METODE PENAKSIRAN PENAKSIRAN
1.
Penaksiran Titik Nilai tunggal dari suatu parameter melalui pendekatan metode tertentu.
2.
Penaksiran Selang Nilai sesungguhnya gg y dari suatu p parameter yang berada di selang tertentu.
Penaksiran P k i Ti Titik ik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk µ Selang Kepercayaan untuk σ2 MA 2081 Statistika Dasar Dosen : Udjianna S Pasaribu Dosen : Udjianna S. Pasaribu Utriweni Mukhaiyar 6 April 2009
© 2008 by UM
© 2008 by USP & UM
2
ILUSTRASI
CONTOH 1.
2.
Seorang mahasiswa calon sarjana Matematika, memiliki target IP ketika lulus adalah d l h 3,5. 35 Seorang mahasiswa lainnya memiliki target IP ketika lulus adalah minimal 3.
Kasus 1: taksiran titik Kasus asus 2: taksiran ta s a selang se a g
p Populasi Sampel
Parameter Populasi µ
σ2 titik?? selang??
?
IP = 3,5 IP = [3, [3,4]]
menaksir
?
Parameter Sampel ´
© 2008 by UM
Parameter sampel menaksir parameter populasi
© 2008 by UM
3
4
1
PENAKSIRAN TITIK ´
PENAKSIR TAKBIAS DAN PALING EFISIEN Definisi ˆ dikatakan penaksir takbias parameter ´ Statistik Θ θ bila,
Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan. keputusan X →µ
s →σ 2
ˆ ]=θ µ Θˆ = E[Θ
2
y Apakah A k hX d dan s2 merupakan k penaksir k i yang b baik ik
dan paling efisien bagi µ dan σ2?
Dari semua penaksir takbias θ yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir θ yang paling efisien
σ Θ2ˆ < σ Θ2ˆ 1
© 2008 by UM
5
2
© 2008 by UM
6
PENAKSIR TAK BIAS UNTUK µ DAN σ2
PENAKSIRAN SELANG
Misalkan peubah acak X ~ N(µ,σ2)
y Taksiran selang suatu parameter populasi θ:
1 n ´ X = ∑ Xi n i =1
y
θˆ1 < θ < θˆ2
penaksir tak bias untuk µ.
´
1 n 2 2 ´ s = ∑ (X i − X ) penaksir takbias untuk σ2. n − 1 i =1
(
)
ˆ <θ < Θ ˆ = 1−α PΘ 1 2
dengan 0 < α < 1. 1
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
E[ X ] = µ E[ s 2 ] = σ 2
θˆ1 dan θˆ2 : nilai dari peubah acak Θˆ 1 dan Θˆ 2 θˆ1 danθˆ2 dicari sehingga memenuhi :
taraf/koefisien kepercayaan
y Selang kepercayaan : perhitungan selang
berdasarkan sampel acak. 7
© 2008 by UM
θˆ1 < θ < θˆ2 8
© 2008 by UM
2
KURVA NORMAL BAKU (Z~N(0,1))
SKEMA PENAKSIRAN
MENGHITUNG TABEL z
POPULASI
σ2
µ
1 POPULASI
2 POPULASI BERPASANGAN
2 POPULASI
1 POPULASI
Tabel χ
D
2 POPULASI BERPASANGAN
2 n −1
D
P(-z1-α/2 ≤ Z ≤ z1-α/2)
α/2
2 POPULASI
α/2
1-α
Tabel Fv1 ,vv2
µ=0
-z1-α/2
z1-α/2
(1-α/2) σ2 diketahui
σ2 tidak diketahui
Tabel z
Tabel t
© 2008 by UM
σ12 , σ22 diketahui
σ12 = σ22 tidak diketahui
σ12 ≠ σ22 tidak diketahui
Tabel z
Tabel t
Tabel t
α = 5% maka z1-α/2 = z0,975 =1,96 Æ P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975 dan -z1-α/2 = -z0,95= -1,96. 9
KURVA T-STUDENT (T~TV)
© 2008 by UM
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK µ
MENGHITUNG TABEL t
´
P(-tα/2 ≤ T ≤ tα/2)
α/2
10
Kasus 1 populasi, σ2 diketahui
⎛ ⎞ P⎜⎜ − z α < Z < z α ⎟ = 1 − α 1− 1− 2 2 ⎠ ⎝
α/2
TLP :
1-α
-ttα/2
µ=0
X −µ = Z ~ N (0,1) σ/ n
⎛ σ σ ⎞ P⎜⎜ X − z α <µ< X +z α = 1−α 1− 1− n n⎠ ⎝ 2 2
tα/2
SK (1-α) untuk µ jika σ2 diketahui :
α = 5% dan n =10 maka tα/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 Æ P(T ≤ t0,025) = 0,025
dan -tα/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262 © 2008 by UM
© 2008 by UM
11
X −z
1−
σ
α 2
n
<µ< X +z
1−
α 2
σ n
12
3
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK µ ´
CONTOH 1
Kasus 1 populasi, σ2 tidak diketahui
´
⎛ ⎞ P⎜⎜ − t α < T < t α ⎟ = 1 − α 2 ⎠ ⎝ 2 X −µ ~ t n −1 S/ n
⎛ S S ⎞ P⎜⎜ X − t α < µ < X + tα = 1−α n n⎠ ⎝ 2 2
Survey tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku $ 1,000 dan rata-rata pengeluaran adalah sebesar $ 5,500. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang g kepercayaannya p y y !
SK (1-α) untuk µ jika σ2 tidak diketahui : © 2008 by UM
X − tα 2
S S < µ < X + tα n n 2
© 2008 by UM
13
14
ANALISIS CONTOH
CONTOH 2 ´
Survey tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika diketahui berdistribusi normal. Ratarata pengeluaran adalah sebesar $ 5,500 dengan simpangan bakunya $ 1,000. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang g kepercayaannya p y y !
Contoh 1 n = 50 , X = 5500, σ = 1000
n = 50 , X = 5500 , S = 1000
Ditanya :
SK 98% untuk µ (α = 0,02)
SK 98% untuk µ (α = 0,02)
Jenis kasus :
kasus menaksir µ dengan σ2 diketahui,
kasus menaksir µ dengan σ2 tidak diketahui,
Jawab :
z1-α/2 = z0,99 = 2,33
tα/2;n-1 = t0,01;49 = 2,326
Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan contoh 2?
X −z
1−
© 2008 by UM
Contoh 2
Diketahui :
© 2008 by UM
σ α 2
n
<µ< X +z
1−
σ α 2
n
X − tα 2
S S < µ < X + tα n n 2 16
15
4
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK µ1- µ2
SOLUSI CONTOH 1 DAN 2
KASUS 2 POPULASI
1. SK 98% untuk µ jika σ2 diketahui : 5500 − 2,33
1000 1000 < µ < 5500 + 2,33 50 50
X1 ~ N(µ1 , σ12)
X2 ~ N(µ2 , σ22)
5170,488 < µ < 5829,512
µ1
2. SK 98% untuk µ jika σ2 tidak diketahui :
1 SK (11. (1 α) untuk (µ1- µ2) jika σ12 dan σ22 diketahui
1000 1000 5500 − 2,326 < µ < 5500 + 2,326 50 50
© 2008 by UM
µ2
( X 1 − X 2 ) − Z1−α / 2
5171,054 < µ < 5828,946
σ 12 n1
+
σ 22 n2
< µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + Z1−α / 2
σ 12 n1
+
© 2008 by UM
σ 22 n2 18
17
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK µ1- µ2
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK µ1- µ2
KASUS 2 POPULASI
KASUS 2 POPULASI
2 2 2 2 2. (1 α) untuk (µ12 SK (1-α) 1 µ2) jika σ1 , σ2 tidak diketahui dan σ1 ≠ σ2
3. SK (1-α) untuk (µ1- µ2) jika σ12 , σ22 tidak diketahui dan σ12 = σ22 ( X 1 − X 2 ) − tν ;α / 2 S p
( X 1 − X 2 ) − tν ;α / 2
S12 S 22 S2 S2 + < µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + tν ;α / 2 1 + 2 n1 n2 n1 n2 dimana S p = 2
⎛ S12 S 22 ⎞ ⎜ + ⎟ n n2 ⎠ dimana ν = 2 ⎝ 12 ( S1 / n1 ) ( S 22 / n2 ) 2 + n1 − 1 n2 − 1 © 2008 by UM
1 1 1 1 + < µ1 − µ 2 < ( X 1 − X 2 ) + tν ;α / 2 S p + n1 n2 n1 n2
(n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S22 n1 + n2 − 2
dan v = n1 + n2 - 2
2 2 ⎛ n1 ⎞ ⎛ n2 ⎞ ⎛ n1 ⎞ ⎛ n2 ⎞ ⎜ ∑ X 12 − ⎜ ∑ X 1 ⎟ n1 ⎟ + ⎜ ∑ X 22 − ⎜ ∑ X 2 ⎟ n2 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎠ ⎝ 1 ⎠ atau S p = ⎝ n1 + n2 − 2
19
© 2008 by UM
=
JK X1 X1 − JK X 2 X 2 n1 + n2 − 2
20
5
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK µD
PENGAMATAN BERPASANGAN Ciri-ciri: ´ Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan ´ Data berasal dari satu populasi yang sama
SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan d dan simpangan baku Sd :
Contoh B Berat badan b d sebelum b l d dan sesudah d h diet di ´ Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia
dimana µ d = µ1 − µ 2 dengan g n = banyaknya y y pasangan. p g
Sd S < µ D < d + tn −1; α d 2 n n
d − tn −1; α
2
´
d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.
© 2008 by UM
© 2008 by UM
21
22
KURVA KHI KUADRAT (X~ χ v ) 2 2
KURVA FISHER (F~ Fv1 ,v2 )
MENGHITUNG TABEL χ
α/2
MENGHITUNG TABEL F
α/2
⎛ ⎞ P⎜⎜ χ 2 α < X 2 < χ α2 ⎟⎟ = 1 − α 2 ⎠ ⎝ 1− 2
α/2
f
1-α
0
χ α2
2
2
α = 5% dan n =10 maka, χ α 2
2 © 2008 by UM
fα 2
χ2 α 1−
α
1− ; n1 −1, n2 −1 2
=
1
χ2α
,n −1
1− , n −1 2
=χ
2 0, 025;9
⎛ ⎞ ⎟ = 1−α P⎜⎜ f α < F < fα ;v1 ,v2 ⎟ 2 ⎝ 1− 2 ;v1 ,v2 ⎠
; n2 −1, n1 −1
1-α
0
f
1−
= 19,023
α
fα
2
2
α = 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, f α
= χ 02,975;9 = 2,7
f 23
α
1− ; n1 −1, n2 −1 2
© 2008 by UM
=
1 fα 2
; n 2 −1, n1 −1
α/2
2
=
; n1 −1, n 2 −1
= f 0 , 025 ;9 ,8 = 4,36 dan
1 1 = = 0,24 f 0 ,975 ;8, 9 4,1 24
6
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK σ12 /σ22
SELANG KEPERCAYAAN (1-α) UNTUK σ2 ´
Kasus 1 populasi
´
⎛ ⎞ P⎜⎜ χ 2 α < X 2 < χ α2 ⎟⎟ = 1 − α 1− 2 ⎠ ⎝ 2 X2 =
(n − 1) S 2
σ2
⎛ ⎞ ⎟ = 1−α P⎜⎜ f α < F < fα 1− ;v1 ,v2 ;v1 ,v2 ⎟ ⎠ ⎝ 2 2 σ 22 S12 F = 2 2 ~ fα ,v ,v σ 1 S2 2 ⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜S 1 σ 2 S2 < 12 < 12 f α P⎜ 12 ⎟ = 1−α ;v2 ,v1 S f σ S 2 2 ⎜ 2 α ;v1 ,v2 2 2 ⎝ ⎠ SK (1 - α) 100% untuk σ12 /σ22 :
~ χ n2−1
1
⎛ (n − 1) S 2 (n − 1) S 2 ⎞ ⎟ = 1−α P⎜⎜ <σ 2 < 2 χ12−α / 2 ⎠ ⎝ χα / 2
SK (1 - α) 100% untuk σ2 :
(n − 1) S 2 © 2008 by UM
χ
2 ( n −1);
α 2
<σ2 <
Kasus 2 populasi
(n − 1) S 2
χ2
( n −1);1−
α 2
© 2008 by UM
25
S12 1 S 22 f α 2
;v1 ,v2
<
σ 12 S12 < f σ 22 S 22 α2 ;v ,v 2
1
2
26
REFERENSI Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and y off Data,, USA: Duxbury y Press,, 1997. Analysis ´ Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika. ´ Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000. ´ Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Ilmuwan Edisi 4, 4 Bandung: Penerbit ITB, 1995. ´ Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice Hall, 2007. © 2008 by UM ´
27
7
