PENGENDALIAN OPTIMAL PADA MODEL KEMOPROFILAKSIS DAN PENANGANAN TUBERKULOSIS Oleh: Citra Dewi Kusuma P. 1206 100 007 Dosen pembimbing: DR. Subiono, MSc.
PENDAHULUAN Latar Belakang • Penyakit Tuberkulosis (TB) adalah penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberkulosis (Mtb). • Dalam penanganan pasien penderita TB, perawatan tidak lengkap dapat menyebabkan penyakit tersebut kambuh, tetapi kambuh dapat juga terjadi pada pasien yang mengambil pengobatan penuh dan dinyatakan sembuh
• Dalam tugas akhir ini, dibahas tentang analisis ketunggalan dan penyelesaian kontrol optimal dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan penderita TB, dan kontrol penanganan pada penderita TB yang kambuh untuk mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif.
– Rumusan Masalah • Permasalahan yang dibahas dalam tugas akhir ini dengan adalah: • Bagaimana menentukan optimal kontrol dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada kambuhnya penyakit TB. • Bagaimana hasil simulasi numeriknya dengan menggunakan software MATLAB. – Batasan Masalah • Kontrol yang dapat diterima disimbolkan dengan u dalam keadaan terbatas dan kontinu pada • Sistem dalam keadaan terkontrol dan lama perawatan pada interval waktu tertentu. • State dalam keadaan kontinu.
– Tujuan • Tujuan yang dicapai dalam tugas akhir ini antara lain: • Mendapatkan kontrol optimal dari kemoprofilaksis, kontrol penanganan TB, dan kontrol pada kambuhnya penyakit TB sehingga dapat mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif. • Mengetahui hasil simulasi numerik dari model TB yang diberikan dengan menggunakan software MATLAB. – Manfaat • Manfaat dari penelitian ini adalah agar pihak/badan kesehatan dapat mengetahui penanganan TB dan kemoprofilaksis secara optimal.
TINJAUAN PUSTAKA Model Optimal Kontrol kemoprofilaksis dan Penanganan Tuberkulosis
:
Meminimalkan performance index berikut: Dengan: individu yang rentan tertular TB :infeksi laten :gejala TB :penyembuhan dari penyakit :laju rekrutmen :tingkat individu aktif yang tertular :tingkat kematian alami f: :probabilitas infeksi akan memasuki tingkat laten
:
:modifikasi parameter k: :tingkat kemajuan alami TB aktif :penanganan untuk infeksi laten :modifikasi parameter p: :tingkat penyembuhan alami :penanganan terhadap infeksi d: :tingkat TB penyebab kematian q: :laju penyakit yang kambuh :kontrol kemoprofilaksis :kontrol penanganan :kontrol penyakit yang kambuh :waktu akhir :penyeimbang faktor biaya
Fungsi Lipschitz Definisi 3.1 [2] Misalkan A dan f : A jika terdapat bilangan positif L sedemikian hingga f ( x) f (u) L x u (6) untuk setiap x, u, A maka f dikatakan fungsi Lipschitz (memenuhi kondisi Lipschitz) pada A .
Masalah Optimal Kontrol Pada prinsipnya, tujuan dari optimal kontrol adalah menentukan signal yang akan diproses dalam plant dan memenuhi konstrain fisik. Kemudian, pada waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim (maksimum/minimum) yang sesuai dengan kreteria performance index.
Gambar 4.1 Skema Kontrol
• Pada gambar tersebut masalah kontrol optimal adalah mendapatkan kontrol optimal ( ), tanda * menyatakan kondisi optimal yang akan mendorong dan mengatur plant C dari keadaan awal sampai keadaan akhir dengan beberapa konstrain pada kontrol dengan keadaan dan waktu yang sama dapat ditentukan ekstrim berdasarkan performance index yang diberikan. • Berarti secara umum, formulasi yang dapat diberikan pada permasalahan optimal kontrol [5]: – Mendiskripsikan secara matematik artinya diperoleh metode matematika dari proses terjadinya pengendalian (secara umum dalam bentuk variabel keadaan). – Spesifikasi dari performance index. – Menentukan kondisi batas dan konstrain fisik pada keadaan (state) dan atau kontrol.
• Prinsip Maksimum Pontryagins dengan Kontrol Terbatas • Prinsip maximum merupakan suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal yang sesuai dengan tujuan (memaksimalkan performance index). Hal ini, telah dikembangkan pada tahun 1950 oleh L. S. Pontryagin dan rekan kerjanya, yang diaplikasikan untuk semua masalah kalkulus variasi [6]. • Diberikan permasalahan dengan suatu kontrol yang terbatas sebagai berikut [4]: dengan kendala max f ( x, u , t ) dt t1
t0
x g ( x, u, t )
x(t 0 ) x0
aub
Hamiltonian adalah
H f ( x, u, t ) g ( x, u, t ) Supaya optimal jika memenuhi persamaan H aub 0 jika u
dengan Persamaan keadaan (State dan CoState) x
H
H x
Metode beda hingga Jika u u(x) maka turunan pertama dari u terhadap x didefinisikan
Kemudian u u(x) diekspansikan menurut deret Taylor 1. u( x h) u( x) h d ux h d u( x) ... 2
2! dx 2
1! dx
u ( x h) u ( x ) h
2
d u ( x ) o( h ) dx
u ( x h) u ( x) du h dx
Persamaan (9) disebut persamaan beda hingga maju. 2.
u ( x h) u ( x )
h d h2 d 2 u x u ( x) ... 1! dx 2! dx 2
u ( x ) u ( x h) h u ( x) u ( x h) du h dx
d u ( x ) o( h ) dx
Persamaan (11) disebut persamaan beda hingga mundur.
3. Jika persamaan (8) dikurangi dengan persamaan (10), maka u ( x h) u ( x h) 2h
du ... dx
u ( x h) u ( x h) 2 h
du o( h 2 ) dx
u ( x h) u ( x h) du 2h dx
Persamaan (13) disebut persamaan beda hingga tengah. 4. Jika persamaan (8) ditambahkan dengan persamaan (10), maka d 2u u ( x h) u ( x h) 2u ( x) h ... dx 2 2
d 2u 2 u ( x h) 2u ( x) u ( x h) h o ( h ) 2 dx 2
u ( x h) 2u ( x) u ( x h) d 2 u 2 h2 dx
• Beda hingga memiliki tiga tipe syarat batas: – Syarat batas Dirihclet, adalah syarat batas pada kondisi awal dan kondisi akhir.
• contoh :
u(0) 100
dan
u1 100
– Syarat batas Neumann, adalah syarat batas untuk kondisi akhir dari turunan pertamanya.
• contoh :
du (0) 0 dx
dan
du (1) 0 dx
– Syarat batas Robbins, adalah syarat batas untuk kondisi awal atau akhir dan pada turunan pertamanya .
• contoh :
u (0)
du (0) 3 dx
atau
u (1)
du (1) 3 dx
• Pembahasan dan Hasil Penyelesaian Kontrol Optimal • Untuk mendapatkan penyelesaian kontrol optimal dari persamaan (1), (2), (3), dan (4) digunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Metode ini merupakan pengembangan dari masalah kalkulus variasi. • Hamiltonian yang terbentuk adalah:
Persamaan co-state dapat diperoleh dari Sehingga
Variabel co-state
Berdasarkan prinsip optimum didapatkan dan Sehingga diperoleh
, , , , , , , , , , ,
Analisis ketunggalan solusi sistem persamaan diferensial • Andaikan dan adalah dua solusi yang berbeda dari sistem persamaan diferensial. • Dengan dan
Untuk m>0, berarti dapat diperoleh bentuk kontrol optimal
dan
Dengan menggunakan teorema Lipschitz sedemikian hingga dapat diperoleh:
dan Untuk Sehingga dapat diperoleh • Dilakukan cara yang sama pada state dan costate lainnya dan juga pada solusi yang kedua. • Kemudian dilakukan pengurangan pada persamaan tersebut dan kemudian diintegralkan menjadi
Mengingat lama perawatan dibatasi pada selang waktu tertentu maka solusi yang dihasilkan pada sistem Hamiltonian adalah terbatas, berarti terdapat suatu konstanta positif sehingga diperoleh
Demikian juga pada pengurangan yang lain dilakukan hal yang sama. Kemudian jumlahkan delapan penyelesaian tersebut sehingga diperoleh
Maka
Berarti Maka haruslah
jika dipilih
dan sehingga menjadi
jadi penyelesaian dari sistem adalah tunggal.
• Simulasi Numerik • Persamaan state diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga maju
Persamaan co-state diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga mundur
1 0.9 0.8
kontrol u1
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10 15 Waktu (tahun)
20
Gambar 7.1 simulasi kontrol kemoprofilaksis (u1) 1 0.9 0.8
kontrol u2
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10 15 Waktu (tahun)
20
Gambar 7.2 simulasi kontrol penanganan TB (u2)
1 0.9 0.8
kontrol u3
0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
5
10 15 Waktu (tahun)
20
Gambar 7.3 simulasi kontrol penanganan TB yang kambuh (u3) jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif
16000
dengan kontrol tanpa kontrol
14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000 0
0
5
10 15 Waktu (tahun)
20
25
Gambar 7.4 perbandingan jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif antara pemberian kontrol pada sistem dengan tanpa kontrol
Pada gambar 7.4 menunjukkan bahwa sistem yang diberi kontrol u1, u2 , dan u3 memberikan perbedaan yang signifikan pada waktu setelah 5 tahun dengan sistem yang tanpa kontrol. Jumlah individu yang terinfeksi laten dan aktif pada sistem tanpa kontrol adalah 593 orang sedangkan pada sistem dengan kontrol adalah 19 orang. Hal ini berarti bahwa kontrol kemoprofilaksis (u1), kontrol penanganan penderita TB (u2), dan kontrol penanganan pada penderita TB yang kambuh (u3) dapat mengurangi jumlah individu yang terinfeksi laten dan aktif.
• Kesimpulan dan Saran Kesimpulan • Dari analisis yang dilakukan pada model tuberkulosis, maka dapat diperoleh sebagai berikut : • Pada analisis kontrol optimal dapat diketahui bahwa bentuk kontrol optimal yang diperoleh dari model tuberkulosis adalah
dengan: : kontrol kemoprofilaksis : kontrol penanganan TB : kontrol penanganan TB yang kambuh : penanganan untuk infeksi laten : penanganan terhadap infeksi : laju penyakit yang kambuh q : individu yang terinfeksi TB laten : individu yang terinfeksi TB aktif : individu yang sembuh dari TB : faktor penyeimbang biaya
• Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa kontrol kemoprofilaksis (u1), kontrol penanganan TB (u2), dan kontrol pada TB yang kambuh (u3) dapat mengurangi jumlah individu yang terinfeksi TB laten dan aktif. Saran • Saran dari Tugas Akhir ini adalah dapat dicari kontrol untuk penyakit yang lain, sehingga dapat meminimalkan atau mengurangi jumlah penderita penyakit tersebut.
DAFTAR PUSTAKA [1]AgustoF.B.OptimalChemopropylaxis And Treatment Control Strategies Of A Tuberkulosis Transmission Model. World Journal Of Modelling And Simulation, 2009, 5(3): 163-173. [2]Bartle, R.G., dan Sherbert, D.R., 1994. Introduction to Real Analysis. Singapore: John Willy & Sons. [3]Gerald, C.F.1994.Apllied Numerical Analysis.Polytechnic State Univercity, California. [4]Kamien, M. I dan Schwarz, N. L .1991. Dynamic Optimization: the calculus of variations and optimal control in economics and management. North-Holland. Amsterdam. [5]Naidu, D. S., 2002. Optimal Control Systems. USA: CRC Presses LCC. [6]Pontryagin, L.S , Boltyanskii, V. G, Gamkrelidze, R. V , and Mishchenko, E.F. 1962. The Mathematical Theory Of Optimal Processe. Wiley, New York.
