Teori Penaksiran Oleh : Dewi Rachmatin
Pendahuluan
Ada 2 metode inferensi : metode klasik dan metode Bayes dalam menaksir parameter populasi Dalam metode klasik inferensi didasarkan pada informasi yang diperoleh melalui sampel acak Dalam metode Bayes, inferensi menggunakan pengetahuan subjektif terdahulu mengenai distribusi peluang parameter yang tak diketahui bersama dengan informasi yang diberikan oleh data sampel
Metode Penaksiran Klasik
Inferensi terbagi menjadi penaksiran dan pengujian hipotesis Penaksir (taksiran) suatu parameter dapat berupa taksiran titik atau taksiran selang Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan. Jadi fungsi keputusan S adalah penaksir σ dan taksiran s adalah ‘tindakan’ yang diambil
Himpunan semua tindakan yang mungkin yang dapat dilaksanakan dalam masalah penaksiran disebut ruang keputusan Tidak dapat diharapkan suatu penaksir akan menaksir parameter populasi tanpa kesalahan. Tidak beralasan mengharapkan X akan menaksir µ dengan tepat, tapi tentunya diharapkan tidak terlalu jauh menyimpang
Sifat-sifat Penaksir yang Baik
Penaksir Takbias (Unbiased Estimator) Statistik θˆ dikatakan penaksir takbias parameter θ bila E[θˆ ]= θ Contoh : X penaksir takbias untuk µ karena E[ X ] = µ , dan
∑ (X n
S2 =
i =1
−X)
2
i
n −1
penaksir takbias untuk σ2
Penaksir paling efisien penaksir yang memberikan variansi terkecil dari semua penaksir θ yang mungkin dibuat Penaksir konsisten
(
)
∀ε > 0 berlaku : lim P θˆ − θ < ε = 1 n →∞
Penaksir yang takbias dan variansinya minimum adalah penaksir yang terbaik
Selang Kepercayaan (Taksiran Selang)
Selang kepercayaan untuk θ adalah selang yang berbentuk θˆ 1 < θ < θˆ 2 dimana θˆ 1 dan θˆ 2nilainya tergantung pada nilai θˆ Daripada mengatakan bahwa x tepat sama dengan µ akan lebih meyakinkan bila mengatakan
x −k <μ < x +k
Jika ukuran sampel membesar maka 2 σ σ 2X = mengecil sehingga kemungkinan n besar taksiran bertambah dekat dengan µ, yang berarti selang lebih pendek. Jadi taksiran selang menunjukkan, berdasarkan panjangnya, ketepatan titik Makin besar nilai k yang dipilih, makin panjang selangnya dan makin yakin bahwa sampel yang diambil akan memberikan selang parameter yang tak diketahui
Menaksir rataan (mean)
σ diketahui , untuk n yang cukup besar : 2 σ Dalil Limit Pusat : X ~ N μ, n X −μ akibatnya : Z = ~ N(0,1) σ/ n Karena P(- z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 − α X −μ < z α/2 = 1 − α P - z α/2 < σ/ n
σ σ P X − z α/2 . < μ < X + z α/2 . = 1− α n n Sehingga selang kepercayaan (1 − α)100% σ σ untuk μ : x − z α/2 . < μ < x + z α/2 . n n Contoh : Rataan dan simpangan baku nilai ujian matematika sampel acak 36 mahasiswa 2,6 dan 0,3. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa.
Jawab : diketahui x =2,6 Karena ukuran sampel cukup besar maka simpangan baku populasi dapat dihampiri oleh s=0,3. Nilai z yang luas di sebelah kanannya 0,025 adalah z0,025 = 1,96. Jadi selang kepercayaannya 95% : 0,3 0,3 2,6 − (1,96) < μ < 2,6 + (1,96) 36 36
atau 2,50 < µ <2,70. Untuk 99% : 0,3 0,3 2,6 − (2,575) < μ < 2,6 + (2,575) 36 36
atau 2,47 < µ < 2,73.
Untuk menaksir µ dengan derajat ketetapan yang lebih tinggi diperlukan selang yang lebih besar. Selang kepercayaan (1- α)100% memberikan taksiran ketepatan taksiran titik kita. Bila µ sesungguhnya merupakan titik pusat selang, maka x menaksir µ tanpa galat. Tetapi umumnya sampel tidak menghasilkan x tepat sama dengan µ sehingga taksiran titik umumnya akan meleset (mengandung galat).
σ tak diketahui, populasi normal dan n<30 p=α/2 dan dk = n-1
s s x − tp. < μ < x + tp. n n
Jika n relatif besar dibanding N yakni (n/N)>5% , gunakan :
σ
σ N −n N −n . < μ < x + zα/2 . . x − zα/2 . n N −1 n N −1
Contoh : Tujuh botol yang mirip masingmasing berisi asam sulfat 9,8 ; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2; dan 9,6 liter. Carilah selang kepercayaan 95% untuk rataan isi botol semacam itu bila distribusinya dianggap hampir normal.
Teorema
Bila x dipakai untuk menaksir µ, maka dapat dipercaya (1-α)100% bahwa galatnya akan lebih dari suatu bilangan g yang ditetapkan sebelumnya asal ukuran sampel : 2 zα / 2 .σ n = g
Contoh : Berapa besar sampel yang diperlukan pada contoh sebelumnya bila ingin percaya 95% bahwa taksiran untuk µ meleset kurang dari 0,05 ? n=138,3
Menaksir Selisih Dua Rataan
Bila ada dua populasi masing-masing dengan rataan µ1 dan µ2 dan variansi 2 2 σ1 dan σ 2 , maka penaksir titik untuk selisih rataan untuk selisih µ1 dan µ2 : X1 − X 2 ukuran sampel : n1 dan n2.
P(− z α/2 < Z < z α/2 ) = 1 − α ( ) ( ) X X μ μ − − − 1 2 1 2 P − z α/2 < < z α/2 = 1 − α 2 2 σ /n σ + 1 1 2 /n 2 2 2 2 2 σ σ σ σ 1 2 1 + < μ1 − μ 2 < (X1 − X 2 ) + z α/2 + 2 = 1− α P (X1 − X 2 ) − z α/2 n1 n1 n1 n1
(
) (
)
σ 12 σ 22 σ 12 σ 22 , ( x1 − x2 ) + zα / 2 + + ( x1 − x2 ) − zα / 2 n1 n2 n1 n2 Contoh : Suatu ujian kimia yang telah dibakukan diberikan pada 50 siswa wanita dan 76 siswa pria. Nilai rata-rata wanita 76 dan simpangan baku 6, sedangkan rata-rata pria 82 dan simpangan baku 8. Carilah selang kepercayaan 96% untuk selisih , bila menyatakan rataan nilai semua siswa pria dan rataan nilai semua siswa wanita yang mungkin akan mengikuti ujian.
Selisih Dua Rataan
Selang kepercayaan sampel kecil untuk µ1-µ2 ; σ12 = σ 22 tapi tidak diketahui, selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan :
1 1 1 1 + , ( x1 − x2 ) + tα / 2 .s p . + ( x1 − x2 ) − tα / 2 .s p . n1 n2 n1 n2
ukuran sampel masing-masing n1 dan n2 berasal dari distribusi normal, dk= n1+n2-2 ; 2 (n1 − 1)s12 + (n2 − 1)s22 sp =
n1 + n2 − 2
Contoh : Dalam sekelompok proses kimia, pengaruh dua katalisator ingin dibandingkan dengan hasilnya pada proses reaksi. Katalisator 1 digunakan pada suatu sampel dengan 12 angkatan dan katalisator 2 digunakan pada sampel dengan 10 angkatan. Ke 12 angkatan yang menggunakan katalisator 1 memberikan rata-rata sampel 85 dengan simpangan baku sampel 4, yang kedua rata-rata sampel 81 dan simpangan baku sampel 5. Carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih kedua rataan populasi bila dianggap kedua populasi berdistribusi hampir normal dengan variansi yang sama.
Selisih Dua Rataan
Selang kepercayaan sampel kecil untuk µ1-µ2 ; σ12≠ σ 22 tapi tidak diketahui, selang kepercayaan (1-α)100% untuk µ1-µ2 diberikan : s12 s22 s12 s22 + , (x1 − x2 ) + tα / 2 + (x1 − x2 ) − tα / 2 n1 n1 n1 n1
ukuran sampel masing-masing n1 dan n2 berasal dari distribusi normal, dk= 2 2 2 ν=
((s
)
/ n1 ) + ( s2 / n2 ) ( s12 / n1 ) 2 /(n1 − 1) + ( s22 / n2 ) 2 /(n2 − 1)
[[
1
] [
]]
Contoh : Catatan selama 15 tahun terakhir menunjukkan bahwa rata-rata curah hujan di suatu kabupaten selama bulan Mei 4,93 cm dengan simpangan baku 1,14 cm. Di kabupaten lain rata-rata curah hujan selama bulan Mei 2,64 cm dengan simpangan baku 0,66 cm selama 10 tahun terakhir. Carilah selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata sesungguhnya curah hujan di kedua kabupaten; anggap bahwa pengamatan berasal dari populasi normal dengan variansi yang berbeda.
D − µD T= ~ t n −1 Sd / n
Selang kepercayaan untuk µ1-µ2=µD untuk pengamatan pasangan. Selang kepercayaan (1-α)100% untuk µD diberikan oleh : sd sd d − tα / 2 < µ D < d + tα / 2 n n dengan d dan sd menyatakan rataan dan simpangan baku selisih n pasangan pengukuran dan tα / 2 menyatakan nilai distribusi t dengan dk : ν =n-1 sehingga luas di sebelah kanannya α/2.
Menaksir Proporsi
Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh x
X Pˆ = n
Jadi pˆ = n akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p Proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan distribusi sampel Pˆ , yang sama saja dengan distribusi p.a. X Distribusi Pˆ hampir normal dengan X np rataan µ Pˆ = E [Pˆ ] = E = = p n
n
dengan variansi : 2 σ np (1 − p ) p (1 − p ) 2 X = σ Pˆ = 2 = 2 n
n
n
P(-zα/2< Z < zα/2) = 1 - α dengan Pˆ − p Z= [ p.(1 − p )] / n
ˆ P P − zα / 2
p (1 − p ) < p < Pˆ + zα / 2 n
p (1 − p ) = 1−α n
Selang kepercayaan untuk p, n ≥30 : pˆ − zα / 2
p (1 − p ) < p < pˆ + zα / 2 n
p (1 − p ) n
pˆ : proporsi sukses dalam sampel acak berukuran n, dan zα / 2 menyatakan nilai
kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya α/2. Contoh : Pada suatu sampel acak n=500 keluarga yang memiliki pesawat televisi di kota Hamilton Kanada, ditemukan bahwa x = 340 memiliki TV berwarna. Carilah selang kepercayaan 95% untuk proporsi sesungguhnya dari keluarga yang memiliki TV berwarna di kota tsb?
Jika pˆ dipakai sebagai taksiran p , maka galatnya akan lebih kecil dari : p (1 − p ) zα / 2 n dengan kepercayaan (1-α)100%. Akibatnya galat akan lebih kecil dari g jika zα2 / 2 pˆ (1 − pˆ ) n= g2
Menaksir Selisih Dua Proporsi
Selang kepercayaan untuk p1-p2 ; n1 dan n2 ≥ 30. Selang kepercayaan (1-α)100% untuk selisih dua parameter binomial p1-p2 diberikan
( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα / 2
pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2 + < p1 − p2 < n1 n2
( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα / 2
pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2 + n1 n2
Contoh : Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara baru tsb memberi perbaikan. Bila 75 dari 1500 suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata cacat, carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih sesungguhnya proporsi yang cacat dalam kedua cara.
Menaksir Variansi
Taksiran selang untuk σ 2 dapat diturunkan dengan statistik 2 ( ) − 1 n S X2 =
~ χ n2−1
σ2 2 2 2 P χ1−α / 2 < X < χα / 2 = 1 − α
(
)
Selang kepercayaan (1-α)100% untuk σ 2 suatu populasi normal 2 (n − 1) s 2 ( n − 1 ) s 2 < < σ 2 2
χα / 2
χ1−α / 2
Contoh : Data berikut menyatakan berat dalam gram dari 10 bungkus bibit sejenis tanaman yang dipasarkan oleh suatu perusahaan : 46,4;46,1;45,8;47,0;46,1;45,9; 45,8;46,9;45,2 dan 46,0. Tentukan selang kepercayaan 95% untuk varians semua bungkusan bibit yang dipasarkan perusahaan tersebut.
Menaksir Nisbah Dua Variansi
Bila σ dan σ variansi dua populasi normal, maka taksiran selang untuk σ 12/σ 22 dapat diperoleh dengan 2 2 memakai statistik : σ 2 S1 F= 2 2 σ 1 S2 Peubah acak F mempunyai distribusi F dengan dk : ν1=n1-1 dan ν2=n2-1. Jadi 2 1
2 2
P[ f1−α / 2 (ν 1 ,ν 2 ) < F < fα / 2 (ν 1 ,ν 2 )] = 1 − α
Selang kepercayaan (1-α)100% untuk σ 12 / σ 22
1 σ 12 s12 s12 < 2 < 2 fα / 2 (ν 2 ,ν 1 ) 2 s2 fα / 2 (ν 1 ,ν 2 ) σ 2 s2
dengan ν1=n1-1 ν2=n2-1. Contoh : Suatu ujian masuk yang telah dibakukan dalam matematika diberikan kepada 25 siswa pria dan 16 wanita. Siswa pria mendapat nilai rata-rata 82 dengan simpangan baku 8,
sementara wanita mendapat nilai rata-rata 78 dengan simpangan baku 7. Hitung selang kepercayaan 98% untuk 2 2 2 2 σ 1 / σ 2 dan σ 1 / σ 2 bila σ 1 dan σ 2 masing-masing menyatakan varians populasi nilai pria dan wanita yang telah/akan mengikuti ujian. Pengujian Hipotesis
