PENAKSIRAN PARAMETER
µ
DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL 2
MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
SUNARTO URJOYO PURBA 090823005
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
2
PENAKSIRAN PARAMETER
µ
DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL 2
MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
SUNARTO URJOYO PURBA 090823005
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
3 PERSETUJUAN
Judul
Kategori Nomor Induk Mahasiswa Program Studi Departemen Fakultas
: PENAKSIRAN PARAMETER µ DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD : SKRIPSI : 090823005 : S1 STATISTIKA EKSTENSI : MATEMATIKA : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (MIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA 2
Diluluskan di Medan, 2011
Komisi Pembimbing: Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 195003211980031001
Dr. Sutarman, M.Sc NIP. 196310261991031001
Diketahui/Disetujui oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
4 PERNYATAAN
PENAKSIRAN PARAMETER
µ
DAN σ PADA DISTRIBUSI NORMAL 2
MENGGUNAKAN METODE BAYES DAN MAKSIMUM LIKELIHOOD
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
2011
SUNARTO URJOYO PURBA 090823005
5 PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, dengan limpah karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Segala perencanaan manusia hanyalah usaha, adapun realisasinya hanyalah Tuhan yang menentukan. Penyusunan skripsi ini juga tidak terlepas dari hal tersebut dan patutlah bagi penulis untuk mengucapkan rasa syukur atas terselesainya skripsi yang berjudul “Penaksiran Parameter
µ Dan σ 2
Pada
Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes dan Maksimum Likelihood”.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan yang baik ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU dan dosen pembimbing 1 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing 2 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua Departemen Matematika dan Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Sekretaris Departeman Matematika FMIPA USU. 4. Bapak Drs. Pengarapan Bangun, M.Si. selaku Ketua Pelaksana Ekstension S-1 Statistika Matematika 5. Semua dosen departemen matematika FMIPA USU, dan pegawai FMIPA USU 6. Bapak P. Purba dan Ibu H. br. Sitanggang serta keluarga semua yang selalu mencurahkan kasih sayang, memberikan bantuan materil dan doa yang tiada
6 hentinya untuk penulis dari awal perkuliahan sampai selesainya penyusunan Skripsi ini yang selalu memberi semangat dan motivasi kepada penulis 7. Teman-teman seperjuangan yang telah memberikan bantuan dan dukungan kepada penulis dalam menyusun skripsi ini.
Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini tidak luput dari kesalahan. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat penulis harapkan demi penyempurnaan skripsi ini. Harapan penulis semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
7 ABSTRAK
Metode maksimum likelihood mendasarkan inferensinya pada sampel, dan juga metode ini salah satu cara untuk menaksir distribusi normal. Ide dasar metode maximum likelihood adalah mencari nilai parameter yang memberi kemungkinan (likelihood) yang paling besar untuk mendapatkan data yang terobservasi sebagai estimator dan kegunaannya untuk menentukan parameter yang memaksimalkan kemungkinan dari data sampelnya. Penaksir kemungkinan maksimumnya adalah: L( θ ) = f ( x1 ,θ ), f ( x 2 ,θ ),... f ( x n ,θ ) Tetapi jika distribusi populasi tidak diketahui maka metode maksimum likelihood tidak dapat digunakan. Bayes memperkenalkan suatu metode perlu mengetahui bentuk distribusi awal (prior) dari populasi. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang diperoleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasi. Penaksir bayesnya adalah: f( θ |x1, x2, …, xn) =
Kata kunci
f(x1 , x 2 ,…, x n : θ ) g(x1 , x 2 ,… , x n )
: Estmasi Bayes, Estimasi Maksimum Likelihood, Batas Toleransi
8 ABSTRACT
The method of maximum likelihood inference based on the sample, and this method is also one way to assess the normal distribution, the basic idea is to find the maximum likelihood method of parameter values which give the possibility (likelihood) that most large to obtain the observed data as an estimator and its uses to determine the parameters that maximize the likelihood of the sample data. Maximum likelihood estimator is: L( θ ) = f ( x1 ,θ ), f ( x 2 ,θ ),... f ( x n ,θ ) But if the population distribution is unknown then the maximum likelihood method can not be used. Bayes introduces a method which needs to know the form of initial distributions (priors) of the population known as the Bayes method. Before pulling a sample from a population sometimes obtained information about the parameters to be estimated. This information is then combined with information from the sample to be used in estimating population parameters. Bayes estimator is:
f( θ |x1, x2, …, xn) =
f(x1 , x 2 ,…, x n : θ ) g(x1 , x 2 ,… , x n )
Keywords: Bayes Estimation, Maximum Likelihood Estimates, Limits of Tolerance
9 DAFTAR ISI
Halaman Persetujuan…………………………………………………………………………….i Pernyataan ……………………………………………………………………………………..….ii Penghargaan ………………………………………………………………………………….….…iii Abstrak ………………………………………………………………………….……………..v Abstract …………………………………………………………………………………..……vi Daftar isi ………………………………………………………………………….……..……..vii Daftar Gambar ………………………………………………………………………………………..ix BAB 1 PENDAHULUAN…………………………………………………………………….1 1.1 Latar Belakang………………………………………………………………………….……1 1.2 Perumusan Masalah………………………………………………………………………...……...2 1.3 Tinjauan Pustaka……………………………………………………………………………...…2 1.4 Tujuan Penelitian……………………………………………………………4 1.5 Kontibusi Penelitian…………………………………………………………4 1.6 Metode Penelitian…………………………………………………….……..5
BAB 2 LANDASAN TEORI……………………………………………………………. …………………..6 2.1 Konsep Dasar Penaksiran Parameter ……………………………………....6 2.2 Distribusi normal…………………………..………………………………..9 2.3 Distribusi Sampel………………………………………………………….12
10 2.4 Maksimum Likelihood……………………………………………………..14 2.5 Metode Bayes……………………………………………………………...15 2.5.1 Distribusi Prior ……………………………………………………..16 2.5.2 Distribusi Posterior………………………………………………….17 2.5.3 Menentukan Selang Taksiran Bayes………………………………..18 2.6 Batas Toleransi…………………………………………………………….18
BAB 3 PEMBAHASAN……………………………………………………………..21 3.1 Penaksiran Parameter µ Dan σ 2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes …….……………………………………….21 3.2 Penaksiran Parameter µ Dan σ 2 Pada Distribusi Normal Menggunakan Maksimum Likelihood……………………………………..24 3.3 Contoh Kasus ……………………………………………………………..26
BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN……………………………………………..30 4.1 Kesimpulan………………………………………………………………..30 4.2 Saran……………………………………………………………………….31
Daftar Pustaka……………………………………………………………………….32
11 DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Kurva Normal…………………………………………………………...11 Gambar 2.2 Distribusi Normal Asli dan Yang Telah Ditransformasikan……………12 Gambar 2.3 Kejadian yang saling lepas……………………………………………...15 Gambar 2.4 Gabungan dua kejadian yang saling lepas………………………………15 Gambar 2.5 Batas keprcayaan pada distribusi normal……………………………….19 Gambar 2.6 Interval kepercayaan rata-rata populasi…………………………………19
