PERBANDINGAN PENAKSIR REGRESI LINIER SEDERHANA PADA SAMPLING BERPERINGKAT, SAMPLING EKSTRIM BERPERINGKAT DAN SAMPLING MEDIAN BERPERINGKAT

PERBANDINGAN PENAKSIR REGRESI LINIER SEDERHANA PADA SAMPLING BERPERINGKAT, SAMPLING EKSTRIM BERPERINGKAT DAN SAMPLING MEDIAN BERPERINGKAT E. W. Aritonang1*, Harison2, R. Efendi2 1

Mahasiswi Program S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru, 28293, Indonesia *

[email protected]

ABSTRACT This paper discusses the efficient sampling methods to ranked set sampling, extreme ranked set sampling, and median ranked set sampling for simple linear regression estimators whose population mean known with concomitant variables. This paper is a review of article “Regression Estimator in Extreme and Median Ranked Set Sampling “ by Muttlak. Their relative efficiency have been compared in order to find the most efficient estimator. Keywords: extreme ranked set sampling, median ranked set sampling, ranked set sampling, relative efficiency, and variance ABSTRAK Tulisan ini membahas penaksir yang efisien pada sampling berperingkat, sampling ekstrim berperingkat dan sampling median berperingkat untuk penaksir regresi linier sederhana dengan diketahui rata-rata populasi menggunakan variabel tambahan yang merupakan review dari artikel berjudul “Regression Estimator in Extreme and Median Ranked Set Sampling” oleh Muttlak. Untuk melihat penaksir yang efisien, digunakan perbandingan efisiensi relatif pada masing-masing metode yang digunakan. Kata kunci: sampling ekstrim berperingkat, sampling median berperingkat, sampling berperingkat, efisiensir relatif dan variansi 1. PENDAHULUAN Metode sampling berperingkat (RSS) pertama kali diusulkan oleh McIntyre [1] yang merupakan suatu metode alternatif dan lebih efisien dibandingkan dengan metode sampling acak sederhana (SRS) dalam menaksir rata-rata populasi [4]. Penaksir McIntyre diasumsikan ranking sempurna, yaitu tidak terdapat error dalam tiap unit [6]. Namun, dalam banyak aplikasi, pengurutan tiap unit tanpa terdapat error sangatlah

1

susah, sehingga dilakukan beberapa modifikasi pada metode RSS diantaranya metode sampling ekstrim berperingkat (ERSS) dan metode sampling median berperingkat (MRSS). Metode ERSS dan MRSS diusulkan untuk mengurangi error dalam pengurutan, untuk meningkatkan efisiensi pada penaksir dan untuk meningkatkan efisiensi melebihi RSS dengan pengurutan sempurna. Metode ERSS diusulkan oleh McIntyre dan Samawi [1] dengan mengambil data yang terkecil dan data yang terbesar dengan asumsi data terkecil dan data terbesar dapat dengan mudah diperoleh secara visual, sedangkan metode MRRS diusulkan oleh Muttlak [2] dengan pengambilan data tengah (median) setelah dilakukan pengurutan. Dalam artikel ini dibahas penaksir regresi yang efisien pada 3 metode sampling yaitu sampling berperingkat atau Ranked Set Sampling (RSS), Sampling Ekstrim Berperingkat atau Extreme Ranked Set Sampling (ERSS) dan Sampling Median Berperingkat atau Median Ranked Set Sampling (MRSS) dengan melakukan perbandingan variansi pada nilai Efisiensi Relatif (ER) untuk tiap metode.

2. SAMPLING BERPERINGKAT Sampling berperingkat pertama kali diajukan oleh McIntyre [1]. Prosedur sampling berperingkat dilakukan dengan memilih secara acak sampel berukuran 𝑚 dari populasi berukuran 𝑁. Sampel berukuran 𝑚 dibagi kedalam sejumlah 𝑛 set secara acak dengan ukuran yang sama, kemudian pengukuran diambil dari peringkat terkecil untuk set pertama, set kedua diambil dari peringkat terkecil kedua, dan prosedur dilanjutkan sampai dengan peringkat terbesar dipilih untuk pengukuran dari sampel ke-𝑛. Siklus ini bisa diulangi sebanyak 𝑟 kali untuk mendapatkan 𝑛𝑟 unit, 𝑛𝑟 unit inilah yang akan digunakan sebagai data RSS. Misalkan Y(i:n ) j menotasikan sampel ke-𝑖 berukuran 𝑛 dalam 𝑗 siklus dengan Y ∼ N ( ,  2 ). Penaksir tak bias untuk rata-rata populasi menggunakan data RSS [1], yaitu n

r

YˆRSS  1 / nr Y(i:n ) j

j  1,2,3,..., r

(1)

i 1 j 1

dengan YˆRSS : Penaksir tak bias untuk rata-rata populasi pada RSS Y(i:n ) j : Sampel ke- 𝑖 berukuran 𝑛 pada siklus ke- j dan variansi Yˆ RSS

n

r





n

r

2 V (YˆRSS )  1 / n 2 r 2  E Y(i:n ) j  E (Y(i:n ) j )  1 / n 2 r 2  Y2(i:n ) j . (2) i 1 j 1

i 1 j 1

2

Selanjutnya, Stokes [4] mengusulkan pengurutan menggunakan variabel tambahan X yang bisa diukur secara mudah pada rata-rata  X dengan penaksir tak bias untuk rata-rata populasi Y menggunakan variabel tambahan Yˆ , yaitu RSSA

n

r

1 YˆRSSA   Yi:n  j nr i 1 j 1 dengan Yi:n  j  Y  

(3)

Y ( X (i:n ) j   X )   ij dimana  adalah koefisien korelasi pada X n

r

X dan Y , X RSS  1 nr  X (i:n ) j dengan i 1 j 1

 X2

2

1 n V ( X RSS )    E X (i:n) j   X  nr n 2 r i 1 dan variansi YˆRSSA

 

 V YˆRSSA  Y nr

2

 2 1   2  nr X

n

r

 i 1 j 1

2 X ( i:n ) j

 . 

(4)

(5)

3. SAMPLING EKSTRIM BERPERINGKAT Dalam prosedur ERSS, dari populasi yang berukuran 𝑁, bentuk 𝑛 buah kelompok sampel yang masing-masing kelompok berukuran 𝑛 unit sampel random. Urutkan masing-masing unit dalam tiap kelompok dari unit terkecil sampai unit terbesar. Jika sampel berukuran 𝑛 ganjil, dari n  1 2 sampel pertama pilih untuk ukuran sampel dari ukuran sampel terkecil, n  1 2 sampel terakhir pilih untuk ukuran sampel dari ukuran sampel terbesar dan dari n  1 2 sampel pilih median sampel untuk ukuran. Jika sampel berukuran 𝑛 genap, dari n 2 sampel pertama pilih untuk ukuran sampel dari urutan sampel terkecil dan dari n 2 sampel kedua pilih untuk ukuran sampel dari urutan sampel terbesar. Siklus ini bisa diulangi sebanyak 𝑟 kali untuk mendapatkan 𝑛𝑟 unit, 𝑛𝑟 unit inilah yang akan digunakan sebagai data ERSS. Misalkan 𝑌 𝑖:𝑒 𝑗 menunjukkan sampel terkecil untuk i  1,2,..., L1  n 2 dan sampel terbesar untuk i  L1  1, L2  2,..., n jika sampel berukuran 𝑛 genap dalam siklus ke-𝑗. Dengan notasi yang sama untuk menunjukkan sampel terkecil untuk i  1,2,..., L1  n  1 2 , median sampel ke-𝑖 (𝑖 = 𝑛 + 1 2) dan sampel terbesar untuk i  L2  2, L3  3,..., n jika sampel berukuran 𝑛 ganjil dalam siklus ke-𝑗 dimana Y ∼ N ( ,  2 ). Penaksir rata-rata populasiditulis sebagai: n

n

YˆERSS  1 nr Y(i:e ) j i 1 i 1

3

j  1,2,3,..., r

(6)

dan variansi YˆERSS n



r



n

r

2 2 V (YˆERSS )  1 n 2 r 2  E Y(i:e ) j  E (Y(i:e ) j )  1 n 2 r   Y2(i:e ) j . (7) i 1 j 1

i 1 j 1

4. SAMPLING MEDIAN BERPERINGKAT Dalam prosedur MRSS, dari populasi yang berukuran 𝑁, bentuk 𝑛 buah kelompok sampel yang masing-masing kelompok berukuran 𝑛 unit sampel random. Urutkan masing-masing unit dalam tiap kelompok dari unit terkecil sampai unit terbesar. Jika sampel berukuran 𝑛 ganjil, dari tiap sampel pilih untuk ukuran sampel dari urutan ke𝑛 + 2 2 sampel terkecil (median sampel). Jika sampel berukuran 𝑛 genap, dari n 2 sampel pertama pilih untuk ukuran sampel dari urutan ke- n 2 sampel terkecil dan dari n 2 sampel kedua pilih untuk ukuran sampel dari urutan ke- 𝑛 + 2 2 sampel terkecil. Siklus ini bisa diulangi sebanyak 𝑟 kali untuk mendapatkan 𝑛𝑟 unit, 𝑛𝑟 unit inilah yang akan digunakan sebagai data MRSS. Misalkan 𝑌 𝑖:𝑚 𝑗 menunjukkan median ke-𝑖 sampel berukuran 𝑛 dalam siklus ke-𝑗 dengan Y ∼ N ( ,  2 ). Penaksir pada rata-rata populasi [2] menggunakan data MRSS, yaitu n

n

YˆMRSS  1 nr Y(i:m) j

j  1,2,3,..., r

(8)

i 1 i 1

dan variansi YˆMRSS n

r





n

r

2 V (YˆMRSS )  1 n 2 r 2  E Y(i:m) j  E (Y(i:m) j )  1 n 2 r 2  Y2(i:m) j . i 1 j 1

(9)

i 1 j 1

5. PENAKSIR SAMPLING BERPERINGKAT Penaksir regresi linier sederhana pada sampling berperingkat yang diusulkan oleh Yu & Lam [6] pada rata-rata populasi untuk variabel terikat Y menggunakan metode RSS, yaitu  (10) YˆRSSLR  YˆRSSA   Y  X  X RSS  X Yu & Lam [6] membuktikan bahwa Yˆ adalah penaksir tak bias pada rata-rata RSSLR

populasi (  Y ) dengan variansi





 V YˆRSSLR   Y2 nr  1   2   2 n X2 





4

 E X n

i 1

( i:n ) j

2   X  . 

(11)

6. PENAKSIR SAMPLING EKSTRIM BERPERINGKAT Metode ERSS merupakan modifikasi metode RSS dengan tujuan untuk mengurangi error dalam pengurutan menggunakan variabel tambahan X dengan rata-rata  X . Penaksir regresi linier sederhana pada metode ERSS dinotasikan dengan Yˆ , yaitu ERSSLR

YˆERSSLR

  YˆERSSA   Y  X  X ERSS  X

(12)

dengan n

r

X ERSS  1 / nr  X (i;e) j

i  1,2,3,..., n r  1,2,3,..., j

i 1 i 1

n

r

YˆERSSA  1 / nr Yi:e  j . i 1 j 1

Penaksir YˆERSSLR adalah penaksir tak bias pada rata-rata populasi (  Y ) dengan variansi





 V YˆERSSLR   Y2 nr  1   2   2 nr X2 





 E X n

r

i 1 j 1

( i:e ) j



2    X  . 

(13)

7. PENAKSIR SAMPLING MEDIAN BERPERINGKAT Untuk mendapatkan penaksir regresi linier sederhana pada metode MRSS untuk ratarata populasi  Y , dinotasikan dengan YˆMRSSLR menggunakan variabel tambahan X dengan rata-rata  X , persamaan (6.1) dapat ditulis sebagai  YˆMRSSLR  YˆMRSSA   Y  X  X MRSS  X dengan n

r

X MRSS  1 / nr  X (i;e ) j

(14)

i  1,2,3,..., n r  1,2,3,..., j

i 1 i 1

n

r

YˆMRSSA  1 / nr Yi:e  j . i 1 j 1

Penaksir YˆMRSSLR adalah penaksir tak bias pada rata-rata populasi (  Y ) dengan variansi





 V YˆMRSSLR   Y2 nr  1   2   2 nr X2 





5

 E X n

r

i 1 j 1

( i:m ) j



2    X  . 

(15)

8. PERBANDINGAN EFISIENSI RELATIF Untuk mengetahui penaksir regrsi linier sederhana yang efisien, akan dibandingkan penaksir variansinya menggunakan Efisiensi Relatif(ER), yaitu: 1. Membandingkan penaksir variansi untuk Yˆ dengan penaksir variansi untuk RSSLR

YˆERSSLR ,

 

 





var YˆERSSLR ER1  ER YˆRSSLR , YˆERSSLR  1 var YˆRSSLR



 Y2 nr 1   2    2 nr X2

 E X n

r

( i:e ) j



2   X     1. 2   X   

i 1 j 1  (16) ER1  n r  2 2 2 2  Y nr  1     nr X  E X (i:n ) j i 1 j 1  Berdasarkan pertidaksamaan (16), penaksir YˆERSSLR lebih efisien dari penaksir YˆRSSLR jika

















 E X (i:e) j   X    E X (i:n) j   X  . n

r

i 1 j 1

2

n

r

i 1 j 1

2

(17)

2. Membandingkan penaksir variansi untuk YˆRSSLR dengan penaksir variansi untuk , Yˆ MRSSLR

 

 





var YˆMRSSLR ER2  ER YˆRSSLR , YˆMRSSLR  1 var YˆRSSLR 

 Y2 nr 1   2    2 nr X2 ER2 

 Y2

  nr  1   2   2 nr X2 





 E X n

r

i 1 j 1

 E X n

( i:m ) j

r

i 1 j 1

( i:n ) j



2   X     1. 2   X   



(18)

Berdasarkan pertidaksamaan (18), penaksir YˆMRSSLR lebih efisien dari penaksir YˆRSSLR jika

 E X n

r

i 1 j 1

( i:m ) j







  X    E X (i:n ) j   X  . 2

n

r

i 1 j 1

2

(19)

3. Membandingkan penaksir variansi untuk YˆERSSLR dengan penaksir variansi untuk , Yˆ MRSSLR





 

 

var YˆMRSSLR ER3  ER YˆERSSLR , YˆMRSSLR  1 var YˆERSSLR

6



 Y2 nr 1   2    2 nr X2

 E X n

r

( i:m ) j



2   X     1. 2   X   

i 1 j 1  (20) ER2  n r   Y2 nr  1   2   2 nr X2  E X (i:e ) j i 1 j 1  ˆ Berdasarkan pertidaksamaan (20), penaksir YMRSSLR lebih efisien dari penaksir YˆERSSLR jika



 E X n

r

i 1 j 1





( i:m ) j

 X



    E X n

2

r

i 1 j 1



 X  . . 2

( i:e ) j

(21)

Untuk melihat perbandingan ini, dilakukan perhitungan secara numerik menggunakan Microsoft Excel dengan menggunakan data dari Jumlah Permintaan Ikan Jambal Siam (Y) dan Jumlah Anggota Rumah Tangga (X) di Kecamatan Kampar Kabupaten Kampar Provinsi Riau [5]. Dengan mengambill 𝑛 = 4, 5, 6, dengan siklus𝑟 = 2, 3, 4, 5, diperoleh nilai-nilai yang disajikan pada pada Tabel 1. Tabel 1: Hasil Perhitungan Jumlah Permintaan Ikan Jambal Siam (Y) dan Jumlah Anggota Rumah Tangga (X) di Kecamatan Kampar Kabupaten Kampar Provinsi Riau. r

r

i 1 j 1

4

5

6

2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 5



 E X (i:n) j   X  n

n

1,625 1,583 1,375 1,4 1,5 1,4 1,25 1,28 1,666667 1,444444 1,291667 1,3

2

  EX n

r

i 1 j 1

0,625 0,583 0,4375 0,4 0,7 0,6 0,5 0,48 1 0,777778 0,652174 0,633333

 X 

2

( i:e ) j

  EX n

r

i 1 j 1

 X 

2

( i:m ) j



1 0,8333 0,75 0,65 1 0,8 0,75 0,68 1,25 0,944444 0,875 0,8

Tabel 1 diatas memperlihatkan bahwa untuk setiap n dan r , penaksir regresi linier sederhana YˆERSSLR lebih efisien dari pada penaksir regresi linier sederhana YˆMRSSLR dan jika memenuhi syarat tertentu. Yˆ RSSLR

7

9. KESIMPULAN DAN SARAN

Penaksir regresi linier sederhana untuk metode sampling ekstrim berperingkat (ERSS) lebih efisien dari pada penaksir regresi linier sederhana untuk metode sampling berperingkat (RSS) dan metode sampling median berperingkat (MRSS) bila memenuhi syarat tertentu. Bagi pembaca yang berminat disarankan untuk membahas perbandingan penaksir regresi linier sederhana yang rata-rata populasinya tidak diketahui.

10. DAFTAR PUSTAKA [1] [2]

[3] [4] [5]

[6]

McIntyre, G. A. 1952. A Method of Unbiased Selective Sampling, using Ranked Sets, Australian Journal of Agricultural Research , 3 : 385 - 390. Muttlak, H. A. 1998. Median Ranked Set Sampling with Concomitant Variables and a Comparison with Ranked Set Sampling and Regression Estimators, Environmetrics, 9 : 225 - 267. Muttlak, H. A. 2001. Regression Estimators in Extreme and Median Ranked Set Samples, Journal of Applied Statistics, 8 : 1003-1017. Stokes, S. L. 1977. Ranked Set Sampling with Concomitant Variables, Commmunications in Statistics, 6 : 1207-1211. Widyastuti. 2008. Analisis Permintaan Ikan Jambal Siam Segar di Kecamatan Kampar Kabupaten Kampar Provinsi Riau. Skripsi Fakultas Perikanan dan Ilmu Kelautan Universitas Riau. Pekanbaru. Yu, P. L. H. & K. Lam. 1997 Regression Estimator in Ranked Set Sampling, Biometrics, 53 : 1070 - 1080.

8