y yang dinotasikan dengan V (s2y ) didefinisikan dengan V (s2y ) = γSy4 (β2(y) − 1),

dengan γ =

1 , β2(y) n

n 1 X (yi − Y¯ )4 N i=1 = 2 . n X 1  (yi − Y¯ )2    N i=1

Kovariansi dari variansi sampel acak sederhana s2y dan variansi dari sampel acak sederhana s2x adalah cov s2y , s2x = γSy2 Sx2 (λ22 − 1). Bukti. lihat [6, h. 35].

3. PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Pada bagian ini dibahas bias, mean square error, serta perbandingan mean square error dari penaksir rasio yang diajukan oleh Kadilar dan Chingi [4] yaitu " # 2 + C S x 2 SˆKC1 = s2y 2x , sx + C x # " 2 S + β 2(x) 2 SˆKC2 , = s2y 2x sx + β2(x) " # 2 S β + C x 2(x) 2 SˆKC3 = s2y 2x . sx β2(x) + Cx Ketiga penaksir tersebut dapat ditentukan efisiensinya dengan membandingkan M SE dari masing-masing penaksir. Semakin kecil M SE yang diperoleh dari masingmasing penaksir maka penaksir tersbut akan lebih efisien. 3.1 BIAS DARI PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI 2 1. Bias dan M SE dari penaksir rasio untuk variansi populasi SˆKC1 adalah [3] h i 2 2 ˆ B SKC1 = γSy A1 A1 (β2(x) − 1) − (λ22 − 1) ,

4

2 M SE(SˆKC1 ) ≈ γSy4 (β2(y) − 1) + A21 (β2(x) − 1) − 2A1 (λ22 − 1) ,

(1)

Sx2 dengan A1 = . Sx2 + Cx 2 2. Bias dan M SE dari penaksir rasio untuk variansi populasi SˆKC2 adalah [3] h i 2 ) = γSy2 A2 A2 (β2(x) − 1) − (λ22 − 1) , B(SˆKC2

2 M SE(SˆKC2 ) ≈ γSy4 (β2(y) − 1) + A22 (β2(x) − 1) − 2A2 (λ22 − 1) ,

(2)

Sx2 dengan A2 = . Sx2 + β2(x) 2 3. Bias dan M SE dari penaksir rasio untuk variansi populasi SˆKC3 adalah [3] h i 2 ) = γSy2 A3 A3 (β2(x) − 1) − (λ22 − 1) , B(SˆKC3

2 4 2 ˆ M SE(SKC3 ) ≈ γSy (β2(y) − 1) + A3 (β2(x) − 1) − 2A3 (λ22 − 1) ,

(3)

Sx2 β2(x) dengan A3 = . Sx2 Cx + β2(x)

3.2 PENAKSIR YANG EFISIEN UNTUK VARIANSI POPULASI 2 2 Perbandingan M SE dari penaksir SˆKC1 dengan penaksir SˆKC2 2 dan Untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien antara penaksir SˆKC1 2 2 ˆ ˆ penaksir SKC2 , dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih antara M SE SKC1 2 pada persamaan (2) berdasarkan Definisi pada persamaan (1) dan M SE SˆKC2 (3) yaitu

h 2 2 4 ˆ ˆ M SE(SKC1 − SKC2 ) =γSy (A1 − A2 ) (A1 + A2 )(β2(x) − 1) i − 2(λ22 − 1) . Dari persamaan (4) terdapat dua kemungkinan, yaitu A. Kemungkinan pertama adalah "

(4)

#

γSy4 (A1 − A2 ) (A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) < 0. Karena γSy4 ≥ 0 maka akan ditunjukkan "

#

(A1 − A2 ) (A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) < 0.

(5)

5

Dari persamaan (5) terdapat dua kemungkinan, yaitu a. (A1 − A2 ) < 0 dan [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0. Pertidaksamaan (A1 − A2 ) < 0 dapat diperoleh jika β2(x) < Cx ,

(6)

dan untuk [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0 diperoleh jika β2(x) >

2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) , A1 + A 2

(7)

persamaan (6) dan (7) dapat juga ditulis 2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) < β2(x) < Cx . A1 + A 2

(8)

b. (A1 − A2 ) > 0 dan [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0. Pertidaksamaan (A1 − A2 ) > 0 diperoleh jika β2(x) > Cx ,

(9)

dan untuk [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0 dapat diperoleh jika β2(x) <

2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) , A1 + A 2

(10)

persamaan (9) dan (10) dapat juga ditulis Cx < β2(x) <

2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) . A1 + A 2

(11)

2 Dari persamaan (8) dan persamaan (11) dapat disimpulkan M SE(SˆKC1 ) lebih 2(λ − 1) + (A + A ) 22 1 2 2 efisien dari pada M SE(SˆKC2 ) jika syarat < β2(x) < Cx A 1 + A2 2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) terpenuhi atau memenuhi syarat Cx < β2(x) < . A1 + A2

B. Kemungkinan kedua adalah "

#

γSy4 (A1 − A2 ) (A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0. Karena γSy4 ≥ 0 maka akan ditunjukkan "

#

(A1 − A2 ) (A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0.

(12)

Dari persamaan (12) terdapat dua kemungkinan, yaitu a. (A1 − A2 ) > 0 dan [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0. Pertidaksamaan (A1 − A2 ) < 0 diperoleh jika 6

β2(x) > Cx ,

(13)

dan untuk [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0 diperoleh jika 2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) . β2(x) > A1 + A 2

(14)

b. (A1 − A2 ) < 0 dan [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0. Peridaksamaan (A1 − A2 ) < 0 diperoleh jika β2(x) < Cx ,

(15)

dan untuk [(A1 + A2 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0 diperoleh jika β2(x) <

2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) . A1 + A 2

(16)

2 Dari persamaan (13), (14), (15) dan (16) dapat disimpulkan M SE(SˆKC2 ) 2 akan lebih efisien dari pada M SE(SˆKC1 ) jika memenuhi syarat β2(x) > Cx 2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) atau syarat dari β2(x) < Cx dan β2(x) < dan β2(x) > A1 + A2 2(λ22 − 1) + (A1 + A2 ) terpenuhi. A1 + A2 2 2 dengan penaksir SˆKC3 Perbandingan M SE dari penaksir SˆKC1 2 Untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien antara penaksir SˆKC1 dan 2 2 ˆ penaksir SKC3 , dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih antara M SE SˆKC1 2 pada persamaan (1) dan M SE SˆKC3 pada persamaan (3) berdasarkan Definisi (3) yaitu h 2 2 4 ˆ ˆ M SE(SKC1 − SKC3 ) =γSy (A1 − A3 ) (A1 + A3 )(β2(x) − 1) i − 2(λ22 − 1) . (17)

Dari persamaan (17) terdapat dua kemungkinan, yaitu A. Kemungkinan pertama adalah "

#


#

(A1 − A3 ) (A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) < 0.

(18)

Dari persamaan (18) terdapat dua kemungkinan, yaitu a. (A1 − A3 ) < 0 dan [(A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0. Pertidaksamaan (A1 − A3 ) < 0 diperoleh jika β2(x) > 1,

(19) 7


2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) , A1 + A 3

(20)

b. (A1 − A3 ) > 0 dan [(A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0. Pertidaksamaan (A1 − A3 ) > 0 diperoleh jika β2(x) < 1,

(21)


2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) . A1 + A 3

(22)

2 Dari persamaan (19), (20), (21) dan (22) dapat disimpulkan M SE(SˆKC1 ) lebih 3 efisien dari pada M SE(SˆKC2 ) jika memenuhi syarat β2(x) > 1 danβ2(x) > 2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) atau dapat memenuhi syarat dari β2(x) < 1 dan β2(x) < A1 + A3 2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) A1 + A3 B. Kemungkinan kedua adalah " #

γSy4 (A1 − A3 ) (A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0. Karena γSy4 ≥ 0 maka akan ditunjukkan "

#

(A1 − A3 ) (A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0.

(23)

Dari persamaan (23) terdapat dua kemungkinan, yaitu a. (A1 − A3 ) > 0 dan [(A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0. Pertidaksamaan (A1 − A3 ) > 0 dapat diperoleh jika β2(x) < 1,

(24)


2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) , A1 + A 3

(25)

persamaan (24) dan (25) dapat juga ditulis 2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) < β2(x) < 1. A 1 + A3

(26)

8

b. (A1 − A3 ) < 0 dan [(A1 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0. Pertidaksamaan (A1 − A2 ) < 0 diperoleh jika β2(x) > 1,

(27)


2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) , A1 + A 3

(28)

persamaan (27) dan (28) dapat juga ditulis 1 < β2(x) <

2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) . A 1 + A3

(29)

2 Dari persamaan (26) dan persamaan (29) dapat disimpulkan M SE(SˆKC3 ) lebih 2(λ − 1) + (A + A 22 1 3) 2 < efisien dari pada M SE(SˆKC1 ) jika memenuhi syarat A 1 + A3 2(λ22 − 1) + (A1 + A3 ) . β2(x) < 1 atau memenuhi syarat dari persamaan 1 < β2(x) < A1 + A 3 2 2 Perbandingan MSE dari penaksir SˆKC2 dengan penaksir SˆKC3 2 Untuk mendapatkan penaksir yang lebih efisien antara penaksir SˆKC2 dan 2 2 ˆ ˆ penaksir SKC3 , dapat ditunjukkan dengan menentukan selisih antara M SE SKC2 2 pada persamaan (2) dan M SE SˆKC3 pada persamaan (3), berdasarkan Definisi (3) yaitu h 2 2 M SE SˆKC2 − SˆKC3 =γSy4 (A2 − A3 ) (A2 + A3 )(β2(x) − 1) i − 2(λ22 − 1) . (30)

Dari persamaan (30) terdapat dua kemungkinan, yaitu A. Kemungkinan pertama adalah "

#


#

(A2 − A3 ) (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) < 0. Dari persamaan (31) terdapat dua kemungkinan, yaitu a. (A2 − A3 ) < 0 dan [(A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] > 0. Pertidaksamaan (A2 − A3 ) < 0 diperoleh jika p β2(x) > Cx ,

(31)

(32) 9


2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) , A2 + A 3

(33)

b. (A2 − A3 ) > 0 dan [(A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1)] < 0. Pertidaksamaan (A2 − A3 ) > 0 diperoleh jika p β2(x) < Cx ,

(34)


2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) . A2 + A 3

(35)

2 Dari persamaan (32), (33), (34) dan (35) dapat disimpulkan M SE(SˆKC2 ) 2 ˆ akan lebih efisien dari pada M SE(SKC3 ) jika memenuhi syarat dari β2(x) > √ √ 2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) Cx dan β2(x) > atau memenuhi syarat β2(x) < Cx A2 + A3 2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) dan β2(x) < . A2 + A 3

B. Kemungkinan kedua adalah " γSy4 (A2

#

− A3 ) (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0,

Karena γSy4 ≥ 0 maka akan ditunjukkan (A2 − A3 ) (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0. Dari persamaan (36) terdapat dua kemungkinan, yaitu a. (A2 − A3 ) > 0 dan (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0. Pertidaksamaan (A2 − A3 ) > 0 diperoleh jika p β2(x) < Cx , dan untuk (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) > 0 diperoleh jika β2(x) >

2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) , A2 + A 3

(36)

(37)

(38)

persamaan (37) dan (38) dapat juga ditulis p 2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) Cx < β2(x) < . A 2 + A3

(39)

10

b. (A2 − A3 ) < 0 dan (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) < 0. Pertidaksamaan (A2 − A3 ) < 0 diperoleh jika p β2(x) > Cx , dan untuk (A2 + A3 )(β2(x) − 1) − 2(λ22 − 1) < 0 diperoleh jika β2(x) <

2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) , A2 + A 3

(40)

(41)

persamaan (40) dan (41) dapat juga ditulis p 2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) < β2(x) < Cx . A 2 + A3

(42)

2 Dari persamaan (39) dan (42) dapat disimpulkan M SE(SˆKC3 ) lebih efisien dari √ 2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) 2 atau ) jika memenuhi syarat Cx < β2(x) < pada M SE(SˆKC2 A2 + A3 p 2(λ22 − 1) + (A2 + A3 ) memenuhi syarat < β2(x) < Cx . A2 + A 3

4. KESIMPULAN Pada artikel ini telah ditunjukkan syarat keefisienan suatu penaksir terhadap penaksir lainnya, sehingga akan menjadi rujukan untuk memilih penaksir yang lebih efisien. Berdasarkan hasil yang didapat pada pembahasan tersebut maka dapat ditentukan syarat untuk menentukan penaksir yang relatif efisien untuk digunakan tergantung sampel yang dimiliki. Berdasarkan syarat-syarat di atas dapat disimpulkan efisiensi dari suatu penaksir terhadap penaksir lainnya tergantung besar atau kecilnya nilai dari koefisien kurtosis (β2 ) dan koefisien variasinya (Cx ).

DAFTAR PUSTAKA [1] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 4th Ed, Jhon Wiley and Sons, New York, 2010. [2] S. Gupta dan J. Shabb, Variance estimation in simple random sampling using auxiliari information, Journal of Modern Applied Statistical Methods, 37 (2008), 57-67. [3] C. T. Isaki,Variance estimation using auxiliary information, Journal of the American Statistical Association, 78 (1983), 117-123. 11

[4] C. Kadilar dan H. Cingi, Improvement in variance estimation using auxiliary information, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 35 (2006), 111-115. [5] D. C. Montgomery dan G. C Runger, Applied Statistics and Probability for Engineers, Second Edition, John Willey dan Sons, New York, 1999. [6] P. V. Sukhatme, Sampling Theory of Surveys with Applications, The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi, 1976. [7] Sudjana, Metoda Statistika, Edisi keenam, Tarsito, Bandung, 2005.

12

PENAKSIR RASIO UNTUK VARIANSI POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN VARIASI DAN KURTOSIS PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

Recommend Documents