(T.9) PENAKSIRAN MODEL GARCH DENGAN METODE BOUNDED M-ESTIMATES

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011

ISSN : 2087-5290. Vol 2, November 2011

(T.9) PENAKSIRAN MODEL GARCH DENGAN METODE BOUNDED M-ESTIMATES Yahya Ubaid1), Budi Nurani R.2), Mulyana K.3) Program Magister Statistika Terapan Universitas Padjadjaran 2)Staf Pengajar Jurusan Matematika FMIPA Univeristas Padjadjaran 3)Staf Pengajar Statistika Jurusan FMIPA Universitas Padjadjaran Jl. Ir. H. Juanda 4 Bandung 40115 1) Email : [email protected] 2)[email protected], 3)[email protected] 1)Mahasiswa

Abstrak

Asumsi yang harus dipenuhi dalam membentuk model deret waktu adalah stasioneritas baik dari rata-rata ataupun variansinya. Terdapat data deret waktu yang sulit diperoleh kestasioneran pada variansi seperti data deret waktu finansial (indeks harga saham, tingkat suku bunga, inflasi atau kurs mata uang), dengan kata lain variansinya tidak konstan (heteroskedastisitas). Model deret waktu yang mengakomodasi heteroskedastisitas adalah model ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Pengembangan dari model ARCH adalah model GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity). Metode penaksiran model GARCH yang biasa digunakan adalah Maximum Likelihood Estimates. Metode ini didasarkan pada normal likelihood yang sangat sensitif terhadap adanya outlier, sehingga hasil penaksiran menjadi tidak konsisten ketika ada outlier. Untuk mengatasi hal tersebut diperlukan penaksir robust yang mampu memberikan hasil penaksiran yang konsisten. Metode Bounded M-Estimates merupakan metode penaksiran model GARCH yang robust terhadap adanya outlier. Kata Kunci: GARCH, outlier, Bounded M-Estimates.

1.

PENDAHULUAN Salah satu asumsi dalam deret waktu adalah adanya autokorelasi, misalnya korelasi

antara variabel waktu sekarang dengan waktu sebelumnya. Model deret waktu yang sering digunakan antara lain Autoregressive (AR), Moving Average (MA), Autoregressive Moving Average (ARMA) dan Autoregressive Integraeted Moving Average (ARIMA). Asumsi yang harus terpenuhi dalam membentuk model di atas adalah stasioner baik dari rata-rata ataupun variansinya. Menstasionerkan rata-rata bisa didapatkan dengan mendiferensikan data deret waktu, Tetapi untuk menstasionerkan variansi sulit didapatkan, karena ketika data deret waktu didiferensi dan diperoleh stasioner pada rata-rata, data tersebut menjadi lebih tidak stasioner pada variansi. seperti data deret waktu finansial (indeks harga saham, tingkat suku bunga, inflasi atau kurs mata uang) yang umumnya memiliki variansi yang tidak konstan (heteroscedasticity).

Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011

83



Untuk menanggulangi keadaan tersebut maka diperlukan sebuah metode lain yang dapat digunakan sesuai dengan karakteristik yang dimiliki oleh data deret waktu finansial. Salah satu model deret waktu yang mengakomodasi heteroskedastisitas adalah model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) yang diperkenalkan oleh Engle pada tahun 1982. Menurut Engle, penggunaan metode ARCH pada data deret waktu yang mengalami heteroskedastisitas berperan penting dalam meningkatkan efisiensi. Pada model ini, variansi error data deret waktu sekarang hanya dipengaruhi oleh error dari variabel yang diteliti

pada

waktu

sebelumnya.

Kemudian,

pada

tahun

1986,

Tim

Bollerslev

mengembangkan metode ARCH dengan metode yang disebut Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH). Model ini dianggap memberikan hasil yang lebih singkat dan efektif daripada model ARCH karena dapat mengurangi ketergantungan sejumlah besar lag error masa lalu. Pada model ini variansi error waktu sekarang tidak hanya dipengaruhi oleh error masa lalu tetapi juga dipengaruhi oleh variansi error masa lalu. Model heteroskedastisitas deret waktu (ARCH/GARCH) biasanya ditaksir dengan maximum likelihood (ML) yang diasumsikan bahwa distribusi dari satu pengamatan bersyarat masa lalu adalah normal. Penaksiran tersebut didasarkan pada normal likelihood sangat sensitif terhadap kehadiran beberapa outlier. Jenis outlier yang telah dipelajari dalam deret waktu antara lain additive outlier dan innovation outlier. Keberadaan outlier mempunyai pengaruh besar terhadap penaksiran-ML. Untuk mengatasi hal tersebut diperlukan penaksir robust yang mampu memberikan hasil penaksiran yang konsisten. Muler dan Yohai (2007) mengenalkan penaksiran robust pada model GARCH dengan metode BM-estimates (Bounded M-estimates). 2.

KERANGKA KONSEPTUAL

2.1 Model ARCH Engle

(1982)

mengusulkan

suatu

model

untuk

variansi

tidak

konstan

(heteroskedastistas) yang tergantung pada nilai-nilai masa lalu Xt, atau dikenal sebagai model “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity” (ARCH), yang didefinisikan sebagai

X t  Z t t

(1)

X t  t 1 ~ N (0,  t2 )

(2)

 t2   0  1 X t 12

(3)


84



dengan Z t ~ (0,1) (white noise), dan  t postif. Model di atas disebut sebagai model ARCH(1). Fungsi untuk variasi waktu adalah  t 1 

 X t 1 ,

X t  2 , . . . , yang merupakan

himpunan informasi yang tersedia pada waktu t-1. Fungsi variansi pada persamaan (2.3) dapat digeneralisasi untuk orde lebih dari satu, sehingga diperoleh persamaan

 t2   0  1 X t 12  . . .   p X t  p 2

(4)

Persamaan (4) dikenal sebagai model ARCH dengan orde p, dan α0, α1, . . ., αp adalah parameter yang tidak diketahui. Untuk mendapatkan model regresi ARCH, rataan dari Xt diasumsikan sebagai kombinasi linier dari variabel lag, termasuk himpunan informasi pada waktu t-1 yaitu E(Xt) = Ytβ (Engle,1982). Sehingga secara formal model regresi ARCH dapat dituliskan sebagai:

X t  t 1 ~ N (Yt  ,  t2 )

X t  Yt    t atau  t  X t  Yt 

(5)

 t2   0  1 t 12  . .   p  t  p 2 Berdasarkan bentuk model regresi ARCH di atas, misal model rataan dari Xt merupakan model AR, maka diperoleh model AR(1)-ARCH(1), yaitu:

X t   X t 1   t

 t  Z t t2 ht   t2   0  1 t 12

(6)

dengan 0  0 dan 1  0 .

2.2 Model GARCH Pada dasarnya model ARCH dengan GARCH adalah sama yang membedakan adalah model GARCH tidak hanya tergantung pada kuadrat error waktu sebelumnya tetapi juga tergantung pada variansi waktu sebelumnya. Sedangkan model ARCH hanya tergantung pada kuadrat error waktu sebelumnya. Model GARCH(p,q) dinyatakan sebagai (Bollerslev, 1986):

 t  t 1 ~ N (0, ht ) dengan


85



 t2  ht   0  1 t 12   2 t 2 2  . . .  1ht 1   2 ht 2  . . . p

q

  0    i  t i 2    i ht i i 1

(7)

i 1

di mana,α0 > 0, αi ≥ 0 untuk i = 1, . . . , p dan βi ≥ 0 untuk i = 1, . . . , p. Untuk lebih sederhana dimisalkan proses GARCH(1,1)

 t  ht zt ,

zt  i.i.d N (0,1)

ht   0  1 t21  1ht 1

(8) (9)

dengan α0 > 0, α1 ≥ 0 dan β1 ≥ 0 2.3 Outlier Deret Waktu Outlier menyebabkan hasil data menjadi tidak reliable dan valid. Outlier pada deret waktu antara lain (Wei, 1990): 1.

Additive Outlier (AO) AO merupakan kejadian yang mempengaruhi suatu deret waktu pada satu titik waktu

saja. Kesalahan dalam pencatatan merupakan salah satu contoh AO. Model AO dinyatakan dengan:

X t*  X t  VtU t 

 ( B) at  VU t t  ( B)

(10)

dengan

1, t  T Ut   0, t  T adalah variabel indikator yang menunjukkan ada atau tidaknya outlier pada waktu T. 2.

Innovational Outlier (IO) Model IO dinyatakan sebagai berikut:  (B) VtU t  ( B)  (B)  (B)  at  VU t t  ( B)  ( B)  (B)  ( at  VtU t )  ( B)

(11)


86

X t*  X t 



IO mempengaruhi seluruh observasi Xt, Xt+1, ... melewati waktu T sepanjang memori dari sistem yang diberikan oleh θ(B)/ (B). 3.

PENAKSIRAN MODEL GARCH dengan METODE BM-ESTIMATES Muler dan Yohai (2007), mengusulkan penaksiran model GARCH dengan metode BM-

Estimetes sebagai berikut : Misalkan deret ε1, . . . , εT mengikuti proses GARCH(1,1) seperti pada persamaan (8) dan (9). Pada persamaan (8), dimisalkan yt = log(εt2) dan wt = log(zt2), maka diperoleh

yt  wt  log ht Jika kepadatan f dari zt simetris sekitas nol, maka kepadatan dari wt adalah g yang dituliskan sebagai berikut:

g (w)  f (ew/2 )ew/2

(12)

ketika f mengikuti distribusi N(0,1), maka g = g0 dimana

1  12 ( ew  w) g 0 (w)  e 2

ˆ   Dengan nilai parameter 

 a 0 , a1, b1  ,

(13)

didefinisikan untuk semua t seperti

pada persamaan (9). Bentuk Maximum Likelihood estimates didasarkan pada εt adalah memaksimalkan persamaan di bawah ini:

1 T  t2 1 T     log ht ( ) 2 t 2 ht ( ) 2 t  2

(14)

dan jika yt = log(εt2), persamaan di atas dapat dituliskan sebagai



1 T  e yt log ht ( )  log ht ( ) 2 t 2





Memaksimalkan persamaan (14) sama dengan memaksimalkan T

L0,T ( )   log  g 0  yt  log ht ( ) 

(15)

t2

dengan fungsi g0 seperti pada persamaan (13). Memaksimalkan persamaan (15) setara dengan meminimalkan


87


M 0,T ( ) 

1 T   0  yt  log ht ( )  T  1 t 2


(16)

dengan

0   log( g0 )

(17)

dan g0 seperti pada persamaan (13). Dengan cara yang sama, maka penaksiran maximum likelihood untuk model GARCH(1,1) sesuai untuk kepadatan simetris f

yaitu diperoleh dengan meminimalkan

persamaan di bawah ini:

M T ( ) 

1 T    yt  log ht ( )  T  1 t2

(18)

dengan ρ = -log(g) dan g seperti pada persamaan (12). Meminimalkan persamaan (18) merupakan bentuk M-estimates model GARCH dapat dituliskan sebagai

ˆ  arg min M ( )  1 T  

(19)

Salah satu alasan penaksiran-ML kurang robust adalah ρ0 tidak dibatasi. Sehingga suatu outlier kemungkinan mempunyai pengaruh tidak terbatas pada M0,T pada persamaan (16). Mestimates dengan ρ dibatasi lebih robust daripada ML-estimates, tetapi outlier yang besar masih mempunyai pengaruh terhadap penaksirannya. Penyebabnya adalah penaksiran ini memerlukan penghitungan nilai ht ( ) menggunakan persamaan (9), sehingga outlier yang besar pada waktu t dapat mempengaruhi semua ht ' ( ) dengan t’>t. Sehingga untuk mendapatkan robustness yaitu dengan memodifikasi M-estimates untuk model GARCH, dengan memasukkan mekanisme yang membatasi penyebaran pengaruh outlier pada penaksiran ht ( ) . Maka dalam penghitungan M-estimates ht ( ) dituliskan sebagai * t ,k

* 1 t 1, k

h ( )  a0  a h

  t21  * ( )rk  *   b1ht 1, k ( )  ht 1, k ( ) 

(20)

dengan εt = 0 untuk t ≤ 0 dan

u rk (u )   k

jika u  k jika u  k


(21)

88



Jika k besar, maka ht , k *   akan mendekati ht ( ) . Namun pengaruh penyebaran satu outlier pada waktu t pada ht , k *   dengan t’>t praktis hilang setelah beberapa periode. Karena itu, jika εt mengikuti model GARCH tetapi berisi outlier,

maka M-estimates

menggunakan variansi bersyarat pada persamaan (20) akan lebih baik. Berikut modefikasi

ˆ didefinisikan persamaan (19) dan  ˆ didefinisikan sebagai dari M-estimates. Misalkan  1 2

ˆ  arg min M * ( )  2 Tk  

dengan * M Tk ( ) 

1 T    yt  log ht*,k ( )  T  1 t2

(22)

Ketika proses adalah sebuah proses GARCH sempurna diamati tanpa outlier variansi

ˆ , umumnya lebih baik bersyarat diberikan persamaan (9), maka menaksir menggunakan  1

 

  ˆ   M ˆ  .

ˆ . Dalam kasus ini  ˆ asimtotik bias, sehingga M  ˆ  M*  ˆ . Ketika daripada  2 2 T 1 Tk 2 ˆ kemungkinan lebih baik, sehingga M proses di atas terdapat outlier,  2 T

1

* Tk

2

Maka didefinisikan BM-estimates sebagai ˆ   1   ˆ  2 B

     ˆ   M ˆ 

ˆ  M*  ˆ jika M T  1 Tk 2 jika M T

1

* Tk

(23)

2

Nilai ρ pada BM-estimates ini adalah ρ = m(ρ0), dimana m adalah fungsi nondecreasing dibatasi.


89

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 4.


PEMBAHASAN Data yang digunakan dalam makalah ini adalah inflasi indonesia selama 383 bulan periode

Februari 1979 sampai Desember 2010, berikut adalah plot datanya:

Inflasi Indonesia

1979

14,00 12,00 10,00 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 -2,00

Gambar 4.1 Plot Data Inflasi Indonesia Februari 1979 sampai Desember 2010 (sumber: Badan Pusat Statistik) Pada plot data di atas terlihat bahwa data tahun 1998 dan akhir tahun 2005 merupakan suatu outlier yang merupakan jenis Additive Outlier yaitu pada data ke-229 dan ke-321. Dimana pada tahun tersebut terjadi kejadian luar biasa yaitu pada tahun 1998 terjadinya krisis moneter di Indonesia dan tahun 2005 adanya kebijakan kenaikan BBM. Asumsi yang harus dipenuhi dalam analisis deret waktu adalah stasioneritas, berikut hasil uji akar-akar unit dengan Augmented Dickey-Fuller test:

Tabel 4.1 Hasil Uji Akar Unit Null Hypothesis: INFLASI has a unit root Exogenous: Constant Lag Length: 2 (Automatic based on SIC, MAXLAG=16) t-Statistic

Prob.*

Augmented Dickey-Fuller test statistic

-6.702665

0.0000

Test critical values:

1% level

-3.447350

5% level

-2.868928

10% level

-2.570772

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

Dari hasil uji di atas terlihat bahwa tolak H0 pada α = 0,05, yang artinya tidak ada akarakar unit pada data inflasi, sehingga data dianggap sudah stasioner.


90



Selanjutnya adalah uji serial korelasi untuk melihat apakah perlu dibentuk model ARMA atau tidak. Berikut adalah uji serial korelasi: Tabel 4.2 Hasil Uji Serial Korelasi Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 136.504 F-statistic

5

Prob. F(1,381)

0.0000

Prob. Chi-Square(1)

0.0000

101.025 Obs*R-squared

7

Hasil uji di atas menujukkan bahwa pada α = 0,05 H0 ditolak, yang artinya terdapat serial korelasi. Sehingga perlu dibuat model ARMA. Model ARMA yang pertama yang dibuat adalah ARMA(1,0) atau ditulis model AR(1).

Tabel 4.3 Taksiran Model AR(1) Coefficie Variable

nt

Std. Error

t-Statistic

Prob.

0.115674

7.231885

0.0000

0.043910

11.69660

0.0000

0.83653 C

8 0.51359

AR(1)

2

Terilhat bahwa model AR(1) signifikan, dari model AR(1) dilihat lagi serial korelasi untuk melihat apakah perlu dibuat model ARMA yang lain. Di bawah ini uji serial korelasi dari model AR(1).

Tabel 4.4 Uji Serial Korelasi Model AR(1) Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 1.59440 F-statistic

9

Prob. F(1,379)

0.2075

Prob. Chi-Square(1)

0.2059


8

Hasil uji menunjukkan tidak ada serial korelasi (dengan α=0,05 H0 tidak ditolak), artinya sudah tidak ada serial korelasi setelah dibentuk model AR(1) sehingga tidak perlu lagi dibuat model ARMA yang lain. Dari model AR(1) di atas, diambil residualnya untuk dilakukan uji heteroskedastisitas, berikut plot residual model AR(1) dan uji heteroskedastisitas:


91



RESIDUAL MODEL AR(1) 10

8

6

4

2

0

-2

-4 0

50

100

150

200

250

300

350

400

Gambar 4.2 Plot Residual Model AR(1) Tabel 4.5 Heteroskedasticity Test: ARCH

25.2833 F-statistic

8

Prob. F(1,380)

0.0000

Prob. Chi-Square(1)

0.0000


6

Dari hasil uji di atas menujukkan adanya hetersokedastisitas, maka di buat model GARCH, berikut hasil penaskiran model GARCH dengan metode Bounded M-Estimates: BM1 =

α0

α1

β1

mu

0.1259 0.2474 0.3999 -0.1496 Artinya Variansi error dari model AR(1) dipengaruhi oleh kuadrat error satu waktu sebelumnya sebesar 0,25 dan variansi satu waktu sebelumnya sebesar 0,40 dan konstanta sebesar 0,13.

5.

KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan di atas, dari data inflasi indonesia bulan Februari 1979 sampai

Desember 2010. Terbentuk model AR(1) yaitu Xˆ t  0.84+0.51X t 1 , dan model heteroskedastisitas dengan metode Bounded M-Estimates adalah ht  0,13  0, 25 t21  0, 40ht 1 merupakan model GARCH(1,1), artinya variansi error dari model AR(1) dipengaruhi oleh kuadrat error satu waktu sebelumnya sebesar 0,25 dan variansi satu waktu sebelumnya sebesar 0,40 dan konstanta sebesar 0,13.


92

PROSIDING Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011 6.


DAFTAR PUSTAKA

Bollerslev, T. (1986). Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 31, 307-327. Engle, R. F. (1982). Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Infation. Econometrica, 50, 987-1008. Muler, N. dan V. J. Yohai, (2007). Robust Estimates for GARCH Models. Journal of Statistical Planing and inference. Rosidi, A., Riduan, Sugiharto. (2005), Metode Pengukuran Inflasi di Indonesia, Badan Pusat Statistik, Jakarta. Wei, W.W.S. (1990). Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, Canada: Addison Wesley Publishing Company.


93

(T.9) PENAKSIRAN MODEL GARCH DENGAN METODE BOUNDED M-ESTIMATES

Recommend Documents