PENAKSIR YANG EFISIEN DARI KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA Stevani Samosir1*, Arisman Adnan2, Haposan Sirait2 1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya, Pekanbaru 28293 *
[email protected] ABSTRACT
In this article we discuss three combined ratio-product estimators for population mean in stratified random sampling proposed by Singh et al. [3]. These estimators are biased so that the Mean Square Error (MSE) for each estimator is calculated to obtain which one is more efficient. This comparison shows that Yˆ estimator is the most efficient 1
estimator among those three. Keywords: Stratified random sampling, bias estimator, mean square error
ABSTRAK Dalam artikel ini kami membahas tiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata yang diajukan oleh Singh et al. [3]. Masingmasing penaksir merupakan penaksir bias. Selanjutnya untuk menentukan penaksir yang efisien dilakukan dengan membandingkan Mean Square Error (MSE) masing-masing penaksir. Kemudian diperoleh bahwa penaksir rasio-produk Yˆ adalah penaksir yang 1
paling efisien diantara ketiga penaksir. Kata Kunci: Sampling acak berstrata, penaksir bias, mean square error
1. PENDAHULUAN Dalam menaksir suatu parameter, ada beberapa metode yang digunakan sehingga sampel yang diambil dapat mewakili populasi. Salah satu metode tersebut adalah sampling acak berstrata. Sampel yang diambil harus mencerminkan semua unsur dalam populasi. Untuk meningkatkan ketelitian penaksir pada sampling acak berstrata, Repository FMIPA
1
digunakan beberapa jenis penaksir diantaranya penaksir rasio, penaksir produk dan penaksir rasio-produk. Di dalam metode penaksir rasio-produk, misalkan X adalah variabel pendukung dan Y adalah variabel yang akan diteliti, maka setiap akan berhubungan dengan untuk setiap unit ke-i di dalam sampel, dimana adalah unit dari populasi berkarakter dan adalah unit dari populasi berkarakter [2]. Singh et al [3] memberikan tiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi yaitu Yˆ , Yˆ dan Yˆ . Kemudian dari ketiga penaksir tersebut ditentukan bias dan 1
2
3
MSE. Selanjutnya dengan membandingkan MSE dari masing-masing penaksir maka diperoleh penaksir yang relatif lebih efisien diantara ketiga penaksir tersebut. Penaksir yang memiliki nilai MSE terkecil merupakan penaksir yang paling efisien. Artikel ini merupakan review dari jurnal yang berjudul “Some Improved Estimators For Estimating Population Mean In Stratified Sampling” di Journal of Science Research [3]. Sampling Acak Sederhana Sampling acak sederhana merupakan sebuah metode yang digunakan untuk mengambil n unit sampel dari N unit populasi sehingga setiap unit populasi memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih menjadi unit sampel. Dalam hal ini pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian agar hasil yang diperoleh menjadi representatif [2]. Pada pengambilan sampel tanpa pengembalian probabilitas terpilihnya n dari N populasi terpilih menjadi unit sampel pada pengambilan pertama adalah n N , probabilitas pada pengambilan kedua adalah n 1 N 1, sampai probabilitas pada pengambilan ke- n yaitu 1 N n 1 , sehingga peluang seluruh n unit-unit tertentu yang terpilih dalam n pengambilan adalah
N C n 1 .
Teorema 2.1[2: h.27] Apabila sampel berukuran n diambil dari populasi berukuran N yang berkarakter Y , dengan sampling acak sederhana tanpa pengembalian maka variansi rata-rata sampel y dinotasikan dengan V y dan dirumuskan sebagai S y2 N n 1 f 2 V y Sy . n N n
Teorema 2.2 [2 : h. 29] Jika , adalah pasangan yang bervariasi dalam unit populasi dan ̅, ̅ adalah rata-rata dari sampel acak sederhana berukuran , maka kovariansi adalah
Cov y , x
1 f 1 N yi Y xi X . n N 1 i 1
Sampling Acak Berstrata Penarikan sampel acak berstrata merupakan teknik penarikan sampel dengan mengelompokkan unsur-unsur populasi ke dalam kelompok homogen, yang disebut Repository FMIPA
2
strata. Kemudian dalam setiap setiap strata dilakukan pemilihan sampel secara sampling acak sederhana. Untuk menentukan bias dan MSE suatu penaksir pada sampling acak berstrata, diperlukan beberapa definisi dan teorema. Teorema 2.3[2: h.105] Untuk penarikan sampel acak berstrata, variansi dari dari y st adalah 2 N h nh S yh V ( y st ) , h 1 Nh nh dengan V ( y h ) merupakan variansi dari y h . Bukti:Dapat dilihat pada [2: h.105]. L
2 h
Teorema 2.4[2: h. 29] Jika , adalah pasangan yang bervariasi dalam unit populasi dan ̅ , ̅ adalah rata-rata dari sampel acak berstrata berukuran , maka kovariansinya adalah
Cov y st , xst h2 h S yxh . L
h 1
Bukti:Dapat dilihat pada [2: h.29]. 2. KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA Bentuk umum penaksir kombinasi rasio untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, dinotasikan dengan ̅ yang didefinisikan sebagai
YRC Rˆ C X ,
y dengan Rˆ C st . x st Bentuk umum penaksir kombinasi produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, dinotasikan dengan ̅ didefinisikan sebagai Pˆ YPC C , X dengan PˆC x st y st , merupakan penaksir untuk P X Y . Dalam artikel ini dibahas tiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata, yaitu x w ˆ (1) (i) Y1 y st 2 st , X dengan w merupakan konstanta, dimana 0 w 1.
Repository FMIPA
3
x a X x st (ii) Yˆ2 y st st h , x b X x st st dimana p
(2)
n
a h xih
merupakan total jumlah sampel dari X pada strata ke- h
i 1
p
ah nh
merupakan proporsi sampel strata ke- h
L S yxh b h2 h 2 merupakan koefisien regresi sampel y terhadap x. S h 1 xh x w ˆ (iii) Y3 k 31 y st k 32 X x st 2 st , X dimana k dan k merupakan nilai optimum dari MSE penaksir Yˆ . 31
(3)
3
32
Ketiga kombinasi penaksir rasio-produk tersebut merupakan penaksir bias. Kemudian ditentukan MSE dari masing-masing penaksir. Dengan membandingkan MSE dari ketiga penaksir, diperoleh penaksir yang relatif lebih efisien. 3. BIAS DAN MSE KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK UNTUK RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK BERSTRATA Bias dan MSE dari ketiga kombinasi penaksir rasio-produk untuk rata-rata populasi pada sampling acak berstrata adalah sebagai berikut. Dari persamaan (1) diperoleh bias dan MSE dari penaksir Yˆ , yaitu 1
S yxh 1 wS xh2 L 2 ˆ , B Y1 wR h h 2X h 1 Y
(4)
L 2 2 MSE Yˆ1 h2 h S yh w 2 R 2 S xh 2wRS yxh , h 1
(5)
dengan Nh
( N nh ) N Y 2 , S yh h h , R , h h n N N X h h
2 ( y hi Yh )
i 1
Nh 1
Nh
, S xh 2
2 ( x hi X h )
i 1
Nh 1
dan
Nh
S yxh
( y hi Yh )( xhi X h )
i 1
Nh 1
Repository FMIPA
4
Dari persamaan (2) diperoleh bias dan MSE dari penaksir Yˆ2 , yaitu
L A B 2 B Yˆ2 Y h2 h 2 S xh S yxh , XY X h 1
(6)
2 2 , MSE Yˆ2 h2 h S yh 2 ARS yxh A2 R 2 S xh L
(7)
h 1
dengan
p 2 ah b p b 2 ah2 2ah b A pa h b dan B . 2 Dari persamaan (3) diperoleh bias dan MSE dari penaksir Yˆ , yaitu 2
3
w B Yˆ3 Y k 31 1 k 31Y XY L wk 2 32 h2 h S xh X h 1
L
h2 h S yxh h 1
w w 1 L 2 2 h h S xh 2 2X h 1
(8)
2 2 2 MSE Yˆ3 Y 2 k 31 1 k 31 A2 k 32 B2 2k 31C 2k 32 D 2k 31k 32 E ,
(9)
dengan
2 2 A2 w h2 h S yh w 1R 2 S xh 4 RS yxh , L
h 1
w 1 R 2 S 2 dan C w h2 h RS yxh xh 2 h 1 L
L
B2 h2 h S xh , h 1
L
2
L
2 , D w h2 h RS xh
h 1
2 E h2 h 2wRS xh S yxh . h 1
4. KOMBINASI PENAKSIR RASIO-PRODUK YANG EFISIEN Penaksir yang efisien dapat ditentukan dengan cara membandingkan MSE dari masingmasing penaksir yang diajukan sebagai berikut. 1. Perbandingan MSE Yˆ2 dengan MSE Yˆ1 diperoleh MSE Yˆ2 MSE Yˆ1 , jika
b ah
w p
dan b a h
w L 2 S yxh p h 1 pRS xh2
w p
dan b a h
w L 2 S yxh . p h 1 pRS xh2
atau
b ah
Repository FMIPA
(10)
5
2. Perbandingan MSE Yˆ3 dengan MSE Yˆ1 diperoleh MSE Yˆ3 MSE Yˆ1 , jika k 31 1 k 31 k 31 2 ,
dengan
2
k 31 1
Y
Y
2
k 31 2
Y
C k 32
Y
C k 32
L
2
2
,
C k 32 Y 2 A2 A3 Y 2 k 32 2 D k 32 B2 Y 2 A2
2
2
C k 32 Y 2 A2 A3 Y 2 k 32 D 2k 32 B2 Y 2 A2
2 2 dan A3 h2 h S yh w2 R 2 S xh 2wRS yxh . h 1
(11)
3. Perbandingan MSE Yˆ3 dengan MSE Yˆ2 diperoleh MSE Yˆ3 MSE Yˆ2 , jika k 31 3 k 31 k 31 4 , (12) dengan
k 31 3
Y
k 31 4
Y
Y
C k 32
2
2
2
,
C k 32 Y 2 A2 B3 Y 2 k 32 2 D k 32 B2 Y 2 A2
2
Y
C k 32
2
C k 32
Y 2
2
A2 B3 Y 2 k 32 2 D k 32 B2
Y 2 A2 L
2 2 dan B3 h2 h S yh 2 ARS yxh A2 R 2 S xh . h 1
5.
CONTOH
Data pada Tabel 1 merupakan produksi ikan laut Y berdasarkan luas area budidaya laut X di Indonesia pada tahun 2013 [1]. Tabel 1. Luas area budidaya laut dan hasil produksi ikan laut di Indonesia tahun 2013 No
Provinsi
1 2 3 4 5 6
Aceh Sumatera Utara Sumatera Barat Riau Kepulauan Riau Jambi
Repository FMIPA
Luas area (ha)2013 1 18 3 0.332 0 0
Hasil Produksi (ton)013 84 4,348 335 5 0 0 6
7 Sumatera Selatan 8 Kepulauan Bangka Belitung 9 Bengkulu 10 Lampung 11 DKI Jakarta 12 Jawa Barat 13 Jawa Tengah 14 DI Yogyakarta 15 Jawa Timur 16 Banten 17 Bali 18 Nusa Tenggara Barat 19 Nusa Tenggara Timur 20 Kalimantan Barat 21 Kalimantan Tengah 22 Kalimantan Selatan 23 Kalimantan Timur 24 Sulawesi Utara 25 Sulawesi Tengah 26 Sulawesi Selatan 27 Sulawesi Tenggara 28 Gorontalo 29 Sulawesi Barat 30 Maluku 31 Maluku Utara 32 Papua Barat 33 Papua Total se-Indonesia
5 785 77 2,605 24 157 55 0 134,832 835 997 15,622 9,796 2 5 123 7,661 2,859 24,369 41,534 27,268 533 1,551 51,977 1,267 843 20 325,825
23 7,142 779 15,927 2,517 1,528 14,211 0 580,683 21,930 146,192 599,742 1,846,350 177 88 2,426 249,746 174,052 1,234,021 1,661,417 918,245 104,047 33,127 586,106 98,312 75,565 146 8,379,271 Sumber www.bps.go.id.
Dengan menggunakan data pada Tabel 1 ditentukan kombinasi penaksir rasio-produk yang efisien untuk menaksir rata-rata produksi ikan laut dengan menggunakan syarat efisien yang diperoleh sebelumnya dan secara umum dapat ditunjukkan dengan menghitung MSE dari masing-masing penaksir yang diberikan. Dengan menggunakan Microsoft Excel diperoleh beberapa informasi tambahan yang disajikan pada Tabel 2. Tabel 2. Informasi tambahan untuk memandingkan ketiga MSE penaksir
̅ ̅
1 10
3 9
2 4
4 8
5 2
4 2864.3 349.4
2 357017 18035.33333
3 63109.25 1947.75
3 601165.875 18919.75
1 10 431.5
Repository FMIPA
7
̅
5152.5
302070.5
88.33333333
597618.6667
146
̅
39.25
67912
2.333333333
14784
20
26,918,569.79
372,630,900,804.76
10,880,408.52
44,517,083.22
10,630,371,144,500.60
687,526.04
1,950,015,588.30
60,808,754,072.51
815,508,289.29
35,545,790,489.21
4,136,432.42
6,000,344,218.60
24,015,647,827.57
19,632,983,147.91
194,919,783,926.75
dengan mensubstitusikan nilai-nilai yang diperoleh pada Tabel 2 ke persamaan (10), (11) dan (12), maka diperoleh
(ii) MSEYˆ MSEYˆ jika 0.523 0.087 (iii) MSEYˆ MSEYˆ jika 3.325 0.087 5.096 (i) MSE Yˆ1 MSE Yˆ2 jika 0.4772 35 1
3
3
2
Selanjutnya nilai MSE dari masing-masing penaksir disajikan pada Tabel 3. Tabel 3. Nilai MSE dari masing-masing penaksir No
Penaksir
MSE
1
Yˆ1
4.33E+10
2
Yˆ2 Yˆ
3
1.54E+12 3.67E+11
3
Berdasarkan Tabel 3, dapat dilihat bahwa penaksir Yˆ1 memiliki nilai MSE yang terkecil. 6. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan pada artikel ini,dapat disimpulkan bahwa kombinasi penaksir rasio-produk Yˆ lebih efisien dari penaksir Yˆ dan penaksir Yˆ . 1
2
3
DAFTAR PUSTAKA [1]
Badan Pusat Statistik. Tabel Luas Area Budidaya Perikanan Menurut Provinsi dan Jenis Budidaya. Available from: http://www.bps.go.id//tmmn_pgn. Diakses pada 11 Maret 2015. [2] Cochran, W. G. 1977. Teknik Penarikan Sampel, Edisi Ketiga. Terjemahan dari Sampling Techniques, oleh Rudiansyah & E. R. Osman. UI Press, Jakarta. [3] Singh, R., V. K. Singh & A. A. Adewara. 2013. Some Improved Estimators for Estimating Population Mean in Stratified Random Sampling. Journal of Science Research, 57: 154-164. [4] Sukhatme, P. V. 1957. Sampling Theory of Surveys with Applications. The Indian Council of Agricultural Research, New Delhi. Repository FMIPA
8
