PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA DENGAN MENGGUNAKAN KUARTIL Supriati1*, Arisman Adnan2, Firdaus2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia *
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the three ratio estimators for population mean in simple random sampling by using the auxiliary variable of the quartiles, proposed by Subramani and Kumarapandiyan. These three discussed estimators are biased estimators. The mean square errors of the discussed estimators are compared to obtain the most efficient estimator. The comparison shows that the ratio estimator by using inter-quartile range is the most efficient estimator than the other two estimators. A numerical example is given to explain the discussed problem. Keywords: ratio estimator, simple random sampling, quartile, bias, and mean square error ABSTRAK Artikel ini membahas tiga penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana menggunakan kuartil yang diajukan oleh Subramani dan Kumarapandiyan. Ketiga penaksir yang dibahas merupakan penaksir bias. Selanjutnya, mean square error dari masing-masing penaksir tersebut dibandingkan untuk memperoleh penaksir yang paling efisien. Perbandingan ini menunjukkan bahwa penaksir rasio dengan menggunakan jangkauan antar kuartil paling efisien dari dua penaksir rasio lainnya. Sebuah contoh numerik disajikan untuk menjelaskan masalah yang didiskusikan. Kata kunci: penaksir rasio, sampling acak sederhana, kuartil, bias, dan mean square error 1. PENDAHULUAN Salah satu metode yang digunakan untuk menaksir rata-rata populasi pada sampling acak sederhana adalah metode rasio. Metode ini bertujuan untuk meningkatkan
1
ketelitian penaksir dengan mengambil manfaat hubungan antara y i dan x i , dimana y i adalah unit dari populasi berkarakter Y dan x i adalah unit dari populasi berkarakter X . Variabel xi merupakan suatu variabel pendukung yang berkolerasi positif dengan variabel yi dan variabel xi telah diteliti sebelumnya sehingga variabel xi dapat digunakan sebagai variabel bantu untuk menaksir variabel yi [1]. Bentuk umum penaksir rasio sampling acak sederhana untuk rata-rata populasi Y dari variabel yang diteliti Y dirumuskan sebagai y YˆR X Rˆ X , x
(1)
dengan 𝑦 adalah rata-rata sampel dari populasi 𝑌, 𝑥 adalah rata-rata sampel dari populasi 𝑋 dan X adalah rata-rata populasi X. Dalam artikel ini dibahas tiga modifikasi penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana dengan menggunakan kuartil yang diajukan oleh Subramani dan Kuamarapandiyan [4], yaitu
X Qr YˆP1 y x Qr X Qd YˆP 2 y x Qa
X Qa YˆP 3 y x Qa
,
(2 (3) (4)
dengan Qr adalah jangkauan antar kuartil, Qd adalah jangkauan semi antar kuartil, dan Qa adalah rataan kuartil. Ketiga modifikasi penaksir rasio untuk rata-rata populasi tersebut merupakan penaksir bias, kemudian ditentukan Mean Square Error (MSE). Berdasarkan ide dari Subramani dan Kumarapandiyan [4], penulis membandingkan MSE dari masing-masing penaksir untuk memperoleh penaksir rasio yang efisien. Penaksir yang memiliki nilai MSE terkecil merupakan penaksir yang efisien. 2. SAMPLING ACAK SEDERHANA Sampling acak sederhana adalah sebuah metode yang digunakan untuk mengambil 𝑛 unit sampel dari 𝑁 unit populasi sehingga setiap unit populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi unit sampel. Dalam hal ini pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian agar karakteristik unit-unit lebih akurat [1]. Pada pengambilan sampel tanpa pengembalian probabilitas terpilihnya 𝑛 dari N populasi terpilih menjadi unit sampel pada pengambilan pertama adalah n N , probabilitas pada pengambilan kedua adalah n 1 N 1, sampai probabilitas pada
2
pengambilan ke- 𝑛 yaitu 1 N n 1 , sehingga peluang seluruh 𝑛 unit-unit tertentu yang terpilih dalam 𝑛 pengambilan adalah
N Cn 1 .
Teorema 2.1 [1: h. 27] Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang berkarakter Y dengan sampling acak sederhana maka variansi rata-rata sampel y yang dinotasikan dengan V y adalah
S2 N n S2 V ( y) E( y Y ) (1 f ) , n N n 2
2
dengan f n N adalah fraksi penarikan sampel dan S yi Y N
2 y
N 1 adalah
i 1
variansi y i pada populasi berkarakter Y. Bukti: Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [1]. Untuk menentukan MSE dari penaksir dalam bentuk dua variabel digunakan suatu pendekatan dengan menggunakan deret Taylor dua variabel. Deret Taylor untuk dua variabel [2: h. 47] Misalkan f x, y adalah suatu fungsi dua variabel dan f , f ' , f '' ,..., f n adalah kontinu pada I dan f n 1 ada pada I untuk x0 , y0 I . Jika x0 h, y0 k I , maka
1 f ( x0 h, y 0 k ) f ( x0 , y 0 ) h k f x0 , y 0 ... 1! x y
1 h k n! x y
n
f x0 , y 0
1 h k n 1! x y
n 1
f x0 h, y0 k
(5)
dengan 0 < 𝜃 < 1 . Dengan memisalkan x0 X , y 0 Y , x0 h x dan y0 k y dan mengabaikan pangkat-pangkat yang lebih besar dari satu, maka dari persamaan (5) diperoleh nilai pendekatan untuk mencari MSE yaitu
f x , y f x , y f ( x , y ) f X , Y x X y Y x X ,Y y X ,Y
3
.
(6)
3. BIAS DAN MSE PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA Bias dan MSE penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak sederhana dari masing-masing penaksir sebagai berikut. Bias dan MSE dari persamaan (1) diperoleh 1 f B(YˆR ) Y Cx2 C y C x n 1 f 2 2 MSE (YˆR ) Y C y 2 C y C x C x2 , n dengan adalah koefisien variasi, C y adalah koefisien variasi populasi Y dan C x adalah koefisien variasi populasi X . Bias dan MSE dari persamaan (2) diperoleh 1 f 2 2 B(YˆP1 ) Y P1 C x P1C y Cx n 1 f 2 2 MSE (Yˆp1 ) Y C y 2 p1 C y C x p21C x2 , n X dengan p1 . X Qr
Bias dan MSE dari persamaan (3) diperoleh 1 f B(YˆP 2 ) Y p22Cx2 P 2 C y C x n 1 f 2 2 ˆ MSE (Y p 2 ) Y C y 2 p 2 C y C x p22 C x2 , n dengan p 2
X . X Qd
Bias dan MSE dari persamaan (4) diperoleh 1 f B(YˆP 3 ) Y p23Cx2 P 3 C y Cx n 1 f 2 2 ˆ MSE (Y p 3 ) Y C y 2 p 3 C y C x p23C x2 , n X dengan p 3 . X Qa Selanjutnya akan ditentukan penaksir rasio yang efisien diantara ke tiga penaksir rasio yang diajukan, yaitu dengan membandingkan MSE dari penaksir Yˆ , Yˆ dan Yˆ . P1
4
P2
P3
1. Perbandingan MSE (YˆP 2 ) dengan MSE (YˆR ) diperoleh MSE (Yˆp 2 ) < MSE (YˆR ) jika
Qd
2 X C y C x
. (7) 2 C y 2. Perbandingan MSE (YˆP1 ) dengan MSE (Yˆp 2 ) diperoleh MSE (Yˆp1 ) < MSE (Yˆp 2 ) jika
Qd
C
x
X C x p1 1 2 C y
. (8) p1C x 3. Perbandingan MSE (YˆP1 ) dengan MSE (Yˆp 3 ) diperoleh MSE (Yˆp1 ) < MSE (YˆP 3 ) jika Qa
2C
y
X C x p1 1 2 C y
2C
y
p1C x
.
(9)
4. Perbandingan MSE (YˆP 3 ) dengan MSE (YˆP 2 ) diperoleh MSE (Yˆp 3 ) < MSE (YˆP 2 ) jika
Qa
X C x p 2 1 2 C y
2C
p2C x
y
.
(10)
4. CONTOH Contoh ini merupakan data panjang dan berat ikan barau dari Safrina [3]. Data tersebut diambil secara acak sederhana dari waduk PLTA Koto Panjang. Data panjang dan berat ikan barau diberikan pada Tabel 1. Tabel 1. Data panjang dan berat ikan barau waduk PLTA Koto Panjang
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Panjang ikan (Y) 120 165 204 440 163 164 168 169 170 172
Berat Ikan (X) 18,2 49 89,5 1100 48,2 52,3 48,8 53 61 67,9
No 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
Panjang Ikan (Y) 116 129 140 144 160 160 170 170 170 170
5
Berat Ikan (X) 26 48,1 49 57 58,4 55,4 52 59,1 63,7 61,6
No 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68
Panjang Ikan (Y) 465 482 115 124 130 130 135 170 182 185
Berat Ikan (X) 1200 1310 18,6 18,3 23 26,5 27,6 52 65 66
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
173 178 180 185 195 225 240 300 482 331 332 335 520 530 112 173 179
72,5 72 122,1 237,3 270 1250 485,6 950 592,9 1300 1600 17 58,9 61,9 82,7 105,6 19,3
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56
171 180 182 185 185 186 198 223 410 417 420 423 430 440 440 490 180
64,2 75 68,1 86,1 113 800 830 950 850 780 900 850 780 900 850 1400 65,2
69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85
28 180 26,2 29 235 32,5 Sumber: Safrina [3].
57 58
190 210
80,4 96,2
Total
187 209 222 242 310 428 471 510 125 344 435 448 450 485 490 490 516 22589
65 96 118,2 126 273 1095 1320 1490 25 600 1100 960 1100 1350 1250 1410 1680 36878,1
Dengan menggunakan data pada Tabel 1 akan ditentukan penaksir rasio yang efisien untuk menaksir rata-rata panjang ikan barau dengan menggunakan syarat penaksir lebih efisien yang diperoleh sebelumnya. Hal ini secara umum dapat ditunjukkan dengan menghitung MSE dari masing masing penaksir yang diajukan. Sebagai informasi tambahan untuk menaksir rata-rata panjang ikan barau digunakan berat ikan barau. Untuk menghitung MSE dari masing-masing penaksir terlebih dahulu ditentukan nilai yang dibutuhkan. Informasi yang diperoleh dari data panjang dan berat ikan barau dengan menggunakan Microsoft Excel pada Tabel 2. Tabel 2. Nilai-nilai yang diperoleh berdasarkan data panjang dan berat ikan barau
N
85
Cy
0,5049
n
30
Cx
1,1889
Y
265,7529
Q1
55,4
X
433,86
Q3
850
0,7886
Qr
794,6
Sy
134,1666
Qd
397,3
Sx
515,8271
Qa
452,7
6
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh pada Tabel 2 ke persamaan (7), (8), (9) dan (10), maka diperoleh (i) MSE (Yˆp 2 ) < MSE (YˆR ) jika 397,3 > -1747,4345 (ii) MSE (Yˆ ) < MSE (Yˆ ) jika 397,3 < 936,787596 p1
P2
(iii) MSE (Yˆp1 ) < MSE (YˆP 3 ) jika 452,7 < 936,787596 (iv) MSE (Yˆ ) < MSE (Yˆ ) jika 452,7 < 2503,2419. p3
P2
Selanjutnya nilai MSE dari masing-masing penaksir diberikan pada Tabel 3. Tabel 3. Nilai MSE dari masing-masing penaksir No 1
Penaksir Yˆ
MSE 1099,435
2
YˆP1 Yˆ
147,5363
YˆP 3
198,2245
R
3
222,2209
P2
4
Berdasarkan Tabel 3, dapat dilihat bahwa penaksir rasio Yˆp1 memiliki nilai MSE yang terkecil dengan syarat bahwa kondisi lebih efisien dapat dipenuhi. 5. KESIMPULAN Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa penaksir rasio dengan menggunakan jangkauan antar kuartil merupakan penaksir yang paling efisien dari dua penaksir rasio lainnya jika syarat lebih efisien terpenuhi. DAFTAR PUSTAKA [1] Cochran, W. G. 1991. Teknik Penarikan Sampel, Edisi ketiga. Terj. Dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E.R Osman. UI Press, Jakarta. [2] Phillips, G. M. & P. J. Taylor. 1972. Theory and Applications of Numerical Analysis. Second Edition. Academic Press, New York. [3] Safrina, N. 2007. Aspek Biologi Reproduksi Ikan Barau (Hampala macrolepidota C.V) di Waduk PLTA koto Panjang. Skripsi Jurusan Manajemen Sumber Daya Perairan. FAPERIKA Universitas Riau, Pekanbaru. [4] Subramani, J. & G. Kumarapandiyan. 2012. Modified Ratio Estimator for Population Mean Using Function of Quartiles of Auxiliary Variable. Bonfring International Journal of Industrial Engineering and Management Science. 2(2): 1923.
7
