PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum pernah diajukan kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Februari 2009
Moses Alfian Simanjuntak NIM G151040091
ABSTRACT
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. The Conditional Heteroscedasticity Handling with ARCH-GARCH Model and Black-Scholes Model. Supervised by MUHAMMAD NUR AIDI and I MADE SUMERTAJAYA. An important class of time series models is the family of AutoRegressive Integrated Moving Average (ARIMA) models that involving three steps: identification, estimation and diagnostic checking was first developed by Box and Jenkins (1976). The variance of residuals (step-3) are assumed to have a constant (homoskedasticity).
On
the
other
hand,
this
condition
was
termed
heteroscedasticity. The ARCH model process was first developed by Engle (1982) and GARCH model by Bollerslev (1986) in order to accommodate heteroscedasticity. The ARCH-GARCH model process involving three steps that refer to ARIMA steps. Black-Scholes model need just two assumptions: that both the risk-free interest rate and stock return volatility are constant. The conditional heteroscedasticity is directly dependent on conditional higher variance, kurtosis (> 6) and skewness (Yan, 2005). This research consider to: indicate heteroscedasticity, compare both models in MSE of NYSE returns, and forecast of NYSE returns. In this research find that (i) Plot of Reuter Holdings daily stock is not constant in volatility and have higher kurtosis of stock return=6,06 so that from both informations have result ARCH-GARCH model, (ii) Time series model always perform better because this model with the lowest MSE value (iii) The best forecasting model is time series model because this model with the lowest MAPE value but both MAPE values approximately to be equal. In some special cases, if time series model can not be used to forecast then can be guided by Black-Scholes model as the alternative model. Key Words: heteroscedasticity, ARIMA, ARCH-GARCH, Black-Scholes, MAPE
RINGKASAN MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK. Penanganan Masalah Heteroskedasitas dengan Model ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh MUHAMMAD NUR AIDI dan I MADE SUMERTAJAYA.
Data deret waktu dapat dimodelkan dengan menggunakan model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH), model Black-Scholes, model MIMIC (Multiple Indicators and Multiple Causes), model Markov Switching, dan model Time Varying Coefficient. Dalam penulisan ini, model yang digunakan adalah model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes. Model deret waktu yang menggunakan persamaan rataan (ARIMA) membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi model, pendugaan parameter dan pemeriksaan diagnostik (Brooks, 2002). Pada pemeriksaan diagnostik, ragam sisaan diasumsikan konstan, pelanggaran terhadap asumsi ini sering disebut heteroskedasitas. Pendeteksian masalah heteroskedasitas dapat dilakukan dengan uji-LM dan menganalisis volatilitas (pola ragam) data. Masalah heteroskedasitas ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah heteroskedasitas diatasi dengan persamaan ragam (ARCH-GARCH) yang memodelkan sisaan tersebut menjadi konstan. Langkah lain untuk menangani masalah heteroskedasitas adalah dengan melakukan transformasi data. Seperti halnya persamaan rataan, persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji keberadaan ARCH (Brooks, 2002). Model Black-Scholes merupakan pemodelan data dengan asumsi utama adalah suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan (Bodie et al., 1999). Model Black-Scholes yang diperkenalkan oleh Fischer Black, Myron Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada tahun 1997. Model deret waktu merupakan model yang sangat baik, namun memiliki kelemahan dalam penentuan orde. Penentuan orde yang tidak sesuai berakibat
seakan-akan model sesuai dengan data. Untuk menangani penentuan orde, dapat dilakukan dengan pemodelan ragam dan pemodelan Black-Scholes. Model BlackScholes merupakan model yang sederhana, namun model ini memiliki kelemahan yaitu tidak memodelkan pengaruh sisaan yang dihasilkan dan tidak dapat menangani masalah seasonal. Oleh karena itu, perlu diuji kedekatan model BlackScholes terhadap model deret waktu secara berarti. Jika suatu penelitian dalam memprediksi data menggunakan model deret waktu mengalami kendala yang diakibatkan tidak terpenuhinya sebagian langkah, maka dapat digunakan model Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data. Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data yang memiliki volatilitas (pola ragam) yang berbeda di sepanjang periode waktu. Volatilitas data yang berbeda di sepanjang periode waktu ini akan menghasilkan ragam sisaan yang tidak konstan. Oleh karena itu, diduga bahwa ada hubungan ragam sisaan yang tidak konstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness. Sebagai studi kasus, data yang digunakan adalah data harga saham harian dari 5 perusahaan yang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange), yaitu: General Motor, Minnesota Mining, Reuters Holdings, Time Warner dan Washington Mutual. Data dari 5 perusahaan tersebut dipilih dengan dua alasan yaitu: pertama, sudah mewakili berbagai perusahaan yang bergerak di bidang bisnis jasa dan produksi di NYSE; kedua, data relatif sangat berfluktuatif (relatif tidak stabil). Pemodelan data deret waktu menggunakan 9 kategori periode tahun, yaitu: 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2000-2001, 2000-2002, 2000-2003 dan 2000-2004. Ke-9 kategori periode tahun dipilih untuk melihat perubahan data, perubahan model dan perubahan MSE (Mean Square Error). Penelitian ini menghasilkan tiga hasil, yaitu: pertama, dengan membandingkan uji-LM, simpangan baku, skewness dan kurtosis dari data 5 perusahaan, didapat bahwa adannya kecenderungan menghasilkan kondisi heteroskedasitas, sehingga model deret waktu membutuhkan persamaan
ARCH-GARCH. Data-data
perusahaan yang tidak memiliki masalah heteroskedasitas menghasilkan persamaan ARIMA. Model ARCH-GARCH yang dihasilkan adalah: ARCH(1),
ARCH(1)-GARCH(1),
ARCH(2)-GARCH(1),
ARCH(1)-GARCH(2),
dan
ARCH(2)-GARCH(1). Model ARIMA yang dihasilkan adalah: ARIMA(0,1,1), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2), dan ARIMA(2,1,1); kedua, berdasarkan analisis dengan menggunakan boxplot, didapat bahwa model deret waktu lebih baik dibandingkan model Black-Scholes karena memiliki rataan MSE dan simpangan baku MSE yang lebih kecil. Model Black-Scholes lebih baik dibandingkan model deret waktu dalam hal penyebaran data MSE yang kekar (robust); ketiga, jika peramalan data deret waktu mengakibatkan tidak adanya model deret waktu, maka dapat digunakan model Black-Scholes sebagai alternatif pemilihan model karena nilai MAPE kedua model tadi tidak berbeda secara berarti. Kata Kunci: heteroskedasitas, ARIMA, ARCH-GARCH, Black- Scholes, MAPE
@Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-Undang. 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber. a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES
MOSES ALFIAN SIMANJUNTAK
Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Statistika
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009
LEMBAR PENGESAHAN TESIS
Judul Tesis
: Penanganan Masalah Heteroskedasitas dengan Model ARCH-GARCH dan Model Black-Scholes.
Nama
: Moses Alfian Simanjuntak
NIM
: G151040091
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS Ketua
Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Statistika
Dekan Sekolah Pascasarjana IPB
Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian: 30 Januari 2009
Tanggal Lulus:
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc.
PRAKATA
Terima kasih kepada semua pihak yang mendukung penulisan penelitian ini dapat diselesaikan dengan baik. Dalam proses pembuatan tesis ini, penulis banyak dibantu oleh berbagai pihak diantaranya keluarga, dosen, rekan-rekan mahasiswa Pascasarjana program studi Statistika IPB. Dengan segala keterbatasan, akhirnya tesis yang berjudul “PENANGANAN MASALAH HETEROSKEDASITAS DENGAN MODEL ARCH-GARCH DAN MODEL BLACK-SCHOLES” dapat diselesaikan. Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada: 1. Ayah, Ibu dan adik-adik tercinta yang telah memberikan segala bantuan dan juga doa sehingga penulis mampu menyelesaikan pendidikan hingga jenjang Magister. 2. Bapak Dr. Ir. Muhammad Nur Aidi, MS. dan Bapak Dr. Ir. I Made Sumertajaya, M.Si. selaku ketua dan anggota komisi pembimbing. 3. Bapak Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc. dan Ibu Dr. Ir. Erfiani, MS. yang banyak membantu saya untuk menyelesaikan studi. 4. Rekan-rekan STK 2004 yang telah memberikan bantuan, saran, dan dukungan dalam penulisan ini. Akhir kata dengan kerendahan hati, penulis mohon maaf jika masih terdapat banyak kekurangan pada tesis ini, semoga tulisan ini dapat bermanfaat.
Bogor, Februari 2009
Moses Alfian Simanjuntak
RIWAYAT HIDUP
Penulis adalah anak pertama dari pasangan Bapak Simanjuntak dan Ibu Aritonang, lahir di Banjarmasin tanggal 7 Oktober 1971. Penulis menyelesaikan pendidikan SD hingga SMA di Medan, kemudian melanjutkan studinya di Institut Teknologi Bandung jurusan Matematika lulus tahun 1998. Lulus dari perguruan tinggi, penulis sempat bekerja di Bank BNI46 dan PT I3 Networking. Akhirnya, penulis tertarik dengan dunia pendidikan maka pada tahun 2004 melanjutkan pendidikan di Sekolah Pascasarjana IPB jurusan Statistika.
DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN 1. PENDAHULUAN……………………………………………………..….….
1
1.1 Latar Belakang.............................................................................................
1
1.2 Tujuan Penelitian..........................................................................................
2
2. TINJAUAN PUSTAKA...................................................................................
3
2.1 Model ARIMA dan model ARCH-GARCH...............................................
3
2.1.1 Model ARIMA..................................................................................
3
2.1.2 Model ARCH-GARCH....................................................................
10
2.2 Kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi......... 13 2.3 Model Black-Scholes...................................................................................
14
2.4 Perbandingan antar model berdasarkan nilai MSE.....................................
16
2.5 Kriteria pemilihan model berdasarkan hasil peramalan.............................
17
3. METODOLOGI...............................................................................................
18
3.1 Data…………………………………………………….............................
18
3.2 Metode …………………………………………………...........................
18
4. HASIL DAN PEMBAHASAN.......................................................................
21
4.1 Deskriptif data………………………………………………....................
21
4.2 Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas…………………….
25
4.3 Pemodelan deret waktu.............................................................................
27
4.4 Pemodelan Black-Scholes...........................................................................
30
4.5 Perbandingan kedua model berdasarkan boxplot MSE...............................
33
4.6 Peramalan dan interpretasi hasil..................................................................
34
5. SIMPULAN DAN SARAN.............................................................................
36
5.1 Simpulan......................................................................................................
36
5.2 Saran............................................................................................................
37
DAFTAR PUSTAKA........ …………………………………………………........
38
LAMPIRAN............................................................................................................
40
DAFTAR TABEL Halaman
Tabel 1. Statistik deskriptif data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 untuk lima perusahaan di sembilan kategori tahun......23 Tabel 2. Uji keberadaan heteroskedasitas (Ho: Sisaan konstan; H1: Sisaan tidak konstan) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun……………………………..26 Tabel 3. Model deret waktu dari lima perusahaan pada sembilan kategori tahun……………………………………………………….…29 Tabel 4. Data masukkan model Black-Scholes dari lima perusahaan pada sembilan kategori tahun………………………………………………..31 Tabel 5. Nilai MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun…32 Tabel 6. Perbandingan nilai MAPE dari harga saham pada model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan..…….....34
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1. Harga saham harian periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari lima perusahaan.....................................................................................21 Gambar 2. Data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari lima perusahaan.....................................................................................22 Gambar 3. Boxplot MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan di sembilan kategori periodel tahun……...…..33
DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Proses pembentukan model ARIMA dan ARCH-GARCH untuk data harga saham harian perusahaan Reuters Holding pada tahun 2002.............................................................................40 Lampiran 2. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun........................................................44 Lampiran 3. SBIC dari model deret waktu untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun.................................................................45
1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Data deret waktu dapat dimodelkan dengan menggunakan model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH), model Black-Scholes, model MIMIC (Multiple Indicators and Multiple Causes), model Markov Switching, dan model Time Varying Coefficient. Dalam penulisan ini, model yang digunakan adalah model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH) dan model Black-Scholes. Model deret waktu yang menggunakan persamaan rataan (ARIMA) membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi model, pendugaan parameter dan pemeriksaan diagnostik (Brooks, 2002). Pada pemeriksaan diagnostik, ragam sisaan diasumsikan konstan, pelanggaran terhadap asumsi ini sering disebut heteroskedasitas. Pendeteksian masalah heteroskedasitas dapat dilakukan dengan uji-LM dan menganalisis volatilitas (pola ragam) data. Masalah heteroskedasitas ini dapat mengakibatkan ragam sisaan dari penduga berbias. Penanganan masalah heteroskedasitas dapat diatasi dengan persamaan ragam (ARCH-GARCH) yang memodelkan sisaan tersebut menjadi konstan. Langkah lain untuk menangani masalah heteroskedasitas adalah dengan melakukan transformasi data. Seperti halnya persamaan rataan, persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji LM-ARCH (Brooks, 2002). Model Black-Scholes merupakan pemodelan data dengan asumsi utama adalah suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan (Bodie et al., 1999). Model Black-Scholes yang diperkenalkan oleh Fischer Black, Myron Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel di bidang ekonomi pada tahun 1997. Model deret waktu merupakan model yang sangat baik, namun memiliki kelemahan dalam penentuan orde. Penentuan orde yang tidak sesuai berakibat seakan-akan model sesuai dengan data. Untuk menentukan orde dalam model deret waktu dibutuhkan data yang benar-benar stasioner baik rataan maupun ragam. Apabila kestasioneran rataan tidak dipenuhi dapat ditangani dengan proses pembedaan, sedangkan apabila kestasioneran ragam tidak dipenuhi dapat
1
ditangani dengan transformasi, pemodelan ragam atau pemodelan Black-Scholes. Model Black-Scholes merupakan model yang sederhana, namun model ini memiliki kelemahan yaitu tidak memodelkan pengaruh sisaan yang dihasilkan dan tidak dapat menangani masalah seasonal. Oleh karena itu, perlu diuji kedekatan model Black-Scholes terhadap model deret waktu secara berarti. Jika suatu penelitian dalam memprediksi data menggunakan model deret waktu mengalami kendala yang diakibatkan tidak terpenuhinya sebagian langkah, maka dapat digunakan model Black-Scholes sebagai model alternatif untuk memprediksi data. Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, sering ditemukan data yang memiliki volatilitas (pola ragam) yang berbeda di sepanjang periode waktu. Volatilitas data yang berbeda di sepanjang periode waktu ini akan menghasilkan ragam sisaan yang tidak konstan. Oleh karena itu, diduga bahwa ada hubungan ragam sisaan yang tidak konstan dengan bentuk distribusi data. Bentuk distribusi yang dimaksud berhubungan dengan parameter ragam, kurtosis dan skewness.
1.2 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan: 1. Identifikasi heteroskedasitas pada data deret waktu dan penanganannya. 2. Perbandingan antara model deret waktu dan model Black-Scholes 3. Peramalan data dengan menggunakan model deret waktu dan model BlackScholes.
2
2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Model ARIMA dan model ARCH-GARCH Model deret waktu satu peubah adalah suatu spesifikasi model yang digunakan untuk memprediksi peubah tersebut di masa yang akan datang dengan menggunakan informasi dirinya sendiri dan pola sisaan dari periode waktu sebelumnya. Seperti yang sudah dijelaskan di bagian pendahuluan, model deret waktu satu peubah terdiri dari dua model, yaitu: model ARIMA dan model ARCH-GARCH. Model ARIMA membutuhkan 3 tahapan, yaitu: spesifikasi model, pendugaan parameter dan pemeriksaan diagnostik. Model ARCH-GARCH membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pendugaan parameter, pemeriksaan diagnostik dan uji keberadaan heteroskedasitas. Model ARCH-GARCH dibutuhkan jika syarat ragam sisaan pada model ARIMA tidak konstan.
2.1.1 Model ARIMA Metode Box dan Jenkins (1976) digunakan untuk membangun model ARIMA. Model ARIMA melalui tiga langkah dalam pembentukannya (Brooks, 2002), yaitu: 1. Spesifikasi model 2. Pendugaan parameter. 3. Pemeriksaan model secara diagnostik. Spesifikasi model Spesifikasi model adalah pemilihan suatu model yang mengikuti bentuk dinamika data. Penelitian empiris biasanya merupakan proses yang saling berinteraksi. Suatu proses yang dimulai dengan spesifikasi model berhubungan langsung dengan pendugaan parameter. Suatu proses pemilihan spesifikasi model biasanya melibatkan beberapa pilihan, yaitu: peubah yang harus dimasukkan kedalam model, fungsi tertentu yang berhubungan dengan peubah, dan menganalisis struktur dinamik dari peubah-peubah yang saling berhubungan. Sebelum melakukan spesifikasi model, data peubah harus terlebih dahulu stasioner.
3
Misalkan Yt adalah peubah acak yang mewakili data deret waktu pada periode ke-t, t = 1,2,3,... dan Yt disebut stasioner jika memiliki rataan konstan, ragam konstan dan struktur autokoragam konstan. Ketiga parameter tersebut dinyatakan sebagai berikut: 1. Rataan konstan, E ( y ) E ( y ) ... E ( yt ) 1 2 2. Ragam konstan, E ( y ) 2 E ( y ) 2 ... E ( yt ) 2 2 1 2 3. Autokoragam konstan, E[ yt E ( yt )][ yt s E ( yt s )] s
s, t 0,1,2,... Data yang stasioner sangat kuat mempengaruhi perilaku pembentukan model. Di sisi lain, jika data tidak stasioner berakibat model menjadi semu cocok dengan data (Brooks, 2002). Alat ukur untuk mengetahui apakah data sudah memenuhi asumsi kestasioneran adalah dengan menganalisis plot ACF (Autocorrelation Function) dan plot PACF (Partial Autocorrelation Function). Data stasioner dapat diketahui dari 3 kemungkinan pola plot dari ACF dan PACF, yaitu: 1. Plot ACF mengalami perilaku menurun perlahan, sedangkan plot PACF mengalami penurunan drastis pada suatu lag. 2. Plot ACF mengalami penurunan drastis pada suatu lag, sedangkan plot PACF mengalami perilaku menurun perlahan. 3. Plot ACF maupun plot PACF mengalami perilaku menurun perlahan secara bersamaan. Plot ACF Koefisien Autocorrelation antara Yt dan Yt-1 (saat lag-1) adalah 1 dan dinyatakan sebagai berikut
n _ _ ( Y Y )( Y Y ) t t 1 1 t 2 1 n _ 0 (Yt Y ) 2 t 1 Bentuk umum koefisien Autocorrelation dari lag-1,2,3, … ,k dinyatakan sebagai berikut
4
n _ _ ( Y Y )( Y Y ) t t k k k t k 1 n _ 0 ( Y Y t )2 t 1 dengan n adalah banyaknya data selama waktu t. k = 0,1,…,K Plot antara k dan k menghasilkan suatu grafik yang dikenal dengan nama ACF. Pada umumnya, contoh autocorrelation diambil dengan:
K n/4
(Montgomery et al. 1990). Data stasioner jika pada lag-1 atau lag-2 akan drastis turun ke nol (Makridakis et al., 1983).
Plot PACF PACF yang dinotasikan kk adalah alat ukur korelasi antara data lag-k dan yt, setelah mengkondisikan data tertentu sebelum lag-k. Bentuk umum persamaan PACF, yaitu:
kk ( y k
k 1
k 1
i 1
i 1
i y k i , y0
i yi ), k 2
Pada lag-1, nilai ACF dan nilai PACF adalah sama, dengan nilai PACF = 11 =
1 . Nilai PACF juga didefinisikan sebagai koefisien terakhir dari model AR(p). Untuk data yang memiliki nilai ragam relatif tidak konstan, dilakukan transformasi, misalkan dengan transformasi logaritma natural. Transformasi logaritma natural juga dapat menghilangkan pengaruh satuan dengan persamaan
y S t ln t , yt adalah data peubah. Dalam ilmu keuangan, transformasi ini yt 1 dikenal dengan nama continuously compounding return. Untuk data yang memiliki nilai rataan relatif tidak konstan, dilakukan selisih atau diferensiasi ordod (Integrated), yaitu:
d St (1 B) d S t
5
dimana B d S t S t d dan d adalah ordo selisih dengan nilai 1,2,3....
Pengujian data stasioner dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) Ho: Data tidak stasioner, yt ut (a unit root) H1: Data stasioner, yt yt 1 t ut (no unit root) dengan yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
yt yt yt 1
adalah parameter model adalah parameter model (drift) t adalah parameter model pada saat t (time trend) ut adalah sisaan pada saat t. Statistik uji-t =
ˆ SE (ˆ )
Model AR (Autoregressive) Pada model ini peubah tak bebas dipengaruhi oleh pengamatan itu sendiri pada periode waktu sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan pada saat p tidak bebas, namun setelah waktu p bebas. AR (p) dengan ordo-p, memiliki persamaan p
Yt i Yt i ut
(2.1)
i 1
dengan Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
dan i adalah parameter model p adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model AR ut adalah sisaan pada saat t.
6
Model MA (Moving Average) Pada model ini peubah tak bebas merupakan nilai sisaan pada periode waktu sebelumnya. Data pengamatan pada saat awal sampai dengan pada saat q tidak bebas, namun setelah waktu q bebas. MA (q) dengan ordo-q, memiliki persamaan Yt
q
j ut j ut
(2.2)
j 1
dengan Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
dan j adalah parameter model MA q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model MA ut adalah sisaan pada saat t. Model ARMA (Autoregressive Moving Average) Model ini merupakan campuran antara AR(p) dan MA(q). ARMA(p,q) dengan ordo-p dan ordo-q, memiliki persamaan p
Yt i Yt i i 1
q
j ut j ut
(2.3)
j 1
dengan Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
, i dan j adalah parameter model ARMA p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARMA ut adalah sisaan pada saat t. Model ARIMA (p,d,q) pada model deret waktu adalah p
d Yt i d Yt i i 1
q
j ut j ut
(2.4)
j 1
dengan Yt Yt Yt 1 adalah selisih ordo - 1 2Yt Yt Yt 1 adalah selisih ordo - 2, dst.
Yt adalah peubah tak bebas pada saat t.
, i dan j adalah parameter model
7
p dan q adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA d adalah banyaknya selisih ordo yang dibutuhkan pada model ARIMA ut adalah sisaan pada saat t. Data yang tidak stasioner dalam rataan dapat diatasi dengan mengambil selisih orde-1 atau orde-2 saja (Box & Jenkins, 1976). Jika diambil selisih dengan orde yang lebih besar lagi, akan berakibat kesulitan dalam menginterpretasi plot autocorrelation dan ragamnya juga akan membesar. Ini menunjukkan bahwa proses selisih tidak ada gunanya (Abraham & Ledolter, 1983). Model ARMA(p,q) yang datanya diperlakukan dengan selisih ordo-d disebut model ARIMA(p,d,q). Untuk nilai d = 0 maka model ARIMA(p,d,q) sama dengan ARMA(p,q). Spesifikasi model ARIMA didasarkan pada rekomendasi hasil analisis terhadap plot ACF dan plot PACF, yaitu: 1. Model AR(p) mengalami perilaku menurun perlahan pada plot ACF dan menurun drastis pada lag ke-p untuk plot PACF. 2. Model MA(q) mengalami perilaku menurun drastis pada lag ke-q untuk plot ACF dan menurun perlahan pada plot PACF. 3. Model ARMA(p,q) mengalami perilaku menurun perlahan pada plot ACF maupun plot PACF. Dalam penelitian yang menggunakan data deret waktu, plot ACF dan plot PACF belum tentu sama dengan hasil rekomendasi. Hal ini dikarenakan oleh karakteristik dan pola suatu data dapat berbeda dengan data yang lain, misalkan data saham berbeda dengan data nilai tukar kurs. Oleh karena itu, model deret waktu dalam pembentukannya tidak hanya memperhatikan plot ACF dan plot PACF pada rekomendasi saja, dan pemilihan ordo-p dan ordo-q dapat dilakukan dengan mengambil kombinasi ordo-1 dan ordo-2. Software statistik seperti Eviews yang digunakan untuk membentuk model deret waktu sudah dilengkapi dengan proses pendeteksian kestasioneran data (testing for no unit root).
Pendugaan parameter model Pendugaan parameter
yang nyata berhubungan langsung dengan
spesifikasi model. Pendugaan parameter model menggunakan Metode Kuadrat Terkecil (Ordinary Least Square), maximum likelihood, dan algoritma Marquardt.
8
Dari berbagai model alternatif, dipilih suatu model yang memiliki parameter yang nyata. Diagnostik model Pemeriksaan diagnostik melibatkan pemeriksaan model seperti apakah suatu model sudah memenuhi spesifikasi dan pendugaan parameter. Diagnostik model dilakukan untuk menganalisis apakah model sudah layak dengan data. Dalam hal ini, Box dan Jenkins (1976) menyarankan dua metode yaitu: diagnostik sisaan dan kecocokan model. Diagnostik sisaan terdiri dari 2 syarat, yaitu: kebebasan antar sisaan dan sisaan berdistribusi normal dengan rataan nol serta ragam konstan. Diagnostik sisaan dilakukan dengan 3 metode, yaitu: uji statistik Box-Pierce, korelasi plot ACF dan PACF, dan uji statistik Ljung-Box dan uji statistik Jarque-Bera. Salah satu alat menguji kelayakan model adalah uji statistik Box-Pierce atau uji Port Manteau (Cryer, 1986): k
Q k i2 i 1
Sisaan, ut ~ N(0, ) dan saling bebas jika Q 2 k p q 2
dengan
i2 adalah autokorelasi sisaan pada lag ke - i k adalah maksimum lag yang diinginkan
p dan q adalah lag pada ARIMA Kelayakan model dapat dilihat dari korelasi plot ACF dan plot PACF. Model layak jika tidak ada korelasi plot tadi secara nyata (Bowerman & O’Connell, 1987). Uji statistik Ljung-Box berguna untuk menguji sisaan saling bebas, sedangkan uji statistik Jarque Bera berguna untuk menguji kenormalan sisaan. Sisaan saling bebas, E(ut,us) = 0, t s Statistik uji Ljung-Box diformulasikan sebagai k 2 Q n(n 2) i nk i 1
9
Sisaan saling bebas jika Q 2 (Hamilton, 1994) k - p -q dengan i2 adalah autokorelasi sisaan pada lag ke - i k adalah maksimum lag yang diinginkan n adalah banyaknya pengamatan p dan q adalah lag pada ARIM A Uji kenormalan sisaan Statistik uji Jarque Bera diformulasikan sebagai 2
2
JB = 1/6(n-K)(S +1/4(p-3) ) Sisaan berdistribusi normal jika JB 2 (Tagliafichi, 2003) 2 dengan S adalah parameter kemenjuluran K adalah parameter keruncingan p adalah banyaknya parameter model n adalah banyaknya pengamatan Jika persamaan rataan sudah memenuhi persyarat yang ditentukan, maka langkah terakhir adalah kecocokan model. Kecocokan model dilakukan dengan proses overfitting, yaitu: melakukan analisis respon data terhadap model dan mengevaluasi dampak dari grafik model terhadap data, kemudian hasilnya digunakan untuk melihat faktor-faktor mana saja yang dapat dikurangi.
2.1.2 Model ARCH-GARCH Asumsi dari ragam sisaan model ARIMA haruslah konstan. Jika kondisi ini tidak dipenuhi maka ragam sisaan akan berubah ubah setiap waktu, sehingga model ARIMA mengalami kendala dalam memprediksi data. Kondisi yang demikian memenuhi E (ut2 ) 2 dengan t 1,2,..., T . Ragam sisaan yang tidak konstan mengakibatkan model pendugaan tidak lagi efisien digunakan. Kondisi ini dikenal dengan heteroskedasitas, untuk mengakomodasinya digunakan model ARCH (Watsham & Parramore, 1997).
Uji keberadaan heteroskedasitas
menggunakan statistik uji LM (Lagrange Multiplier) yang diformulasikan sebagai berikut
10
LM = n.R
2
Model memenuhi E (ut2 ) 2 dengan t 1,2,..., T jika LM a2 (Tagliafichi, 2003). dengan n adalah banyaknya data selama waktu ke-t. n ^
R2
y i y i 1
2
yi y n
adalah besarnya kontribusi keragaman yang dapat
2
i 1
dijelaskan data deret waktu sebelumnya. ^
y i adalah data model y adalah rataan data aktual
y i adalah data aktual a adalah banyaknya waktu sebelumnya yang mempengaruhi data sekarang. Ada dua alasan utama mengapa harus memodelkan volatilitas (pola ragam). Pertama, kebutuhan akan menganalisis resiko dalam memegang aset. Kedua, selang kepercayaan dari suatu parameter dapat berubah jika periode waktu berubah, sehingga pemodelan volatilitas dibutuhkan agar penaksiran lebih efisien (Eviews 5 User’s Guide). Model ARCH merupakan suatu model yang secara spesifik dirancang untuk meramalkan berbagai kondisi ragam. Model ARCH pertama sekali diperkenalkan oleh Engle pada tahun 1982. Selanjutnya, melalui model ARCH ini, Engle mendapatkan hadiah Nobel bidang ekonomi pada tahun 2003. Model ARCH sangat luas dipakai dalam ilmu ekonometrik, terutama dalam analisis keuangan deret waktu. Modifikasi model AR(p) dengan mentransformasi sisaan menjadi bentuk sisaan kuadrat menghasilkan model ARCH. Persamaan model ARCH adalah: 1. ARCH (1): t2 Var (ut | ut 1 , ut 2 ,...) E (ut | ut 1 , ut 2 ,...) 0 1ut21 2
Data
sisaan
(ut)
didapat
dari
sisaan
model
ARIMA,
sehingga
u vt t memiliki rataan nol dan simpangan baku konstan (white noise). t
11
c
2. ARCH(c): t2 0 i u t2i
(2.5)
i 1
Pada tahun 1986, Bollerslev dan Taylor membuat bentuk umum dari ARCH dengan maksud menghindarkan struktur lag ragam sisaan yang panjang pada model ARCH yang dibuat Engle. Model ini dikenal dengan GARCH(c,d) dengan persamaan: c
d
i 1
j 1
t2 0 i ut2i j t2 j
(2.6)
dengan
t2 adalah fungsi dari sisaan kuadrat pada saat t.
0 , i dan j adalah parameter model u t2i adalah sisaan kuadrat pada saat t-i. c dan d adalah banyaknya ordo yang dibutuhkan pada model ARCHGARCH. Z adalah peubah berdistribusi normal baku. Persamaan ragam membutuhkan 3 tahapan (Eviews 5 User’s Guide), yaitu: pendugaan parameter, diagnostik sisaan dan pengujian keberadaan ARCH dengan LM (Lagrange Multiplier)-Test. Pendugaan parameter menggunakan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood), quasi-maximum likelihood dan algoritma Gauss-Newton. Maximum likelihood digunakan untuk memprediksi parameter dengan menggunakan fungsi logaritma natural. Quasi-maximum likelihood digunakan untuk memprediksi parameter yang konsisten walaupun tidak terpenuhinya asumsi distribusi data. Algoritma Gauss-Newton mengikuti metode Newton Raphson dan digunakan untuk permasalahan kuadrat terkecil dalam bentuk umum non linier. Diagnostik sisaan menggunakan langkah yang sama seperti prosedur ARIMA. Dari berbagai model deret waktu yang memenuhi persyaratan, dipilih satu model yang terbaik berdasarkan kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi.
12
2.2 Kriteria pemilihan model deret waktu berdasarkan kriteria informasi Analisis deret waktu menggunakan data yang tidak stationer berakibat menghasilkan plot ACF dan plot PACF
yang sulit diinterpretasi sehingga
mengalami kesulitan dalam membuat spesifikasi model untuk data tersebut. Cara lain untuk mengatasi hal ini adalah dengan menggunakan kriteria informasi (information criteria). Kriteria informasi sering digunakan sebagai suatu panduan dalam
memilih
mengakomodasi
model
(Grasa,
pengukuran
1989).
informasi
Nilai secara
kriteria langsung
informasi yang
dapat
membuat
keseimbangan antara pengukuran goodness of fit dan penghematan parameter model. Ada 3 kriteria informasi yang paling terkenal, yaitu: 1. Akaike’s information criterion, AIC 2(l / T ) 2(k / T ) l adalah nilai dari algoritma fungsi likelihood. k adalah parameter harapan yang menggunakan T pengamatan. AIC cenderung memilih model dengan jumlah parameter yang lebih banyak. Kelebihan dari AIC adalah lebih efisien, namun memiliki kekurangan yaitu tidak konsisten. Konsisten adalah suatu kondisi dimana jika terjadi perubahan besar pada data maka parameter tidak akan berubah. Efisien adalah suatu kondisi dimana perolehan parameter lebih cepat dengan menggunakan data yang ada. 2. Schwarz’s Bayesian information criterion, SBIC 2(l / T ) k log( T ) / T Kelebihan dari SBIC adalah lebih konsisten namun kelemahannya adalah tidak efisien. 3. Hannan-Quinn information criterion, HQIC 2(l / T ) 2k log(log( T )) / T HQIC merupakan gabungan antara SBIC dan AIC. Informasi kriteria lain yang dapat dipakai adalah adjusted-R2. Kelebihan dari adjusted-R2 adalah membesar jika ditambah peubah bebas (hal ini tidak berlaku untuk R2). Pemilihan model terbaik adalah dengan memilih nilai adjusted-R2 maksimum, namun untuk AIC maupun SBIC adalah minimum dan banyak pengamatan antar model harus sama. Persamaan model deret waktu dan model Black-Scholes yaitu memiliki asumsi data yang stasioner dalam rataan maupun ragam. Perbedaan kedua model terletak pada proses pembentukan masing-masing model. Model Black-Sholes
13
merupakan model perkalian parameter dengan waktu ke-t dan merupakan keluarga fungsi eksponensial, sedangkan model deret waktu merupakan model penjumlahan yang memodelkan peubah diri sendiri (AR), sisaan (MA) dan pola sisaan kuadrat (ARCH/GARCH) dan merupakan keluarga fungsi linier dan fungsi non linier.
2.3 Model Black-Scholes Berbagai perusahaan dalam mengembangkan bisnisnya melakukan transaksi surat-surat berharga di pasar modal. Surat-surat berharga yang ditransaksikan di pasar modal misalkan saham, obligasi dan opsi. Opsi adalah salah satu instrumen keuangan yang memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli atau menjual saham atau komoditi di masa yang akan datang dengan kesepakatan nilai tertentu. Dalam perkembangan sebelumnya, belum ada suatu model baku yang dikenal untuk memprediksi opsi secara berarti, hanya dengan perasaan saja. Model Black-Scholes merupakan suatu pegangan di awal era derivatif keuangan modern. Model ini digunakan untuk memprediksi suatu ekuitas seperti opsi secara berarti. Ekuitas adalah kewajiban perusahaan kepada pihak lain untuk membayar suatu nilai tertentu. Model Black-Scholes yang diperkenalkan Fischer Black, Myron Scholes dan Robert Merton telah mendapat hadiah Nobel dibidang ekonomi pada tahun 1997. Ada beberapa asumsi yang digunakan pada model Black-Scholes (Bodie et al., 1999), yaitu 1. Dividen saham tidak diberikan selama pemberlakuan opsi. 2. Suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan selama pemberlakuan opsi. 3. Data mengalami perubahan setiap saat. Dari ketiga asumsi ini, yang paling utama adalah asumsi bahwa suku bunga dan ragam dari harga saham adalah konstan selama pemberlakuan opsi. Proses dalam pembentukan model Black-Scholes Data yang dikemukakan oleh model ini mengalami perubahan setiap saat. Data sebelum dan sesudah periode tertentu akan memiliki dua faktor, yaitu faktor/efek naik-tetap atau faktor/efek turun.
14
Faktor/efek naik-tetap
t n 1
ue
t 2t n 2n
Faktor/efek turun
d e
t n 1
t 2t n 2n
dengan 2
adalah ragam dari data. t adalah lamanya waktu yang dibutuhkan untuk pendugaan. n adalah banyaknya data selama waktu t. Misalkan dari jam 800 (awal pembukaan transaksi) s/d 1600 (akhir penutupan transaksi) terdapat 640 data transaksi, maka rata-rata dari data transaksi yang terkumpul setiap jam sebanyak 80 data (
t 8 1 jam/data). n 640 80
Misalkan peubah L berdistribusi binomial dengan n (banyaknya data selama waktu t) dan p (peluang peubah L akan naik-tetap dari waktu i-1 ke waktu i, 0 i t ), maka E[L] = np dan Var[L] = np(1-p) dimana
p
rt d n ud
1
rt t t 2 n n 2n t 2 n
r
t n
1 2 2
t n
4
dengan r adalah suku bunga Didefinisikan peubah W1 = 2
t L nt , maka n
15
E[W1] = 2 = 2
t E[ L] nt n
t np nt n
1 = 2 nt ( p ) 2
t t r n n 2 nt 2 4
2 = (r )t 2
2 t Var ( L) Var[W1] = 2 n = 4 2tp (1 p) 2t Black-Scholes
mendefinisikan
sehingga E[W] = (r
2 2
peubah
W (r
2 2
)t Z t =
Y ln t Y0
)t dan Var[W] = 2 t , maka
2
^ ( r )t Z t 2 Yt Y0e (Ross, 1999)
(2.7)
dengan Y0 adalah data awal pada saat t = 0. r adalah suku bunga 2
adalah ragam dari data. t adalah lamanya waktu yang dibutuhkan untuk pendugaan. Z adalah peubah berdistribusi normal baku
2.4 Perbandingan antar model berdasarkan nilai MSE Model terbaik yang dipilih berdasarkan nilai MSE (Mean Square Error) terkecil. Alat ukur ini dapat menjelaskan seberapa besar penyimpangan antara data yang digunakan dalam pemodelan ragam aktual terhadap dugaan model. Secara matematis nilai MSE dapat dihitung dengan rumus berikut: 16
n
MSE
(Y t 1
t
^
Y t )2 n
dengan Yt adalah data pada saat ke - t ^
Y t adalah data dugaan pada saat ke - t
2.5 Kriteria pemilihan model berdasarkan hasil peramalan Misalkan peramalan data ke-j = T+1, T+2,...,T+h, dan dinotasikan data
aktual pada saat ke-t adalah yt dan data peramalan pada saat ke-t adalah yt . Tingkat keakuratan hasil peramalan dapat diukur dengan MAPE (Mean Absolute Percentage Error ), yang dirumuskan sebagai berikut:
T h y y t t /h MAPE = 100 yt t T 1 MAPE dapat digunakan untuk membandingkan model dari gugus pengamatan yang berbeda karena tidak dipengaruhi oleh n data, hal ini tidak dimiliki oleh pengukuran AIC, SBIC dan HQIC.
17
3. METODOLOGI
3.1 Data Data diperoleh langsung dari perusahaan sekuritas Equis International, A Reuters Company (online system). Penelitian ini menggunakan data deret waktu harga saham harian periode tahun 2000-2004. Data diperoleh dari 5 perusahaan yang terdaftar di bursa saham NYSE (New York Stock Exchange), yaitu: General Motor, Minnesota Mining, Reuters Holdings, Time Warner dan Washington Mutual. Data dari 5 perusahaan tersebut dipilih dengan dua alasan, yaitu: pertama, sudah mewakili berbagai perusahaan yang bergerak di bidang bisnis jasa dan produksi di NYSE; kedua, data relatif sangat berfluktuatif (relatif tidak stabil). Pemodelan data deret waktu menggunakan 9 kategori periode tahun, yaitu: 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2000-2001, 2000-2002, 2000-2003 dan 2000-2004. Pengkategorian tahunan didasarkan adanya laporan keuangan perusahaan setiap akhir tahun dan progres untuk tahun-tahun berikutnya. Ke-9 kategori periode tahun dipilih untuk melihat perubahan data, perubahan model dan perubahan MSE.
3.2 Metode Metode penelitian membutuhkan 3 tahapan, yaitu: pemodelan deret waktu, pemodelan Black-Scholes dan perbandingan model deret waktu dan model BlackScholes. Tahapan pertama, pemodelan deret waktu. 1. Kestasioneran data dalam rataan dan ragam.
Y Data yang digunakan adalah return harga saham harian, yaitu: S t ln t Yt 1 dengan Yt adalah data harga saham harian masing-masing perusahaan. Kestasioneran data dapat dilihat dari plot ACF dan plot PACF yang menurun perlahan secara geometri. Jika data tidak stasioner maka data harus ditransformasi. Jika data yang sudah ditransformasi tadi belum stasioner maka perlu dicari suatu transformasi baru atau jika perlu data dibuat selisih ordo-1
18
atau ordo-2 atau data dikelompokkan berdasarkan periode waktu yang berbeda. 2. Pemodelan deret waktu dengan menggunakan persamaan rataan a. Spesifikasi model Spesifikasi model ARIMA didasarkan pada rekomendasi hasil analisis terhadap plot ACF dan plot PACF. b. Pendugaan parameter. Pemilihan model berdasarkan parameter model yang nyata c. Pemeriksaan diagnostik model untuk memeriksa kelayakan model, yang memenuhi
Diagnostik sisaan
Kecocokan model
3. Pemodelan deret waktu dengan menggunakan persamaan ragam Model ARIMA dan model ARCH-GARCH dipilih secara simultan. 4. Lakukan langkah 1 s/d 3 sehingga dihasilkan beberapa kandidat model deret waktu, kemudian pilih satu model berdasarkan nilai Schwarz’s Bayesian information criterion (SBIC) minimum. 5. Penghitungan masing-masing nilai MSE dari model dengan menggunakan data return harga saham harian dari suatu perusahaan untuk satu kategori periode tahun. 6. Lakukan langkah 1 s/d 5 sehingga menghasilkan nilai MSE pada 9 kategori periode tahun untuk 5 perusahaan. Tahapan pertama ini menghasilkan 45 nilai MSE.
Tahapan kedua, pemodelan Black-Scholes. 1. Model return yang digunakan yaitu:
^ yt 2 (r ln ) Z ( t t 1) y 2 t 1 kemudian lakukan pemilihan r = suku bunga, perhitungan nilai ragam return, dan Z adalah peubah berdistribusi normal baku.
19
2. Penghitungan masing-masing nilai MSE dari model dengan menggunakan data return harga saham harian dari suatu perusahaan untuk satu kategori periode tahun. 3. Lakukan langkah 1 s/d 2 sehingga menghasilkan nilai MSE pada 9 kategori periode tahun untuk 5 perusahaan. Tahapan kedua ini menghasilkan 45 nilai MSE.
Tahapan ketiga, perbandingan model deret waktu dan model Black-Scholes. 1. Perbandingan kedua model berdasarkan box plot MSE. 2. Peramalan data dengan menggunakan nilai MAPE untuk kedua model.
20
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Deskriptif data Harga saham harian dari kelima perusahaan selama tahun 2000-2004 dicatat selama 1256 hari. Data harga saham harian secara umum dari kelima perusahaan sangat berfluktuasi dan bergerak dari batas bawah USD 9,59 sampai dengan batas atas USD 153,625.
Gambar 1. Harga saham harian periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari lima perusahaan Dari Gambar 1 dan Tabel 2 didapat bahwa volatilitas harga saham harian dari beberapa perusahaan relatif tidak konstan. Data yang digunakan untuk memperoleh model deret waktu pada Tabel 2, menggunakan data stasioner yaitu
y return harga saham harian S t ln t , yt adalah harga saham harian (Lampiran yt 1 2). Ragam dari data harga saham harian untuk perusahaan Reuters Holdings dan General Motor relatif tidak konstan dan kecenderungan nilai rataan menurun. Ragam dari data harga saham harian untuk perusahaan Time Warner sebelum hari ke-700 relatif tidak konstan dan kencenderungan nilai tengah menurun, namun setelah hari ke-700 ragam relatif stabil. Data harga saham harian untuk
21
perusahaan Minnesota Mining dan Washington Mutual memiliki ragam yang relatif tidak konstan dan kecenderungan nilai rataan menaik. Dalam pembentukan model deret waktu dibutuhkan data dengan ragam yang relatif konstan. Data return St merupakan tingkat pengembalian majemuk (continuously compounding return) harga saham harian dan dapat menghilangkan pengaruh satuan. Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa data return harga saham harian dari kelima perusahaan sudah memiliki ragam yang relatif konstan (Lampiran 2). Tingkat pengembalian majemuk harga saham harian dari kelima perusahaan bergerak dari batas bawah -0,27 sampai dengan batas atas 0,23.
Gambar 2. Data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 dari lima perusahaan Untuk semua kelompok pengamatan pada Tabel 1, data return St memiliki nilai rataan yang berada dalam batas selang kepercayaan 95%, artinya tidak berbeda dengan nol (Lampiran 2). Hal ini berarti bahwa fluktuasi data return St masih dalam batas wajar, tidak menyebabkan pergeseran nilai rataan.
22
Tabel 1. Statistik deskriptif data return St periode Januari 2000 s.d Desember 2004 untuk lima perusahaan di sembilan kategori tahun. Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2000-2001 2000-2002 2000-2003 2000-2004
Banyak data 251 247 251 251 251 498 749 1000 1251
GM 0,03 0,02 0,03 0,02 0,01 0,03 0,03 0,02 0,02
Simpangan baku MM RH TW 0,02 0,05 0,04 0,02 0,03 0,04 0,02 0,04 0,04 0,01 0,03 0,02 0,01 0,03 0,01 0,02 0,04 0,04 0,02 0,04 0,04 0,02 0,04 0,04 0,02 0,04 0,03
WM 0,03 0,02 0,02 0,02 0,01 0,03 0,02 0,02 0,02
GM -0,10 -0,75 0,26 0,06 -0,37 -0,38 -0,13 -0,15 -0,15
MM 0,78 0,24 0,32 0,43 -0,27 0,61 0,55 0,55 0,51
Skewness RH TW 1,02 -0,13 0,06 0,21 -1,03 -0,21 -0,20 -1,22 2,10 0,03 0,83 0,00 0,21 -0,08 0,13 -0,2 0,25 -0,24
WM 0,89 -0,65 -0,07 -1,11 0,49 0,35 0,30 0,21 0,24
GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual.
GM 0,90 5,20 1,51 1,47 1,60 2,52 2,12 2,47 3,05
Kurtosis MM RH TW WM 2,34 3,56 3,03 4,61 1,09 0,44 2,33 3,35 2,40 8,47 1,65 1,86 1,11 1,40 7,57 5,67 4,56 14,45 1,22 13,53 2,14 3,64 2,78 4,50 2,30 5,37 2,35 4,56 2,86 5,09 3,15 5,34 3,27 6,06 4,28 6,40
Simpangan baku adalah penyebaran data terhadap rataan. Penyebaran data return St terkecil yaitu 0,01 terdapat pada perusahaan General Motor di periode tahun 2004, perusahaan Minnesota Mining di periode tahun 2003 dan tahun 2004, perusahaan Time Warner di periode tahun 2004 dan perusahaan Washington Mutual di periode tahun 2004. Oleh sebab itu, tingkat pengembalian majemuk harga saham harian pada masing-masing perusahaan tadi relatif tidak berfluktuasi (relatif stabil) di periode tahun yang sudah disebutkan. Penyebaran data return St terbesar yaitu 0,05 terdapat pada perusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2000. Hal ini berarti bahwa tingkat pengembalian majemuk harga saham harian pada perusahaan ini relatif berfluktuasi (relatif tidak stabil) selama periode tahun 2000. Skewness adalah suatu alat ukur ketidaksimetrian distribusi data disekitar rataan. Nilai skewness terbesar yaitu 2,1 terdapat pada data return St perusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2004. Hal ini berarti bahwa data return St pada perusahaan ini memiliki distribusi dengan ekor yang menjulur ke kanan. Jadi, banyak data return St mengelompok di sekitar rataan dan sedikit data return St yang menjauh dari rataan ke arah sumbu horizontal positif, hal ini akan mengakibatkan terjadinya perbedaan pola data atau pola sisaan. Untuk nilai skewness terkecil yaitu -1,22 terdapat pada data return St perusahaan Time Warner di periode 2003, yang berarti data return St memiliki distribusi dengan ekor yang menjulur ke kiri. Karena itu, banyak data return St mengelompok di sekitar rataan dan sedikit data return St yang menjauh dari rataan ke arah sumbu horizontal negatif. Pada periode 2000-2001, data return St perusahaan Time Warner memiliki nilai skewness yaitu 0, yang berarti data return St memiliki distribusi simetri. Kurtosis adalah suatu alat ukur untuk mengetahui tingkat kepadatan sebaran (memuncak atau mendatar). Nilai kurtosis terbesar yaitu 14,45 terdapat pada data return St perusahaan Reuters Holding di periode tahu 2004, yang berarti tingkat kepadatan sebarannya memuncak (lebih dari 3, berarti puncaknya relatif di atas puncak distribusi normal). Data return St perusahaan Reuters Holding memiliki nilai kurtosis terkecil yaitu 0,44 di periode 2001, yang berarti tingkat kepadatan sebarannya mendatar (kurang dari 3, berarti puncaknya relatif di bawah
24
puncak distribusi normal). Pada periode 2000, data return St perusahaan Time Warner memiliki nilai kurtosis sebesar 3,03 yang berarti memiliki tingkat kepadatan sebarannya mendekati puncak distribusi normal.
4.2 Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas Perbandingan metode pendeteksian heteroskedasitas dengan menggunakan uji-LM (Tabel 2) dan kurtosis (Tabel 1). Uji keberadaan heteroskedasitas (Tabel 2) mula-mula menggunakan model ARIMA yang memiliki ragam sisaan yang konstan. Jika model ARIMA menghasilkan ragam sisaan yang tidak konstan maka pemodelan
menggunakan
model
ARIMA-ARCH/GARCH
atau
Konstan-
ARCH/GARCH . General Motor pada kategori tahun 2000, 2001, 2004 dan 2000-2001 memiliki ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 5,2 di keempat kategori periode tahun tersebut. Minnesota Mining pada kategori tahun 2000, 2001, 2003 dan 2004 memilik ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 4,56 di keempat kategori periode tahun tersebut. Reuters Holdings tidak memiliki ragam sisaan yang konstan (uji-LM) untuk setiap kategori tahun dengan kurtosis > 5,2 terjadi pada kategori tahun 2002, 2004, 2000-2002, dan 2000-2004. Time Warner pada kategori tahun 2000, 2001, 20002001, 2000-2003 dan 2000-2004 memilik ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 4,28 di kelima kategori periode tahun tersebut. Washington Mutual pada kategori tahun 2000 dan 2003 memilik ragam sisaan yang konstan (uji-LM) dengan kurtosis terbesar = 5,67 di kedua kategori periode tahun tersebut. Dengan membandingkan uji-LM dan kurtosis, didapat bahwa keberadaan heteroskedasitas dengan kurtosis > 5,67. Jika dibandingkan dengan penelitian Yan (2005) menyatakan bahwa kurtosis > 6 mengidentifikasikan keberadaan heteroskedasitas.
25
Tabel 2. Uji keberadaan heteroskedasitas (Ho: Sisaan konstan; H1: Sisaan tidak konstan) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun Nilai-p untuk model Nilai-p untuk model Nilai-p untuk model Tahun Banyak ARIMA ARIMA-ARCH/GARCH Konstan-ARCH/GARCH data GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM 2000 251 0,81 0,68 0,68 0,36 0,49 2001 247 0,79 0,19 0,19 0,51 0,29 2002 251 0,38 0,06 0,33 0,70 0,49 2003 251 0,73 0,86 0,71 0,54 0,63 2004 251 0,41 0,65 0,69 0,76 0,97 2000-2001 498 0,22 0,54 0,11 0,62 0,71 2000-2002 749 0,48 0,46 0,59 0,62 0,84 2000-2003 1000 0,19 0,29 0,31 0,61 0,45 2000-2004 1251 0,15 0,77 0,67 0,36 0,64 GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual.
4.3 Pemodelan deret waktu Setiap percobaan untuk menghasilkan model deret waktu maupun model Black-Scholes, menggunakan data return St masing-masing perusahaan selama 5 tahun (1251 hari) yang dibagi ke dalam 9 kategori periode tahun. Ke-9 kategori periode tahun dipilih untuk melihat perubahan data, perubahan model dan perubahan MSE. Penelitian ini menggunakan 45 model deret waktu. Untuk menjelaskan proses pembentukan model deret waktu (ARIMA dan ARCH-GARCH), diambil satu studi kasus data harga saham Yt perusahaan Reuters Holdings pada periode tahun 2002. Data harga saham Yt dari kelima perusahaan tidak ada yang stasioner di berbagai kategori periode tahun, karena memiliki pola ACF ataupun pola PACF yang tidak langsung drop ke sumbu vertikal. Data harga saham Yt perusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2002 memiliki pola PACF yang langsung drop pada lag-1, namun pola ACF mengalami kenaikan kembali pada lag-91 (Lampiran 1a), sehingga data harga saham Yt belum stasioner. Untuk semua perusahaan di berbagai kategori periode tahun, tidak memiliki data return St yang stasioner termasuk data return St perusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2002 (Lampiran 1b). Oleh karena itu, diambil selisih ordo-1 sehingga semua data kelima perusahaan di berbagai kategori periode tahun memiliki pola ACF ataupun pola PACF yang langsung drop ke sumbu vertikal termasuk data perusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2002 (Lampiran 1c). Dari hasil menganalisis pola ACF dan pola PACF didapat bahwa semua data return St untuk kelima perusahaan menggunakan selisih ordo-1 di berbagai kategori periode tahun. Hal ini menunjukkan bahwa semua data tingkat pengembalian majemuk harga saham harian untuk kelima perusahaan mengalami perubahan rataan di setiap kategori periode tahun (Tabel 3). Setelah data dari kelima perusahaan memenuhi asumsi kestasioneran data, maka langkah berikutnya adalah pemodelan deret waktu. Biasanya pemilihan parameter model ARIMA (p,d,q) berdasarkan lag dari ACF dan PACF yang langsung drop ke sumbu vertikal. Pada umumnya lag yang drop tersebut pada lag1 atau lag-2, sehingga p dan q pada ARIMA (p,d,q) bernilai 1 atau 2 saja (Tabel
27
3). Untuk data perusahaan Reuters Holdings di periode tahun 2002, memiliki model MA(1) yang nyata (Lampiran 1d). Untuk beberapa perusahaan di kategori periode tahun tertentu, model ARIMA (p,d,q) memenuhi asumsi galat bebas dan berdistribusi normal. Perusahaan yang memiliki asumsi tadi adalah perusahaan yang memiliki model deret waktu tanpa ARCH-GARCH (Tabel 3). Data perusahaan Reuters Holdings pada periode 2002 memiliki model MA(1) yang tidak memenuhi asumsi galat bebas dan memenuhi kondisi heteroskedasitas (Lampiran 1e dan 1f). Oleh karena itu, data perusahaan Reuters Holdings pada periode tahun 2002 memiliki model deret waktu ARCH/GARCH dan memenuhi semua asumsinya (Lampiran 1g-1i). Untuk semua kategori periode tahun, data perusahaan Reuters Holdings memiliki model deret waktu ARCH/GARCH (Tabel 3). Hal ini menunjukkan bahwa data Yt harga saham harian dari perusahaan ini mengalami fluktuasi yang relatif besar (Gambar 1). Jadi, jika data harga saham Yt yang dianalisis relatif berfluktuasi maka model deret waktu cenderung menggunakan ARCH-GARCH (Tabel 3). Dengan menggunakan tahapan-tahapan yang sama seperti pemodelan deret waktu untuk perusahaan Reuters Holdings pada tahun 2002 dan memilih model berdasarkan SBIC minimum (Lampiran 3), maka didapatlah model deret waktu lainnya (Tabel 3).
28
Tabel 3. Model deret waktu dari lima perusahaan pada sembilan kategori tahun Tahun
General
Minnesota
Reuters
Time
Washington
(Kategori)
Motor
Mining
Holdings
Warner
Mutual
2000 (1)
ARIMA(1,1,1)
ARIMA(2,1,1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1)
2001 (2)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1)
ARCH(1)-GARCH(3)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)
2002 (3)
ARIMA(1,1,2)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1)
ARCH(1)-GARCH(2)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(2)
2003 (4)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(1,1,1)
ARCH(2)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1)
2004 (5)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(1,1,2)
ARCH(1)
ARCH(2) GARCH(1) 2000-01 (6)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(1,1,2)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(2,1,1)
ARCH(1)-GARCH(1) 2000-02 (7)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1)
ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(3)
ARCH(1)-GARCH(1) 2000-03 (8)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(2)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(2,1,1)
ARCH(1)-GARCH(1) 2000-04 (9)
ARIMA(0,1,1)
ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(2,1,1)
ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)
Pemodelan ARCH yang menggunakan data keuangan dipengaruhi oleh bentuk distribusi. Pemodelan ARCH dapat dijelaskan dengan menganalisis nilainilai volatilitas, skewness dan kurtosis. Volatilitas merupakan informasi yang sangat penting diberbagai bidang ekonomi termasuk makroekonomi dan keuangan. Struktur volatilitas (struktur dinamik) merefleksikan harapan pasar modal di berbagai periode waktu. Suatu pendekatan untuk volatilitas adalah memodelkan kondisi ragam diberbagai periode waktu ( t2 ). Struktur volatilitas yang dimodelkan secara stokastik mengidentifikasikan adanya komponen GARCH (Engle & Rosenberg, 1998). Bentuk dari distribusi yang tidak simetri dan memiliki ekor yang lebih panjang dari distribusi normal dapat dilihat dari nilai skewness dan kurtosis yang mengidentifikasikan adanya bentuk dari ARCH (Yan, 2005). Simpangan baku dari data return St perusahaan Reuters Holdings relatif lebih besar dibanding perusahaan lain di setiap kategori periode tahun dan memiliki model deret waktu ARCH-GARCH. Kurtosis dari data return St dengan nilai 6,06; 6,40; 7,57; 8,47; 13,53; 14,45 (Tabel 1) menghasilkan model deret waktu ARCH-GARCH (Tabel 3). Hal ini berarti, bahwa semakin besar simpangan baku dan kurtosis maka cenderung menghasilkan model deret waktu ARCHGARCH. Simpangan baku dan kurtosis yang semakin besar mengidentifikasikan adanya sebagian data yang relatif menjauh dari sekelompok besar data (rataan), sehingga menghasilkan kelompok terpencil yang berbeda dengan yang lain. Data di sekitar rataan relatif memiliki pola yang berbeda dengan sebagian kecil kelompok data yang menjauh dari rataan, dengan demikian menghasilkan pola sisaan yang berbeda di antara kelompok data tersebut. Model deret waktu ARCHGARCH dapat memodelkan pola sisaan yang berbeda diantara kelompok data tersebut.
4.4 Pemodelan Black-Scholes Dengan menggunakan data return harga saham harian dari 5 perusahaan, maka proses pemodelan Black-Scholes dapat dilakukan. Data masukkan yang dibutuhkan adalah suku bunga r sebesar 8% per tahun dan simpangan baku (Tabel 1) sehingga menghasilkan nilai konstan (Tabel 4), Z (peubah berdistribusi normal
30
baku) dan peubah waktu t sehingga menghasilkan nilai MSE yang dapat diperhatikan pada Tabel 5. Tabel 4. Data model Black-Scholes dari lima perusahaan pada sembilan kategori tahun Banyak
General Motor
Minnesota Mining
Reuters Holdings
Time Warner
Washington Mutual
Tahun
data
Konstan
Konstan
Konstan
Konstan
Konstan
2000
251
-4,70E-05
6,36E-05
-6,74E-04
-4,85E-04
-6,89E-05
2001
247
3,92E-05
1,51E-04
-1,76E-04
-3,39E-04
4,73E-05
2002
251
-5,55E-05
1,67E-04
-4,32E-04
-4,84E-04
1,32E-04
2003
251
1,67E-04
2,53E-04
-1,55E-04
5,91E-05
2,07E-04
2004
251
2,34E-04
2,41E-04
3,59E-06
2,44E-04
2,44E-04
2000-01
498
-1,64E-04
-5,32E-05
-5,87E-04
-5,73E-04
-1,73E-04
2000-02
749
-2,34E-04
-8,58E-05
-6,43E-04
-6,49E-04
-1,77E-04
2000-03
1000
-6,01E-04
-8,07E-05
-6,01E-04
-5,52E-04
-1,61E-04
2000-04
1251
-1,88E-04
-8,00E-05
-5,44E-04
-4,57E-04
-1,44E-04
Dari pembahasan sebelumnya, didapat bahwa pemodelan deret waktu dan pemodelan Black-Scholes sudah memiliki asumsi-asumsi termasuk parameter yang diperlukan secara berarti. Untuk prosedur berikutnya adalah menghitung masing-masing MSE dari kedua model dengan menggunakan data return harga saham harian yang dibagi ke dalam 9 kategori periode tahun (Tabel 5).
31
Tabel 5. Nilai MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun
Model Deret Waktu
BlackScholes
GM MM RH TW WM GM MM RH TW WM
2000 0,00071 0,00046
2001 0,00056 0,00035
2002 0,00074 0,00030
Tahun 2003 2004 0,00030 0,00017 0,00013 0,00015
0,00198 0,00160 0,00077 0,00073 0,00051
0,00100 0,00123 0,00056 0,00055 0,00035
0,00150 0,00160 0,00037 0,00075 0,00030
0,00094 0,00052 0,00022 0,00030 0,00013
0,00063 0,00015 0,00015 0,00017 0,00015
0,00149 0,00145 0,00066 0,00065 0,00043
0,00150 0,00151 0,00057 0,00068 0,00039
0,00136 0,00125 0,00048 0,00136 0,00033
0,00122 0,00103 0,00041 0,00050 0,00029
0,00202 0,00159 0,00081
0,00101 0,00138 0,00054
0,00157 0,00161 0,00038
0,00095 0,00052 0,00023
0,00064 0,00015 0,00015
0,00149 0,00151 0,00067
0,00150 0,00153 0,00057
0,00136 0,00127 0,00048
0,00122 0,00105 0,00042
2000-01 0,00065 0,00042
2000-02 0,00068 0,00038
2000-03 0,00059 0,00033
2000-04 0,00050 0,00029
Keterangan: GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual.
4.5 Perbandingan kedua model berdasarkan boxplot MSE. Boxplot merupakan ringkasan dari distribusi suatu himpunan data yang menjelaskan pemusatan dan penyebaran data. Dari Tabel 6, Gambar 3 dan Gambar 4 didapat bahwa rataan MSE dari model deret waktu = 0,00075 lebih kecil dari rataan MSE dari model Black-Scholes = 0,00078, yang berarti pemodelan dengan menggunakan model deret waktu lebih baik dibandingkan pemodelan Black-Scholes. Penyebaran data MSE terhadap rataannya dari model deret waktu = 0,00049 lebih kecil dari pada penyebaran data MSE terhadap rataanya dari model Black-Scholes, yang berarti penyebaran data MSE dari model deret waktu lebih baik karena lebih terpusatkan ke rataan. Jarak antar kuartil dan median menjelaskan penyebaran data yang kekar (robust). Dalam hal ini, penyebaran data MSE dari model Black-Scholes lebih baik dari pada penyebaran data MSE dari model deret waktu, karena median dari model Black-Scholes lebih ketengah box dibandingkan median dari model deret waktu.
Gambar 3. Boxplot MSE dari model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan di sembilan kategori periodel tahun
33
4.6 Peramalan dan interpretasi hasil Dalam beberapa kasus, peramalan harga saham di pasar modal merupakan salah satu bisnis peramalan yang menggairahkan. Pengalaman, seni dalam menangani portfolio, kecanggihan teknik dan tantangan merupakan kombinasi yang dibutuhkan dalam meramal harga saham. Peramalan harga saham tergantung dari beberapa faktor, yaitu: fundamental perusahaan (laporan keuangan dan prospek perusahaan), rumor (pasar yang bergejolak, politik dan keamanan) dan teknik peramalan (ilmu statistik). Teknik peramalan dengan menggunakan ilmu statistik membutuhkan 2 tahapan, yaitu: memodelkan data (interpolasi) dan meramal data (ekstrapolasi). Pemodelan data menggunakan data harga saham 1 Januari 2000 s/d 31 Juni 2004, kemudian dilakukan peramalan data untuk data harga saham dari 1 Juli 2004 s/d 31 Desember 2004. Tingkat keberhasilan peramalan harga saham diukur dengan menggunakan nilai MAPE yang terdapat pada Tabel 6. Tabel 6. Perbandingan nilai MAPE dari harga saham pada model deret waktu dan model Black-Scholes untuk lima perusahaan Deret waktu Perusahaan
Black-Scholes MAPE
Konstan
Ragam
MAPE
0,0094
0,000369
0,000542
0,0099
0,0089
0,000489
0,000303
0,0091
Minnesota Mining
ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1) ARIMA(0,1,1) ARCH(2)-GARCH(1)
Reuters Holdings
ARCH(1)-GARCH(1)
0,0148
-1,6E-05
0,001311
0,0152
Time Warner
ARIMA(2,1,1) ARIMA(0,1,1) ARCH(1)-GARCH(1)
0,0085
6,87E-05
0,001143
0,0092
0,0061
0,000413
0,000454
0,0062
General Motors
Washington Mutual Rata-rata
0,0095
0,0099
Simpangan baku
0,0032
0,0032
Peramalan terbaik dari harga saham terdapat pada perusahaan Washington Mutual dengan nilai MAPE = 0,0061 dan menggunakan model ARIMA(0,1,1), ARCH(1)-GARCH(1). Peramalan dengan menggunakan model ARCH-GARCH ini sesuai dengan pengalaman dalam meramal data-data keuangan seperti: harga saham, kurs dan obligasi. Data-data keuangan tersebut dalam prakteknya
34
mengalami fluktuasi yang tidak stabil sehingga menghasilkan heteroskedasitas. Dari Tabel 6 didapat, perbandingan rata-rata tingkat kesalahan mutlak untuk peramalan harga saham dengan menggunakan model deret waktu terhadap model Black-Scholes, yaitu: 1 : 1 dan penyebarannya dengan perbandingan 1 : 1. Jadi tingkat keberhasilan dalam peramalan dengan menggunakan model deret waktu maupun model Black-Scholes tidak berbeda secara berarti. Peramalan jangka panjang lebih baik menggunakan model deret waktu karena model ini dapat mengakomodasi terjadinya volatilitas data atau sisaan yang tidak konstan.
35
5. SIMPULAN DAN SARAN
5.1 Simpulan 1. Dengan membandingkan uji-LM, simpangan baku, skewness dan kurtosis dari data 5 perusahaan, didapat bahwa adannya kecenderungan menghasilkan kondisi heteroskedasitas, sehingga model deret waktu membutuhkan persamaan
ARCH-GARCH. Data-data perusahaan yang tidak memiliki
masalah heteroskedasitas menghasilkan persamaan ARIMA. Model ARCHGARCH
yang
dihasilkan
adalah:
ARCH(1),
ARCH(1)-GARCH(1),
ARCH(2)-GARCH(1), ARCH(1)-GARCH(2), dan ARCH(2)-GARCH(1). Model ARIMA yang dihasilkan adalah: ARIMA(0,1,1), ARIMA(1,1,1), ARIMA(1,1,2), dan ARIMA(2,1,1). 2. Berdasarkan analisis dengan menggunakan boxplot, didapat bahwa model deret waktu lebih baik dibandingkan model Black-Scholes karena memiliki rataan MSE dan simpangan baku MSE yang lebih kecil. Model Black-Scholes lebih baik dibandingkan model deret waktu dalam hal penyebaran data MSE yang kekar (robust) 3. Jika peramalan data deret waktu mengakibatkan tidak adanya model deret waktu, maka dapat digunakan model Black-Scholes sebagai alternatif pemilihan model karena nilai MAPE kedua model tadi tidak berbeda secara berarti.
36
5.2 Saran 1. Untuk kajian lebih lanjut dapat mengambil kasus dengan kondisi ragam return dari model Black-Scholes yang tidak konstan. 2. Untuk mengakomodasi kejadian ekstrim atau data pencilan, perlu suatu kajian sehingga pengaruh data tadi dapat dikurangi dan tidak menggangu model terbaiknya.
37
DAFTAR PUSTAKA
Abraham, B. & J. Ledolter. 1983. Statistical Methods for Forecasting. John Wiley and Sons. New York. Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A.J. 1999. Investments. 4th Edition. McGraw-Hill Book Co., Singapore. Box, G.E.P. & G.M. Jenkins. 1976. Time Series Analysis Forecasting and Control. Holden-Day. San Francisco. Bowerman & O’Connell, R. T. 1987. Time Series Forecasting. Unified Concepts and Computer Implementation. 2nd Edition Duxburry Press. Boston. Brooks C. 2002. Introductory Econometrics for Finance. The ISMA centre, University of Reading. First Published. Cryer, J.D. 1986. Time Series Analysis. PWS Publishers. USA. Engle, R.F. & Rosenberg, J.V. 1998. Testing The Volatility Term Stucture using Option Hedging Criteria. Paper Document. American Finance Association Meeting. Eviews User’s Guide. 5th Edition. 2004. Quantitative Micro Software. USA. Grasa, A. A. (1989). Econometric Model Selection: A New Approach, Kluwer. Gujarati, D. N. 1995. Basic Econometrics, 3rd Edition, New York: McGraw-Hill. Hamilton, J.D. 1994. Time Series Analysis. Princeton University Press. New Jersey. Makridakis S., S.C. Wheelwright, & V.E. McGee. 1983. Forecasting: Methods and Applications. 2nd Edition. John Wiley & Sons. New York Montgomery, D.C., L.A. Johnson, & J.S. Gardiner. 1990. Forecasting and Time Series Analysis. 2nd Edition. Mc-Graw Hill. Inc. Singapore Pindyck, R. S. & D. L. Rubinfeld. 1981. Econometric Models and Economic Forecast. McGraw-Hill Inc, Boston. Ross, S.M. 1999. An Introduction to Mathematical Finance: Options and Other Topics. 1st Published. Cambridge University Press.
38
Tagliafichi, R.A. 2003. The Estimation of Market VaR using GARCH models and a Heavy Tail Distributions. Paper Document in Basel II. Faculty of Economics, University of Buenos Aries, Argentina. Watsham, T.J. & Parramore, K. 1997. Quantitative Methods in Finance. 1st Edition. Thomson Learning, London UK. Yan, J. 2005. Asymmetry, Fat-tail, and Autoregressive Conditional Density in Financial Return Data with Systems of Frequency Curves. Article Department of Statistics and Actuarial Science. University of Iowa, USA.
39
Lampiran 1. Proses pembentukan model ARIMA dan ARCH-GARCH untuk data harga saham harian perusahaan Reuters Holding pada tahun 2002.
..............
a. ACF dan PACF dari data awal (USD).
40
b. ACF dan PACF dari data transformasi ln(Yt/Yt-1)
c. ACF dan PACF dari data transformasi ln(Yt/Yt-1) dan selisih ordo-1
41
d. Parameter model MA(1) berdasarkan pola ACF dan PACF
e. Correlogram of Residuals dari model MA(1)
f. Uji heteroskedastis dengan LM-Test dari model MA(1)
42
g. Parameter model MA(1) dan model ARCH(1)-GARCH(2)
h. Correlogram of Standardized Residuals dari model MA(1) dan model ARCH(1)-GARCH(2)
i. Uji keberadaan ARCH dengan LM-Test
43
Lampiran 2. Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun Ho: Data stasioner H1: Data tidak stasioner Nilai kritis 1% = -3,46; nilai kritis 5% = -2,87; nilai kritis 10% = -2,57
Tahun 2000 2001 2002 2003 2004 2000-2001 2000-2002 2000-2003 2000-2004
Banyak data 251 247 251 251 251 498 749 1000 1251
Rataan SK = 95% 0 0 0 0 0 0 0 0 0
GM -18,37 -15,46 -18,39 -16,65 -14,49 -24,04 -30,36 -34,81 -38,45
MM -13,50 -17,48 -15,83 -18,17 -16,75 -18,18 -27,95 -32,69 -27,70
Uji ADF RH TW -16,31 -15,88 -14,26 -14,56 -19,73 -15,22 -16,13 -14,54 -16,04 -16,12 -22,09 -21,35 -29,16 -26,28 -33,41 -30,20 -37,16 -33,85
WM -15,25 -12,94 -14,98 -16,31 -15,13 -17,28 -25,64 -29,98 -33,56
Keterangan: GM=General Motor, MM=Minnesota Mining, RH=Reuters Holdings, TW=Time Warner, WM=Washington Mutual.
44
Lampiran 3. SBIC dari model deret waktu untuk lima perusahaan pada sembilan kategori tahun General Motors Kategori
Model-1
2000 SBIC 2001 SBIC
ARIMA(1,1,1) -4,34287 ARIMA(0,1,1) -4,60122
2002 SBIC
2000-2003 SBIC
ARIMA(1,1,2) -4,47225 ARCH(1)GARCH(1)+C -5,28843 ARIMA(0,1,1) -5,80452 ARIMA(0,1,1) -4,4767 ARCH(1)GARCH(1)+C -4,49994 ARCH(1)GARCH(1)+C -4,69433
2000-2004 SBIC
ARIMA(0,1,1) -4,8944
2003 SBIC 2004 SBIC 2000-2001 SBIC 2000-2002 SBIC
Model-2
ARCH(1)GARCH(1)
ARIMA(1,1,2) -4,4599 ARCH(1)-GARCH(2)+C -5,27356 ARIMA(1,1,2) -5,79692
Model-3
ARCH(1)GARCH(2) ARCH(2)GARCH(2)+C -5,24289
ARCH(1)GARCH(1)
Minnesota Mining Kategori 2000
Model-1 ARIMA(2,1,1)
SBIC
-4,78437
2001
ARIMA(0,1,1)
SBIC
-5,08308
2002
ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-5,2392
2003
ARIMA(1,1,1)
SBIC
-6,05674
2004
ARIMA(0,1,1)
SBIC
-5,89277
2000-2001
ARIMA(1,1,2)
SBIC
-4,902052
2000-2002
ARIMA(0,1,1)
SBIC
-5,04217
2000-2003
ARIMA(0,1,1)
SBIC
-5,2391930
2000-2004
ARIMA(0,1,1)
SBIC
-5,4017
ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(2)-GARCH(1)
45
Reuters Holdings Kategori 2000
Model-1 ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-3,37696
2001
ARCH(1)-GARCH(3)+C
SBIC
-4,03438
2002
ARIMA(0,1,1)
SBIC
-3,7363
ARCH(1)-GARCH(2)
2003
ARCH(2)-GARCH(1)+C
SBIC
-4,0894
2004
ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-4,6875
2000-2001
ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-3,7341
2000-2002
ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-3,75435
2000-2003
ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-3,8489
2000-2004
ARCH(1)-GARCH(1)+C
SBIC
-3,98352
Time Warner Kategori
Model-1
Model-2
2000 SBIC 2001 SBIC 2002 SBIC
ARIMA(0,1,1) -3,55792 ARIMA(0,1,1) -3,8102 ARCH(1)-GARCH(2)+C -3,6277
ARIMA(1,1,2) -3,54731
2003 SBIC 2004 SBIC 2000-2001 SBIC 2000-2002 SBIC 2000-2003 SBIC 2000-2004 SBIC
ARCH(1)-GARCH(1)+C -4,83160 ARIMA(1,1,2) -5,98254 ARIMA(2,1,1) -3,6635 ARCH(3)+C -3,6778 ARIMA(2,1,1) -3,8280 ARIMA(2,1,1) -4,0264
ARCH(1)+C -4,6997
Model-3
ARCH(2)GARCH(2)+C -4,807524
ARCH(2) GARCH(1)
46
Washington Mutual Kategori
Model-1
2000 SBIC 2001 SBIC 2002 SBIC 2003 SBIC 2004 SBIC 2000-2001 SBIC 2000-2002 SBIC 2000-2003 SBIC
ARIMA(0,1,1) -4,28609 ARIMA(0,1,1) -4,68448 ARCH(1)-GARCH(1)+C -5,12644 ARIMA(0,1,1) -5,52057 ARCH(1)+C -5,99284 ARIMA(0,1,1) -4,467 ARIMA(0,1,1) -4,6845 ARIMA(0,1,1) -4,8859
2000-2004 SBIC
ARIMA(0,1,1) -5,0948
Model-2
ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1) ARCH(1)-GARCH(1)
ARCH(1)-GARCH(1)
ARIMA(0,1,1) -5,08786
ARCH(1)GARCH(2)
47
