SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 S-9
Korelasi Kendall (τ) untuk Estimasi Parameter Distribusi Clayton-copula Bivariat Apriliana Wiji Nurcahyani, Dewi Retno Sari Saputro, dan Nughthoh Arfawi Kurdhi Program Studi Matematika (FMIPA, Universitas Sebelas Maret (UNS))
[email protected]
Abstrak— Untuk membentuk fungsi distribusi bersama dari dua variabel random yang berdistribusi ekstrem diperlukan fungsi penghubung. Fungsi penghubung tersebut adalah copula. Copula dibagi ke dalam beberapa kelas, salah satunya Clayton-copula. Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari dua variabel random. Sedangkan untuk mengetahui korelasi antara dua variabel random digunakan korelasi Kendall (τ). Korelasi Kendall (τ) digunakan karena terdapat perbedaan antara peluang konkordan dan diskordan untuk dua variabel random yang dependen. Tujuan penelitian ini untuk estimasi parameter parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ). Hasil dari estimasi parameter pada distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ) adalah . Kata kunci: Estimasi parameter, Korelasi Kendall (τ), Distribusi Clayton-copula
I.
PENDAHULUAN
Fungsi distribusi bersama diperlukan dalam menyelesaikan permasalahan yang mempunyai dua atau lebih variabel random baik dalam ruang sampel yang sama atau berbeda. Fungsi distribusi bersama dapat dibentuk dari beberapa variabel random independen, namun dalam beberapa kasus ditemukan pula variabel random dependen. Oleh karena itu digunakan copula. Referensi [1] menyebutkan bahwa copula adalah fungsi distribusi bersama multivariat yang dapat dibentuk hanya menggunakan informasi dari distribusi marginal variabel random dependen. Dalam suatu penelitian, asumsi kenormalan suatu data harus dipenuhi karena dapat memudahkan dalam menentukan fungsi distribusi bersamanya sehingga memudahkan untuk estimasi parameternya. Peran copula akan menjadi penting ketika data mempunyai distribusi tidak normal, sehingga tetap dapat dilakukan estimasi parameter tanpa mengabaikan asumsi ketidaknormalan distribusinya. Data yang bersifat tidak normal mengandung nilai ekstrem. Oleh karena itu, copula digunakan ketika data mempunyai nilai ekstrem dan tidak normal. Namun, penelitian menggunakan copula masih belum banyak dilakukan. Referensi [2] menyebutkan bahwa keluarga copula dibagi menjadi tiga yaitu elliptical copula, archimedean copula, dan Marshall-Olkin-copula. Keluarga elliptical copula merupakan copula dari distribusi elips. Terdapat dua tipe copula yang termasuk dalam kelas elliptical copula yaitu gaussian copula dan student-t copula. Archimedean copula terdiri dari tiga kelas yaitu Frank-copula, Gumbelcopula, dan Clayton-copula. Archimedean copula paling banyak digunakan dalam kasus bivariat. Hal ini disebabkan karena kemudahan dalam menentukan fungsi copulanya dan kelas dalam archimedean copula mempunyai fungsi pembangkit yang berbeda-beda. Fungsi pembangkit archimedean copula adalah kontinu, monoton turun, memiliki fungsi dengan . Nilai dari untuk dan untuk . Fungsi adalah copula bivariat dan disebut archimedean copula bivariat dengan fungsi pembangkit ϕ seperti pada [3]. Penelitian yang pernah dilakukan oleh [4] adalah Clayton-copula pada financial market risk management. Pada penelitian tersebut, digunakan gabungan dari dua kelas archimedean copula yaitu Clayton-copula dan Gumbel-copula. Referensi [5] menyebutkan bahwa Clayton-copula lebih cocok digunakan untuk data hidrologi. Clayton-copula lebih menitikberatkan pada distribusi multivariat dengan struktur implisit yang dependen. Penelitian financial market risk management mengindikasikan bahwa Clayton-copula dan Gumbel-copula dapat digunakan dalam mengestimasi nilai ekstrem. Referensi [3] menyebutkan bahwa terdapat dua perilaku ekor dependen yaitu ekor dependen atas (upper tail dependence) dan ekor dependen bawah (lower tail dependence). Ekor dependen atas dapat
MS 53
ISBN 978-602-73403-1-2
didekati dengan distribusi Gumbel-copula dan ekor dependen bawah dapat didekati dengan distribusi Clayton-copula. Dalam penelitian yang dilakukan oleh [4] estimasi yang digunakan untuk fungsi distribusi Claytoncopula dan Gumbel-copula adalah maximum likelihood estimation (MLE). Copula juga dapat digunakan untuk menjelaskan korelasi dari suatu distribusi seperti pada [6]. Referensi [7] menyebutkan bahwa korelasi Kendall (τ) dapat digunakan untuk mengkonstruksi parameter kelas Clayton-copula dan Gumbelcopula. Dalam konsep korelasi Kendall (τ) dikenal dengan adanya istilah konkordan dan diskordan. Misalkan dan menyatakan dua observasi dari vektor variabel random kontinu . Observasi dan dikatakan konkordan apabila dan dikatakan diskordan apabila . Kelebihan korelasi Kendall (τ) adalah tidak terpengaruh oleh nilai-nilai outlier dan dapat digunakan meskipun bentuk hubungan antara variabel random tidak bersifat linear. Referensi [8] menyatakan bahwa korelasi Kendall (τ) merupakan salah satu korelasi yang sesuai untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula. Oleh karena itu, pada penelitian ini dikaji ulang estimasi parameter distribusi Clayton-copula dengan korelasi Kendall (τ) dengan rumusan masalah adalah bagaimana mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ). Tujuan penelitian ini untuk mengestimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ) dan manfaat dari penelitian ini adalah menambah pengetahuan tentang copula pada nilai ekstrem dan estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat dengan korelasi Kendall (τ). II.
METODE PENELITIAN
Penelitian ini merupakan penelitian teori dengan estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat. Berikut adalah langkah-langkah estimasi parameter distribusi Clayton-copula menggunakan korelasi Kendall ( ). a. Menentukan fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula. b. Menentukan turunan pertama fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula. c. Mensubstitusi fungsi pembangkit distribusi Clayton-copula ke persamaan (1) d.
Menghitung nilai
e.
Mensubstitusi hasil perhitungan
f.
Menghitung nilai
g.
Mensubstitusikan hasil integral ke (1). III.
ke (1).
HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Archimedean Copula Bivariat Copula dapat digunakan untuk mengetahui korelasi dari suatu distribusi. Ukuran korelasi yang dikenal antara lain korelasi linear Pearson, korelasi rank (rank correlation), dan koefisien kebergantungan ekor (coefficient of tail dependence). Referensi [6] menyebutkan bahwa korelasi rank dan koefisien kebergantungan ekor digolongkan sebagai korelasi yang berbasis copula. Copula berperan dalam menggabungkan struktur depedensi untuk membentuk distribusi bersama dua variabel random U1 dan U2. Dependensi dalam konteks ini dapat dianggap dari kejadian ekstrem. Copula dengan variabel random yang memiliki nilai ekstrem termasuk ke dalam keluarga archimedean copula. Secara umum fungsi distribusi archimedean copula didefinisikan dalam persamaan .
(2)
Dalam penelitian ini digunakan dua variabel random dengan dua fungsi pembangkit sehingga menurut [3], fungsi distribusi archimedean copula bivariat dinyatakan sebagai berikut , dengan adalah fungsi pembangkit pada variabel random pertama dan pembangkit pada variabel random kedua.
(3) adalah fungsi
B. Distribusi Clayton-copula Distribusi Clayton-copula merupakan fungsi distribusi gabungan dari dua variabel random yang berdistibusi Clayton. Fungsi distribusi archimedean copula bivariat dibutuhkan untuk membentuk distibusi bersama tersebut. Fungsi distribusi archimedean copula bivariat dinyatakan pada (3) dengan
MS 54
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
dan merupakan fungsi pembangkit dari Clayton-copula pada variabel random dan serta sebagai parameternya. Fungsi distribusi bersama Clayton-copula bivariat dengan variabel random dan diperoleh dengan mensubstitusi fungsi pembangkit Claytoncopula masing-masing variabel random dan ke (3) sehingga diperoleh
dengan merupakan inverse dari fungsi pembangkit variabel random dan pada distribusi Clayton-copula bivariat. Untuk memperoleh inverse fungsi pembangkit dengan mengubah persamaan menjadi bentuk u sebagai fungsi dari y, hasil perubahan bentuk u menjadi fungsi y dinamakan sebagai , selanjutnya mengubah y menjadi u.
sehingga inverse dari
adalah (4)
Berdasakan fungsi inverse pada (4) diperoleh
Dengan demikian distribusi Clayton-copula bivariat dinyatakan sebagai (5) selanjutnya parameter
pada (5) diestimasi menggunakan korelasi Kendall ( ).
C. Pembuktian Ekor Dependen Fungsi distribusi Clayton-copula bivariat pada (5) memiliki ekor dependen bawah yang berarti bahwa dan
, dengan pembuktian sebagai berikut
MS 55
ISBN 978-602-73403-1-2
dan untuk
misalkan
diperoleh
D. Estimasi Parameter Distribusi Clayton-copula Menurut Genest dan Rivers (1993) dalam [9], untuk mengestimasi parameter menggunakan observasi nilai Kendall (τ) pada distribusi Clayton-copula dapat dihitung menggunakan (1) dengan fungsi
MS 56
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016
pembangkit yang digunakan adalah pertama fungsi pembangkitnya yaitu
. Langkah pertama adalah menentukan turunan
Setelah diperoleh turunan pertama fungsi pembangkitnya, fungsi pembangkit dan turunan pertamanya disubstitusi pada (1). Langkah kedua adalah menghitung nilai dan diperoleh
Langkah berikutnya adalah mensubstitusi (6) ke (1) dan diperoleh
Kemudian dilakukan pengintegralan parsial pada (7) ruas kanan suku kedua yaitu
Untuk memperoleh estimasi parameter
pada (5), (8) disubstitusi ke (7) sehingga diperoleh
MS 57
ISBN 978-602-73403-1-2
Dari (9) diperoleh estimasi parameter distribusi Clayton-copula bivariat yaitu
IV.
SIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan diperoleh kesimpulan yaitu estimasi paremeter distribusi Claytoncopula dengan korelasi Kendall ( ) adalah Estimasi parameter yang dilakukan pada penelitian ini hanya menggunakan dua variabel random dan korelasi Kendall ( ). Sedangkan metode untuk mengestimasi parameter tidak hanya korelasi Kendall ( ) sehingga disarankan bagi penelitian selanjutnya menggunakan metode yang lain untuk membandingkan estimasinya. DAFTAR PUSTAKA [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
Zimmer, D. M. and P. K. Trivedi, “Using Triviate Copulas to Model Sample Selection and Treatment Effect: Application to Family Healt Care Demand,” Journal of Business and Economic Statistics, vol. 24, no. 1, pp. 63-67, 2006. Embrechts, P., F. Lindskog, and A. McNeil, “Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management,” Tech. report, Department of Mathematics ETZH, 2001. Kort, J., “Modelling Tail Dependence Using Copulas-literature review,” ResearchGate, 2007. Shamiri, A., N. A. Hamzah, and A. Pirmoradian, “Tail Dependence Estimate in Financial Market Risk Management: ClaytonGumbel Copula Approach,” Sains Malaysiana, pp. 927-937, 2011. Bakrizadeh, H., G. A. Parhan, and M. R. Zadkarni, “Weighted Clayton Copulas and their Characterizations: Application to Probable of The Hydrology Data,” Journal of Data Science, vol. 11, pp. 293-303, 2013. Syuhada, K., “Peubah Acak, Fungsi Distribusi Bersama dan Copula,” Jurnal Matematika, Institut Teknologi Bandung, vol. 2, 2011. Mahfood, M., “Bivariate Archimedean Copulas: An Application to Two Stock Market Indices,” Tech. report, Vrije Universteit, 2012. Genest, C. and J. Segers, “On the Covariance of The Asymptotic Empirical Copulas Process,” Journal of Multivariate Analysis, vol. 101, 2010. Syahrir, I., I. Zaini, dan H. Kuswanto, “Estimasi Parameter Copula Archimedean dan Aplikasinya dalam Klimatologi,” Paper dan Presentasi Statistika, Institut Teknologi Sepeluh November, 2012.
MS 58
