BAB III PEMBAHASAN Dalam skripsi ini akan dibahas tentang model antrean satu server dengan disiplin antrean Preemptive dengan pola kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Bab ini akan membahas tentang penurunan formula untuk mendapatkan ukuran keefektifan sistem, yaitu dilakukan dengan cara pendekatan Quasi Birth-Death Process dan Probability Generating Function (PGF). Ukuran keefektifan yang dimaksud adalah ekspektasi rata-rata banyak pelanggan dalam sistem antrean ( ), ekspektasi rata-rata banyak pelanggan dalam garis tunggu (antrean) ( pelanggan dalam sistem antrean (
) , ekspektasi rata-rata waktu tungggu
), dan ekspektasi rata-rata waktu tunggu
pelanggan dalam garis tunggu (antrean) (
).
A. Sistem Antrean Satu Server dengan Disiplin Antrean Preemptive Sejauh ini dalam banyak penelitian, sering dianggap bahwa antrean dari pelayanan akan dilayani berdasarkan aturan disiplin antrean FCFS (First Come First Served) yaitu pelanggan yang datang lebih awal akan dilayani terlebih dahulu dari pada pelanggan yang datang paling akhir. Tentu saja tidak hanya disiplin antrean FCFS saja yang digunakan. Terdapat jenis disiplin antrean lain yang digunakan, misalnya, LCFS (Last Come First Served) yaitu pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu dari pada pelanggan yang datang paling awal, SIRO (Service In
58
Random Order) yaitu pelanggan dipilih berdasarkan undian (random) dan tidak dipengaruhi siapa yang datang lebih awal. Pada kenyataannya, selain ketiga jenis disiplin antrean yang telah disebutkan di atas, pelanggan juga dapat dilayani secara prioritas atau yang dikenal dengan Priority Service (PS). Aturan dimana pelanggan akan dilayani berdasarkan tipe pelanggan. Pelanggan dengan prioritas tertinggi dalam sistem antrean akan masuk ke dalam layanan terlebih dahulu dibandingkan pelanggan dengan prioritas yang lebih rendah. Model-model di mana tipe pelanggan yang akan dilayani melalui pelayanan ditentukan oleh pelayan disebut model antrean prioritas. Dalam model-model antrean dengan prioritas, diasumsikan bahwa beberapa antrean yang pararel dibentuk di depan sebuah sarana pelayanan dengan setiap antrean diperuntukkan bagi para pelanggan dengan prioritas khusus. Jika terdapat
antrean dalam
sistem, dapat diasumsikan bahwa antrean 1 memiliki prioritas pelayanan tertinggi, dan antrean
untuk pelanggan dengan prioritas terendah. Laju
kedatangan dan pelayanan dapat berbeda untuk antrean dengan prioritas berbeda (Taha, 1996). Disiplin pelayanan prioritas memiliki dua aturan yang dapat diikuti, yaitu: 1. Aturan Preemptive (PRD) Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Misalnya, kasus seperti di rumah sakit saat pendaftaran pasien untuk
59
memperoleh ruang inap. Pasien dengan prioritas yang lebih tinggi akan dilayani terlebih dahulu dari pada pasien dengan prioritas yang lebih rendah, meskipun pasien dengan prioritas yang lebih rendah datang terlebih dahulu. Dalam hal ini, pasien dengan peioritas yang lebih tinggi adalah pasien dengan kondisi penyakit yang lebih parah daripada pasien dengan prioritas yang lebih rendah. 2. Aturan Non-Preemptive (NPD) Disiplin pelayanan Non-Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Misalnya, dalam suatu pesta, dimana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan mendapat pelayanan terlebih dahulu dibandingkan tamu dengan kategori biasa. Pada sistem antrean ini, pola kedatangan pelanggan memiliki laju kedatangan berdistribusi Poisson, terdapat satu server layanan yang memiliki laju pelayanan berdistribusi Eksponensial, dan disiplin pelayanan yang digunakan adalah disiplin prioritas Preemptive. Notasi untuk model antrean pada pembahasan ini adalah Kendall Lee, proses Poisson,
. Sesuai notasi dalam
menyatakan distribusi kedatangan atau keberangkatan dari menyatakan distribusi Eksponensial dari service time atau
keberangkatan (departure), 1 menyatakan banyaknya server dalam sistem antrean, dan
menyatakan aturan disiplin pelayanan prioritas Preemptive.
60
B. Quasi Birth-Death Process adalah probabilitas steady state untuk sistem dengan laju kedatangan
unit prioritas
dan laju pelayanan
dalam sistem dengan laju kedatangan
,
dalam
unit prioritas
dan laju pelayanan
, misalkan
kedatangan pertama atau prioritas kelas yang lebih tinggi memiliki laju kedatangan
, kedatangan kedua atau kelas yang lebih rendah memiliki laju
kedatangan
, maka total tingkat kedatangan adalah
faktor utility sistem atau peluang server sibuk adalah
dengan .
Gambar 3.1 Proses kedatangan dan kepergian sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive Dari gambar 3.1 maka dapat dituliskan beberapa kemungkinan kejadian dari model antrean dengan disiplin prioritas Preemptive, yaitu: Kasus 1
61
(Tidak ada kedatangan = Prioritas
dilayani + Prioritas
dilayani)
Kasus 2 (Prioritas prioritas
datang dan dilayani = Datang pelanggan dengan sebanyak
dengan prioritas
unit kemudian dilayani pelanggan
sebanyak
unit)
Kasus 3 (Prioritas prioritas
datang dan dilayani = Dilayani pelanggan dengan kemudian ada kedatangan pelanggan dengan prioritas
sebanyak
unit lalu dilayani pelanggan dengan prioritas
sebanyak
unit)
Kasus 4 (Prioritas
datang dan dilayani = terdapat kedatangan
pelanggan dengan prioritas 1 sebanyak
unit dan
kedatangan pelanggan dengan peioritas 2 sebanyak
unit
kemudian dilayani pelanggan dengan prioritas 1 sebanyak unit) Dari uraian kasus di atas dapat ditulis persamaan probabilitas untuk sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive dengan prioritas pertama prioritas kedua
dan
sebagai berikut (3.1)
62
(3.2) (3.3) (3.4) Langkah pertama yang dilakukan dalam menentukan ukuran keefektifan sistem antrean (M/M/1):(PRD/∞/∞) adalah mencari probabilitas untuk masing-masing prioritas. Jika
adalah variabel diskrit yang menyatakan banyaknya pelanggan dalam
sistem, dengan probabilitas
maka berdasarkan Definisi (2.6) PGF dari
adalah
1. Probabilitas prioritas pertama
(3.6)
Ketika
, maka
(3.7) Penyelesaian Persamaan (3.6) dengan mencari PGF dari berikut
63
adalah sebagai
Persamaan (3.6) dikalikan dengan
, maka didapatkan
Persamaan (3.8) terpenuhi jika , maka
. Jumlahkan persamaan tersebut dari
Berdasarkan Persamaan (3.5) maka Persamaan (3.9) adalah
Dari (3.7) diketahui bahwa
, akibatnya
64
(3.11) Untuk mencari nilai
, maka substitusikan
ke Persamaan (3.5)
diperoleh
Akibatnya
(3.12) Substitusikan Persamaan (3.12) ke Persamaan (3.11) diperoleh (3.13)
Selanjutnya akan mencari turunan pertama dari (3.13) terhadap
untuk
memperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean untuk prioritas pertama Mencari turunan parsial dari persamaan (3.13) dengan memisalkan
65
Substitusikan
(3.14)
66
2. Probabilitas prioritas kedua Jika
adalah variabel diskrit yang menyatakan banyaknya
pelanggan dalam sistem, dengan probabilitas Definisi (2.6) PGF dari
maka berdasarkan
adalah
Penyelesaian Persamaan (3.3) dengan mencari PGF dari
adalah sebagai
berikut Persamaan (3.3) dikalikan dengan
Persamaan (3.16) terpenuhi jika dari , maka
, maka didapatkan
. Jumlahkan persamaan tersebut
Berdasarkan Persamaan (3.15) maka Persamaan (3.16) adalah
67
Karena
, maka
Diperoleh persamaan sebagai berikut
Persamaan (3.4) dikalikan dengan
Persamaan (3.18) terpenuhi jika
. Jumlahkan persamaan tersebut dari
, maka
Berdasarkan persamaan (3.15) maka persamaan (3.19) adalah
68
Karena
, maka
Diperoleh persamaan sebagai berikut (3.20) Untuk mencari nilai
, substitusikan
pada persamaan (3.20)
(3.21) Substitusikan nilai
Diperoleh nilai untuk
pada (3.17) ke (3.21)
sebagai berikut,
69
persamaan (3.20) kalikan dengan
Substitusikan nilai
pada (3.17) dan
70
pada (3.22) ke (3.23)
Kemudian substitusikan nilai
Maka nilainya
71
Jika
, dan
, maka
Selanjutnya akan mencari turunan pertama dari (3.24) terhadap
untuk
memperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean untuk prioritas kedua Akan dicari turunan parsial dari persamaan (3.24) dengan memisalkan
72
Maka turunan pertama dari
Untuk
dan
yaitu
, diperoleh
73
Ketika
, diperoleh persamaan
C. Ukuran Keefektifan Model Antrean Ukuran – ukuran keefektifan dari suatu sistem antrean tersebut adalah banyak pelanggan dalam sistem dalam antrean
, banyak pelanggan yang menunggu
, waktu tunggu setiap pelanggan dalam sistem
waktu tunggu setiap pelanggan dalam antrean
,
. Ukuran – ukuran
keefektifan terssebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi antrean, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem tersebut. 1. Untuk antrean dengan prioritas pertama Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem ( hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri
mempunyai dan berbagai
kemungkinan Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem untuk prioritas pertama, yaitu
diperoleh dari persamaan (3.14)
74
Rata-rata waktu tunggu dalam sistem
dipengaruhi jumlah
rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem. Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula sebagai berikut:
Substitusikan Persamaan (3.26) ke Persamaan (3.27) sehingga di peroleh
Rata-rata waktu tunggu dalam antrean
dipengaruhi oleh rata-
rata waktu menunggu dalam sistem dengan waktu pelayanan.
75
Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut: (3.29)
Substitusi persamaan (3.28) ke persamaan (3.29) sehingga diperoleh
Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean (
) berkaitan
erat dengan lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrean. Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:
Substitusikan Persamaan (3.30) ke Persamaan (2.67)
76
2. Untuk antrean dengan prioritas kedua Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem ( hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri
mempunyai dan berbagai
kemungkinan Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem untuk prioritas kedua, yaitu
diperoleh dari persamaan (3.25)
Rata-rata waktu tunggu dalam sistem
dipengaruhi jumlah
rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem. Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula sebagai berikut:
Substitusikan Persamaan (3.32) ke Persamaan (3.27) sehingga di peroleh
77
Rata-rata waktu tunggu dalam antrean
dipengaruhi oleh rata-
rata waktu menunggu dalam sistem dengan waktu pelayanan. Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:
Substitusi persamaan (3.33) ke persamaan (3.29) sehingga diperoleh
Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean (
) berkaitan
erat dengan lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrean. Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut:
Substitusikan Persamaan (3.34) ke Persamaan (2.63)
78
