Bab 8
TEORI PENAKSIRAN Kompetensi Mampu menjelaskan dan menganalisis teori penaksiran
Indikator 1. Menjelaskan dan menganalisis data dengan menggunakan penaksiran titik 2. Menjelaskan dan menganalisis data dengan menggunakan penaksiran interval
A. Pendahuluan Dalam
membuat
taksiran
(pendugaan)
sangat
diperlukan
konsep
probabilitas karena sangat berguna dalam pembuatan keputusan pada kondisi ketidakpastian. Setiap orang selalu pernah membuat suatu dugaan, contoh hari ini cuaca mendung, maka dugaan kita bahwa hari ini akan hujan. Seorang Manajer juga harus melakukan dugaan-dugaan. Seringkali mereka dituntut untuk membuat dugaan yang rasional dalam kondisi yang penuh ketidakpastian tanpa informasi yang lengkap. Agar dugaan yang dilakukan dapat menghasilkan suatu dugaan yang baik, maka mereka harus menguasai konsep pendugaan memproduksi
secara barang
statistik, pada
contoh: tingkat
manajemen tertentu
memutuskan
berdasarkan
untuk
kemungkinan
permintaan yang akan terjadi terhadap barang tersebut. Pertimbangan yang dilakukan dapat berdasarkan pengalaman yang lalu (data histories), kondisi alam (musim hujan, musim kemarau), pesaing, dan lain sebagainya. Dalam analisis statistik, penarikan kesimpulan merupakan bagian yang sangat penting. Kesimpulan yang diambil mengenai sekelompok sampel akan
126
digeneralisasikan terhadap populasinya.
Generalisasi kesimpulan tersebut
mengandung risiko bahwa akan terdapat kekeliruan atau ketidaktepatan. Kriteria taksiran (pendugaan) yang baik, yaitu: 1. Tidak bias (Unbiasedness), Artinya statistik sampel yang digunakan sebagai penduga harus sama atau mendekati parameter populasi penduga 2. Efisiensi (Efficiency), Artinya statistik sampel memiliki deviasi standar yang kecil 3. Konsistensi (Consistency), Artinya jika ukuran sampel meningkat maka statistik sampel akan semakin mendekati parameter populasinya. 4. Kecukupan (Sufficiency), Artinya suatu taksiran dikatakan memiliki kecukupan jika taksiran tersebut dapat memberikan informasi yang cukup mengenai sifat populasinya.
Ada dua jenis taksiran (pendugaan) yang dilakukan terhadap populasi, yaitu: 1. Pendugaan titik (Point Estimation) 2. Pendugaan interval (Interval Estimation)
B. Penaksiran Titik (Point Estimation) Penaksiran titik mengandung pengertian bahwa suatu parameter (misal µ) akan ditaksir hanya dengan menggunakan satu bilangan saja (misalnya dengan ⎯X). Penaksiran titik sering mengalami kekeliruan, sehingga probabilitas suatu penaksiran titik tersebut tepat adalah sangat kecil atau mendekati nol. Sehingga penaksiran titik jarang digunakan. Taksiran titik untuk rata-rata populasi (µ) dan proporsi populasi (π) menggunakan rata-rata sample ( X ) dan proporsi sample (p) yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
127
X =
p
=
ΣX n
(1)
X n
(2)
Contoh: Seorang
peneliti
ingin
mengetahui
rata-rata
TOEFL
mahasiswa
Prodi
Manajemen Fakultas Ekonomi UMY yang akan menempuh pendadaran periode bulan Januari. Dengan menggunakan sample
sebanyak 10 orang dan data
TOEFL masing-masing mahasiswa sebagai berikut: Tabel 8.1 Score TOEFL Mahasiswa No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mahasiswa Tini Badu Jono Ruli Meri Didi Badu Tuti Susi Dedi
TOEFL 375 425 425 500 475 385 400 400 350 385
Berdasarkan data tersebut, maka rata-rata TOEFLnya adalah: Jawab: Diketahui
ΣX = 4120 n
= 10
maka
X
=
ΣX n
=
4120 10
= 412
Jadi dapat disimpulkan rata-rata TOEFL mahasiswa Prodi Manajemen FE UMY yang akan mengambil pendadaran periode bulan Januari 2007 adalah 412.
128
C. Penaksiran Interval (Interval Estimation) Penaksiran interval merupakan interval nilai (range) yang nilai parameter populasi berada di dalamnya.Tujuan membuat penaksiran interval adalah mengurangi kesalahan penaksiran. Penaksiran interval memiliki batas-batas tertentu sehingga penaksiran akan berada di antaranya. Batas-batas tersebut adalah batas bawah taksiran (lower limit estimate) yang merupakan nilai taksiran parameter populasi terendah dan batas atas taksiran (upper limit estimate) merupakan nilai taksiran parameter populasi tertinggi.. Batas-batas dalam penaksiran dengan interval harus ditunjang dengan adanya
derajat
prosentase.
keyakinan/kepastian
Derajat
keyakinan
yang
tersebut
biasanya disebut
dinyatakan dengan
dengan
Confidence
Coefficient, besarnya derajat keyakinan sama dengan 1 - α (α = tingkat kesalahan duga), misalnya: derajat keyakinan 90% maka α= 10%; derajat keyakinan 95% maka α= 5%. Sedangkan batas-batasnya dinamakan Confidence Interval.
Penaksiran interval dibedakan menjadi 2 yaitu: 1. Penaksiran rata-rata untuk data yang bersifat kontinu 2. Penaksiran proporsi untuk data yang bersifat diskrit
Penaksiran dilakukan terhadap angka-angka statistic atau angka-angka yang diperoleh dari sample. Sampel yang digunakan untuk perhitungan dibedakan antara sample kecil (n< 30) dan sample besar (n>=30), pembedaan sample tersebut digunakan untuk pemilihan tabel distribusi yang akan digunakan dalam perhitungan.
Apabila sample kecil maka digunakan tabel Distribusi Student “t” dengan degree of freedom (df) atau derajat kebebasan = n-1. t1/2 (α).n-1 (uji dua sisi) atau tα. n-1 (uji satu sisi) dimana: 129
α = tingkat kesalahan duga n = jumlah sample (observasi)
Contoh: Apabila jumlah sample 15 dengan α=5% (0,05), uji dua sisi maka: t1/2 (α).n-1 = t1/2 (0,05). 15-1 t0,025. 14 = 2,145 (lihat tabel distribusi student “t”)
Cara membaca tabel Tabel 8.2 Tabel distribusi student “t”
df 1 2 . . 14 d s t
0.4
.25
.1
α .025
.05
.01
.005
.0025
dst
2.145
Apabila sample besar maka digunakan Tabel Distribusi Normal Standart. Tidak menggunakan degree of freedom (df) Z1/2 α (uji dua sisi) atau Zα (uji satu sisi) dimana:
α = tingkat kesalahan duga
Contoh: Apabila jumlah sample 35 dengan α=5% (0,05), uji dua sisi maka: Z1/2 (α)= Z ½ (0,05) Z0,025 maka (1:2) – 0,025= 0,4750 Z0,025 = 1,96 (lihat tabel distribusi Normal Standart) 130
Cara membaca tabel
z 0.0 0.1 dst 1.,1 1.2 dst 1.9 2.0 dst
0
1
Tabel 8.3 Tabel distribusi Standar Normal 2 3 4 5
6
7
dst
4750
D. Penaksiran Rata-Rata 1. Penaksiran rata-rata untuk parameter yang rata-rata dan standar deviasinya diketahui dengan populasi tidak terbatas a. Sampel kecil (n < 30) Penaksiran rata-rata dengan sampel kecil menggunakan tabel distribusi student t, dengan derajat kebebasan (degree of freedom/d.f) adalah n–1
µ = Χ ± t1 2α .n −1
SD n
di mana:
µ
= rata-rata parameter yang ditaksir
X
= rata-rata statistik
SD
= standar deviasi statistik
n
= jumlah sampel yang digunakan
t1/2 α.n-1 = batas keyakinan yang digunakan Contoh: Sebuah LSM ingin mengetahui rata-rata penghasilan pengamen yang ada di Yogyakarta.
Untuk penelitian tersebut diambil sampel 29
pengamen, dan diperoleh data bahwa rata-rata penghasilan pengamen per hari adalah Rp. 19.500,- dengan standar deviasi Rp. 4.200,-.
131
Dengan menggunakan interval keyakinan 95%, tentukan penaksiran rata-rata penghasilan pengamen di Yogyakarta tersebut? Diketahui: n
= 29
X
= 19.500
SD
= 4.200
α
= 5% (0,05)
t1/2 α. n-1 = t1/2 (0,05). 29-1 = t0,025. 28 = 2,048 Jawab: µ = Χ ± t 1 2α .n − 1
SD
µ = 19 . 500 ± 2 , 048
4200 29
µ = 19 . 500 ± 2 , 048
4 . 200 5 ,385
n
µ = 19 . 500 ± 2 , 048
4200 29
µ = 19 . 500 ± 2 , 048 ( 779 , 92 )
µ = 19.500 ± 1.559,84 µ = 19.500 ± 1.560 (dibulatkan) µ = 19.500 + 1.560 = 21.060 µ = 19.500 − 1.560 = 17.940 Atas dasar perhitungan tersebut dapat disimpulkan
bahwa rata-rata
penghasilan pengamen yang ada di Yogyakarta paling besar adalah Rp Rp21.060 dan yang paling kecil adalah Rp 17.940. b. Sampel besar (n ≥ 30) Pada penaksiran rata-rata dengan sampel besar akan digunakan tabel Z (tabel kurva normal standar) dengan rumus:
132
µ = Χ ± Ζ1 2α
SD n
di mana:
µ
= rata-rata parameter yang ditaksir
X
= rata-rata statistik
SD
= standar deviasi statistik
n
= jumlah sampel yang digunakan
Z1/2 α.n-1 = batas keyakinan yang digunakan
Contoh: Seseorang melakukan pengamatan mengenai lama usia bola lampu OHP. Berdasarkan pengamatan pada 64 buah bola lampu OHP dan ternyata mempunyai rata-rata masa pakai 50 jam dengan SD selama 4 jam. Dengan menggunakan α = 5%, tentukan rata-rata usia pakai yang sebenarnya dari bola lampu OHP tersebut menggunakan penaksiran rata-rata interval. Jawab: Diketahui: n
= 64
X = 50 jam SD = 4 jam
α
= 5% (0,05)
Z1/2 (0,05).= t0,025= 1,96 maka
µ = Χ ± Ζ1 = 50 ± 1 , 96
2α
SD = 50 ± 1 , 96 n
4 8
= 50 ± 1 , 96 ( 0 , 5 )
133
4 64
= 50 ± 0 , 98
Dapat disimpulkan rata-rata usia pakai bola lampu OHP paling lama 50,98 jam (50+0,98) dan paling cepat 49,02 jam (50-0,98).
2. Penaksiran rata-rata untuk parameter yang rata-rata dan standar deviasinya diketahui dengan populasi terbatas. a. Sampel kecil (n < 30)
µ = Χ ± t1 2α .n −1
N−n N −1
SD n
Contoh: Suatu perusahaan alat elektronik ingin meneliti waktu yang diperlukan karyawannya dalam memasang komponen X. Untuk itu diambil sampel 10 karyawan dan diperoleh data waktu rata-rata 55 menit dengan varian 100 menit.
Bila jumlah karyawan seluruhnya adalah 100 orang,
hitunglah berapa rata-rata waktu pemasangan untuk seluruh karyawan tersebut, gunakan α = 5%.
b. Untuk sampel besar (n ≥ 30)
µ = Χ ± Ζ1 2α
SD n
µ
= rata-rata parameter
X
= rata-rata statistik
N−n N −1
t1/2 α.n-1 = batas keyakinan yang digunakan Z1/2α
= batas keyakinan yang digunakan
N
= jumlah populasi
n
= jumlah sampel
134
SD = standar deviasi statistik.
Contoh: Sebuah populasi pengguna mobil A berjumlah 1000 orang.
Untuk
mengetahui pendapatan rata-rata pengguna mobil tersebut diambil sampel random sebanyak 50 orang.
Hasil penelitian menunjukkan
bahwa pendapatan rata-rata per bulan adalah Rp. 4 juta dengan SD Rp. 1 juta.
Dengan taraf signifikansi 4% tentukan interval rata-rata
pendapatan pengguna mobil tersebut?
3. Penaksiran Proporsi Penaksiran proporsi akan digunakan apabila data yang ada bersifat diskrit. Penaksiran proporsi ini sebaiknya digunakan untuk sampel besar. Terdapat dua rumus: a. Penaksiran proporsi dengan populasi yang tidak diketahui:
P = p ± Ζ1 2α
p .q n
dimana: P
= proporsi dari parameter
p
= proporsi statistik, yang besarnya dapat diduga dengan p = x/n
X
= nilai dari sample
n
= jumlah sampel yang digunakan
N
= jumlah seluruh populasi
q
= 1–p
Z1/2 α = batas interval keyakinan Contoh: Seorang dekan dari salah satu fakultas di UMY ingin mengetahui besarnya proporsi mahasiswa yang merasa kurang puas dengan pelayanan yang diberikan kepada mahasiswa. Untuk maksud tersebut
135
diambil sampel random sebanyak 100 mahasiswa dan dari kuesioner yang diisi diketahui bahwa 10 orang menyatakan kurang puas dengan pelayanan fakultas tersebut. Bila dekan tersebut menggunakan tingkat keyakinan 97%, maka berapa besar proporsi seluruh mahasiswa tersebut yang merasa kurang puas dengan pelayanan yang diberikan?
Jawab: Diketahui: n = 100 X = 10 p = 10/100 = 0,1 q = 1 – 0,1 = 0,9
α = 100% - 97% = 3% (0,03) Z1/2 α = Z1/2 (0,03) = Z 0,015 = (100%- 3%)/2 = 48,5% (0,4850) = 2,17 (lihat tabel distribusi Normal Standart) maka: P = p ± Ζ 1 2α
p .q n
= 0 ,1 ± 2 ,17
0 ,1 . 0 , 9 100
P = 0,1 ± 2,17(0,03) P = 0,1 ± 0,0651 Dapat disimpulkan bahwa proporsi mahasiswa yang kurang puas dengan pelayanan yang diberikan oleh fakultas paling sedikit 3,49% (0,1 – 0,0651) dan paling banyak 16,51% (0,1 + 0,0651)
b. Penaksiran proporsi dengan populasi terbatas:
P = p ± Ζ1 2α
p.q n
N−n N −1
dimana: P
= proporsi dari parameter 136
p
= proporsi statistik, yang besarnya dapat diduga dengan p = x/n
X
= nilai dari sample
n
= jumlah sampel yang digunakan
N
= jumlah seluruh populasi
q
= 1–p
Z1/2 α = batas interval keyakinan Contoh: Seorang ketua RT ingin mengetahui berapa proporsi penduduk di desanya yang memiliki anak lebih dari 3 orang. Dari seluruh penduduk di desanya yang berjumlah 300 orang diambil sampel 80 orang dan ternyata yang memiliki anak lebih dari 3 orang sebanyak 20 orang. Dengan interval keyakinan 95%, bantulah ketua RT tersebut menghitung proporsi penduduk desa yang memiliki anak lebih dari 3 orang.
E. RANGKUMAN 1. Dalam membuat taksiran (pendugaan) sangat diperlukan konsep probabilitas karena
sangat berguna dalam pembuatan keputusan pada kondisi
ketidakpastian, Ada jenis penaksiran yaitu penaksiran titik (Point Estimation) dan penaksiran interval (Interval Estimation). 2. Penaksiran titik mengandung pengertian bahwa suatu parameter (misal µ) akan ditaksir hanya dengan menggunakan satu bilangan saja (misalnya dengan X ).
Penaksiran titik sering mengalami kekeliruan, sehingga
probabilitas suatu penaksiran titik tersebut tepat adalah sangat kecil atau mendekati nol. Sehingga penaksiran titik jarang digunakan.
3. Penaksiran interval merupakan interval nilai (range) yang nilai parameter populasi berada di dalamnya.Tujuan membuat penaksiran interval adalah mengurangi kesalahan penaksiran dan ada dua batas yaitu batas bawah 137
taksiran (lower limit estimate) dan batas atas taksiran (upper limit estimate). Batas-batas dalam penaksiran dengan interval harus ditunjang dengan adanya
derajat
keyakinan/kepastian
disebut
dengan
Confidence
Coefficient, sedangkan batas-batasnya dinamakan Confidence Interval.
4. Untuk menentukan rata-rata dalam penaksiran, digolongkan antara populasi terbatas dan populasi tidak terbatas dan sample juga digolongkan antara sample kecil dan sample besar.
5. Penaksiran proporsi akan digunakan apabila data yang ada bersifat diskrit. Penaksiran proporsi ini sebaiknya digunakan untuk sampel besar yang terdiri dari populasi terbatas dan populasi tidak terbatas.
F. LATIHAN 1. Apakah yang dimaksud dengan penaksiran? 2. Jelaskan secara terperinci tentang penaksiran titik, penaksiran interval dan penaksiran proporsi! 3. Suatu biro riset ingin mengestimasi rata-rata pengeluaran untuk pembelian bahan makanan per minggu dari ibu-ibu rumah tangga.
Sebuah sampel
random yang terdiri dari 100 orang ibu rumah tangga telah dipilih dari populasi ibu rumah tangga. Dari data tersebut diketahui bahwa rata-rata pengeluaran per minggu adalah Rp. 30.000,- dengan standar deviasi Rp. 2.000,-. Hitung dengan interval keyakinan 98% untuk menaksir pengeluaran rata-rata pembelian bahan makanan per minggu?
4. Rektor suatu perguruan tinggi diYogyakarta ingin mengetahui rata-rata IPK untuk setiap Fakultas. Sampel yang digunakan untuk setiap fakultas adalah sebagai berikut:
138
No
Fakultas
Jumlah
Jumlah
IPK rata-
Standar
Populasi
Sampel
rata
Deviasi
α
1
Ekonomi
-
465
3,20
2
10%
2
Hukum
-
176
2,95
2
5%
3
Isipol
-
550
3,10
3
8%
4
Teknik
75
47
2,40
2
2%
5
Pertanian
60
35
2,25
3
4%
6
Kedokteran
-
225
2,60
2
1%
7
Agama Islam
45
22
3,30
2
4%
Dengan taraf signifikan berbeda masing-masing fakultas, maka tentukan taksiran rata-rata IPK mahasiswa masing-masing fakultas ! 5. Suatu biro Travel ingin menetukan waktu yang diperlukan untuk menempuh perjalanan dari Yogyakarta ke Bali. Dari 12 kali perjalanan diperoleh informasi sebagai berikut:
Perjalanan ke
Waktu (jam)
1
23
2
21
3
24
4
20
5
25
6
20
7
22
8
22
9
25
10
20
11
19
12
20
139
Buatlah
taksiran
lama
perjalanan
dari
Yogyakarta
ke
Bali
yang
sesungguhnya dengan taraf signifikansi 10%! 6. Seorang penjual alat tulis ingin mengetahui merk bolpoint yang digunakan oleh pelajar SMP dan SMA di Semarang. Penjual tersebut mengambil sample sebanyak 225 pelajar SMP maupun SMA dan ternyata 60% menggunakan bolpoint pilot. Apabila interval keyakinan 96%, tentukan proporsi pelajar SMP dan SMA di Semarang yang menggunakan bolpoint tersebut! 7. Untuk mengetahui tingkat kecerdasan anak suatu Sekolah Dasar di Yogyakarta, maka diambil secara random anak SD tersebut sebanyak 50 orang sebagai sample. Dari hasil tes IQ yang dilakukan diperoleh rata-rata IQ sebesar 115 dengan varians sebesar 81. apabila digunakan taraf signifikan sebesar 4%, maka hitunglah perkiraan rata-rata IQ anak SD tersebut!
140
