PENAKSIR RASIO DAN PRODUK YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SISTEMATIK D. L. Pratiwi1*, A. Adnan2, S. Sugiarto2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru, 28293, Indonesia. *
[email protected] ABSTRACT
In this article we study the combination of ratio estimator and product estimator in systematic random sampling, which is a review and an expansion correction from the article of Singh, et. al. [Journal of Modern Applied Statistical Methods, 10: 424-435]. Each estimator is a biased estimator and the mean square errors are determined. Estimator with the smallest mean square error is the most efficient estimator. An example is given at the end of the discussion. Keywords: systematic random sampling, ratio and product estimator, bias, mean square error ABSTRAK Penaksir yang dibahas merupakan kombinasi penaksir rasio dan penaksir produk pada sampling acak sistematik, yang merupakan review dan pengembangan sebagian dari artikel Singh, et. al. [Journal of Modern Applied Statistical Methods, 10: 424-435]. Masing-masing penaksir merupakan penaksir bias dan ditentukan mean square error. Penaksir dengan mean square error terkecil merupakan penaksir yang efisien. Contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan. Kata Kunci: sampling acak sistematik, penaksir rasio dan produk, bias, mean square error 1. PENDAHULUAN Penaksir rasio dan penaksir produk merupakan salah satu cara metode yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian penaksir dengan mengambil manfaat hubungan pengamatan yi dan xi . Penaksir rasio dan penaksir produk sederhana untuk rata-rata populasi dinotasikan dengan Yˆ dan Yˆ , dirumuskan sebagai R
P
y YˆR X x y YˆP x X
1
dengan y dan x berturut-turut menyatakan rata-rata sampel dari populasi Y dan X serta X menyatakan rata-rata populasi X. Dari penaksir rasio dan penaksir produk sederhana, Singh, et. al. [4] memodifikasi menjadi penaksir rasio Yˆ dan penaksir produk Yˆ pada sampling acak sistematik. Rsy
Psy
Singh & Taylor [3] mengkombinasikan antara penaksir rasio dan penaksir produk. Berdasarkan ide dari Singh & Taylor [3], penulis mengkombinasikan antara penaksir Yˆ dengan penaksir Yˆ yang dinotasikan dengan Yˆ . Penaksir dengan Rsy
Psy
KRPsy
menggunakan metode rasio dan produk merupakan penaksir bias. Ketelitian dari suatu penaksir yang bersifat bias ditinjau berdasarkan mean square error (MSE). Masingmasing MSE penaksir dibandingkan dengan tujuan mendapatkan penaksir yang lebih efisien dengan tingkat ketelitian tinggi [2, h.21]. 2. SAMPLING ACAK SISTEMATIK Apabila banyaknya elemen dalam populasi cukup besar dan telah tersusun secara sistematik dalam suatu daftar atau telah tersusun menurut pola dan aturan tertentu, maka cara pengambilan sampel dengan sampling acak sederhana kurang tepat digunakan, sehingga digunakan sampling acak sistematik. Pengambilan sampel secara sistematik adalah suatu metode dimana hanya unsur pertama dari sampel yang dipilih secara acak sedangkan unsur-unsur selanjutnya dipilih secara sistematik menurut suatu pola tertentu. Misalkan terdapat suatu populasi yang terdiri dari N unit diberi nomor 1 sampai N dalam beberapa susunan. Untuk memilih sebuah sampel berukuran n unit, ambil sebuah unit secara acak dari k unit yang pertama, selanjutnya ambil setiap kelipatan k. Dalam pengambilan sampel secara sistematik dikenal istilah interval pengambilan sampel yaitu perbandingan antara populasi N dengan sampel n yang dinotasikan dengan k N / n dimana k merupakan bilangan bulat positif [2:h.234]. Untuk unit pertama yang dipilih secara acak, namakanlah unit pertama urutan ke-i, selanjutnya unit kedua tidak lagi dilakukan pemilihan, akan tetapi dilakukan dengan sistematis yaitu unit kedua adalah urutan ke i k , urutan ketiga i 2k dan seterusnya hingga urutan ke-n yaitu i n 1 k , maka probabilitas seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n pengambilan adalah 1 / k [5:h.417]. Misalkan suatu populasi berukuran N yang berkarakter Y dengan nilai variabel y ij untuk masing-masing unit dengan i 1, 2, 3,..., k ; j 1, 2, 3,..., n menyatakan anggota sampel ke-j dari sampel sistematik ke-i. Rata-rata dari populasi Y adalah Y
1 k n yij . N i 1 j 1
Kemudian diambil sampel berukuran n unit dari populasi berukuran N yang 1 n berkarakter y sy . Rata-rata sampel y sy adalah y sy y ij , dengan y sy merupakan n j 1 penaksir untuk rata-rata populasi [5:h.425].
2
Untuk menentukan bias dan MSE pada sampling acak sistematik digunakan definisi variansi dan kovariansi.
Definisi 2.1 [1:h.73] Variansi ˆ yang dinotasikan dengan var ˆ didefinisikan dengan
. 2
var ˆ E ˆ E ˆ
Definisi 2.2 [1:h.174] Kovariansi dari pasangan variabel X dan Y dengan rata-rata untuk masing-masing x dan y yang dinotasikan dengan cov(X,Y) adalah
XY cov X , Y E X x Y y . Selanjutnya digunakan koefisien korelasi antara pasangan dari unit-unit yang berada dalam sampel sistematik y dan dinotasikan dengan y diberikan sebagai berikut
y
E y ij Y y ij ' Y E yij Y
2
dimana pembilangnya adalah rata-rata seluruh knn 1 / 2 pasangan yang berlainan dan penyebutnya keseluruhan nilai N dari yij . Karena penyebutnya adalah kn 1S y2 / kn , ini memberikan k
n
2 y ij Y y ij ' Y
y
i 1 j j '
knn 1
kn kn 1S y2
2
1 k n dengan S y2 y ij Y merupakan variansi dari populasi Y. kn 1 i 1 j 1
Untuk koefisien korelasi antara pasangan dari unit-unit yang berada dalam sampel sistematik x dan dinotasikan dengan x diberikan sebagai berikut k
n
2 xij X xij ' X
x
i 1 j j '
knn 1 2
kn kn 1S x2
1 k n dengan S xij X merupakan variansi dari populasi X. kn 1 i 1 j 1 2 x
3
2. PENAKSIR RASIO DAN PRODUK PADA SAMPLING ACAK SISTEMATIK Penaksir rasio dan penaksir produk untuk rata-rata populasi telah banyak dikembangkan oleh para peneliti diantaranya Swain dan Shukla mengajukan penaksir rasio YˆRsy dan produk YˆPsy [4], dirumuskan sebagai X (1) YˆRsy y sy x sy x sy YˆPsy y sy (2) X dengan Y dan X merupakan rata-rata populasi untuk Y dan X . sedangkan y sy dan x sy merupakan rata-rata sampel dari populasi Y dan X. Hubungan antara dua variabel, yaitu yij dan xij dimana yij adalah unit dari populasi
Y dan x ij adalah unit dari populasi X, populasi X dari x ij harus diketahui sebagai informasi pendukung yang berkorelasi dengan variabel y ij yang akan ditaksir. Penaksir ketiga adalah kombinasi penaksir rasio dengan penaksir produk Yˆ dengan bentuk : KRPsy
X x 1 sy (3) YˆKRPsy y sy X x sy dengan menyatakan konstanta, 0 1 . Ketiga penaksir rasio dan produk untuk rata-rata populasi tersebut merupakan penaksir bias. Untuk mengetahui penaksir yang lebih efisien akan dibandingkan MSE masing-masing penaksir. Semakin kecil MSE suatu penaksir yang diperoleh maka akan menghasilkan penaksir yang efisien.
3. BIAS DAN MSE PENAKSIR RASIO DAN PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI Masing-masing penaksir yang dibahas merupakan penaksir bias. Kemudian akan ditentukan bias dan MSE dari masing-masing penaksir. Selanjutnya akan ditentukan penaksir yang efisien dengan membandingkan MSE dari setiap penaksir. Suatu penaksir dikatakan efisien apabila mempunyai MSE yang minimum. Bias dan MSE penaksir rasio, produk dan kombinasi penaksir rasio dengan penaksir produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak sistematik yaitu: Bias dari persamaan (1) adalah 1 1/ 2 B YˆRsy Y C x2 1 n 1 x C 1 n 1 x 1 n 1 y n
dengan C xy
Cy Cx
, xy
S yx SySx
, Cy
Sy Y
, Cx
4
Sx Y , R . X X
dan MSE-nya adalah 1 1/ 2 MSE YˆRsy S y2 1 n 1 y R 2 S x2 1 n 1 x 2R xy S x S y 1 n 1 x 1 n 1 y . n
Bias dari persamaan (2) diperoleh 1 1/ 2 BYˆPsy YC 2 x C1 n 1 x 1 n 1 y n
dan MSE-nya adalah
1 1/ 2 MSE YˆRsy S y2 1 n 1 y R 2 S x2 1 n 1 x 2R xy S x S y 1 n 1 x 1 n 1 y . n
Bias dari persamaan (3) diperoleh 1 1/ 2 1/ 2 BYˆKRPsy YCx2 C 1 n 1x 1 n 1 y 1 n 1x 2C 1 n 1x 1 n 1 y n
dan MSE-nya adalah
MSE YˆKRPsy
1n S
2 y
1 ( n 1) 1 2 1 2 R y
2
S x2 1 ( n 1 ) x
2 R xy S x S y 1 ( n 1) x 1 ( n 1) y
1/ 2
.
Selanjutnya ditentukan penaksir yang efisien diantara ketiga penaksir rasio dan produk yang diajukan, yaitu 1. Perbandingan antara MSE YˆKRPsy dengan MSE YˆRsy diperoleh MSE Yˆ MSE Yˆ ,
KRPsy
Rsy
jika 1 ( n 1) y c 1 ( n 1) x
dengan c
1/ 2
S , xy y . R Sx
2. Perbandingan antara MSE YˆKRPsy dengan MSE YˆPsy diperoleh MSE YˆKRPsy MSE YˆRsy , jika
1 (n 1) y 1 c 1 ( n 1) x
5
1/2
4. CONTOH Berikut ini diberikan dua contoh, yang pertama digunakan data [5] tentang lingkar batang (Y) dan umur pohon drendan (X) yang tumbuh di Pulau Bengkalis seperti tertera pada Tabel 1. Contoh pertama ini digunakan untuk metode penaksir rasio. Tabel 1. Lingkar Batang dan Umur Pohon Drendan yang Tumbuh di Pulau Bengkalis No
Daerah Asal
Lingkar Batang (cm)
Umur (Tahun)
No
1
Air Putih 1
54
28
27
2
Air Putih 2
50
28
28
3
Jangkang 1
48
12
29
4
Jangkang 2
42
10
30
5
Jangkang 3
44
10
31
6
Jangkang 4
47
15
32
7
Jangkang 5
45
12
33
8
Jangkang 6
42
10
34
9
Jangkang 7
47
14
35
10
Jangkang 8
47.5
14
36
11
Jangkang 9
49
15
37
12
Jangkang 10
42
12
38
13
Ketam Putih 1
72
41
39
14
Ketam Putih 2
64
41
40
15 16 17
55 52 52
39 35 25
41 42 43
49
24
44
45
18
20 21 22
Padekik 1 Padekik 2 Padekik 3 Pangkalan Batang 1 Pangkalan Batang 2 Sebauk 1 Sebauk 2 Sebauk 3
Sungai Alam 5 Sungai Alam 6 Sungai Alam 7 Sungai Alam 8 Sungai Alam 9 Sungai Alam 10 Sungai Alam 11 Sungai Alam 12 Sungai Alam 13 Sungai Alam 14 Sungai Alam 15 Sungai Alam 16 Sungai Alam 17 Sungai Alam 18 Temberan 1 Temberan 2 Temberan 3
56 57 61
23
Sungai Alam 1
47
18 19
Lingkar Batang (cm)
Umur (Tahun)
91
59
62
40
60
40
49
32
48
32
52
37
48
25
48.5
25
50
25
52
29
51
26
50
34
67
41
72
41
69 71 53
43 43 36
Temberan 4
52
36
45
Temberan 5
54
38
35 35 40
46 47 48
Temberan 6 Temberan 7 Temberan 8
48 45 43
29 20 20
23
49
Temberan 9
45
23
6
Daerah Asal
No
Daerah Asal
24
Sungai Alam 2
Lingkar Batang (cm) 52
25
Sungai Alam 3
51
Umur (Tahun)
No
Daerah Asal
35
50
Temberan 10
37
N=50
Lingkar Batang (cm) 48 = 2715
Umur (Tahun) 23 = 1470
Sumber [6].
N 50 n5 xy 0,8426 Dengan MSE Yˆ
X 29,4
S y2 170,30612
Y 54,3
S x2 150,93878
0,895011 c 0,484591 menggunakan informasi dari data tersebut, MSE Yˆ yaitu 33,114 34,761 jika 0,5 .
KRPsy
diperoleh
bahwa
Rsy
Contoh yang kedua digunakan data [6] tentang proses metabolisme pada daun (Y) dan persentase kadar Chlorine (X) seperti yang tertera pada Tabel 2. Contoh kedua ini digunakan untuk metode penaksir produk. Tabel 2. Proses Metaboliosme Pada Daun dan Persentase Kadar Chlorine No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Proses Metabolisme Pada Daun (Dalam Detik) 0,34 0,11 0,38 0,68 0,18 0 0,08 0,11 1,53 0,77 1,17 1,01 0,89 1,4 1,05 1,15 1,49 0,51 0,18 0,34 0,36 0,89 0,91 0,92 1,35 1,33 0,23
Persentase Kadar Chlorine pada Daun (%) 1,45 1,35 0,26 0,23 1,1 0,76 1,59 0,39 0,39 0,64 0,82 0,64 0,85 0,9 0,92 0,97 0,18 0,62 0,51 0,45 1,79 0,25 0,31 0,2 0,24 0,2 2,27
7
No 28 29 30 N=30
Proses Metabolisme Pada Daun (Dalam Detik) 0,26 0,73 0,23 ∑ =20,58
Persentase Kadar Chlorine pada Daun (%) 1,48 0,25 2,22 ∑ =24,23
Sumber [7].
N 30 n5 xy 0,4996
X 0,8077
S y2 0,2306731
Y 0,6860
S x2 0,3662391
0,39964 c 0,46671 Dengan menggunakan informasi dari data tersebut, MSE YˆKRPsy MSE YˆPsy yaitu 0,05167 0,20542 jika 0,4 .
diperoleh
bahwa
5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada artikel ini, maka dapat disimpulkan bahwa kombinasi dari penaksir rasio dengan produk YˆKRPsy lebih efisien dari penaksir rasio Yˆ dan penaksir produk Yˆ jika syarat efisien terpenuhi. Pada Rsy
Psy
penaksir YˆKRPsy terdapat yang mengakibatkan penaksir YˆKRPsy dibandingkan penaksir yang disarankan lainnya.
lebih efisien
DAFTAR PUSTAKA [1] Bain, L. J & M. Engelhardt. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition. Duxbury Press, California. [2] Cochran, W.G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terj. Dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E.R Osman. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta. [3] Singh, H.P. & R. Tailor. 2005. Estimation of Finite Population Mean with Known Coefficient of Variation of an Auxiliary Character. Statistica, anno LXV, 3: 301313. [4] Singh, H.P., R. Tailor & N.K. Jatwa. 2011. Modified Ratio and Product Estimators for Population Mean in Systematic Sampling. Journal of Modern Applied Statistical Methods, 10: 424-435. [5] Sukhatme, P.V. 1957. Sampling Theory of Surveys with Applications.The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi. [6] Sefni, R. 2007. Keanekaragaman Genetik Plasma Nutfah Drendan (Lansium Aqueum Jack) di Pulau Bengkalis Provinsi Riau dengan Pendekatan Morfologi. Skripsi Jurusan Biologi FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru. [7] Steel, R.G.D. & J.H. Torrie. 1981. Principles and Procedures of Statistics, Second Edition. McGraw Hill Book Co, Auckland.
8
