PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI ROBUST PADA SAMPING ACAK SEDERHANA

PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI ROBUST PADA SAMPING ACAK SEDERHANA Mia Okto Morika1, Arisman Adnan2, Haposan Sirait2 [email protected] 1

Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia.

ABSTRACT

The ratio estimators proposed by Kadilar, Candan and Cingi [4] for the population mean in simple random sampling using robust regression has been reviewed. This robust regression is defined by Huber M-estimators. These estimators are biased so that the Mean Square Error is calculated for each estimators to obtain which one is more efficient. This comparison shows that the ratio estimator involving of coefficient curtosis the more efficient then others. Key words: Simple Random Sampling, Robust Regression, Mean Square Error

1. PENDAHULUAN Metode kuadrat terkecil merupakan suatu metode penaksir parameter dengan prinsip meminimumkan jumlah kuadrat kesalahan pengamatan. Namun pada saat ditemukan adanya data pencilan dalam pengamatan, metode kuadrat terkecil akan memberikan fungsi yang kurang baik atau nilai penduga parameternya bersifat bias. Oleh karena itu, untuk memperbaiki garis regresi tersebut dapat dimanfaatkan metode regresi robust. Metode robust yang akan dibahas dalam penelitian ini merupakan suatu regresi robust dalam bentuk M-estimasi untuk meminimalkan error yang didefinisikan dalam fungsi Huber. M-estimasi Huber digunakan melalui fungsi  (.) dan fungsi yang akan diduga berbentuk y  a  bx  e . Bentuk umum penaksir rasio sederhana untuk rata-rata populasi adalah y X , dimana yr adalah penaksir rasio sederhana untuk rata-rata populasi, y dan x x adalah rata-rata sampel, dan X adalah rata-rata populasi X . Penaksir rasio yang digunakan dalam penelitian ini merupakan penaksir yang bias. Sehingga untuk yr 

1

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

2

mendapatkan penaksir rasio yang efisien adalah dengan menghitung MSE untuk masing-masing penaksir. Semakin kecil MSE yang diperoleh maka penaksir tersebut semakin efisien. Ketiga penaksir yang akan dibandingkan yaitu













y a1 =

y  brob X  x X x

ya 2 =

y  brob X  x X  Cx x  Cx

ya3 =

y  brob X  x X   2 x  x   2 x 

(1)



(2)



(3)

dengan :

brob adalah koefisien regresi robust,  2 x  adalah koefisien kurtosis,

C x adalah koefisien variasi. 2. REGRESI LINEAR SEDERHANA Bentuk umum model regresi linear sederhana dinyatakan dalam persamaan Yi  a  bX i   i . Dari persamaan (4) maka kekeliruan ke-i ditulis

 i  Yi  a  bX i .

(4)

(5)

Dengan demikian jumlah kuadrat kekeliruan data terhadap garis regresi ditulis n

 i 1

n

2 i

  Yi  a  bX i  . 2

(6)

i 1

Dengan meminimunkan persamaan pada (6), maka didapat nilai aˆ dan bˆ yaitu :

aˆ  Y  bˆX , dan s bˆ  XY . s XX

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

3

Sehingga nilai estimasi Yi pada persamaan (4) dapat ditulis

Yˆi  aˆ  bˆX i .

(7)

Persamaan (7) membentuk suatu garis regresi. Pada saat adanya data pencilan dalam pengamatan, maka garis regresi yang didapat pada (7) akan memberikan fungsi yang kurang baik. Oleh karena itu, untuk memperbaiki garis regresi tersebut dapat dimanfaatkan metode regresi robust. 3. REGRESI ROBUST LINEAR SEDERHANA Prosedur regresi robust ditujukan untuk mengakomodir data yang kekeliruannya berdistribusi tidak normal, inilah yang disebut dengan data pencilan dalam pengamatan. Regresi robust yang akan digunakan merupakan suatu regresi robust dalam bentuk Mestimasi yang didefinisikan dalam fungsi Huber [3]. Diberikan fungsi Huber yaitu

 i2 h i    2 2k  i  k

 k   i  k,

 i  k atau k   i ,

Model regresi linear sederhana dalam regresi robust dinyatakan dalam persamaan Yi  arob  brob X i   i .

(8)

Dari persamaan (8) maka kekeliruan ke-i ditulis

 i  Yi  arob  brob X i .

(9)

Parameter a rob dan brob dalam regresi robust dapat diselesaikan dengan menggunakan M-estimasi melalui prosedur iterasi yang disebut iteratively reweighted least squares (IRLS). M-estimasi berdasarkan fungsi h( i ) merupakan solusi dari persamaan berikut:  i

n

 ( ) j i 1

i

dengan  ( i ) 

 0, j  a, b ,

d ( i ) adalah fungsi influence d i

Selanjutnya didefinisikan fungsi weight yaitu w( i ) 

 ( i ) . i

(10)

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

4

Dengan demikian persamaan (10) menjadi  i  0, j  a, b. j

n

 w( ) i 1

i

i

(11)

Dengan menggunakan fungsi weight, maka nilai koefisien a rob dan brob sebagai berikut Untuk

h( i )   i , untuk  k   i  k 2

Diperoleh koefisien arob dan brob yaitu

aˆ rob  Y  bˆrob X , 

n

bˆrob 



n

n

 X Y   Y    X i 1

i i

i 1

n

X i 1

i

i 1 2

    Xi   i 1  n

2 i

i

  n  ,

n

kemudian h( i )  2k  i  k 2 , untuk  i <  k or k <  i ,

diperoleh koefisien arob dan brob yaitu arob 

   X Z  Z    X Z 

k  Yi Z i   X i2 Z i  k  Yi X i Z i  X i Z i  2 i

2

i

i

i

(12)

i

dan brob 

k  Yi X i Z i  Z i   k  Yi Z i  X i Z i 

 X

2 i

Zi

 Z    X Z 

2

i

i

(13)

i

Dengan demikian koefisien a rob dan brob pada persamaan (12) dan persamaan (13) merupakan nilai a rob dan brob untuk yang pertama. Setelah itu dapat kembali digunakan untuk mendapatkan nilai a rob dan brob yang baru. Cara ini terus diulangi hingga n kali pengulangan, sampai diperoleh perkiraan kesalahan antara n  1 dan n mendekati sama[1].

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

5

4. SAMPLING ACAK SEDERHANA Penarikan sampel acak sederhana adalah suatu metode untuk mengambil n unit dari populasi berukuran N, dimana setiap elemen mempunyai kesempatan yang sama untuk diambil menjadi anggota sampel. Pengambilan sampel dapat dilakukan dengan pengembalian atau tanpa pengembalian. Teorema 2.1 [2 :h.27] Apabila sampel diambil secara acak sederhana tanpa pengembalian, maka variansi dari rata-rata y dari sampel acak sederhana adalah

Var ( y )  dengan f 

S y2 N  n S y2 1  f   n N n

n adalah fraksi penarikan sampel. N

Bukti. Bukti dari teorema ini dapat dilihat pada [2] . Deret Taylor untuk Dua Variabel [6 :h.47]. Misalkan f x, y  adalah suatu fungsi dua variabel dan f n 1 ada pada I dengan x0 , y0   I . Jika x0  a, y0  b  I , maka 1    f x0  a, y 0  b   f x0 , y 0    a  b  f x0 , y 0    1!  x y  n

1     a  b  f x0 , y0  n!  x y  1      a  b   n  1!  x y 

n 1

f x0  a, y0  b  (14)

dengan 0    1 . Deret taylor untuk dua variabel dapat ditulis





f x , y   f X , Y 

f x , y  x  X   f x , y  y  Y x X ,Y y X ,Y





(15)

5. BIAS DAN MSE PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI Untuk meningkatkan presisi penaksiran digunakan suatu metode penaksir yaitu metode rasio. Suatu penaksir dikatakan efisien apabila penaksir tersebut mempunyai MSE yang

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

6

minimum. Masing-masing penaksir yang dibahas merupakan penaksir yang bias. Kemudian akan ditentukan bias dan MSE dari masing-masing penaksir. Selanjutnya akan ditentukan penaksir yang efisien dengan membandingkan MSE dari setiap penaksir. Bias dan MSE penaksir rasio pada sampling acak sederhana adalah B y R  

1 f Y C x2  Y C yx . n



 

MSE y R 



1 f 2 2 R S x  2 RS xy  S y2 n





Bias dan MSE penaksir rasio untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien regresi robust pada sampling acak sederhana y a1 adalah B( y a1 ) 

1 f 1 BrobS x2  S y S x  RS x2 n X



MSE  y a1  





1 f 2 Brob S x2  2 Brob Ra1 S x2  Ra21 S x2  2 Brob S xy  2 Ra1 S xy  S y2 n



Bias dan MSE penaksir rasio untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien regresi robust pada sampling acak sederhana y a 2 adalah B( y a 3 ) 

1 f 1 Brob S x2  S y S x  RS x2 n X a3



MSE  y a 2  





1 f 2 Brob S x2  2Brob Ra 2 S x2  Ra22 S x2  2Brob S xy  2Ra 2 S xy  S y2 n



Bias dan MSE penaksir rasio untuk rata-rata populasi menggunakan koefisien regresi robust pada sampling acak sederhana y a 3 adalah B( y a 2 ) 

1 f 1 Brob S x2  S y S x  RS x2 n X a2

MSE  ya 3  







1 f 2 Brob S x2  2 Brob Ra 3 S x2  Ra23 S x2  2 BrobS xy  2Ra 3 S xy  S y2 n



Selanjutnya akan ditentukan penaksir yang efisien diantara ketiga penaksir yang diajukan, yaitu 1. Penaksir rasio y a1 dengan penaksir rasio y a 2 .

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

Diperoleh bahwa penaksir rasio y a 2 lebih efisien dari penaksir rasio y a1 jika

Ra 21  Ra 2  Ra 2 2  Sebaliknya, penaksir rasio y a1 akan lebih efisien dari pada penaksir rasio y a 2 jika

Ra 2  Ra 21 atau Ra 2  Ra 2 2  . 2. Penaksir rasio y a1 dengan penaksir rasio y a 3 . Diperoleh bahwa penaksir rasio y a 3 lebih efisien dari penaksir rasio y a1 jika

Ra31  Ra3  Ra3 2  Sebaliknya, penaksir rasio y a1 akan lebih efisien dari pada penaksir rasio y a 3 jika

Ra 3  Ra 31 atau Ra 3  Ra 3 2  . 3. Penaksir rasio y a 2 dengan penaksir rasio y a 3 . Diperoleh bahwa penaksir rasio y a 3 lebih efisien dari penaksir rasio y a 2 jika

Ra31  Ra3  Ra3 2  Sebaliknya, penaksir rasio y a 2 akan lebih efisien dari pada penaksir rasio y a 3 jika

Ra 3  Ra 31 atau Ra 3  Ra 3 2  . 6. CONTOH Pertimbangkan data dari daerah Marmara Turkey yang digunakan oleh Kadilar dan Chingi [5] . Data berkaitan dengan taraf penghasilan apel dan jumlah dari pohon apel pada 106 desa di daerah Marmara tahun 1999. Dengan menggunakan data tersebut akan ditentukan penaksir rasio yang paling efisien untuk menaksir rata-rata produksi apel yakni dengan menggunakan syarat penaksir lebih efisien yang diperoleh sebelumnya. Secara umum dapat ditunjukkan dengan menghitung MSE dari masing-masing penaksir. Untuk itu terlebih dahulu ditentukan nilai yang dibutuhkan. Dengan bantuan Microsoft Excel diperoleh nilai-nilai sebagaimana yang tertera pada Tabel 1.

7

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

Tabel 1 Nilai-nilai yang diperlukan untuk menghitung perbandingan MSE

N

106

S xy

663757881.2

n

30

 2 ( x)

34.57



0.86

Cx

2.09544335

Brob

5.02

Cy

5.22080683

X

27421.6981

R A1

0.08068722

Y

2212.5943

R A2

0.08068156

Sx

57460.6149

R A3

0.07977981

Sy

11551.5276

Dengan menggunakan informasi pada Tabel 1, diperolehlah bahwa 1. Penaksir Rasio  y a 2  lebih efisien dari penaksir  y a1  , jika 1 1  X  Cx  X Y Ra 2 2  Y Ra 21

2. Penaksir Rasio  y a 3  lebih efisien dari penaksir  y a1  , jika 1 1  X   2 x   X Y Ra 3 2  Y Ra 31

3. Penaksir Rasio  y a 3  lebih efisien dari penaksir  ya 2  , jika 1 1  X   2 x   X Y Ra 3 2  Y Ra 31

DAFTAR PUSTAKA [1]

Birkes, D. and Y, Dodge. 1993. Alternative Methods of Regression (John Wiley & Sons), New York.

8

Mia Okto Morika et.al. – Regresi Robust Linear Sederhana

[2]

Cochran, W.G. 1991. Teknik Penarikan Sampling, Edisi Ketiga. Terjemahan Sampling Techniques, Oleh Rudiansyah dan E.R Osman. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.

[3]

Huber, P. 1981. Robust Statistics. Wiley, New York.

[4]

Kadilar, C, Chandan, M. and Cingi, H. 2007. Ratio Estimator using Robust Regression. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics 36, 181-188.

[5]

Kadilar, C. & H. Cingi. 2004. Ratio Estimator in Simple Random Sampling, Applied Mathematics and Computation 151: 893-902.

[6]

Philips, G.M dan P.J, Taylor. 1972. Theory and Applications of Numerical Analysis. Second Edition. Academic Press, New York.

9