PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER Dita Ardini1*, Rustam Efendi2, Bustami2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 28293, Indonesia *
[email protected] ABSTRACT
This article discusses two ratio estimators for the population mean in stratified adaptive cluster random sampling, the ratio estimator for the population mean and ratio estimator for the population mean, both proposed by Nipaporn Chutiman published in Thailand Statistician Journal [1]. All estimators are biased estimators. Then the mean square errors are determined for each estimator. Futhermore, the mean square error of each estimator will be compared to obtain an efficient ratio estimator. An numerical example is given at the end of the discussion. Keywords: ratio estimator, stratified adaptive cluster random sampling, biased, mean square error. ABSTRAK Pada artikel ini dibahas dua penaksir pada sampling acak berstrata adaptif cluster, yaitu penaksir rasio untuk rata-rata populasi dan penaksir rasio untuk rata-rata populasi yang diajukan oleh Nipaporn Chutiman pada jurnal Thailand Statistician [1]. Kedua penaksir ini adalah penaksir bias. Kemudian ditentukan mean square error dari masing-masing penaksir. Selanjutnya, mean square error dari kedua penaksir tersebut akan dibandingkan untuk mendapatkan penaksir rasio yang efisien. Contoh numerik diberikan pada akhir pembahasan. Kata Kunci: penaksir rasio, sampling acak berstrata adaptif cluster, bias, mean square error. 1. PENDAHULUAN Metode sampling merupakan suatu cara pengumpulan data dimana hanya sebagian dari elemen populasinya saja yang diteliti. Hasil dari analisa data yang telah diolah disimpan dalam statistik sampel dan digunakan untuk menaksir parameter dari populasi. Nilai rata-rata dalam sampel digunakan untuk menaksir nilai rata-rata dalam populasi. Dalam artikel ini diteliti populasi Y dibantu dengan informasi yang
1
terkandung dalam variabel tambahan yaitu populasi X, sehingga digunakan penaksir rasio dengan mengambil hubungan antara variabel y dan variabel tambahan x . Penaksir rasio merupakan suatu metode yang digunakan untuk meningkatkan ketelitian suatu penaksir. Penaksir rasio yang dibahas pada artikel ini adalah penaksir yang bias, dimana penaksir yang efisien untuk penaksir bias adalah penaksir yang memiliki mean square error (MSE) terkecil. Semakin kecil MSE yang diperoleh, maka semakin efisien penaksir yang diperoleh [2]. Untuk mendapatkan penaksir rasio yang efisien adalah dengan membandingkan MSE dari masing-masing penaksir. Artikel ini mengkaji ulang jurnal Thailand Statistician yang berjudul “A Ratio Estimator in Stratified Adaptive Cluster Sampling” oleh Nipaporn Chutiman [1], dengan memakai contoh yang lain. 2. SAMPLING ACAK SEDERHANA Metode untuk mengambil n sampel dari N populasi dimana setiap elemen populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih sebagai anggota sampel adalah suatu metode sampling acak sederhana. Probabilitas terpilihnya unit sampel n dari N unit populasi pada pengambilan pertama adalah n N , probabilitas pada pengambilan kedua adalah n 1 N 1 , sampai probabilitas pada pengambilan ke- n yaitu 1 N n 1 . Lalu, probabilitas seluruh n unit yang terpilih pada n pengambilan adalah 1 C nN . Rata-rata sampel y adalah 1 n y yi . ni1 Untuk penarikan sampel sederhana, variansi dan kovariansi rata-rata sampel secara berturut-turut adalah S2 Var y 1 f n N n 1 N Cov y , x y i Y xi X , nN N 1 i 1 N
dengan f
n N , S2
yi Y
2
N 1,
N menyatakan banyaknya populasi, n
i 1
menyatakan banyaknya sampel, y i menyatakan banyaknya sampel y pada unit ke-i, x i menyatakan banyaknya sampel x pada unit ke-i, Y menyatakan rata-rata populasi Y, dan X menyatakan rata-rata populasi X. 3. SAMPLING ACAK BERSTRATA Pada sampling acak berstrata, populasi berukuran N distratifikasi menjadi beberapa strata, kemudian sampel diambil secara acak dari setiap strata. Pada sampling ini, proporsi jumlah sampel antar strata adalah sama dengan proporsi jumlah elemen antar
2
strata. Populasi dibuat menjadi beberapa stratum yaitu N 1 , N 2 , ..., N h stratum. Ukuran populasi pada stratum ke- h adalah N h dengan h 1, 2, 3, 4, ..., l . Penaksir untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata y st adalah l
N h yh
l
h 1
y st
h
N
yh
h 1
nh
dengan
h
N h N , dan y h
y hi n h . i 1
Untuk pengambilan sampel pada sampling acak berstrata, variansi dan kovariansi dari y st berturut-turut adalah:
N h nh S h2 , N h nh
l 2 h
Var y st h 1
l
E y st
Y xst
X
2 h
E
yh
Y xh
X
.
h 1
4. SAMPLING ACAK CLUSTER Sampling acak cluster merupakan pengambilan sampel dimana setiap sampling unit terdiri dari kumpulan atau kelompok elemen-elemen populasi. Pada sampling ini, populasi terdiri dari beberapa cluster, dimana setiap cluster berisi K unit yang bersifat heterogen, sedangkan antar cluster bersifat homogen. Kemudian dari beberapa cluster tersebut diambillah sampel dengan menggunakan sampling acak sederhana. Misalkan populasi terdiri dari beberapa K cluster dari M unit populasi, maka pengambilan k sampel dari populasi cluster dapat digambarkan dengan menggunakan metode sampling acak sederhana. Penaksir untuk rata-rata populasi pada sampling acak cluster yaitu 1 k yk . yi. , k i1 dengan y k . merupakan penaksir yang bias untuk Y . 5. SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER Pada sampling acak berstrata adaptif cluster, populasi dibagi menjadi L strata. Untuk setiap strata bersifat homogen, sedangkan untuk antar strata bersifat heterogen. Stratumstratum yang telah terbentuk kemudian dianggap menjadi cluster. Selanjutnya diambil sampel dari setiap stratum dengan menggunakan sampling acak sederhana tanpa pengembalian. Ketika unit terambil menjadi anggota sampel, maka semua unit yang berada pada cluster tempat unit tersebut berasal yang belum menjadi anggota sampel selanjutnya diambil menjadi anggota sampel [5].
3
Populasi yang bersifat heterogen dibagi menjadi L strata, dimana stratum h terdiri dari N h unit yang bersifat homogen, dan total jumlah unit dalam populasi dinotasikan dengan N . Unit u hi pada populasi yang menyatakan unit ke- i pada stratum h berhubungan dengan variabel yang diteliti y hi . Penaksir rata-rata populasinya adalah L N h 1 nh y sac whi , h 1 N nh i 1 dengan whi y hi mhi . Untuk pengambilan sampel pada sampling acak berstrata adaptif cluster, variansi dan kovariansi dari y sac berturut-turut adalah:
N h2 N2
Var y sac
2 S wh nh nh
L
Nh Nh h 1 L
Cov y sac , x sac
N h2 N2
L
1 nh nh
Nh Nh h 1
w yhi Wh wxhi Wh h 1
,
Nh 1
L 2 dengan S wh
whi
Wh
Nh
1.
h 1
6. PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA Penaksir rasio untuk rata-rata y R populasi adalah
pada sampling acak berstrata untuk Y rata-rata yR
dengan Rˆ
y st X x st
Rˆ X L
yst xst merupakan penaksir untuk rasio R
Y X , y st
N h N yh h 1 L
menyatakan rata-rata sampel pada stratum h berkarakter Y, x st
N h N xh h 1
menyatakan rata-rata sampel pada stratum h dari variabel tambahan berkarakter X, dan L
X
N h X h menyatakan rata-rata populasi berkarakter X.
1N h 1
Bias dan MSE penaksir rasio y R adalah B yR
1 X
L h 1
L
MSE y R h 1
N h2 N2
N h2 N2
L h
R h 1
h
2 S yh
4
N h2 N2
h
2 S xh
2 RS xyh
S xyh 2 R 2 S xh
Penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan oleh Kadilar dan Cingi [4] adalah y Rp yR , dengan 0 dapat diperoleh dengan meminimumkan MSE dari penaksir 1 , nilai rasio y Rp dan yRp adalah penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan. Bias dan MSE dari penaksir rasio yRp adalah B y Rp
1Y
1 X
L h 1
N h2 N2
h
2 RS xh
S xyh
N h2 2 2 2 RS xyh R 2 S xh h S yh 2 h 1 N yang diperoleh dengan meminimumkan MSE yaitu L MSE y Rp N h2 2 2 2 2 RS xyh R 2 S xh 2 h S yh 2 h 1 N L
MSE y Rp
Nilai
2
1 Y2
*
1Y 2
0
dari persamaan ini diperoleh
Y2 L
Y
2 h 1
N h2 N2
h
S
2 yh
.
2 RS xyh
2
R S
2 xh
7. PENAKSIR RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA ADAPTIF CLUSTER Metode penaksir rasio merupakan salah satu dari cara penaksir untuk membuat perkiraan yang baik dari data. Metode ini digunakan dengan tujuan untuk memperoleh peningkatan ketelitian dengan mengambil manfaat hubungan antara variabel y dan variabel tambahan x . Penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster adalah y st _ sac y R _ sac X Rˆ st _ sac X x st _ sac L
dengan y st _ sac
N h N w yh menyatakan rata-rata sampel untuk pengambilan sampel h 1 nh
secara acak berstrata adaptif cluster berkarakter Y, w yh
w yhi n h , n h menyatakan i 1
banyaknya sampel pada stratum h, w yhi y hi mhi menyatakan jumlah variabel yang menjadi perhatian pada jaringan dalam unit i dari sampel awal pada stratum h. L
N h N wxh menyatakan rata-rata sampel untuk pengambilan sampel secara acak
x st _ sac h 1
5
nh
berstrata adaptif cluster berkarakter X, w xh
w xhi n h , wxhi
x hi mhi menyatakan
i 1
jumlah variabel yang menjadi perhatian pada jaringan dalam unit i dari sampel awal pada stratum h, mhi menyatakan banyaknya unit pada jaringan, Rˆ st _ sac menyatakan penaksir
untuk
rasio
Y X,
Rst _ sac
rata-rata
X
dari
populasi
X,
dan
Rˆ st _ sac y st _ sac xst _ sac menyatakan rasio dari rata-rata sampel untuk sampling acak berstrata adaptif cluster. Bias dan MSE dari penaksir y R _ sac adalah L N h2 1 R 2 X h 1 N
B y st _ sac
L
MSE y R _ sac h 1 Nh 2 S xh _ sac
dengan
wxhi
Xh
N h2 N2
h
L 2 h S xh _ sac h 1
2 S yh _ sac
N h2 N2
h
2 R 2 S xh _ sac
S xyh_ sac
2 RS xyh _ sac
Nh
2
2 S yh _ sac
Nh 1 ,
i 1
w yhi
Yh
(1)
2
Nh 1 ,
dan
i 1
Nh 2 S xyh _ sac
wxhi
X h w yhi Yh
Nh 1 .
i 1
Bentuk dari penaksir rasio untuk rata-rata populasi Y yang diajukan oleh Nipaporn Chutiman [1] adalah * yRp _ sac y R _ sac , dengan 0 1, y Rp _ sac adalah penaksir rasio yang diajukan oleh Nipaporn Chutiman untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster, dan nilai dapat diperoleh dengan meminimumkan MSE dari penaksir rasio y Rp _ sac . Bias dan MSE dari penaksir y Rp _ sac adalah *
B y Rp _ sac
1 X
1Y
L h 1
N h2 N2
h
2 RS xh _ sac
*
S xyh _ sac
N h2 2 2 2 R 2 S xh 2 RS xyh _ sac Y 2 1 (2) h S yh _ sac _ sac 2 h 1 N dapat diperoleh dengan meminimumkan MSE dari penaksir rasio y Rp _ sac , L
*2
MSE y Rp _ sac
Nilai
dengan turunan MSE terhadap L *
MSE y Rp _ sac
2
* h 1
*
MSE y Rp _ sac
adalah nol. Maka N N
2 h 2
h
2 S yh _ sac
2 R 2 S xh _ sac
2 RS xyh _ sac
0. Y2
* L
Y2 h 1
N h2 N2
h
2 S yh _ sac
6
2 R 2 S xh _ sac
2 RS xyh_ sac
2Y 2
1
2
8. PENAKSIR RASIO YANG EFISIEN Penaksir yang efisien ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari masing-masing penaksir. Perbandingan antara persamaan (1) dan persamaan (2) sebagai berikut. Misalkan: L h 1
N h2 N2
h
2 S yh _ sac
2 R 2 S xh _ sac
2 RS xyh _ sac
v ,
maka 2
MSE y Rp _ sac MSE y R _ sac v *2 1 Y * 1 . Dari persamaan (3) terdapat 2 kemungkinan yaitu 2 0 1. MSE y Rp _ sac <MSE y R _ sac jika v *2 1 Y * 1 2. MSE y Rp _ sac >MSE y R _ sac jika v
*2 1
Y
* 1
2
(3)
0
9. CONTOH Pada pembahasan contoh, digunakan data produksi jagung di Indonesia dengan informasi tambahan yaitu luas lahan panen di tiap-tiap provinsi di Indonesia dari Badan Pusat Statistik pada tahun 2012 [3]. Data hasil produksi jagung disajikan pada Tabel 1. Tabel 1 : Hasil perhitungan Jumlah Produksi Jagung didasarkan Luas Lahan Panen di Indonesia pada Tahun 2012 dengan menggunakan Microsoft Excel.
h Nh
nh Xh Yh Xh
Yh S xh S yh S xyh
1 18 3 2.853.226 14.935.776 158.512,5556 829.765,3333 306.849,7836 1.588.592,549 4,86629 10 11
h
0,944444444
2 yh _ sac 2 xh _ sac
S S
90.846.963.828 4.043.614.502
S xyh _ sac
19.166.379.429
2 11 3 1.083.775 4.398.980 98.525 399.907,2727 104.734,3048 448.720,0754
3 4 2 20.594 52.266 5.148,5 13.066,5 4.219,024413 10.782,31532
44.411.371.984 0,909090909 1,5444 10 11
42.035.523 0,75 5,148 10 11
6.874.142.666
22.913.787.668 1,08609 10 11
32.582.841.313
7
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh pada Tabel 1 ke persamaan (1) dan (2), maka diperoleh Tabel 2 : MSE masing-masing penaksir. No
Penaksir
MSE
1
y R _ sac
0,564438329
2
y Rp _ sac
1,264438483
Dari Tabel 2 diperoleh bahwa MSE y R _ sac MSE y Rp _ sac jika * 1,264438483 atau * 0,564438329. 10. KESIMPULAN Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster y R _ sac lebih efisien dari penaksir rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adaptif cluster yang diajukan
y Rp _ sac .
DAFTAR PUSTAKA [1] [2]
[3] [4] [5]
Chutiman, N. 2010. A New Rasio Estimator in Stratified Adaptive Cluster Sampling. Thailand Statistican. 8(2): 223-233. Cochran, W. G. 1977. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terjemahan Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R Osman. Universitas Indonesia, Jakarta. http://www.bps.go.id/tnmn_pgn. Diunggah pada 05 Desember 2013. Kardilar, C. dan Cingi, H. 2003. Ratio estimators in Stratified Random Sampling. Biometric Journal. 45: 218-225. Thompson, S.K. 2002. Sampling. New York: Wiley.
8
LAMPIRAN Tabel Luas Lahan Panen-Produksi Tanaman Jagung Seluruh Provinsi di Indonesia pada Tahun 2012. No Provinsi Luas Lahan Panen (Ha) Produksi (Ton) 1 Aceh 43675.00 167285.00 2 Sumatra Utara 243098.00 1347124.00 3 Sumatra Barat 75657.00 495497.00 4 Riau 13284.00 31433.00 5 Jambi 6587.00 25571.00 6 Sumatera Selatan 28617.00 112917.00 7 Bengkulu 22653.00 103771.00 8 Lampung 360264.00 1760275.00 9 Bangka Belitung 268.00 967.00 10 Kepulauan Riau 390.00 849.00 11 DKI Jakarta 3.00 6.00 12 Jawa Barat 148601.00 1028653.00 13 Jawa Tengah 553372.00 3041630.00 14 DI Yogyakarta 73766.00 336608.00 15 Jawa Timur 1232523.00 6295301.00 16 Banten 3074.00 9819.00 17 Bali 21008.00 61873.00 18 Nusa Tenggara Barat 117030.00 642674.00 19 Nusa Tenggara Timur 245323.00 629386.00 20 Kalimantan Barat 44642.00 170123.00 21 Kalimantan Tengah 2752.00 7947.00 22 Kalimantan Selatan 21723.00 112066.00 23 Kalimantan Timur 4104.00 9940.00 24 Sulawesi Utara 120272.00 440308.00 25 Sulawesi Tengah 37418.00 141649.00 26 Sulawesi Selatan 325329.00 1515329.00 27 Sulawesi Tenggara 30884.00 78447.00 28 Gorontalo 135543.00 644754.00 29 Sulawesi Barat 25141.00 122554.00 30 Maluku 4768.00 18281.00 31 Maluku Utara 11074.00 25543.00 32 Papua Barat 1199.00 2049.00 33 Papua 3553.00 6393.00 Sumber: http://www.bps.go.id/tnmn_pgn
9
