PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL MENGGUNAKAN METODE BAYESIAN Rince Adrianti1∗ , Haposan Sirait2 1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dosen Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru, 28293 2
∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the estimator for parameter of inverse Maxwell distribution via size-biased sampling by Bayes method, this is a review of Singh dan Srivastava [International Journal of Science and Research, 3 (2014), 1835–1839]. The process of Bayes inference starts under squared error loss function and entropy loss function, by using quasi prior. The performance of the obtained estimator from Bayes method with two different loss function are then compared among themselves by computing mean square error (MSE) of each estimator. Keywords: Bayes method, quasi prior, squared error loss function, entropy loss function, mean square error ABSTRAK Artikel ini membahas penaksir parameter distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel menggunakan metode Bayes, yang merupakan kajian ulang dari artikel Singh dan Srivastava [International Journal of Science and Research, 3 (2014), 1835–1839]. Proses inferensi pada metode Bayes didasarkan pada fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi, dengan menggunakan quasi prior. Penaksir parameter yang diperoleh dari metode Bayes dengan dua fungsi kerugian berbeda kemudian dibandingkan berdasarkan MSE masing-masing penaksir. Kata kunci: Metode Bayes, quasi prior, fungsi kerugian kuadratik, fungsi kerugian entropi, mean square error
1
1. PENDAHULUAN Dalam Lind et al.[5, h. 6] dijelaskan bahwa statistika inferensi adalah serangkaian teknik yang digunakan untuk mengkaji, menaksir, dan mengambil kesimpulan data sampel yang dipilih secara acak dari populasi. Walpole et al. [12, h. 265] menjelaskan bahwa statistika inferensi dapat dibagi dalam dua bagian besar yaitu penaksiran dan uji hipotesis. Menaksir dapat dilakukan dalam dua cara yaitu menaksir titik dan menaksir interval. Secara garis besar, teori penaksiran dikelompokkan menjadi dua metode, yaitu metode penaksiran klasik dan metode penaksiran Bayes. Pada metode penaksiran klasik, penaksiran dilakukan semata-mata atas dasar informasi yang diperoleh dari nilai statistik, sedangkan pada metode penaksiran Bayes di samping atas dasar informasi statistik tersebut, juga didasarkan pada unsur subjektif yang berupa pengetahuan terdahulu tentang distribusi suatu parameter. Pada Bayesian parameter-parameter yang akan diestimasi dipandang sebagai variabel-variabel random yang mempunyai distribusi awal yaitu distribusi prior. Dalam Box dan Tiao [3, h. 3] dijelaskan bahwa distribusi prior dianggap mewakili pengetahuan tentang parameter sebelum hasil percobaan diketahui. Konsep dari metode penaksiran Bayes adalah mengkombinasikan informasi data sampel dan data prior menggunakan teorema Bayes yang menghasilkan distribusi yang disebut dengan distribusi posterior, selanjutnya distribusi posterior dengan memakai fungsi kerugian tertentu akan menghasilkan penaksir Bayes. Kriteria penaksir dalam statistika ada dua macam yaitu penaksir bias dan penaksir tak bias. Apabila penaksir tersebut tak bias maka penaksir terbaik dari beberapa penaksir adalah yang memiliki variansi terkecil, sedangkan untuk penaksir bias penaksir yang efisien adalah yang mempunyai rata-rata kuadrat eror terkecil (Mean Square Error atau disingkat dengan MSE ). Artikel ini merupakan kajian dari artikel Singh dan Srivastava [10] yang membahas tentang penaksir Bayes distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel dengan lima fungsi kerugian, tetapi penulis membatasi pembahasan hanya menggunakan dua fungsi kerugian yaitu fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Setelah diperoleh penaksir parameter berdasarkan kedua fungsi kerugian tersebut, selanjutnya akan ditentukan bias atau tak bias kedua penaksir tersebut. Setelah itu, ditentukan efisiensi relatif dari kedua penaksir. 2. DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL Distribusi Maxwell-Boltzmann merupakan aplikasi dari teori kinetik gas, yang menjelaskan sifat gas, termasuk difusi dan tekanan dari gas tersebut. Distribusi Maxwell menggambarkan kecepatan pergerakan partikel dalam gas, dimana partikel bergerak bebas antara tumbukan kecil, tetapi tidak berinteraksi antara satu partikel dengan partikel lainnya, sebagai fungsi suhu 2
dari sistem, massa partikel dan ke cepatan pergerakan partikel. Partikel dalam konteks ini mengacu pada atom atau molekul dari gas [4]. Variabel random X dikatakan berdistribusi Maxwell dengan parameter θ jika mempunyai fkp sebagai berikut [11]: ( 2) ( ) √ −x 1 4 x2 f (x; θ) = √ 3 exp , x > 0, θ > 0, π = Γ . θ 2 π θ2 Misalkan Y = 1/X variabel random distribusi invers Maxwell, sehingga fkp dari distribusi invers Maxwell dapat diperoleh dengan menggunakan teknik transformasi seperti pada Roussas [9, h. 170]. ( ) 4 1 1 f (y; θ) = √ 3 4 exp − 2 , y > 0, θ > 0. (1) y θ πθ 2 y Distribusi ukuran bias merupakan kasus khusus dari bentuk umum yang dikenal dengan distribusi terbobot[1]. Jika Y variabel random dengan fkp f (y; θ), maka Y ∗ disebut variabel random versi ukuran bias dari Y dengan fkp f ∗ (y; θ) didefinisikan sebagai berikut [7]: f ∗ (y; θ) = dengan
∫
yf (y; θ) , y ∈ Y, E[Y ]
(2)
∞
E[Y ] =
yf (y; θ)dy,
y > 0.
(3)
0
Untuk mendapatkan fkp dari distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel perlu diketahui E[Y ], menggunakan persamaan (3) dengan f (y; θ) terdefinisi pada persamaan (1), diperoleh ( ) ∫ ∞ 4 1 1 E[Y ] = y √ 3 4 exp − 2 dy, y θ πθ 2 y 0 2 E[Y ] = √ . (4) πθ Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke persamaan (2), diperoleh fkp dari distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel dinotasikkan dengan h(y; θ) sebagai berikut: ( ) 1 2 1 exp − 2 h(y; θ) = , y > 0, θ > 0. (5) θ y3 y θ Distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel mempunyai fungsi kumulatif, serta ekspektasi dan variansi yang akan digunakan dalam mencari
3
MSE berturut - turut sebagai berikut: ( ) 1 E = θ. y2 ( ) 1 = θ2 . Var 2 y
(6) (7)
Selanjutnya dibahas penaksir parameter distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel menggunakan metode Bayesian berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi. 3. PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL DENGAN METODE BAYESIAN Misalkan Y1 , Y2 , ..., Yn merupakan sampel random berukuran n yang memiliki fkp pada persamaan (5), ditentukan penaksir Bayes dengan menggunakan quasi prior berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Untuk mencari penaksir Bayes, terlebih dahulu tentukan distribusi posterior. Distribusi posterior merupakan kombinasi linier dari fungsi likelihood dengan distribusi prior. Fungsi likelihood dari distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel yaitu (( n ) ) ( )n ∑ n ∑ 1 (1) 2 1 L(θ) = exp − . (8) 3 2 θ y y θ i i i=1 i=1 Setelah diperoleh fungsi likelihood, selanjutnya dicari distribusi posterior. Ramachandran dan Tsokos [8, h. 563] mendefinisikan distribusi posterior sebagai berikut: f (y|θ)π(θ) π(θ|y) = ∫ ∞ , (9) f (y|θ)π(θ)dθ −∞ dengan π(θ|y) menunjukkan distribusi posterior, f (y|θ) menunjukkan fungsi likelihood , dan π(θ) menunjukkan distribusi prior. Untuk situasi percobaan tidak memiliki informasi prior untuk parameter θ, maka dapat menggunakan densitas quasi sebagai distribusi prior [6]. π(θ) =
1 , θ > 0, d > 0. θd
(10)
Dengan mensubtitusikan persamaan (10) dan persamaan (8) ke persamaan (9) diperoleh ( ) sn+d−1 exp − θs . (11) π(θ|y) = n+d θ Γ(n + d − 1) Setelah diperoleh distribusi posterior pada persamaan (11), selanjutnya cari penaksir Bayes parameter distribusi invers Maxwell ukuran bias sampel dengan dua fungsi kerugian berbeda, yaitu fungsi kerugian 4
kuadratik dan fungsi kerugian entropi. Menurut Bain dan Engelhardt [2, h. 322] penaksir bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dinotasikan dengan θˆs merupakan ekspektasi bersyarat dari θ yang relatif terhadap distribusi posterior θˆs = E(θ|y). Dengan distribusi posterior pada persamaan (11), diperoleh ( s) ∫ ∞ n+d−1 s exp −θ θˆs = θ n+d dθ, θ Γ(n + d − 1) 0 ∑n 1 i=1 yi2 θˆs = . n+d−2 Adapun penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi dinotasikan dengan θˆe yaitu [6] [∫ ∞ ]−1 −1 ˆ θe = θ π(θ|x)dθ . −∞
Dengan distribusi posterior pada persamaan (11), diperoleh [∫ θˆe = 0
∞
∑n θˆe =
( s ) ]−1 n+d−1 s exp −θ dθ , θ−1 n+d θ Γ(n + d − 1)
1 i=1 yi2
(n + d − 1)
.
4. SIFAT PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL Penaksir yang diperoleh dapat berupa penaksir bias dan tak bias. Dalam menentukan bias atau tak bias dari suatu penaksir, maka dicari ekspektasi dari penaksir tersebut. Menggunakan sifat ekspektasi pada Ramachandran dan Tsokos[8, h. 95] ditentukan sifat penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik dan penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi. Terlebih dahulu tentukan sifat penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik sebagai berikut: ( ∑n 1 ) i=1 yi2 , E(θˆs ) =E n+d−2 ( ) n ∑ 1 1 ˆ E(θs ) = E . (12) n + d − 2 i=1 yi2
5
Dengan mensubtitusikan persamaan (6) ke persamaan (12) diperoleh E(θˆs ) =
nθ . (n + d − 2)
(13)
Dari persamaan (13), diketahui bahwa θˆs merupakan penaksir bias untuk d ̸= 2. Selanjutnya ditentukan sifat penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi. ( ∑n 1 ) i=1 yi2 E(θˆe ) = E , n+d−1 ( ) n ∑ 1 1 ˆ E(θe ) = E . (14) n + d − 1 i=1 yi2 Dengan mensubtitusikan persamaan (6) ke persamaan (14) diperoleh E(θˆe ) =
nθ . (n + d − 1)
(15)
Dari persamaan (15), diketahui bahwa θˆe merupakan penaksir bias untuk d ̸= 1. 5. MSE PENAKSIR PARAMETER DISTRIBUSI INVERS MAXWELL UKURAN BIAS SAMPEL Untuk mendapatkan MSE penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian kuadratik, terlebih dahulu perlu diketahui bias dari θˆs yang dinotasikan dengan b(θˆs ) yaitu (2 − d)θ . (16) b(θˆs ) = n+d−2 ( ) Dengan menggunakan persamaan (7) dan persamaan (16) diperoleh M SE θˆs sebagai berikut: M SE(θˆs ) =
n ∑ 1 (1 − d)2 θ2 1 Var( ) + , (n + d − 2)2 i=1 yi2 (n + d − 2)2
n ∑ 1 (2 − d)2 θ2 2 = (θ ) + , (n + d − 2)2 i=1 (n + d − 2)2
nθ2 (2 − d)2 θ2 + , (n + d − 2)2 (n + d − 2)2 (n + (2 − d)2 )θ2 . M SE(θˆs ) = (n + d − 2)2 =
Selanjutnya untuk mendapatkan MSE penaksir Bayes berdasarkan fungsi kerugian entropi perlu diketahui bias dari θˆe yang dinotasikan dengan 6
( ) b θˆe sebagai berikut: b(θˆe ) =
(1 − d)θ . n+d−1
(17) ( ) Dengan menggunakan persamaan (7) dan persamaan (17) diperoleh M SE θˆe sebagai berikut: M SE(θˆe ) = =
n ∑ 1 (1 − d)2 θ2 1 ) + Var( , (n + d − 1)2 i=1 yi2 (n + d − 1)2 n ∑ (1 − d)2 θ2 1 2 (θ ) + , (n + d − 1)2 i=1 (n + d − 1)2
nθ2 (1 − d)2 θ2 + , (n + d − 1)2 (n + d − 1)2 (n + (1 − d)2 )θ2 M SE(θˆe ) = . (n + d − 1)2 =
Kriteria penaksir yang efisien dari beberapa penaksir bias adalah yang memiliki MSE minimum. Apabila θˆe relatif efisien daripada θˆs , maka (n + (1 − d)2 )θ2 (n + (2 − d)2 )θ2 < , (n + d − 1)2 (n + d − 2)2
(18)
dari pertaksamaan (18) diperoleh pertaksamaan kuadrat dalam bentuk d yaitu 2d2 + (2n − 8)d + (−5n + 7) < 0,
(19)
karena d > 0, maka himpunan penyelesaian yang memenuhi pertaksamaan (19) adalah √ (4 − n) + n2 + 2n + 2 0
7
DAFTAR PUSTAKA [1] O. Akman, J. Gamage, J. Jannot, S. Juliano, A. Thurman dan D. Whitman, A simple test for detection of length biased sampling, Journal of Biostatistics, 1 (2007), 189-195. [2] L. J. Bain dan M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical Statistics, Second Edition, Duxbury Press, New York, 1992. [3] G. E. P. Box dan G. C. Tiao, Bayesian Inference in Statistical Analysis, Addisonn-Wesley Publishing Company, California, 1973. [4] I. K. Fayyadh, H. A. R. Hassan, M. A. Eleiwi dan F. L. Rashid Determination of the Maxwell-Boltzmann distribution probability for different gas mixtures, Engineering and Technology Journal, 32 (2014), 1485–1496. [5] D. A. Lind, R. D. Mason dan W. G. Marchal, Basic Statistics for Business and Economics, Internasional Edition, The McGraw-Hill Higher Education, Singapore, 2000. [6] H. Pandey dan A. K. Rao, Bayesian estimation of the shape parameter of a generalized pareto distribution under assimetric loss function, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 3 (2009), 69–83. [7] G. P. Patil, Weighted distributions, Encyclopedia of Environmetrics, 4 (2002), 2369–2377. [8] K. M. Ramachandran dan C. P. Tsokos, Mathematical Statistics with Applications, Elsevier Academic Press, San Diego, 2009. [9] G. Roussas, Introduction to Probability and Statistical Inference,Elsevier Science, San Diego, 2003. [10] K. L. Singh dan R. S. Srivastava, Bayesian estimation of parameter of invers Maxwell distribution via size-biased sampling, International Journal of Science and Research, 3 (2014a), 1835–1839. [11] K. L. Singh dan R. S. Srivastava, Invers Maxwell distribution as survival model, genesis, and parameter estimation, Research Journal of Mathematical and Statistical Sciences, 2 (2014b), 23–28. [12] R. E. Walpole, R. H. Myers, S. L. Myers dan K. Ye, Probability and Statistics for Engineer and Scientists, Ninth Edition, Pearson Education, New York, 2012.
8
