BAB III PEMBAHASAN. Dalam bab III ini, akan dibahas mengenai bentuk umum model

BAB III PEMBAHASAN Dalam bab III ini, akan dibahas mengenai bentuk umum model Autoregressive Conditional Duration (ACD), model Autoregressive Conditional Duration dengan error berdistribusi Eksponensial (EACD), beserta langkah-langkah perumusan model dan penerapan model EACD pada data runtun waktu finansial.

A. Model Autoregressive Conditional Duration Berkembangnya pasar finansial menyebabkan semakin banyak transaksi yang terjadi, sehingga data yang tercatat pun mempunyai frekuensi yang tinggi. Model durasi dikembangkan untuk menganalisis data transaksi yang mempunyai interval waktu yang sangat pendek atau data transaksi yang dicatat dalam frekuensi tinggi (ultra high frequency data). Model ACD ini diperkenalkan pertama kali oleh Robert F. Engle dan Jeffrey R. Russell pada tahun 1998. Misalkan t 0 , t1 , t 2 ,  , t n menunjukkan saat terjadinya transaksi dan n adalah banyaknya transaksi, serta Xi merupakan interval antara dua waktu kedatangan (durasi). Dengan demikian X i = t i − t i −1 . Model ACD ditentukan oleh kondisi dimana ψ i merupakan ekspektasi bersyarat dari durasi ke-i dengan diberikannya waktu kedatangan sebelumnya, yang dinyatakan pada persamaan dibawah ini:

28

29

ψ i = E ( X i X i −1 ,  X 1 )

(3.1)

Model umum ACD (Tsay, 2005: 227) didefinisikan sebagai berikut: X i = ψ iε i

(3.2)

{ } dengan ε i adalah barisan peubah acak yang berdistribusi sama dan saling bebas ( ) dan E ε i = 1 . Diasumsikan ψ i (Tsay, 2005: 227) berbentuk: r

s

j =1

j =1

ψ i = ω + ∑ α j X i − j + ∑ β jψ i − j

(3.3)

Persamaan (3.3) menunjukan suatu ekspektasi bersyarat dari durasi ke-i yang bergantung pada r langkah dari durasi dan s langkah dari ekspektasi durasi. Oleh karena itulah model tersebut dinamakan model ACD(r,s). Apabila error dalam persamaan (3.2) berdistribusi eksponensial maka model di atas disebut model Exponential Autoregressive Conditional Durtaion (EACD). Bentuk umum model EACD(r,s) (Tsay, 2005: 228) dapat dinyatakan sebagai berikut: X i = ψ iε i

dengan

r

s

j =1

j =1

ψ i = ω + ∑ α j X i − j + ∑ β jψ i − j

30

() dan ε i ~ EXP 1 . Model paling sederhana dari model EACD(r,s) adalah EACD(1,1), dapat dinyatakan X i =ψ iε i

ψ i = ω + α 1 X i −1 + β 1ψ i −1 . B. Nilai Harapan dan Variansi dari Durasi Model EACD Misalkan terdapat model EACD(r,s) sebagai berikut: X i = ψ iε i ;

dengan

ε i ~ EXP(1)

r

s

j =1

j =1

ψ i = ω + ∑ α j X i − j + ∑ β jψ i − j

(3.4)

.

(3.5)

( ) Nilai harapan dari durasi X i untuk model EACD(r,s) dapat diperoleh dengan mengambil ekspektasi pada kedua ruas persamaan (3.4) dan (3.5) yaitu E ( X i ) = E (ψ i ) E ( ε i )

⇒

E ( X i ) = E (ψ i )

E (ψ i ) = E ( ω ) + E (α 1 X i −1 ) + E ( β 1ψ i −1 ) E (ψ i ) = ω + α 1 E ( X i −1 ) + β 1 E (ψ i −1 )

( ) ( ) ( ) ( ) dengan menggunakan sifat stasioner yaitu E X i = E X i −1 dan E ψ i = E ψ i −1 diperoleh:

31

E (ψ i ) = ω + α 1 E ( X i ) + β 1 E (ψ i ) E (ψ i ) = ω + α 1 E (ψ i ) + β 1 E (ψ i ) E (ψ i ) − α 1 E (ψ i ) − β 1 E (ψ i ) = ω E (ψ i )(1 − α 1 − β1 ) = ω E (ψ i ) =

ω 1 − α 1 − β1

E (ψ i ) = µ x =

ω 1 − α 1 − β1

( )

( )

(3.6)

(

)

( )

( )

2 2 2 2 2 2 karena E ε i = 2 maka: E X i = E ψ i ε i dan E X i = 2 E ψ i

(3.7)

Kuadratkan kedua ruas pada persamaan (3.5) dan diperoleh:

ψ i2 = (ω + α 1 X i −1 + β 1ψ i −1 ) 2

ψ i2 = ω 2 + 2ωα 1 X i −1 + ( α 1 X i −1 ) + 2α 1 X i −1 β1ψ i −1 + ( β 1 ψ i −1 ) + 2ωβ1 ψ i −1 2

2

ψ i2 = ω 2 + ( α1 X i −1 ) + ( β 1 ψ i −1 ) + 2ωα 1 X i −1 + 2α 1 X i −1 β1 ψ i −1 2

2

+ 2ωβ1 ψ i −1 Dengan mengambil ekspektasi pada persamaaan (3.8) didapat

(3.8)

32

E (ψ i2 ) = E (ω 2 ) + E ( α 1 X i −1 ) + E ( β 1 ψ i −1 ) + E ( 2ωα 1 X i −1 ) 2

2

( ) + E 2αX i −11 β 1ψ i −1 + E ( 2ωβ1 ψ i −1 )

[

]

[

]

E (ψ i2 ) = ω 2 + α 12 E ( X i −1 ) + β 12 E (ψ i −1 ) + 2ωα 1 E ( X i −1 ) 2

2

( ) ( ) ( ) + 2α 1 β 1 E X i −1 E ψ i −1 + 2ωβ1 E ψ i −1

(3.9)

( ) ( ) ( ) ( ) Menggunakan sifat stasioneritas yaitu E X i = E X i −1 dan E ψ i = E ψ i −1 maka persamaan (3.9) menjadi

[

]

[

]

E (ψ i2 ) = ω 2 + α 12 E ( X i ) + β 12 E (ψ i ) + 2ωα1 E ( X i ) + 2α 1 β 1 E ( X i ) E (ψ i ) 2

2

( )

+ 2ωβ1 E ψ i

[

E (ψ i2 ) − α 12 E ( X i )

]

2

[

− β 12 E (ψ i )

2

]=ω

2

+ 2ωα 1 E ( X i )

+ 2α 1 β 1 E ( X i ) E (ψ i ) + 2ωβ1 E (ψ i )

[

E (ψ i2 ) − α i2 E (ψ i )

2

] − β E [(ψ ) ] = ω 2 1

2

i

2

+ 2ωα 1 µ x + 2α 1 β 1 µ x µ x

+ 2ωβ1 µ x

( )[

]

E ψ i2 1 − 2α 12 − β12 = ω 2 + 2ωα 1 µ x + 2α 1 β1 µ x2 + 2ωβ1 µ x

( )

Eψ

2 i

ω 2 + 2ωα 1 µ x + 2α 1 β1 µ x2 + 2ωβ1 µ x = 1 − 2α 12 − β12

33

( )

E ψ i2 =

µ x [2ωα 1 + 2α 1 β1 µ x + 2ωβ1 ] + ω 2 1 − 2α 12 − β12

(3.10)

Akan ditentukan Variansi untuk Xi dengan menggunakan persamaan (3.6) dan (3.10) yaitu

( )

Var ( xi ) = E X i2 − [ E ( X i ) ]

( )

2

= 2 E ψ i2 − [ E ( X i ) ]

2

 µ x ( 2ωα 1 + 2α 1 β1 µ x + 2ωβ1 ) + ϖ 2  2 Var ( X i ) = 2  − µx 2 2 1 − 2α 1 − β1  

µx = dengan

(3.11)

ω 1 − α 1 − β1 .

C. Langkah-langkah Perumusan Model ACD Untuk menganalisis data runtun waktu finansial yang mempunyai waktu antar transaksi yang pendek dengan menggunakan model ACD dilakukan langkahlangkah sebagai berikut: 1.

Menghitung durasi Tahap awal dalam pengujian model ACD adalah dengan menghitung

34

durasi atau interval antara dua waktu kedatangan yaitu X i = t i − t i −1 , dengan X i adalah durasi ke-i, t i adalah saat terjadinya transaksi ke-i dan t i −1 adalah saat terjadinya transaksi sebelumnya. 2.

Menyelaraskan data. Setelah

diperoleh

data

durasi,

langkah

selanjutnya

adalah

menyelaraskan data. Seperti halnya pada volatilitas, laju kedatangan dari transaksi dalam suatu pasar saham, pada umumnya akan terdapat suatu pola harian yaitu durasi pada waktu pembukaan dan pada waktu mendekati penutupan akan mempunyai durasi yang pendek jika dibandingkan dengan waktu-waktu yang lain (Tsay, 2005: 212). Engle & Russel (1998) mengusulkan untuk memasukkan suatu hubungan tambahan pada sisi kanan persamaan (3.2) yaitu dengan memperhitungkan pola harian durasi dari suatu saham, sehingga durasi ke-i dapat dinyatakan sebagai berikut: X i = φiψ i ε i

(3.12)

Dengan demikian, ψ i merupakan ekspektasi dari durasi setelah memisahkan bentuk deterministik. Ekspektasi yang belum di standardisasikan ini dinyatakan oleh φiψ i , dengan φi merupakan komponen deterministik dan ψ i merupakan komponen stokastik. Pola harian tersebut dapat diestimasi dengan metode smoothing spline

35

(Tsay, 2005: 225) untuk memodelkan bentuk deterministik. Tujuan dari penyelarasan data ini adalah untuk membuang pola harian dari efek hari, yaitu dengan mengambil nilai rasio dari durasi terhadap nilai penyesuaiannya. Dari penyelarasan data ini, akan diperoleh data durasi yang sudah diselaraskan. Durasi yang sudah diselaraskan dapat ditulis sebagai berikut: X ~ Xi = i φi

(3.13)

Durasi yang telah diselaraskan ini diharapkan akan bebas dari pola harian (Diurnal Pattern). 3.

Menguji adanya efek ACD Langkah selanjutnya yaitu pengujian adanya efek ACD dengan menggunakan correlogram maupun uji Ljung-Box. Pengujian ada tidaknya efek ACD dapat dilihat melalui correlogram. Jika tidak ada efek ACD maka ACF dan PACF seharusnya adalah nol pada semua lag atau secara statistik tidak signifikan. Uji Ljung-Box mengikuti distribusi khi-kuadrat ( χ ) dengan 2

derajat kebebasan (db) sebesar m (lag maksimum). Jika nilai statistik LB lebih kecil dari nilai kritis statistik dari tabel distribusi khi-kuadrat maka tidak ada efek ACD dalam data. Sebaliknya jika nilai statistik Ljung-Box lebih besar dari nilai kritis statistik dari tabel distribusi khi-kuadrat maka data

36

mengandung efek ACD. Adapun langkah-langkah hipotesis uji Ljung-Box adalah

a).

merumuskan hipotesis : ρ ε (k ) = 0 untuk semua nilai k, yaitu nilai semua koefisien ACF

H0

tersebut sampai dengan lag tertentu sama dengan nol. : Minimal ada 1 lag dengan ρ ε (k ) ≠ 0 .

H1 atau

b).

H0

: tidak terdapat efek ACD pada data.

H1

: terdapat efek ACD pada data.

menentukan taraf signifikansi Taraf signifikansi ( α ) = 5%.

c).

statistik uji statistik uji yang digunakan adalah uji Ljung-Box. Rumus yang digunakan untuk uji dari Ljung-Box (Widarjono, 2005: 329) adalah

ρˆ ε2 (k ) k =1 n − k m

LBhitung = n(n + 2)∑

dengan n m

: ukuran sampel : lag maksimum

(3.14)

37

ρˆ ε (k )

: autokorelasi, untuk k = 1,2,, p

Penentuan besaran m biasanya ditetapkan sebanyak dua musim atau secara umum sebanyak 20 periode (Aritonang, 2002: 104). d).

menentukan kriteria pengujian Uji Ljung-Box mengikuti distribusi khi-kuadrat ( χ ) dengan derajat 2

kebebasan (db) sebesar m (lag maksimum).

H0

ditolak jika LBhitung >

LBtabel dari tabel distribusi χ 2 , artinya terdapat efek ACD sampai lag p. e).

melakukan perhitungan Menghitung LBhitung berdasarkan rumus (3.14) dan LBtabel berdasarkan 2 tabel distribusi χ .

f).

menarik kesimpulan Kesimpulan hipotesis diperoleh berdasarkan kriteria pengujian yaitu jika H0

4.

ditolak maka terdapat efek ACD sampai lag p.

Estimasi Parameter Model EACD(r,s) Untuk mendapatkan estimasi parameter, akan dicari fungsi likelihood yaitu dengan menggunakan fungsi densitas model EACD(r,s) yang dinyatakan berikut ini. X i =ψ iε i

38

dengan

r

s

j =1

j =1

ψ i = ω + ∑ α j X i − j + ∑ β jψ i − j

() dan ε i ~ EXP 1 . Fungsi densitas peluang untuk X ~ EXP(1) adalah f ( x) = e − x , atau f ( x ) = exp( − x ) ,

x>0

dengan transformasi peubah acak yang dinyatakan dengan rumus

f ( x) = f ( g ( x) )

dan

g ( x) = ε i =

d g ( x) dx

xi ψi

diperoleh f ( xi ; θ ) =

 x 1 exp −  i ψi  ψ i

   .

Misalkan Li menyatakan fungsi likelihood untuk pengamatan ke-i dan ukuran sampel dinyatakan dengan T, maka

39

Li = log f ( xi ; θ )

1   x Li = log  exp−  i   ψ i ψ i

 1 Li = log ψ i

  xi  −   ψ i

  

  

x  Li = − log(ψ i ) −  i  ψ i 

Fungsi likelihood untuk densitas bersamanya adalah T  x L = ∑ − log(ψ i ) −  i i =1   ψ i

  

Setelah diperoleh beberapa model, selanjutnya adalah dipilih model yang baik sebagai alat untuk estimasi. Metode pemilihan model antara lain dengan melihat nilai AIC (Akaike Information Criterion), dan SC (Schwarz Criterion). Selanjutnya setelah diperoleh persamaan model EACD(r,s) yang tepat untuk estimasi, langkah berikutnya adalah pemeriksaan diagnostik yaitu dengan memeriksa apakah data runtun waktu masih mengandung korelasi

40

serial atau tidak. 5.

Pemeriksaan Diagnostik Model EACD(r,s) Pemeriksaan diagnostik dilakukan untuk mengetahui apakah data runtun waktu tersebut masih mengandung korelasi serial atau tidak. Hal tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan analisis residual yaitu dengan menggunakan uji independensi residual. Uji independensi residual dari autokorelasi sekumpulan residual yang telah diperoleh digunakan untuk mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah yang dapat dilakukan dalam melakukan uji independensi residual adalah a) merumuskan hipotesis H 0 : {ε t } merupakan suatu barisan yang independent yaitu tidak terdapat korelasi serial tersisa di dalam residual antar lag. H 1 : {ε t } merupakan suatu barisan yang dependent yaitu terdapat korelasi serial tersisa di dalam residual antar lag. b) menetapkan taraf signifikansi Taraf signifikansi ( α ) yang digunakan adalah 5%. c) statistik uji Uji dilakukan dengan menggunakan Q-statistik yaitu uji Ljung-Box. Statistik uji dari Ljung-Box (William, 1994: 149-150) adalah:

41

m

LBhitung = n(n + 2)∑ k =1

ρˆ ε2 (k ) n−k

(3.15)

dengan n : ukuran sampel m : lag maksimum ρˆ ε (k ) : autokorelasi dari nilai sisa untuk k = 1,2, , m Penentuan besaran m biasanya ditetapkan sebanyak dua musim atau secara umum sebanyak 20 periode (Aritonang, 2002: 104). d) menentukan kriteria pengujian Uji Ljung-Box mengikuti distribusi khi-kuadrat ( χ ) dengan derajat 2

kebebasan (db) sebesar m (lag maksimum).

H0

ditolak jika LBhitung >

2 {ε } LBtabel dari tabel distribusi χ , artinya t merupakan suatu barisan yang

dependent. e) melakukan perhitungan Pada langkah ini, dihitung LBhitung berdasarkan rumus (3.13) dan LBtabel 2 berdasarkan tabel distribusi χ .

f) menarik kesimpulan Kesimpulan diperoleh berdasarkan kriteria pengujian yaitu jika ditolak maka

{ε t }

H0

merupakan suatu barisan yang dependent atau terdapat

42

korelasi serial tersisa didalam residual antar lag.

D. Kriteria Pemilihan Model Kriteria pemilihan model EACD menggunakan AIC dan SC. 1. Kriteria pemilihan model dengan AIC (Akaike Information Criterion) Pada tahun 1974 seorang ahli statistik dari jepang yaitu Profesor Hirotugu Akaike mengusulkan suatu metode untuk menguji ketepatan suatu model, yang kemudian disebut dengan AIC (Akaike Information Criterion). Metode AIC (Widarjono, 2005: 245) didefinisikan sebagai berikut:  ∑ ei2  2k + AIC = log  n  n  

dengan ei2 : residual kuadrat k n

: jumlah parameter : jumlah data.

2. Kriteria pemilihan model dengan SC (Schwarz Criterion) Kriteria pemilihan model dengan SC (Widarjono, 2005: didefinisikan dengan:  ∑ ei2  k  + log n SC = log  n  n   dengan

245)

43

ei2

: residual kuadrat : jumlah parameter : jumlah data.

k n

Model yang baik adalah model dengan nilai AIC, dan SC yang lebih kecil. Setelah diperoleh persamaan model EACD(r,s) yang tepat untuk estimasi, langkah berikutnya adalah menguji apakah error dari model EACD benar-benar berdistribusi Eksponensial standar atau tidak. Untuk model Exponential Autoregerssive Conditional Duration (EACD), error akan berdistribusi Eksponensial. Untuk menguji asumsi tersebut dilakukan uji kecocokan model (Goodness Of Fit) dari distribusi Eksponensial yaitu dengan menggunakan plot probabilitas (Engle & Russel, 1998: 19), dengan sumbu X menyatakan error dari data pengamatan dan sumbu Y adalah persentase jumlah data error. Apabila titik-titik error dari data pengamatan mengikuti suatu garis lurus maka error dapat dikatakan berdistribusi Eksponensial. Suatu peubah acak X ~ EXP(1) mempunyai fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut : F ( x ) = 1 − exp( − x )

(3.16)

Plot probabilitas dari peubah acak X ~ EXP(1) dengan fungsi distribusi kumulatif seperti pada persamaan (3.16) adalah berdasarkan hubungan antara error dan fungsi distribusi kumulatifnya yang dapat dijelaskan sebagai berikut: F ( ε ) = 1 − exp( − ε )

44

1 − F ( ε ) = exp( − ε ) (3.17) dengan mengambil nilai log untuk kedua ruas pada persamaan (3.14) diperoleh : log (1 − F ( ε ) ) = −ε (3.18)

ε = log

1 1− F (ε ) .

(3.19) Dengan demikian, berdasarkan persamaan (3.19) dapat dilihat adanya hubungan

linear antara ε dan

log

1 1 − F ( ε ) , sehingga apabila digambarkan akan membentuk

suatu garis lurus. E. Penerapan Model EACD Untuk lebih memahami model EACD seperti yang telah diuraikan diatas, penulis akan memberikan dua contoh penerapannya dalam data transaksi saham. 1. Penerapan Model EACD Pada Data Transaksi Saham IBM Corporation Data yang digunakan pada contoh ini merupakan data transaksi saham IBM Corporation periode 1 November 1990 sampai 7 November 1990. Data berasal dari Trades, Order Report, and Quotes (TORQ) yang diambil dari NYSE (New York Stock Exchange). Waktu transaksi yang terjadi dicatat dalam

45

satuan detik dan terlampir pada Lampiran I. Data transaksi saham IBM Corporation periode 1 November 1990 sampai 7 November 1990 merupakan data yang mempunyai frekuensi yang tinggi oleh karena itu digunakan model ACD dengan error berdistribusi eksponensial (EACD). Dari data tersebut, akan ditentukan model EACD yang baik sehingga diperoleh estimasi waktu kedatangan transaksi periode berikutnya dengan tepat? Langkah-langkah untuk mendapatkan model EACD yang terbaik adalah sebagai berikut: a. Langkah pertama yang dilakukan adalah menghitung durasi yaitu dengan mengambil selisih antara waktu

( ) kedatangan transaksi pada saat ke-i t i dengan waktu ( ) kedatangan transaksi sebelumnya t i −1 , diperoleh plot data durasi dan ringkasan statistik data durasi sebagai berikut Gambar 3.1 : Plot Data Durasi Transaksi Saham IBM Corporation

46

Tabel 3.1: Ringkasan Statistik Data Durasi Transaksi Saham IBM Corporation Statistik Mean Median Maksimum Minimum Std. Dev

Nilai 31.38 16.00 1239.00 1.00 46.091

Dari Tabel 3.1 terlihat bahwa rata-rata durasi transaksi saham IBM Corporation pada periode 1 November 1990 sampai 7 November 1990 adalah 31.38 dengan durasi tertinggi 1239.00 dan terendah 1.00. Sedangkan median atau nilai tengahnya adalah 16.00 dengan simpangan baku 46.091. b. Penyelarasan Data Setelah diperoleh data durasi, langkah selanjutnya adalah dengan menyelaraskan data (Diurnally adjusted) yaitu dengan membuang pola

47

harian dari efek hari. Hal tersebut dilakukan dengan menggunakan metode smoothing spline yaitu dengan mengambil nilai rasio dari durasi terhadap nilai penyesuaiannya. Dari penyelarasan data ini, akan diperoleh data durasi yang sudah diselaraskan. Penyelarasan data ini dilakukan dengan menggunakan program dari Eviews 4.0. Terdapat 3534 data transaksi yang telah diselaraskan. Adapun plot dan ringkasan statistik data durasi transaksi saham IBM yang telah diselaraskan adalah Gambar 3.2 : Plot Data Durasi yang Diselaraskan Transaksi Saham IBM Corporation

Tabel 3.2: Ringkasan Statistik Data Durasi yang Diselaraskan Transaksi Saham IBM Corporation Statistik Mean Median

Nilai 3.291779 1.895900

48

Maksimum Minimum Std. Dev

43.42200 0.079000 4.075583

Dari data durasi yang telah diselaraskan diperoleh nilai rata-rata sebesar 3.291779 dengan durasi tertinggi adalah 43.42200 dan terendah 0.079000. Sedangkan median atau nilai tengahnya adalah 1.895900 dengan simpangan baku 4.075583. c. Pengujian adanya Efek ACD Sebelum melakukan estimasi model ACD, akan lebih tepat jika diperiksa terlebih dahulu apakah efek ACD benar-benar muncul dalam data. Pengujian ACF dari durasi yang telah diselaraskan dapat digunakan untuk mengambil kesimpulan mengenai keberadaan efek ACD dalam data. Untuk mendeteksi ada tidaknya efek ACD, dapat dilakukan dengan menganalisis correlogram maupun uji statistik dari Ljung-Box.

Tabel 3.3: Nilai AC dan PAC data durasi yang diselaraskan Transaksi Saham IBM Corporation

49

Langkah-langkah Uji Statistik Ljung-Box untuk mendeteksi ada tidaknya efek ACD pada data adalah 1) merumuskan hipotesis H 0 : ρ ε (k ) = 0 untuk semua nilai k, yaitu nilai semua koefisien ACF tersebut sampai dengan lag tertentu sama dengan nol. H1

: Minimal ada 1 lag dengan ρ ε (k ) ≠ 0 .

atau H0

: tidak terdapat efek ACD pada data.

H1

: terdapat efek ACD pada data.

2) menetapkan taraf signifikansi

α = 0,05 3) statistik uji

50

Uji dilakukan dengan menggunakan statistik uji Ljung-Box. 4) menentukan kriteria pengujian H 0 ditolak jika LB χ2 hitung > LBtabel dari tabel distribusi 5) melakukan perhitungan Dari tabel 3.3 terlihat bahwa nilai probabilitasnya signifikan sampai lag 20. Selanjutnya nilai Q-Stat (LB) sampai lag ke 20 dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut m  ρˆ 2 (k )   LB = n(n + 2)∑  k =1  n − k 

 0.067 2 0.057 2 0.038 2 0.027 2 0.0532   = 3534 (3536) + + ++ + 3532 3531 3515 3514   3533

= 3534( 3536) (0.0000013 + 0.00000092 + 0.00000041 +  + 0.0000008)

= 3534 (3536) (0.0000094) = 117.46

Perhitungan secara manual menghasilkan LBhitung =

117.46

51

dan berdasarkan output Eviews 4.0 pada tabel 3.3 diperoleh LBhitung =

117.22

2 Tabel distribusi χ dengan α = 0.05 dan db = 20 menunjukkan

bahwa nilai LBtabel = 31.410 Perhitungan secara manual dan dengan menggunakan Eviews 4.0 menghasilkan

LBhitung

yang hampir sama, perbedaan hanya karena

pembulatan. 6) menarik kesimpulan Kesimpulan diperoleh berdasarkan kriteria pengujian yaitu H 0 ditolak

jika LBhitung > LBtabel . Karena LBhitung >

LBtabel

yaitu 117.46 > 31.410,

maka H 0 ditolak. Artinya terdapat efek ACD dalam data. d. Estimasi Model EACD Dari plot Autokorelasi data yang sudah diselaraskan akan dicoba pemodelan data transaksi yang mempunyai interval waktu kedatangan yang pendek dan takregular untuk beberapa model. Dengan menggunakan prinsip parsimony yaitu model yang baik adalah model yang mempunyai parameter yang sedikit selanjutnya akan dibandingkan model EACD(1,1)

52

dengan EACD(2,2). Untuk dapat mengestimasi model EACD ini adalah dengan membuat suatu program estimasi diobjek logl Eviews 4.0 yang terdapat pada lampiran 2. Model EACD dapat ditulis sebagai berikut X i =ψ iε i r

s

j =1

j =1

ψ i = ω + ∑ α j X i − j + ∑ β jψ i − j

dengan error berdistribusi Eksponensial. 1).Model EACD(1,1) Berikut ini adalah hasil dari estimasi untuk model EACD(1,1) Tabel 3.4: Estimasi Parameter Untuk Model EACD(1,1) Transaksi Saham IBM Corporation LogL: EACD Method: Maximum Likelihood (BHHH) Sample: 2 3534 Included observations: 3533 Evaluation order: By observation Convergence achieved after 52 iterations Coefficient Std. Error ω 0.185556 0.031416 0.065459 0.007690 α

z-Statistic 5.906446 8.512568

Prob. 0.0000 0.0000

β1

60.84252

0.0000

1

0.879060

Log likelihood Avg. log likelihood Number of Coefs.

-7689.565 -2.176497 3

0.014448

Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

4.354693 4.359932 4.356562

Secara statistik model diatas sudah signifikan, dan didapat persamaan hasil estimasi sebagai berikut

53

X i =ψ iε i

ψ i = 0.185556 + 0.065459 X i −1 + 0.879060ψ i −1 2).Model EACD(2,2) Berikut ini adalah hasil dari estimasi untuk model EACD(2,2)

Tabel 3.5: Estimasi Parameter Untuk Model EACD(2,2) Transaksi Saham IBM Corporation LogL: EACD Method: Maximum Likelihood (BHHH) Sample: 2 3534 Included observations: 3533 Evaluation order: By observation Convergence achieved after 16 iterations Coefficient Std. Error ω 0.168601 0.039457 0.063972 0.009652 α 1

β1

0.885231

Log likelihood Avg. log likelihood Number of Coefs.

0.018242

-7733.654 -2.160672 3

z-Statistic 4.273056 6.627773

Prob. 0.1189 0.0000

48.52649

0.0000

Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

4.523608 4.530594 4.526100

Dari tabel 3.5 diatas terlihat bahwa nilai ω tidak signifikan yaitu sebesar 0.1189>0.05. Berikut ini akan ditampilkan rangkuman hasil estimasi. Tabel 3.6: Rangkuman Hasil Estimasi Model Model

Log Likelihood

AIC

SIC

ECAD(1,1)

− 7689.565

4.354693

4.359932

EACD(2,2)

− 7733.654

4.523608

4.530594

ACF/PACF Standardized Residual Tidak ada korelasi Tidak ada

54

korelasi Dari tabel 3.6 diatas tampak bahwa model dengan nilai AIC dan SIC yang kecil serta dengan nilai log likelihood yang besar adalah model EACD(1,1), sehingga model yang dapat dipertimbangkan untuk mengestimasi waktu kedatangan transaksi periode berikutnya adalah model EACD(1,1). Dari penjelasan sebelumnya diketahui bahwa untuk model EACD, error akan berdistribusi Eksponensial. Untuk menyelidiki asumsi bahwa error berdistribusi Eksponensial akan dibuat plot probabilitasnya dengan menggunakan software minitab. Gambar 3.3: Plot Probabilitas error Model EACD(1,1) Data Transaksi Saham IBM Corporation

Dari Gambar 3.3 di atas terlihat adanya hubungan linear antara ε dan

log

1 1 − F ( ε ) , dan titik-titik dari error mengikuti suatu garis lurus.

55

Berdasarkan Probabilitasnya: 1. hipotesis H 0 : error berdistribusi Eksponensial H 1 : error tidak berdistrbusi Eksponensial 2. taraf signifikansi ( α ) = 0.05 3. daerah penolakan H 0 ditolak jika p-value < α . 4. kesimpulan Dari gambar 3.6 diperoleh p-value sebesar 0.169, dengan demikian karena p-value > α (0.169 > 0.05) maka H 0 diterima. Jadi error model EACD untuk data transaksi saham IBM Corporation berdistribusi Eksponensial. Dari model EACD(1,1) diatas, dapat juga dilakukan estimasi untuk ratarata dan variansi dari durasi dengan menggunakan rumus (3.6) dan (3.11). Persamaan hasil estimasi model EACD(1,1) adalah sebagai berikut X i = ψ iε i

ψ i = 0.185556 + 0.065459 X i −1 + 0.879060ψ i −1 Estimasi untuk rata-rata

56

E (ψ i ) = µ x =

µx =

ω 1 − α 1 − β1

0.185556 0.185556 = 1 − 0.065459 − 0.879060 0.055481

µ x = 3.344 Estimasi untuk Variansi  µ x ( 2ωα 1 + 2α 1 β1 µ x + 2ωβ1 ) + ω 2  2 Var ( X i ) = 2  − µx 2 2 1 − 2α1 − β1  

 3.344( 0.0242926 + 0.384843 + 0.326229 ) + 0.034431 Var ( X i ) = 2  1 − 0.008569 − 0.772746 

− ( 3.344 )

2

 2.49349  Var ( X i ) = 2  − 11.18234  0.21868  Var ( X i ) = 11.623 e. Pemeriksaan Diagnostik Setelah diperoleh estimasi parameter untuk model EACD(1,1), langkah

selanjutnya

adalah

melakukan

pemeriksaan

diagnostik.

Pemeriksaan diagnostik ini adalah untuk mengetahui ada tidaknya korelasi

57

serial tersisa dalam residual yang menggunakan uji Statistik Ljung Box. Tabel 3.7: Nilai AC dan PAC Residual Model EACD(1,1) Transaksi Saham IBM Corporation

1) merumuskan hipotesis H0

: {ε t } merupakan suatu barisan yang independent yaitu tidak terdapat korelasi serial tersisa didalam residual antar lag.

H1

{ } : ε t merupakan suatu barisan yang dependent yaitu terdapat korelasi serial tersisa didalam residual antar lag. 2) menetapkan taraf signifikansi

α = 0,05 3) memilih statistik uji yang sesuai Uji dilakukan dengan menggunakan statistik uji Ljung-Box. 4) menentukan kriteria pengujian H 0 ditolak jika LB χ2. > LB dari tabel distribusi hitung tabel

58

5) melakukan perhitungan yang diperlukan Selanjutnya nilai Q-Stat (LB) sampai lag ke 20 dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut m  ρˆ 2 ( k )   LB = n( n + 2 ) ∑  k =1  n − k 

 0.004 2 0.005 2 0.0132 0.0232   = 3534 (3536) + + ++ 3532 3531 3514   3533

= 3534 (3536) (0.0000000045 + 0.0000000071 + 0.000000048 +  + 0.00000015 = 3534(3536)(0.00000087) = 10.872

Perhitungan secara manual menghasilkan LBhitung =

10.872

dan berdasarkan output Eviews 4.0 pada tabel 3.7 diperoleh LBhitung =

10.909

2 Tabel distribusi χ dengan α = 0.05 dan db = 20 menunjukkan

bahwa nilai LBtabel = 31.410

59

Perhitungan secara manual dan dengan menggunakan Eviews 4.0 menghasilkan

LBhitung

yang hampir sama, perbedaan hanya karena

pembulatan. 6) menarik kesimpulan Kesimpulan diperoleh berdasarkan kriteria pengujian yaitu H 0 ditolak jika LBhitung > LBtabel. Karena LBhitung < LBtabel yaitu 10.872 < 31.410, H0

tidak ditolak. Jadi {ε t }

merupakan suatu barisan yang

independent atau tidak terdapat korelasi serial tersisa di dalam residual antar lag. f. Estimasi Dengan menggunakan model EACD(1,1) yang diperoleh diatas, akan di prediksi durasi ke 3535, sebagai berikut:

ψ i = 0.185556 + 0.065459 X i −1 + 0.879060ψ i −1 = 0.185556 + 0.065459 ( 89) + 0.879060 ( 3.344) = 8.95 Sehingga dari hasil prediksi diatas, transaksi akan terjadi 8.95 detik setelah transaksi terakhir terjadi. Karena transaksi terakhir terjadi pada detik ke 44828, maka transaksi berikutnya diprediksi akan terjadi pada detik ke 44836.95

60

2. Penerapan Model EACD Pada Data Transaksi Saham Intel Corporation Data yang digunakan pada contoh 2 ini merupakan data transaksi saham Intel Corporation periode 2 Januari 2006, yang diambil dari NASDAQ(National Association of Securities Dealers Automated Quotations). Waktu transaksi yang terjadi dicatat dalam satuan detik dan terlampir pada Lampiran 3. Data transaksi saham Intel Corporation periode 2 Januari 2006 merupakan data yang mempunyai frekuensi yang tinggi oleh karena itu digunakan model ACD dengan error berdistribusi eksponensial

(EACD).

Dari data tersebut, akan ditentukan model EACD yang terbaik sehingga diperoleh estimasi waktu kedatangan transaksi periode berikutnya dengan tepat? Langkah-langkah untuk mendapatkan model EACD yang terbaik adalah sebagai berikut: a.

Langkah pertama yang dilakukan adalah menghitung durasi dari data. Plot dan ringkasan statistik data durasinya adalah sebagai berikut

Gambar 3.4 : Plot Data Durasi Transaksi Saham Intel Corporation

61

Tabel 3.8: Ringkasan Statistik Data Durasi Transaksi Saham Intel Corporation Statistik Mean Median Maksimum Minimum Std. Dev

Nilai 34.93 16.00 372.00 1.00 51.07

Dari Tabel 3.8 terlihat bahwa rata-rata durasi transaksi saham Intel Corporation pada 2 Januari 2006 adalah 34.93 dengan durasi tertinggi 372.00 dan terendah 1.00. Sedangkan median atau nilai tengahnya adalah 16.00 dengan simpangan baku 51.07. b.

Penyelarasan Data

Setelah diperoleh data durasi, langkah selanjutnya adalah dengan menyelaraskan data (Diurnally adjusted) yaitu dengan membuang pola harian dari efek hari. Hal tersebut dilakukan dengan menggunakan metode smoothing spline yaitu dengan mengambil nilai rasio dari durasi terhadap

62

nilai penyesuaiannya. Dari penyelarasan data ini, akan diperoleh data durasi yang sudah diselaraskan. Penyelarasan data ini dilakukan dengan menggunakan program dari Eviews 4.0. Terdapat 500 data yang telah diselaraskan. Adapun plot dan ringkasan statistik data durasi transaksi saham Intel Corporation yang telah diselaraskan adalah Gambar 3.5 : Plot Data Durasi yang Diselaraskan Transaksi Saham Intel Corporation

Tabel 3.9: Ringkasan Statistik Data Durasi yang Diselaraskan Transaksi Saham Intel Corporation Statistik Mean Median Maksimum Minimum Std. Dev

Nilai 2.501756 2.234236 11.38433 0.052421 1.616692

Dari data durasi yang telah diselaraskan diperoleh nilai rata-rata sebesar 2.501756 dengan durasi tertinggi adalah 11.38433 dan terendah 0.052421. Sedangkan median atau nilai tengahnya adalah 2.234236 dengan simpangan baku 1.616692.

63

c.

Pengujian adanya Efek ACD

Sebelum melakukan estimasi model ACD, akan lebih cocok untuk memeriksa apakah efek ACD benar-benar muncul dalam data. Pengujian ACF sampel dari durasi yang telah diselaraskan dapat digunakan untuk mengambil kesimpulan mengenai keberadaan efek ACD dalam data. Untuk mendeteksi ada tidaknya efek ACD, dapat dilakukan dengan menganalisis correlogram maupun uji statistik dari Ljung Box. Tabel 3.10: Nilai AC dan PAC data durasi yang diselaraskan Transaksi Saham Intel Corporation

Langkah-langkah Uji Statistik Ljung-Box untuk mendeteksi ada tidaknya

64

efek ACD pada data adalah a. merumuskan hipotesis H 0 : ρ ε (k ) = 0 untuk semua nilai k, yaitu nilai semua koefisien ACF tersebut sampai dengan lag tertentu sama dengan nol. H1

: Minimal ada 1 lag dengan ρ ε (k ) ≠ 0 .

atau H0

: tidak terdapat efek ACD pada data.

H1

: terdapat efek ACD pada data.

b. menetapkan taraf signifikansi

α = 0,05 c. statistik uji Uji dilakukan dengan menggunakan statistik uji Ljung-Box. d. menentukan kriteria pengujian H 0 ditolak jika LB χ2. > LB dari tabel distribusi hitung tabel e. melakukan perhitungan Dari tabel 3.10 terlihat bahwa nilai probabilitasnya signifikan sampai lag 20. Selanjutnya nilai Q-Stat (LB) sampai lag ke 20 dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut

65

m  ρˆ 2 (k )   LB = n(n + 2)∑  k =1  n − k 

2 2  0.159 2 0.087 2 0.100 2 ( ( − 0.036 ) − 0.013)    = 500 (502) + + ++ +  499 498 497 481 480  

= 500 (502) ( 0.000051 + 0.000015 + 0.00002 +  + 0.00000035) = 500 (502) (0.000143) = 35.893

Perhitungan secara manual menghasilkan LBhitung =

35.893

dan berdasarkan output Eviews 4.0 pada tabel 3.10 diperoleh LBhitung =

35.908

2 Tabel distribusi χ dengan α = 0.05 dan db = 20 menunjukkan

bahwa nilai LBtabel =

31.410

Perhitungan secara manual dan dengan menggunakan Eviews 4.0 menghasilkan pembulatan.

LBhitung

yang hampir sama, perbedaan hanya karena

66

f. menarik kesimpulan Kesimpulan diperoleh berdasarkan kriteria pengujian yaitu H 0

ditolak jika LBhitung > LBtabel . Karena LBhitung >

LBtabel

yaitu 35.893 >

31.410, maka H 0 ditolak. Artinya terdapat efek ACD dalam data. d.

Estimasi Model EACD

Dari plot Autokorelasi data yang sudah diselaraskan akan dicoba pemodelan data transaksi yang mempunyai interval waktu kedatangan yang pendek dan takregular untuk beberapa model. Dengan menggunakan prinsip parsimony yaitu model yang baik adalah model yang mempunyai parameter yang sedikit selanjutnya akan dibandingkan model EACD(1,1) dengan EACD(2,2). Untuk dapat mengestimasi model EACD ini adalah dengan membuat suatu program estimasi diobjek logl Eviews 4.0 yang terdapat pada lampiran 4. Model EACD direpresentasikan sebagai X i =ψ iε i r

s

j =1

j =1

ψ i = ω + ∑ α j X i − j + ∑ β jψ i − j

dengan error berdistribusi Eksponensial. Berikut ini adalah hasil dari estimasi untuk model EACD(1,1)

67

Tabel 3.11: Estimasi Parameter Untuk Model EACD(1,1) Transaksi Saham Intel Corporation LogL: EACD Method: Maximum Likelihood (BHHH) Sample: 2 500 Included observations: 499 Convergence achieved after 30 iterations Coefficient Std. Error ω 0.656285 0.309608 0.132332 0.038981 α 1

β1

0.606468

Log likelihood Avg. log likelihood Number of Coefs.

-972.2024 -1.747901 3

0.143863

z-Statistic Prob. 2.119730 0.0640 3.394811 0.0007 4.215609

Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

0.0000 3.911833 3.945602 3.925085

Dari tabel 3.11 diatas terlihat bahwa nilai ω tidak signifikan yaitu sebesar 0.0640 > 0.05, oleh karena itu diperlukan estimasi ulang untuk model EACD(2,2). Berikut ini adalah hasil dari estimasi untuk model EACD(2,2)

Tabel 3.12: Estimasi Parameter Untuk Model EACD(2,2) Transaksi Saham Intel Corporation LogL: EACD Method: Maximum Likelihood (BHHH) Sample: 2 500 Included observations: 499 Convergence achieved after 35 iterations Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

0.802381 0.133660

1.006722 0.110134

0.797023 1.213611

0.0000 0.0000

β1

0.546802

0.456311

1.198310

0.0000

Log likelihood Avg. log likelihood Number of Coefs.

-952.6385 -1.909095 3

ω α1

Akaike info criterion Schwarz criterion Hannan-Quinn criter.

3.830214 3.855541 3.840153

68

Secara statistik model diatas sudah signifikan. Dari tabel 3.12 didapat persamaan hasil estimasi sebagai berikut X i =ψ iε i

ψ i = 0.802381 + 0.133660 X i −1 + 0.546802ψ i −1 Berikut ini akan ditampilkan rangkuman hasil estimasinya adalah Tabel 3.13: Rangkuman Hasil Estimasi Model Model

Log Likelihood

AIC

SIC

ECAD(1,1)

− 972.2024

3.911833

3.945602

EACD(2,2)

− 952.6385

3.830214

3.855541

ACF/PACF Standardized Residual Tidak ada korelasi Tidak ada korelasi

Dari tabel 3.13 diatas tampak bahwa model yang nilai AIC dan SICnya kecil serta dengan nilai log likelihood yang besar adalah model EACD(2,2), sehingga model yang dapat dipertimbangkan untuk mengestimasi waktu kedatangan transaksi periode berikutnya adalah model EACD(2,2). Dari penjelasan sebelumnya diketahui bahwa untuk model EACD, error akan berdistribusi Eksponensial. Untuk menyelidiki asumsi bahwa error berdistribusi Eksponensial akan dibuat plot probabilitasnya dengan menggunakan software minitab. Gambar 3.6: Plot Probabilitas error Model EACD(2,2)

69

Data Transaksi Saham Intel Corporation

Dari Gambar 3.6 di atas terlihat adanya hubungan linear antara ε dan

log

1 1 − F ( ε ) , dan titik-titik dari error mengikuti suatu garis lurus.

Berdasarkan Probabilitasnya: 1. hipotesis H 0 : error berdistribusi Eksponensial H 1 : error tidak berdistrbusi Eksponensial 2. taraf signifikansi ( α ) = 0.05 3. daerah penolakan H 0 ditolak jika p-value < α .

70

4. kesimpulam Dari gambar 3.6 diperoleh p-value sebesar 0.250, dengan demikian karena p-value > α (0.250 > 0.05) maka H 0 diterima. Jadi error model EACD untuk data transaksi saham Intel Corporation berdistribusi Eksponensial.

Dari model EACD(2,2) diatas, dapat juga dilakukan estimasi untuk rata-rata dan variansi dari durasi dengan menggunakan rumus (3.6) dan (3.11). Persamaan hasil estimasi model EACD(2,2) adalah sebagai berikut X i =ψ iε i

ψ i = 0.802381 + 0.133660 X i −1 + 0.546802ψ i −1 . Estimasi untuk rata-rata E (ψ i ) = µ x =

µx =

ω 1 − α 1 − β1

0.802381 0.802381 = 1 − 0.133660 − 0.546802 0.319538

µ x = 2.511 Estimasi untuk variansi

71

 µ ( 2ωα 1 + 2α 1 β1 µ x + 2ωβ1 ) + ω 2  2 Var ( X i ) = 2 x  − µx 2 2 1 − 2α1 − β1  

 2.511( 0.214492 + 0.367035 + 0.877487 ) + 0.643815  Var ( X i ) = 2  − (2.511) 2  1 − 0 . 035730 − 0 . 298992  

 4.307399  Var ( X i ) = 2  − 6.305121  0.665278  Var ( X i ) = 6.644 e.

Pemeriksaan Diagnostik

Setelah diperoleh estimasi untuk model EACD(2,2), langkah selanjutnya adalah melakukan pemeriksaan diagnostik. Pemeriksaan diagnostik ini adalah untuk mengetahui ada tidaknya korelasi serial tersisa dalam residual yang menggunakan uji Statistik Ljung Box.

Tabel 3.14: Nilai AC dan PAC Residual Model EACD(1,2) Transaksi Saham Intel Corporation

72

1. merumuskan hipotesis H 0 : {ε t } merupakan suatu barisan yang independent yaitu tidak terdapat korelasi serial tersisa didalam residual antar lag. H1

: {ε t } merupakan suatu barisan yang dependent yaitu terdapat korelasi serial tersisa didalam residual antar lag. 2. menetapkan taraf signifikansi

α = 0,05

73

3. memilih statistik uji yang sesuai Uji dilakukan dengan menggunakan statistik uji Ljung-Box. 4. menentukan kriteria pengujian H 0 ditolak jika LB χ2. > LB dari tabel distribusi hitung tabel 5. melakukan perhitungan yang diperlukan Selanjutnya nilai Q-Stat (LB) sampai lag ke 20 dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut m  ρˆ 2 ( k )   LB = n( n + 2 ) ∑  k =1  n − k 

 (−0.002) 2 (−0.024) 2 ( 0.050) 2 (0.020) 2   = 500 (502) + + ++  499 498 497 480  

= 500 (502) (0.0000000080 + 0.0000012 + 0.000005 +  + 0.00000083) = 500(502)(0.0000627) = 15.738

Perhitungan secara manual menghasilkan LBhitung =

15.738

dan berdasarkan output Eviews 4.0 pada tabel 3.14 diperoleh LBhitung =

15.632

74

2 Tabel distribusi χ dengan α = 0.05 dan db = 20 menunjukkan bahwa

nilai LBtabel = 31.410 Perhitungan secara manual dan dengan menggunakan Eviews 4.0 menghasilkan

LBhitung

yang hampir sama, perbedaan hanya karena

pembulatan.

6. menarik kesimpulan Kesimpulan diperoleh berdasarkan kriteria pengujian yaitu H 0 ditolak jika LBhitung > LBtabel . Karena LBhitung < LBtabel yaitu 15.738 < 31.410, H 0 tidak ditolak. Jadi {ε t } merupakan suatu barisan yang independent atau tidak terdapat korelasi serial tersisa di dalam residual antar lag. f.

Estimasi

Dengan menggunakan model EACD(2,2) yang diperoleh diatas, akan di prediksi durasi ke 501, sebagai berikut:

ψ i = 0.802381 + 0.133660 X i −1 + 0.546802ψ i −1 = 0.802381 + 0.133660 ( 96) + 0.546802 ( 2.511) = 15.01

75

Sehingga dari hasil prediksi diatas, transaksi akan terjadi 15.01 detik setelah transaksi terakhir terjadi. Karena transaksi terakhir terjadi pada detik ke 57646, maka transaksi berikutnya diprediksi akan terjadi pada detik ke 57661.01